全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1998数学四

1998年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析填空题(1)设曲线f(x)=x"在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(5,,0),则lim(5)=e'!【答】【详解】因为n-1 df(x)df (x)ndxdx(x=1故过(1,1)的切线方程为y-1=n(x-1)当y=0时，得15n =x=1-nlim(5,) = lim/ 1-因此→00Inx-(2)x2Inx【答】tCx【详解】nx-[(Inx-d(lnx-1)(Inx-1)+InxInx+CxXxInx+C[10700-20（3）设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E，其中A=,E为单位矩阵，A为1001A的伴随矩阵，则B=

1998 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、 填空题 （1）设曲线 ( ) n f x x = 在点( ) 1,1 处的切线与 x 轴的交点为(ξ n ,0 ,) 则 lim ( ) n n f ξ →∞ = _. 【答】 1 e− 【详解】 因为 ( ) ( ) 1 , , 1 n df x df x nx n dx dx x − = = = 故过( ) 1,1 的切线方程为 y nx −= − 1 1. ( ) 当 y = 0时，得 1 1 , n x n ξ = =− 因此 ( ) 1 1 lim lim 1 . n n n n e n ξ − →∞ →∞ ⎛ ⎞ = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （2） 2 ln 1 x dx x − = ∫ _ 【答】 ln x C x − + 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 ln 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 x dx x d x d x x xx x − ⎛ ⎞ = − − =− − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ 2 ln 1 1 ln 1 1 x x dx C x x x x xx =− + + =− + − + ∫ ln . x C x =− + （3） 设矩阵 A,B 满足 2 8 ∗ A BA = BA E − ，其中 100 0 2 0, 001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A E 为单位矩阵， ∗ A 为 A 的伴随矩阵，则 B = _

002【答】00-4002【详解1】将已知矩阵方程组两边分别左乘A，右乘A-得A(A'BA)A- = A(2BA)A- - A(8E)A-化简有AB=2AB-8E.又[4| = -2,因此(A+E)B=4E.于是[2207B=4E(A+E)"=40 -1 0Lo02000202= 4| 00-10-4福02100012【详解2】对ABA=2BA-8E两边分别左乘A，分别右乘A-，利用AA=AE以及AA-=E得IA|B=2AB-8E.因此, B=8(2A-|A|E)而

【答】 200 0 40 002 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解 1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘 A ，右乘 −1 A 得 ( ) ( ) ( ) 1 11 2 8, ∗− − − A A BA A = A BA A A E A − 化简有 A B AB E. = − 2 8 又 A = −2, 因此 ( ) A+ E B E. = 4 于是 ( ) 1 1 220 4 40 1 0 002 − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B E A+ E 1 0 0 2 200 40 1 0 0 4 0. 1 002 0 0 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解 2】 对 2 8 ∗ A BA = BA E − 两边分别左乘 A ，分别右乘 −1 A ，利用 ∗ AA AE = 以及 −1 AA E= 得 A B AB E. = − 2 8 因此， ( ) 1 82 . − B A AE = − 而

234【详解3】由已知矩阵方程得(2E-A)BA=8E两边分别左乘(2E-A），右乘A-得B=8(2E-A')"·A"=8[A(2E-A)T -8(2A-AA')=8(2A-|A|E)"=8(2A+2E)-（4）设A,B均为n阶矩阵，A=2,B=-3,则2AB-22m-1【答】3 【详解】由于A=AA-,故[2A'B-|-|2A|4"B-|=|4A"B-22n-SAB3(5)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值一1【答】5【详解】设X表示100次独立重复试验成功的次数,则X服从二项分布B(100,p)，均值E(X)=100p,标准差D(X)=/100p(1-p)

( ) 1 22 4 2 4 2 2, 2 24 1 4 4 2 1 8 2 8 4. 2 4 3 1 4 − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − =− − − =− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = − = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A AE B 【详解 3】 由已知矩阵方程得 ( ) 2 8 ∗ E − = A BA E 两边分别左乘( ) 1 2 − ∗ E A− ，右乘 −1 A 得 () () ( ) 1 1 1 1 82 8 2 82 − − − ∗− ∗ ∗ = − ⋅= − = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ B E A A A E A A AA ( ) ( ) 1 1 82 82 2 − − =− =+ A AE A E ( ) 1 2 1 8 4. 2 2 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⋅ + = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A E （4） 设 A,B 均为 n 阶矩阵, A B = =− 2, 3,则 * 1 2 − A B = _ 【答】 2 1 2 3 n− − 【详解】 由于 * 1, − A = A A 故 *1 11 11 22 4 − −− −− A B AA B A B = = i 2 1 11 2 4 . 3 n n − = =− i A B （5） 设一次试验成功的概率为 p ,进行 100 次独立重复试验,当 p = _时,成功次数的标 准差的值最大,其最大值= . 【答】 1 , 5 2 【详解】 设 X 表示 100 次独立重复试验成功的次数,则 X 服从二项分布 B(100, ) p , 均值 E( ) 100 , X p = 标准差 DX p p ( ) 100 (1 ). = −

由于D(X)与/D(X)同时具有最大值,而D(X)=100p(1-p)显然在p=二时，取最大值，2故p=时，D(X)最大,且最大值为5.2二、选择题f()-f(1-x)（1）设周期函数f(x)在（-0,+)内可导，周期为4.又lim-1则曲线2xy=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为(A)(B)0.(D)-2.(C)-1.2【答】应选(D)【详解】由己知f(0)-f (1-x) _ I im f()-f (1-x)limlimf(1)=-12x2 x→0x-→0-x于是f()=-2.又f(x+4)=f(x),两边求导得f'(x+4)= f(x),故f(5)=f(1)=-2即曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率(5)=-21+x(2)设函数f(x)=lim，讨论函数f(x)的间断点，其结论为+1+x2n(A)不存在间断点.(B)存在间断点x=1(C)存在间断点x=0(D)存在间断点x=-1【答】应选(B)【详解】由于[0,x>1,1+xf(x)=lim-1.x=0,01+x2m[1+x, x<1.可见x=1为(x）的间断点

由于 D X( ) 与 D X( ) 同时具有最大值,而 DX p p ( ) 100 (1 ) = − 显然 在 1 2 p = 时,取最大值, 故 1 2 p = 时, D X( ) 最大,且最大值为 5. 二、选择题 （1） 设周期函数 f ( x) 在( ) −∞ +∞ , 内可导，周期为 4.又 ( ) ( ) 0 1 1 lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点( ) 5, 5 f ( ) 处的切线斜率为 ( ) () () ( ) 1 . 0. 1. 2. 2 AB C D − − 【答】 应选( ) D 【详解】 由已知 () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 11 11 1 1 lim lim 1 1, x x 22 2 f fx f fx f → → x x −− −− = = =− ′ − 于是 f ′( ) 1 2. = − 又 f ( ) () x fx + = 4 ,两边求导得 f ′ ′ ( ) () x fx + = 4 , 故 f f ( ) () 5 1 2. = =− 即曲线 y fx = ( ) 在点( ) 5, 5 f ( ) 处的切线斜率 f ′(5 2. ) = − （2） 设函数 ( ) 2 1 lim , 1 n n x f x →∞ x + = + 讨论函数 f ( x) 的间断点，其结论为 ( ) A 不存在间断点. (B) 存在间断点 x =1 ( ) C 存在间断点 x = 0 (D) 存在间断点 x = −1. 【答】 应选( ) B 【详解】 由于 ( ) 2 0, 1, 1 lim 1, 0, 1 1 , 1. n n x x fx x x x x →∞ ⎧ > + ⎪ = =− = ⎨ + ⎪ ⎩ + < 可见 x =1为 f ( ) x 的间断点

(3）若向量组α,β,线性无关；α,β,8线性相关,则(A)α必可由β,,8线性表示,(B）β必不可由α,,8先行表示(C）S必可由α,β,线性表示(D)S必不可由α,β,线性表示【答】应选(C)【详解】由题设α,β,线性无关,因此α,β也线性无关而题设α,β,8线性相关,故8必可由α,β线性表示，且表示方法唯一，从而也可由α,β,线性表示(4)设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是(B) AC 与C(A) A+B与C(D) AB与C(C) A-B与C【答】应选(B)【详解】由于A,B,C是三个相互独立的随机事件,故其中任意两个事件的和,差,交,并,逆与另一个事件或其逆是相互独立的,根据这一性质(A),(C),(D)三项中的两事件是相互独立的,因而均为干扰项，只有选项B正确(5）设F(x)与F(x)分别为随机变量X,与X,的分布函数.为使F(x)=aF(x)+bF,(x)是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取2,6=2(4)a=2,b=-2.(B)α=S553-1,b=2.13,b=-(C)a=-(D)a=2'-322【答】应选(A)【详解】根据分布函数的性质：lim(x)=1,因此有lim F(x)=a lim F(x)-blimF(x),即1=a-b

(3) 若向量组α, , β γ 线性无关; α, , β δ 线性相关,则 (A) α 必可由 β , , γ δ 线性表示, (B) β 必不可由α, , γ δ 先行表示 (C) δ 必可由α, , β γ 线性表示 (D) δ 必不可由α, , β γ 线性表示 【答】 应选( ) C 【详解】 由题设α, , β γ 线性无关,因此α,β 也线性无关, 而题设α, , β δ 线性相关,故δ 必可由α,β 线性表示,且表示方法唯一, 从而δ 也可由α, , β γ 线性表示. (4) 设 A, , B C 是三个相互独立的随机事件,且 0 ( ) 1, < P C < 则在下列给定的四对事件中不 相互独立的是 (A) A+ B 与C (B) AC 与C (C) A− B 与C (D) AB 与C 【答】 应选( ) B 【详解】 由于 A, , B C 是三个相互独立的随机事件,故其中任意两个事件的和,差,交,并,逆与 另一个事件或其逆是相互独立的,根据这一性质(A),(C),(D)三项中的两事件是相互独立的,因 而均为干扰项,只有选项 B 正确. （5） 设 F1 2 () () x Fx 与 分别为随机变量 X1 2 与X 的分布函数.为使 F () () () 1 2 x aF x bF x = + 是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 22 , . , . 5 5 33 12 1 3 , . , . 23 2 2 Aa b Ba b Ca b Da b = =− = = =− = = =− 【答】 应选( ) A 【详解】 根据分布函数的性质： lim 1, ( ) x f x →+∞ = 因此有 lim lim lim , () () 1 2 ( ) x xx F x a Fx b Fx →+∞ →+∞ →+∞ = − 即1 . = a b −

对比四个选项知，只有(A)中的a和b值满足α-b=1.三、（本题满分6分）求lim(ntan-)n2(n为自然数).n-→on【详解1】因为tanxtanx-xlim()x2 = lim[(1+tanx-x1xx→0x→0sec? x-11tanx-xlim其中lim13'x33x2x→0+x→0+0tan故lim1取,则原式=e3X:ntanxtanx-x因为lim【详解2】limrr-→0xx-→0+xSsec°x-1tan’x1tanx-xlim其中limlim33x2X→0+03x2-3x0+00x→0+tanxe则lim1故原式=e3四、(本题满分6分)a2arctan-设≥=(x2 +2y2)e-a"求d与axoy【详解】-2-(+)。()ax= (2x + y)earean

对比四个选项知，只有( ) A 中的 a b 和 值满足a b − =1. 三、(本题满分 6 分) 求 1 2 lim( tan ) n n n →∞ n ( n 为自然数). 【详解 1】 因为 3 1 tan 2 tan 0 0 tan tan lim ( ) lim[(1 ) ] x x x xx x x x x xx x x x + + − − → → − = + 其中 2 3 2 0 0 tan sec 1 1 lim lim , x x 3 3 xx x → + → +∞ x x − − = = 故 1 1 2 3 0 tan lim , x x x e → + x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 取 1 x n = ,则 原式= 1 3 e . 【详解 2】 因为 1 1 2 2 0 0 tan tan lim lim 1 x x x xx x x →+ →+ x x ⎛⎞ ⎛ ⎞ − ⎜⎟ ⎜ ⎟ = + ⎝⎠ ⎝ ⎠ 其中 2 2 3 22 00 0 tan sec 1 tan 1 lim lim lim xx x 3 33 xx x x → + → +∞ → +∞ x xx − − = == 则 1 1 2 3 0 tan lim , x x x e → + x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 故 原式= 1 3 e . 四、(本题满分 6 分) 设 ( ) arctan 2 2 2 , y x z x ye− = + 求 dz 与 2 . z x y ∂ ∂ ∂ 【详解】 ( ) 2 arctan arctan 2 2 22 2 2 y y x x z x y xe x y e x xy x ∂ − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = −+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) arctan 2 , y x x ye − = +

= 2 yewcm -(* +y)eay= (2y -r)e-aretan所以dz =e-aretang[(2x+ j)dx+(2y-x)dy],a2zaretanxirctan-(2x+y)eaxoyx2+ 1y? - xy - x?arctan2x?+ y?五、(本题满分6分)设D=(x, )Ix2 +y≤x),求[[ Vxdxdy【详解1】JJ xdxdy=fedof"Jrcos ordr40cosedo-8[cos edefr2dr:JC15[详解2] D=(x,J)10≤x≤1,-Vx-≤y≤Vx-所以J /ddy=Vda/=2f1-xd-x=1 4fe(1-)dt(-)6-4二六、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒，如果先在（假定1=0）就售出，总收入为R。（元）如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t年未总收入为

( ) 2 arctan arctan 2 2 2 2 1 2 y y x x z x ye x y e y x yx ∂ − − ⎛ ⎞ = −+ ⎜ ⎟ ∂ + ⎝ ⎠ ( ) arctan 2 . y x y xe − = − 所以 ( )( ) arctan 2 2, y x dz e x y dx y x dy − = + +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) 2 2 arctan arctan 2 2 1 2 y y x x z x e x ye x y x yx ∂ − − ⎛ ⎞ = −+ ⎜ ⎟ ∂∂ + ⎝ ⎠ 2 2 arctan 2 2 . y x y xy x e x y − − − = + 五、 (本题满分 6 分) 设 {( ) } 2 2 D xy x y x = +≤ ,| , 求 . D xdxdy ∫∫ 【详解 1】 cos 2 0 2 1 3 cos 2 2 2 2 3 0 0 2 cos 4 8 cos cos . 5 15 D xdxdy d r rdr d r dr d π θ π π π θ π θ θ θθ θθ − − = = == ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 【详解 2】 {( ) } 2 2 D xy x x x y x x = ≤≤− − ≤ ≤ − , | 0 1, , 所以 2 2 1 1 0 0 2 1 x x x x D xdxdy xdx dy x xdx − − − = =− ∫∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 2 2 0 1 41 −= − x t t t dt ∫ 3 5 1 8 4 . 3 5 15 0 ⎛ ⎞ t t =− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 六、(本题满分 6 分) 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果先在（假定t = 0 ）就售出，总收入为 R0 （元）.如 果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为

2VR=R,e假定银行的年利率为r，并以连续复利计算试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求r=0.06时的t值【详解】根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为A()=Re""，而2.4F所以R:FA(t)=R,eVi-nldA=R,esdt(5t10V/3则有ARdt?=to11于是，t。是极大值点即最大值点，故窖藏t：（年）售出，总收入的现值25r225r2最大。100~11（年）当r=0.06时，1t=9七、(本题满分6分)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证存在5,nE(a,b),使得e'"-[f(n)+f(n)]=1.【详解】方法一：用原函数法,容易构造辅助函数为g(x)=e[f(x)-1],则g(a)=g(b)=0,由罗尔定理,存在e(a,b),使得g()=0,即 f()+f()=1令=n则e"-s[f(n)+ f(n)]=1.方法二：要证结论可改写为

2 5 0 t R = R e 假定银行的年利率为 r ，并以连续复利计算试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并 求 r = 0.06 时的t 值. 【详解】 根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 ( ) Re , n A t − = 而 2 5 0 t R = R e ，所以 ( ) 2 5 0 . t n A t Re − = 令 2 2 5 0 3 1 1 , 5 10 dA t nt Re r dt t t − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = −− ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 则有 ( ) 2 1 25 3 2 0 0 12.5 0. r d A Re r dt t t =−< = 于是， 0 2 1 25 t r = 是极大值点即最大值点，故窖藏 2 1 25 t r = （年）售出，总收入的现值 最大。 当 r = 0.06 时， 100 11 9 t = ≈ （年）. 七、(本题满分 6 分) 设 f ( ) x 在[,] a b 上连续,在 (,) a b 内可导,且 fa fb ( ) ( ) 1, = = 试证存在ξ, (,) η ∈ a b ,使 得 ef f [ ( ) '( )] 1. η ξ η η − + = 【详解】 方法一: 用原函数法,容易构造辅助函数为 ( ) [ ( ) 1], x gx e f x = − 则 ga gb ( ) ( ) 0, = = 由罗尔定理,存在ξ ∈(,) a b ,使得 g '( ) 0 ξ = , 即 f f ( ) '( ) 1. ξ + = ξ 令 ξ =η 则 ef f [ ( ) '( )] 1. η ξ η η − + = 方法二: 要证结论可改写为

0e"[f(n)+f'(n)]=e,即[ef(x)], =es.令g(x)=e"f(x),在[a,b]上应用拉格朗日中值定理得eb f(b)-e f(a)= g'(n)(b-a)=e'[f(n)+ f(n)(b-a),a<n<b即 e'(n)+f"(n)=e"T(b)-e"f(a)_ e"-e"@b-ab-aeb-ea=es由①,②知相当于要求证明存在e(a,b)，使得b-a显然对于函数h(x)=e在e'-e"?eb-a综合②，③知，①成立八、(本题满分9分）设直线y=ax与抛物线y=x?所围成图形的面积为S,，它们与直线x=1所围成的图形面积为S,,并且a<1.(1)试确定α的值,使S,+S,达到最小,并求出最小值；(2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

ef f e [ ( ) '( )] , η ξ η η + = ○1 即 [ ( )]' . x x efx eξ =η = 令 ( ) ( ), x gx ef x = 在[,] a b 上应用拉格朗日中值定理得 ( ) ( ) '( )( ) b a efb efa g b a −= − η e f f b aa b [ ( ) '( )]( ), . η = + − << ηη η 即 () () [ ( ) '( )] . b a ba efb efa e e ef f ba ba η η η − − += = − − ○2 由○1 ,○2 知相当于要求证明存在ξ ∈(,) a b ,使得 , b a e e e b a − ξ = − 显然对于函数 ( ) x hx e = 在 ( )' . b a x x e e e e b a ξ =ξ − = = − ○3 综合○2 ,○3 知, ○1 成立. 八、(本题满分 9 分) 设直线 y ax = 与抛物线 2 y x = 所围成图形的面积为 1 S ,它们与直线 x =1所围成的图形 面积为 2 S ,并且 a <1. (1) 试确定a 的值,使 1 2 S S + 达到最小,并求出最小值; (2) 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积

a10(图一)y$2(图二)【详解】（1）当00,则S(-又S"(()是极小值即最小值,其值为 V2

(图一) (图二) 【详解】 (1) 当0 1 则 1 ( ) 2 S 是极小值即最小值,其值为