全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2002数学三

2002年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题n-2na+1,则 lim In[（1）设常数a2n(1-2a)1【答】1-2a1n-2na+-2【详解】因为lim[= lim[1 +n(1-2a)n(1-2a)所以 lim In["-2na+],"=Inel-2a1-2an(1-2a)（2）交换积分次序：【dy）f(x,y)dx+ Jedyf,(x,y)dx【答】[2 dxf"f (x, y)d)【详解】积分区域D=D+D2，其中[(x)10≤ys+ysxs/D=(sysxD, =3n于是D也可以表示为D=(x,)10,x一5故(x,)d+(x,)d=ed(x,)y4dyl[1 2-22三维向量α=（a,1,1)"已知Aα与α线性相关，21（3）设三阶矩阵A[3 0Aa=【答】-1【详解】由题设，存在k，使得Aα=kα，即

2002 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设常数 1 , 2 a ≠ 则 2 1 lim ln[ ] (1 2 ) n n n na →∞ n a − + − = . 【答】 1 1 2 − a 【详解】 因为 2 1 lim[ ] (1 2 ) n n n na →∞ n a − + − = 1 1 (1 2 ) 12 12 1 lim[1 ] (1 2 ) n a a a n e n a − − − →∞ + = − i 所以 1 1 2 21 1 lim ln[ ] ln (1 2 ) 1 2 n a n n na e na a − →∞ − + = = − − （2）交换积分次序： ( ) ( ) 1 11 4 22 1 0 4 , , y y y dy f x y dx dy f x y dx + = ∫∫ ∫∫ _. 【答】 ( ) 2 1 2 0 , x x dx f x y dy ∫ ∫ 【详解】 积分区域 1 2 DD D = + ,其中 1 ( ) 1 , |0 , , 4 D xy y y x y ⎧ ⎫ = ≤≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 ( ) 11 1 ,| , 42 2 D xy y y x ⎧ ⎫ = ≤≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 于是 D 也可以表示为 ( ) 1 2 , |0 , . 2 D xy x x y x ⎧ ⎫ = ≤≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 故 ( ) ( ) ( ) 2 1 11 1 4 22 2 1 0 0 4 , , ,. y x y yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy + = ∫∫ ∫∫ ∫∫ （3）设三阶矩阵 12 2 21 2 30 4 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A ,三维向量 ( ) ,1,1 . T α = a 已知 Αα 与α 线性相关， a＝_ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα= αk ，即

122a2121=k0431a+2-2=ka,即2a+1+2=k,可得a=-1,k=13a+4=k,故所求a为一1(4)设随机变量X和Y的联合概率分布为PY-101X00.070.180.1510.080.320.20则X和2的斜方差cos(x2,2)=【答】1-0.02【详解】由题设，有01xP0.40.6X-101P0.150.50.35且X?01

12 2 21 2 1 30 4 1 a k ⎡ ⎤ ⎡⎤ − ⎢ ⎥ ⎢⎥ = ⎣ ⎦ ⎣⎦ 即 22 , 2 12 , 34, a ka a k a k ⎧ +−= ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ + = 可得 a k =− = 1, 1. 故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 P Y X −1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 则 2 X 和 2 Y 的斜方差 ( ) 2 2 cos , X Y = _ 【答】 －0.02 【详解】 由题设，有 X 0 1 P 0.4 0.6 X −1 0 1 P 0.15 0.5 0.35 且 2 X 0 1

P0.40.62010.50.5PXy?01P0.720.28从而 E(x2y2)=0.28,E(x2)=0.69,E(y2)=0.5故cos(x2,y2)-E(x2,y2) E(x2)(y2)=0.28-0.3=-0.02.e-(r-0)若x≥0,而X,X2…X,是来自总体X（5）设总体X的概率密度为f（x;)：若x<0[0,的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为1 x,-1【答】n【详解】 因为 E(X)=[+* xe-(r-0) dx =$+1,所以，由E(X)=X=x,即0+1=SXnn得参数0的矩估计量为=x,-1n=l二、选择题(1）设函数f(x)在闭区间[a,bl上有定义,在开区间（a.b）上可导，则(A)当f(a)f(b)<0时,存在≤e(a,b),使f()=0(B)对任何(a,b),有lim[f(x)-f())=0

P 0.4 0.6 2 Y 0 1 P 0.5 0.5 2 2 X Y 0 1 P 0.72 0.28 从而 ( ) () ( ) 22 2 2 E XY E X EY = == 0.28, 0.69, 0.5, 故 ( ) ( )( )( ) 22 22 2 2 cos , , 0.28 0.3 0.02. X Y EX Y EX Y − = − =− （5）设总体 X 的概率密度为 ( ) ( ) , , ; 0, x e x f x x θ θ θ θ − − ⎧⎪ ≥ = ⎨ ⎪⎩ < 若 若 而 1 2 , , X X X " n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数θ 的矩估计量为_ 【答】 1 1 1 n i i X n = ∑ − 【详解】因为 ( ) ( ) 0 1, x E X xe dx θ θ +∞ − − = = + ∫ 所以，由 ( ) 1 1 , n i i EX X X n = = = ∑ 即 1 1 1 , n i i X n θ = + = ∑ 得参数θ 的矩估计量为 1 1 1. n i i X n θ = = − ∑ 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上有定义,在开区间(,) a b 上可导,则 (A) 当 fafb () () 0 < 时,存在ξ ∈( , ), ( ) 0. ab f 使 ξ = (B) 对任何ξ ∈(,) a b ,有lim[ ( ) ( )] 0. x fx f ξ ξ → − =

(C) 对 f(a)=f(b)时,存在三e(a,b),使 f()=0(D) 存在.≤e(a,b) ,使 f(b)-f(a)=f(E)(b-a)【答】[B]【详解】由题设，f(x)在(e(a,b)处可导，从而连续故有limLf(x)-f())=0.应选(B)V51.1"a.b,"的收敛半径分别为1（2）设幂级数a,"和则幂级数x"的收331b2n=ln=l敛半径为V5(D)(c))(B)(A)5.3【答】[A][an+l3batlim由题设，有lim【详解】V1-0b.ann→0[anan+l9batl15an1于是lim=limS9D73a,b,na?故幂级数x的收敛半径为，故应选[A]台b(3）设A是mxn矩阵，B是nxm，则线性方程组（AB）x=0（A）当n>m时仅有零解（B）当时n>m必有非零解（C）当时m>n仅有零解（D）当时m>n必有非零解【答】[D]【详解】AB为mxm矩阵，当m>n时，有r(AB)≤r(A)<≤n<m对应(AB)x=0有非零解，故应选[D]（4）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值元的特征向量，则矩阵(P-"AP)属于特征值入的特征向量是(D)(P-1) α(B)PTα(A) P-α(C) Pα【答】[B]由知Aα=α,于是Aα=α,(-)α=α,【详解】

(C) 对 f () () a fb = 时,存在ξ ∈(,) a b ,使 f '( ) 0 ξ = (D) 存在.ξ ∈(,) a b ,使 f ( ) ( ) '( )( ). b fa f b a − = − ξ 【答】 [ B] 【详解】 由题设, f ( ) x 在ξ ( (,) ξ ∈ a b 处可导,从而连续, 故有lim[ ( ) ( )] 0. x fx f ξ ξ → − = 应选(B). （2） 设幂级数 1 n n n n a x = ∑ 和 1 n n n n b x = ∑ 的收敛半径分别为 5 3 与 1 3 ，则幂级数 2 2 1 n n n n n a x = b ∑ 的收 敛半径为 () () ( ) ( ) 51 1 5. . . 33 5 AB C D 【答】 [ A] 【详解】 由题设，有 1 1 3 lim , lim 3, 5 n n n n n n a b a b + + →∞ →∞ = = 于是 2 2 1 1 1 2 1 9 5 1 lim lim , 9 5 n n n n n n n n n n a a b a b b a b + + + →∞ →∞ + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = == ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 故幂级数 2 2 1 n n n n n a x = b ∑ 的收敛半径为，故应选[ A]. （3） 设 A 是 m n × 矩阵， B 是 n m× ，则线性方程组( AB x) = 0 （A）当 n m> 时仅有零解. （B）当时n m> 必有非零解. （C）当时 m n > 仅有零解 （D）当时 m n > 必有非零解 【答】 [ D] 【详解】 AB 为 m m× 矩阵，当m n > 时，有 r r nm ( AB A ) ≤ ( ) ≤ < 对应( ) AB x = 0 有非零解，故应选[ D] .（4）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵( ) 1 T − P AP 属于特征值λ 的特征向量是 () () () ( )( ) 1 1 T T A B CD α αα α − − P PPP 【答】 [ B] 【详解】 由已知 A = α λα,于是 ( ) 1 , , T T TT T α λα αλα − PA P PAP P = =

又由于A=A,有(P-AP)pα=αPTα,可见矩阵(P-AP)属于特征值入的特征向量是Pα（5）设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（B）X?+Y都服从×分布（A）X+Y都服从正态分布X?（C）X和Y都服从分布(D)服从F分布Y2【答】[C]【详解】由于X、Y不一定相互独立,故（A)、（B）、(D)不一定成立，只有（C）为正确选项三、（本题满分8分）arctan(1+t)dt Jdu求极限limx→0x(1- cosx)【详解1】arctan(1+t)dtjduarctan(1+t)dtlimlimx→0x(1-cos x)r→01-cosx+xsinx12xarctan(1+x)= lim=2limarctan(1+x)lim→02sinxsosinx+sinx+xcosx+cos.xx=2.元,1元43-6【详解1】arctan(1+ t)dt ]duarctan(1+t)dt)duJlim2limx3x-→0x-→0x(1- cosx)arctan(1+t)dt2 arctan(1+ x)=2limJo=2lim3x2x-→0x→06x2元元34-6四、（本题满分8分）设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数,且z=z(x,y)由方程xe-ye=ze所确定，求du【详解1】设F(x,y,z)=xe-ye"-ze',则

又由于 T A = A,有( ) 1 , T T T α λ α − P AP P P = 可见矩阵( ) 1 T − P AP 属于特征值λ 的特征向 量是 T P α . （5） 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 （A）X+Y 都服从正态分布 （B） 2 2 X +Y 都服从 2 χ 分布. （C） 2 X 和 2 Y 都服从 2 χ 分布. （D） 2 2 X Y 服从 F 分布. 【答】 [ C] 【详解】 由于 X、Y 不一定相互独立,故（A）、（B）、(D)不一定成立，只有（C）为正确 选项. 三 、（本题满分 8 分） 求极限 2 0 0 0 [ arctan(1 ) ] lim (1 cos ) x u x t dt du → x x + − ∫ ∫ 【详解 1】 2 00 0 0 0 [ arctan(1 ) ] arctan(1 ) lim lim (1 cos ) 1 cos sin xu x x x t dt du t dt → → x x xx x + + = − −+ ∫∫ ∫ 2 2 0 00 2 arctan(1 ) 1 lim 2lim arctan(1 )lim sin sin cos 2sin cos x xx x x x x xx x x x x → →→ + = =+ + + + 1 2 43 6 π π = = i i 【详解 1】 2 2 00 00 3 0 0 [ arctan(1 ) ] [ arctan(1 ) ] lim 2lim (1 cos ) xu xu x x t dt du t dt du → → xx x + + = − ∫∫ ∫∫ 2 2 0 2 0 0 arctan(1 ) 2arctan(1 ) 2lim 2lim 3 6 x x x t dt x → → x x + + = = ∫ 2 . 34 6 π π = = i 四 、（本题满分 8 分） 设函数u f xyz = (, ,) 有连续偏导数,且 z zxy = (, ) 由方程 xyz xe ye ze − = 所确定, 求 du 【详解 1】 设 (, ,) , x yz F x y z xe ye ze =−− 则

F’ =(x+1)e",F =-(y+I)e",F’ =-(z+1)e"故F'y-y+lOzFxx+1ax-=Ozax2+1"ayF'.F!z+1而ouzx+1ayaxouOzy+1r+ayay+1所以ououdy=(f++)")d+(, +y+ley-=)dydu:dx +ax工ay2+1【详解2】在xe-ye=ze两边微分，得e'dx+xe'dx-e'dy-ye'dy=edz+zedz,dz = (+x)e'dx-(I+ y)e'dy故(1 +z)e"由u= f(x,y,z),得du=f'dx+f,dy+fidz故du=(+f'x+)y+)dx(f.+f')dyz+1+1五、（本题满分8分）Vxx设f(sinx)=,求f(x)dxsinx/-x【详解】令u=sinx，，则有sin x = Vu, = aresin Vu, f(x) = aresin x.于是Vxarcsin xyxf(x)dx=d/i-x

'' ' ( 1) , ( 1) , ( 1) . xyz F xy z = + =− + =− + x eF y e F z e 故 ' ' 1 1 , '1 '1 x xz yz y z z z xz y F F e e xF z yF z ∂ +∂ + − − =− = =− = ∂ +∂ + ， 而 '' '' 1 , 1 x z xz xz u zx f f ff e y xz ∂∂ + − =+ =+ ∂∂ + '' '' 1 , 1 y z yz yz u zy f f ff e y yz ∂∂ + − =+ =+ ∂∂ + 所以 '' '' 1 1 ( ) ( ). 1 1 xz yz xz yz uu x y du dx dy f f e dx f f e dy xy z z ∂∂ + + − − = + =+ ++ ∂∂ + + 【详解 2】 在 xxz xe ye ze − = 两边微分,得 , x xy y z z e dx xe dx e dy ye dy e dz ze dz + −− =+ 故 (1 ) (1 ) . (1 ) x y z x e dx y e dy dz z e + −+ = + 由u f xyz = ( , , ),得 ''' , xyz du f dx f dy f dz =++ 故 '' '' 1 1 ( )( ). 1 1 xz yz xz yz x y du f f e dx f f e dy z z + + − − =+ + + + 五 、（本题满分 8 分） 设 2 (sin ) , sin x f x x = 求 ( ) 1 x f x dx − x ∫ 【详解】 令 2 u x = sin , ，则有 arcsin sin , arcsin , ( ) , x x ux u f x x == = .于是 arcsin ( ) 1 1 x x f x dx dx x x = − − ∫ ∫

arcsinyxd(1-x)=-2[arcsin /xd /1-xi-x=-2V1-x aresin Vx+2[ V1-xdxJi-x=-2/1xarcsin/x+2/x+C.六、设D,是由抛物线y=2x2和x=a,x=2及y=0所围成的平面区域：D,是由抛物线y=2x2和直线y=0,x=a所围成的平面区域，其中00:当a<1时，V<0。因此a=1.是极大值点即是最大值点129此时V+V,取得最大值，等于元5x6xx3x3n七、（1）验证函数y(x)=1+-00<x<+00）满足微分方程9!3!6!(3n)!

arcsin (1 ) 2 arcsin 1 1 x d x xd x x =− − =− − − ∫ ∫ 1 2 1 arcsin 2 1 1 x x x dx x =− − + − − ∫ =− − + + 2 1 arcsin 2 . x x xC 六、设 D1 是由抛物线 2 y x = 2 和 x ax = , 2 = 及 y = 0所围成的平面区域；D2 是由抛物线 2 y x = 2 和直线 y xa = = 0, 所围成的平面区域，其中0 2. 0; 当 a <1时，V′ < 0 。因此 a =1.是极大值点即是最大值点 此时V V 1 2 + 取得最大值，等于129 5 π . 七、（1）验证函数 ( ) ( ) ( ) 369 3 1 3! 6! 9! 3 ! n xxx x yx x n = + + + + + −∞ < < +∞ " " 满足微分方程

y"+y'+y=e";(2）利用（1）的结果求幂级数之的和函数=0 (3n)!【详解】（1）因为3n+6xy(x)=1+A13!6!9!(3n)!3n-1xx3x6y'(x)=2!5!8!(3n-1)!y-3m-2x7x4y"(x)=x++74(3n-2)所以y"+y'+y=er（2）与y"+y+y=e相应的齐次微分方程为y"+y+y=0,其特征方程为_1+V322+入+1=0,特征根为2.2=-i.因此齐次微分方程的通解为212C.cos3+C.siY=e 2(设非齐次方程的特解为y=Ae"将y代入方程y"+y+y=e，得A=，于是311,*3方程的通解为V3V3[c, cos (学)+Cc sin/y=Y+y=e2+x2当x=0时，有13V3=0=C,+CI+223得C,C, =02于是幂级数数的和函数的和函数为= (3n)!

; x y y ye ′′ ′ + += （2）利用（1）的结果求幂级数 ( ) 3 0 3 ! n n x n ∞ = ∑ 的和函数. 【详解】 （1）因为 ( ) ( ) 369 3 1 , 3! 6! 9! 3 ! n xxx x y x n =+ + + + + " " ( ) ( ) 3 6 9 31 , 2! 5! 8! 3 1 ! n xxx x y x n − ′ =+++ + − " " ( ) ( ) 4 7 32 4! 7! 3 2 ! n xx x yx x n − ′′ =+ + + + − " " 所以 . x y y ye ′′ ′ + += （ 2 ） 与 x y y ye ′′ ′ + += 相应的齐次微分方程为 y yy ′′ ′ + + = 0, 其特征方程为 2 λ λ + +=1 0,特征根为 1,2 1 3 . 2 2 λ =− ± i 因此齐次微分方程的通解为 2 1 2 3 3 cos sin . 2 2 Ye C x C x π − ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ = + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎣ ⎦ ⎝⎠ ⎝⎠ 设非齐次方程的特解为 x y Ae ∗ = 将 y∗ 代入方程 x y y ye ′′ ′ + + = ，得 1 3 A = ，于是 1 3 x y e ∗ = 方程的通解为 2 1 2 3 31 cos sin . 2 23 x yY y e C x C x e π − ∗ ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ =+ = + + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎣ ⎦ ⎝⎠ ⎝⎠ 当 x = 0 时，有 ( ) ( ) 1 1 2 1 0 1 3 1 31 0 0 223 y C y CC ⎧ == + ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ′ = =− + + ⎪⎩ 得 1 2 2 , 0. 3 C C = = 于是幂级数数 ( ) 3 0 3 ! n n x n ∞ = ∑ 的和函数的和函数为

v32-y(x)=er(-000,利用闭区间上连续函数得性质,证明存在一点e[a,b],使["f(x)g(x)dx= f()["g(x)dx【详解】因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,,由最值定理,知f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即m≤f(x)≤M,故mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)['mg(x)dx≤[, f(x)g(x)dx≤[' Mg(x)dx.f(x)g(x)dx≤MmsJ' g(x)dx由介值定理知,存在e[a,b],使[" (x)g(x)dxf(s5)=J g(x)dx即 ["(x)g(x)dx= f(3)], g(x)dx.九、设齐次线性方程组ax, +bx,+bx,+..bx.=0,bx, +ax, +bx, +...bx,=0,bx, +bx,+bx+..ax,=0,其中a+0,b+0,n≥2.试讨论a.b为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解【详解】方程组的系数行列式

( ) ( ) 2 2 31 cos , . 3 23 x x yx e x e x − = + −∞ 利用闭区间上连续函数得性质,证明存 在一点ξ ∈[ , ], a b 使 ()() () () . b b a a f x g x dx f g x dx = ξ ∫ ∫ 【详解】因为 f ( ), ( ) [ , ] x g x ab 在 上连续, 且 g x( ) 0, > ,由最值定理,知 f ( ) x 在[,] a b 上有 最大值 M 和最小值 m ,即 m fx M ≤ ≤ () , 故 mg x f x g x Mg x ( ) ( ) ( ) ( ). ≤ ≤ () ()() () , bb b aa a mg x dx f x g x dx Mg x dx ≤ ≤ ∫∫ ∫ ()() ( ) b a b a f x g x dx m M g x dx ≤ ≤ ∫ ∫ . 由介值定理知,存在ξ ∈[ , ], a b 使 ()() ( ) ( ) b a b a f x g x dx f g x dx ξ = ∫ ∫ , 即 ()() () () . b b a a f x g x dx f g x dx = ξ ∫ ∫ 九、设齐次线性方程组 123 123 123 0, 0, 0, n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ⎧ +++ = ⎪ ⎪ +++ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ +++ = " " """ " 其中 abn ≠≠≥ 0, 0, 2.试讨论 a b, 为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷 多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 【详解】 方程组的系数行列式

abbDab...bh=[a+(n-1)b](α-b)"-1A=bba..bl::::bbb..a当a±b,且a(1-n)b时，方程组仅有零解.（2）当α=b时，对系数矩阵A作初等变换，有bbba...111...bab....h000.0bA=lba...b....:：.000.0bbb..a原方程组的通解方程组为X+x,+...+x, =0,其基础解系为α, =(-1,1,0,,)α, =(-1,0, , 1)",α, -(-1,0,0,.,)方程组的全部解是x=cα+cα+..+cαc...c为任意常数）（3）当α=(1-n）对系数矩阵A作初等变换，有bb[(1-n)bb...bbb(1-n)b..bbbA=(1-n)b.::bbb..(1-n)b000-nn[(1-n)11..1000-nn1(1-n)11..000n-n1111-n.......:...：:...:..:000nh111(1-n)111-n

( )( ) 1 1 . n abb b bab b A a n b ab bba b bbb a − = = +− − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ " " " ### # " 当 a b a nb ≠ ≠− , 1 且 ( ) 时，方程组仅有零解. （2）当a b = 时，对系数矩阵 A 作初等变换，有 111 1 000 0 . 000 0 abb b bab b A bba b bbb a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " " " " ### # ### # " " 原方程组的通解方程组为 1 2 0, n xx x +++ = " 其基础解系为 12 1 ( )( ) ( ) 1,1,0, ,1 , 1,0,1, ,1 , , 1,0,0, ,1 . TT T αα α =− =− =− " "" " 方程组的全部解是 11 2 2 1 2 ( ) , , nn n x = + ++ c c c cc c αα α . . 为任意常数 （3）当a n = − ( ) 1 对系数矩阵 A 作初等变换，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 nb b b b b nb b b A b b nb b b b b nb ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − = − − ⎣ ⎦ " " " ### # " ( ) ( ) ( ) 1 2 00 0 1 11 1 0 00 11 1 1 00 0 1 1 1 1 000 1 11 1 1 1 1 11 n n n n n n n n n n n n n ⎡− ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎯⎯→ − ⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ − ⎦ . " " " " " ### # # # ## # " "