全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2001数学三

2001年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题（1）设生产函数为O=AL"Kβ，其中O是产出量,L是劳动投入量，K是资本投入量，而A,α,β均为大于零的参数,则当O=1时K关于L的弹性为一α【答】β【详解】当Q=1时，有K=ALB于是K关于L的弹性为a-αAPLBT5=LK(L)βα-L.βK(L)9ABLB（2）某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以W表示第t年的工资总额（单位：百万元），则W满足的差分方程是【答】1.2.W-, + 2【详解】W,=(1+0.2)W-+2=1.2.W-+2[k 11171k11（3）设矩阵A=且秩(A)=3,则k=11k1[111k]【答】-3【详解】由题设r(A)=3,知必有[k111k1=(k+3)(k-1)3= 0,1k11k解得k=1或k=-3.显然k=1时r(A)=1不符合题意,因此一定有k=-3

2001 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设生产函数为Q AL K , α β = 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而 A, , α β 均为大于零的参数,则当Q =1时 K 关于 L 的弹性为 . 【答】 α β − 【详解】 当Q =1时,有 , l K AL α β β − − = 于是 K 关于 L 的弹性为 1 1 1 '( ) . ( ) A L K L L L K L A L α β β α β β α β α ξ β − −− − − − = = =− i （2）某公司每年的工资总额比上一年增加 20％的基础上再追加 2 百万.若以Wt 表示第t 年的工资总额（单位：百万元），则Wt 满足的差分方程是_ 【答】 1 1.2. 2 Wt− + 【详解】 W 1 0.2 2 1.2. 2 t 11 = + += + ( )W W t t − − （3）设矩阵 111 1 11 , 11 1 111 k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 且秩( ) 3, A = 则 k = . 【答】 -3 【详解】 由题设 r( ) 3, A = 知必有 3 111 1 11 ( 3)( 1) 0, 11 1 111 k k k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =+ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 解得 k =1或 k = −3.显然 k =1时 r A( ) 1, = 不符合题意,因此一定有k = −3

（4）设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式P(X-Y≥6≤1【答】12【详解】另Z=X-Y,则E(Z)= E(X)- E(Y)= 0,D(Z)= D(X -Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=1+4-2.0.5./D(X)D(Y)=3.于是有P([X-)≥6)=P[Z-E(2)≥6)≤D)=6212(5)设总体X服从正态分布N(0,0.2"),而X,X,,Xis,是来自总体X的简单随机样本，X?+..+Xo一服从分布，参数为则随机变量Y2(X+..+ X)1【答】12【详解】 因为 X, ~ (0.2) =1,2. ,15. 于是 ~ N(0.1),从而有2+() (0) (学)() (6)( ( (10) 而且由样本的独立性可知，(）+(）(6)相互独立故X?+...+X?Y-F(10,5)2(X+..+X)X..(1112A故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布二、选择题

（4）设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 0.5.则根据切比 雪夫不等式 PX Y { −≥ ≤ 6} . 【答】 1 12 【详解】 另 Z = X Y− , 则 EZ E X EY ( ) ( ) ( ) 0, = −= D Z D X Y D X D Y Cov X Y () ( ) ( ) () 2 ( ,) = −= + − =+ − = 1 4 2 0.5 ( ) ( ) 3, i i D X DY 于是有 { } { } 2 () 1 6 () 6 . 6 12 D Z P X Y P Z EZ −≥ = − ≥ ≤ = （5）设总体X服从正态分布 ( ) 2 N 0,0.2 ,而 1 2 15 X , , X X " 是来自总体X的简单随机样本， 则随机变量 ( ) 2 2 1 10 2 2 11 15 2 X X Y X X + + = + + " " 服从_分布，参数为_。 【答】 1 12 【详解】 因为 ( ) 2 ~ 0,2 1,2, ,15. XN i i = " 于是 ~ 0,1 , ( ) 2 Xi N 从而有 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 10 15 2 2 ~ 10 , ~ 5 , 22 2 2 X X X X χ χ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ++ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ " " 而且由样本的独立性可知， ( ) 2 2 1 10 2 ~ 10 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 与 ( ) 2 2 11 15 2 ~ 5 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 相互独立. 故 ( ) ( ) 2 2 1 10 2 2 1 10 2 2 2 2 11 15 11 15 /10 2 2 ~ 10,5 . 2 /10 2 2 X X X X Y F X X X X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ " " " " 故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5 的 F 分布. 二、选择题

f'(x)=-1.则（1）设函数f(x)的导数在x=a处连续,又limax-a(A）x=a是f(x)的极小值点(B）x=a是f(x)的极大值点(C）(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点(D）x=a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点[】【答】[B]由lim(x)2=-1,知limF(x)=0,即f(a)=0,于是有【详解】ax-a(x)-(@) - lim ()f"(a)= lim 2元-1x-ax-ax-a即f(a)=0,f"(a)=-1,故x=a是f(x)的极大值点因此,正确选项为(B),1-(x2 +1),0≤x≤13(2）设函数g(x)=[f(u)du,其中f(x)=，则g(x)在区间-(x-1),1≤x≤23(0,2)内(A)无界(B）递减(C）不连续(D) 连续1【答] [D]【详解】当0≤x<1时有x1-(x2 + 1)dx =g(x) :x+-x026当1≤x≤2时，有2(x +1)dx+-1)dx = (x-1)2g(x) =(x36[11x+0≤x<116即g(x)=21-(x-1)2, 1≤x≤236显然g(x)在区间(0,2)内连续，所以,应选(D)

（1）设函数 f ( ) x 的导数在 x = a 处连续,又 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 则 (A) x = a 是 f ( ) x 的极小值点. (B) x = a 是 f ( ) x 的极大值点. (C) ( , ( )) afa 是曲线 y fx = ( ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( ) x 的极值点, ( , ( )) afa 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【 】 【答】 [ B] 【详解】 由 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 知lim '( ) 0, x a f x → = 即 f a'( ) 0 = ,于是有 '( ) '( ) '( ) "( ) lim lim 1, xa xa fx fa fx f a → → xa xa − = = =− − − 即 f a'( ) 0 = , f a "( ) 1 = − ,故 x = a 是 f ( ) x 的极大值点, 因此,正确选项为(B). （2）设函数 0 () () , x g x f u du = ∫ 其中 1 2 ( 1),0 1 2 () , 1 ( 1),1 2 3 x x f x x x ⎧ + ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪⎩ 则 g x( ) 在区间 (0,2) 内 (A)无界 （B）递减 (C) 不连续 (D) 连续 【 】 【答】 [D] 【详解】 当0 1 ≤ x < 时,有 2 3 0 1 11 ( ) ( 1) , 2 62 x g x x dx x x = +=+ ∫ 当1 2 ≤ x ≤ 时,有 1 2 2 0 1 1 1 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) , 2 3 36 x g x x dx x dx x = + + − =+ − ∫ ∫ 即 3 2 1 1 ,0 1 6 2 ( ) 2 1 ( 1) , 1 2 3 6 x x x g x x x ⎧ + ≤< ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + − ≤≤ ⎪⎩ 显然 g x( ) 在区间(0, 2) 内连续, 所以,应选(D)

[ait[ai4000ai2ai3ai4ai3a12an000a21a22a23a24a24a23a22a21B(3) 设A=0as4a3301as1a32a33as4a32as1000La41Lar4a42a42ax3a44a43a4t00100001P, =其中A可逆,则B-等于01000001(A)A'PP(B) PA'P)(C)PP,A-IP,A-'P.(D)【答】 [C]【详解】因为P是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而P,是交换第二、三列所得的初等矩阵，于是有B=AP,P从而B- =(AP,P)"= P-'P-"A- = PP,A-故正确选项为（C）42秩（A），则线性方程组（4）设A是n阶矩阵，α是n维列向量若秩0o(A)AX=α必有无穷多解(B)AX=α必有惟一解DY0仅有零解0必有非零解[【答】[D] αA42秩（A）≤n<n+1,即系数矩阵非列满秩，【详解】由题设，显然有秩00因此齐次线性方程组0必有非零解D故正确选项为（D)。（5）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1-10(C)(D)1(A) (B)12【答】 [A]【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n-X,因此X和Y的相

（3）设 11 12 13 14 14 13 12 11 21 22 23 24 24 23 22 21 1 31 32 33 34 34 33 32 31 41 42 43 44 44 43 42 41 0001 0100 , , 0010 1000 aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ABP 2 1000 0010 , 0100 0001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P 其中 A 可逆,则 −1 B 等于 (A) 1 1 2 − A P P （B） 1 1 2 − PA P (C) 1 1 2 − PP A (D) 1 2 1. − PA P 【 】 【答】 [C ] 【详解】 因为 P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而 P2 是交换第二、三列 所得的初等矩阵，于是有 B AP P = 2 1 从而 ( ) 1 1 1 11 1 21 1 2 12 − − −− − − B AP P P P A P P A == = 故正确选项为（C）. （4）设 A 是n 阶矩阵，α 是 n 维列向量.若秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ，则线性方程组 ( ) A AX =α 必有无穷多解 (B) AX =α 必有惟一解. ( ) 0 0 C y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 仅有零解 ( ) 0 0 D y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 【 】 【答】 [D] 【详解】由题设，显然有秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ≤ n n < +1,即系数矩阵 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Τ Α α α 非列满秩， 因此齐次线性方程组 0 0 y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 故正确选项为（D）。 （5）将一枚硬币重复掷 n 次,以 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和Y 的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 【答】 [A ] 【详解】设 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y nX = − ,因此 X和Y 的相

关系数为r=-1三、（本题满分8分）设u=f(x,y,=)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式di,求dux-=sint确定：e-xy=2和e=Jodxt【详解】根据复合函数求导公式，有duafafdyafdz(*)dx ox oy dx oz dxe-xy=2由两边对x求导，得dydye"(y+x)=0-(y+xdxdxdy即dx+--sint由erdt,两边对x求导，得e*= sin(x-2)(1-4)dxX-z=1-(x-)即dxsin(x-z)将其代入(*)式,得duafyafe'(x-z) f+(1-dxaxx oysin(x-=)z四、（本题满分8分）已知f(x)在(-00,+o0)内可导,且lim /(x)=e,lim(+y =lim[(x)- f(x-1)],→X-C求c的值=liml1+202ax+c]r-c = e2c,lim(【详解】因为x-cx-CX-又由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(x-1)= f'()-1,于是介于x-1与x之间，于是lim[f(x)- f(x-1)]= lim f'()=e

关系数为 r = −1. 三 、（本题满分 8 分） 设 u f xyz = (, ,) 有连续的一阶偏导数,又函数 y yx = ( ) 及 z zx = ( ) 分别由下列两式 确定: 2 xy e xy − = 和 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 求 du dx 【详解】 根据复合函数求导公式,有 . du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ i i (*) 由 2 xy e xy − = 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) 0, xy dy dy e yx yx dx dx + −+ = 即 . dy y dx x = − 由 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 两边对 x 求导,得 sin( ) (1 ), x x z dz e x z dx − = − − i 即 ( ) 1 . sin( ) x dz e x z dx x z − = − − 将其代入(*)式,得 ( ) (1 ) . sin( ) x du f y f e x z f dx x x y x z z ∂ ∂ −∂ = − +− ∂ ∂ −∂ 四 、（本题满分 8 分） 已知 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内可导,且 lim '( ) ,lim( ) lim[ ( ) ( 1)], x xxx x c f x e fx fx →∞ →∞ →∞ x c + = = −− − 求c 的值. 【详解】 因为 2 2 2 2 . lim( ) lim[(1 )] x c cx c x c x c x x xc c e xc xc − − →∞ →∞ + =+ = − − 又由拉格朗日中值定理,有 fx fx f ( ) ( 1) '( ) 1, − −= ξ i 于是ξ 介于 x −1与 x 之间,于是 lim[ ( ) ( 1)] lim '( ) x x f x fx f e ξ →∞ →∞ − −= =

从而e2c=e故e=2五、（本题满分8分）(x+y)求二重积分「[1+xe2Jdxdy的值,其中D是由直线y=x,y=-1及x=1围成的平面区域【详解1】积分区域如图所示OX+1(+jdxdy= J ydxdy+J xe[J y[1+xe?adxdy其中JJ ydxdy=J,ayf'dx=J, y(1-)dy=-2xedx[ pedady- o'e2(1+r)-e Jdy=0(x2+y)'Jdxdy=_2于是[[[1+ xe23【详解2】如图，D=D,+Dz，,其中D关于x轴对称，D,关于y轴对称，则y=-xy1D0XD

从而 2c e e = 故 1 2 e = 五 、（本题满分 8 分） 求二重积分 1 2 2 ( ) 2 [1 ] x y D y xe dxdy + + ∫∫ 的值,其中 D 是由直线 y xy = , 1 = − 及 x =1围成 的平面区域 【详解 1】 积分区域如图所示 1 1 22 22 () () 2 2 [1 ] , xy xy D DD y xe dxdy ydxdy xye dxdy + + + =+ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 其中 11 1 1 1 2 (1 ) ; y 3 D ydxdy dy dx y y dy − − = = − =− ∫∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 22 22 () () 1 1 2 2 1 xy xy y D xye dxdy ydy xe dx + + − = ∫∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 (1 ) 2 1 [ ]0 y y y e e dy + − = − = ∫ 于是 1 2 2 ( ) 2 2 [1 ] 3 x y D y xe dxdy + + =− ∫∫ 【详解 2】 如图， 1 2 DD D = + , ,其中 D1 关于 x 轴对称， D2 关于 y 轴对称，则

x'+yJdxdy = [[ y[1+ xe?Jdxdy + y[1+ xe[yll+xeIdxdyDD(r*+y))= J] ydxdy + [ xyedxdy+0DD,= J dxdy +0 =-2.3D六、已知抛物线y=px?+gx（其中p0）在第一象限捏与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S（1）问p和q为何值时，S达到最大？（2）求处此最大值【详解】依题意知，抛物线如图所示，求得它与x轴交点的横坐标为：x =0,x =-1p面积S为12r3+9,ox?+gx)dx=a=6q5S5.90×刀有惟一公共点.由方程组p

22 22 22 1 2 1 11 () () () 2 22 [1 ] [1 ] [1 ] xy xy xy D DD y xe dxdy y xe dxdy y xe dxdy + ++ + =+ ++ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 2 1 2 1 ( ) 2 0 x y D D ydxdy xye dxdy + =+ + ∫∫ ∫∫ 1 2 0 . 3 D = + =− ydxdy ∫∫ 六、 已知抛物线 2 y px qx = + （其中 p q ）在第一象限捏与直线 x y + = 5相切， 且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S. （1） 问 p和q 为何值时，S 达到最大? （2）求处此最大值. 【详解】依题意知，抛物线如图所示，求得它与 x 轴交点的横坐标为： 1 2 0, . q x x p = =− 面积 S 为 ( ) 3 2 32 2 0 . 32 6 0 p q p p q q S px qx dx x x q q − ⎛ ⎞ − = + =+ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 因直线 x y + = 5与抛物线 2 y px qx = + 相切，故它们有惟一公共点.由方程组

x+y=0ly=px+qx得y=px2+(g+1)x-5=0,其判别式必为零，即=(q+1) +20p=0, =-(1+g) 20将p代入S中，得200g3S(g) =3(q +1)200g (3-q)=令S(g)= 293(q+1)得驻点q=3.当10,q>3时，S(x)1),证明至少存在一点(0,1),使得f()=2(1--)f()【详解】由f()=k],xel-*f(x)dx,及积分中值定理,知至少存在一点e(0,-) c[0,1]使得f(1)=k[ xe-*f(x)dx=5,el- f(5)即 f(1)e" =5ie" ()在[5i,1]，令F(x)=xe"f(x).那么,F(x)在[5,]上连续,在(5i,1)内可导,且F(5)= F(1)由罗尔中值定理知,至少存在一点E(S,1)C(0,1),使得F'(5)=ef(5)+se-f'(5)=0,,即 f(s)=(1-)F(S)=,求函数项级数八、已知f.(x)满足(x)=f.(x)+x"-le（n为正整数）且f.()=

2 x y 0 y px qx ⎧ + = ⎨ ⎩ = + 得 ( ) 2 y px q x = + + −= 1 5 0, 其判别式必为零，即 ( ) ( ) 2 2 1 1 20 0, 1 . 20 ∆= + + = =− + q pp q 将 p 代入 S 中，得 ( ) ( ) 3 4 200 . 3 1 q S q q = + 令 ( ) ( ) ( ) 2 5 200 3 0. 3 1 q q S q q − ′ = = + 得驻点 q = 3.当1 3 0; q > 3时， S x ′( ) ∫ 证明至少存在一点ξ ∈(0,1), 使得 ( ) 1 f f '( ) 2 1 ( ). ξ ξ ξ − = − 【详解】由 1 1 0 (1) ( ) , x k f k xe f x dx − = ∫ 及积分中值定理,知至少存在一点 1 (0, ) [0,1], k ξ ∈ ⊂ 使得 1 1 1 1 1 1 0 (1) ( ) '( ) x k f k xe f x dx e f ξ ξ ξ − − = = ∫ 即 ( ) 1 1 1 1 f e ef (1) . ξ ξ ξ − − = 在 1 [ ,1] ξ ， 令 ( ) ( ). x F x xe f x − = 那 么 , F x( ) 在 1 [ ,1] ξ 上连续 , 在 1 ( ,1) ξ 内可导 , 且 1 F F ( ) (1). ξ = 由罗尔中值定理知,至少存在一点 1 ξ ∈( ,1) (0,1), ξ ⊂ 使得 F ef ef '( ) ( ) '( ) 0, ξ ξ ξ ξξ ξ − − =+ = , 即 ( ) 1 f f '( ) 1 ( ). ξ ξ ξ − = − 八、已知 fn ( ) x 满足 ( ) ( ) n x 1 n n f x fx xe − ′ = + （ n 为正整数）且 ( ) 1 , n e f n = 求函数项级数

J,(x)之和i=l【详解】由已知条件可见J,(x)-J,(α)=x"-le',这是以f,(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其通解为f.(x)=eJd[x"-'e-]ddx+c]1=6n由条件,()=%,得C=0,故于,(t)=n=erxFx"er.2.(t)=2台 nn=220-号元,其收敛域为[-1,1)，当xe(-1,1)时，有s(x)=Zx"=1-x1el故-dt = -ln(1- x)s(x)=Z f,(x)=-e- In2)当x=-1时，i=l于是，当-1≤x≤1时，有Zf,(x)=-e’In(1-x)i=l九、（本题满分13分）[1 1设矩阵A=已知线性方程组AX=β有解但不唯一试求7a()a的值;(2）正交矩阵Q,使QAQ为对角矩阵【详解】(1）对线性方程组AX=β的增广矩阵作行初等变换,有

( ) 1 n i f x ∞ = ∑ 之和. 【详解】 由已知条件可见 () () 1 , n x n n f x fx xe − ′ − = 这是以 fn ( x) 为未知函数的一阶线性 非齐次微分方程，其通解为 ( ) 1 , n dx dx n x n x f x e x e dx C e C n − − ⎛ ⎞ ∫ ∫ ⎛ ⎞ = += + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 由条件 ( ) 1 , n e f n = 得C = 0, 故 ( ) , n x n x e f x n = ( ) 11 1 . nx n x n ii i x e x fx e n n ∞∞ ∞ == = ∑∑ ∑ = = 记 ( ) 1 , n i x s x n ∞ = = ∑ 其收敛域为[−1,1) ，当 x∈ −( 1,1) 时，有 ( ) 1 1 , 1 n i sx x x ∞ = ′ = = − ∑ 故 ( ) ( ) 0 1 ln 1 . 1 x s x dt x t = =− − − ∫ 当 x = −1时， ( ) 1 1 ln 2. n i fx e ∞ − = ∑ = − 于是，当 −≤ ≤ 1 1 x 时，有 () ( ) 1 ln 1 . x n i f xe x ∞ = ∑ =− − 九、（本题满分 13 分） 设矩阵 11 1 1 1, 1 11 2 a a a ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎢⎥ ⎦ ⎣⎦ − A β .已知线性方程组 AX = β 有解但不唯一,试求: (!) a 的值; (2) 正交矩阵 Q,使 T Q AQ 为对角矩阵. 【详解】 (1) 对线性方程组 AX = β 的增广矩阵作行初等变换,有

1：11a00a-11-aA-2100(a-1)(a+2):a+2a因为方程组 AX=β有解但不唯一,所以r(A)=r(A)<3,故a=-2(2)由(1),有11-21-21A=-211A的特征多项式2E-A=(1-3)(1+3)故A的特征值为4= 3, =-3, = 0.对应的特征向量依次为α, =(1, 0,-1),α, =(1,-2,1),α, =(1,1,1)T由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交,将α,αz,α,单位化,得1￥2111),β=(云11)V5.0--),β, =(β =(V2666J3331112下612令Q=066111丽[30000-3则有Q"AQ=Q-AQ=Lo00十、设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，A,是A=（a）中元素a,的代数余子式(i,j=1,2,,n),二次型(,,x)-224台合A记A=(,"x,),把(s,,",x,)=之之4(1)-x,x，写成矩阵形式，并证A

11 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0. 1 1 2 0 0 ( 1)( 2) 2 a a a aa a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = →− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −+ + # # # # # # A 因为方程组 AX = β 有解但不唯一,所以 rr a ( ) ( ) 3, 2 A A = < =− 故 . (2) 由(1),有 11 2 1 2 1. 21 1 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − A A 的特征多项式 λ λλ λ E A− =−+ ( 3)( 3). 故 A 的特征值为 12 3 λ = =− = 3, 3, 0. λ λ 对应的特征向量依次为 123 (1,0, 1) , (1, 2,1) , (1,1,1) T TT ααα = − =− = 由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交,将 123 α , , α α 单位化,得 12 3 1 1 1 21 111 ( ,0, ) , ( , , ) , ( , , ) . 2 2 6 66 333 T TT ββ β = − =− = 令 1 11 2 63 2 1 0 , 6 3 111 263 Q ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则有 1 300 0 3 0. 000 T Q AQ Q AQ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 十、设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩（A）=n， Aij 是 ( ij)n n a × A = 中元素 ij a 的代数余子式 ( ) ij n , 1, 2, , = " ，二次型 ( ) 1 2 1 1 , . n n ij n ij i j A f x x x xx = = A " = ∑∑ （1） 记 ( ) 1 2 , n A = x x x " ,把 ( ) 1 2 1 1 , . n n ij n ij i j A f x x x xx = = A " = ∑∑ 写成矩阵形式，并证