全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2005数学三

2005年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题2x（1）极限limxsinx2+1【答】22x【详解】因limy=0,故令yx2 +12x=lim xy lim sin ylimxsin原式=x2 +1X→x→0X→o2x2siny=2.1=2.lim=lim+0 x2 +1x-→00y（2）微分方程xy+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为[答】 y=2x【详解】微分方程xy'+y=0的充分必要条件为（xy）=0，，积分得xy=C，故微2C分方程xy+y=0的解是y=，利用初始y(1)=2可确定常数C=2，故所求特解为yxx(3）设二元函数z=xe*+y+(x+1)ln(1+J)，则d(1,0)【答】2edx+(e+2)dy【详解】利用全微分方程的四则运算法则与一阶微分形式不变性直接计算，得dz=e*+ydx+xd(e*+)+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)d(ln(1+y)=d+xd(++y)+In(1+)d+(++1),+)=e*d+xed(++)+In(1+)dx+(++1)1+ydz于是=edx+e(dx+dy)=2edx+(e+2)dy(,0)(4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,21,a)，（4,3,2,1)线性相关，且a1，则a

2005 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）极限 1 2 lim sin 2 →∞ x + x x x = _. 【答】 2 【详解】 令 2 2 1 x y x = + ，因lim 0, x y →∞ = 故 原式＝ 1 2 lim sin 2 →∞ x + x x x = sin lim lim x x y xy →∞ →∞ y 2 2 2 sin lim lim 2 1 2. x x 1 x y →∞ →∞ x y = = ⋅= + （2） 微分方程 xy′ + y = 0满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 _ . 【答】 2 y x = 【详解】 微分方程 xy y ′ + = 0的充分必要条件为( ) xy 0, ′ = ，积分得 xy = C ，故微 分方程 xy y ′ + = 0的解是 C y x = ，利用初始 y(1) = 2 可确定常数C = 2 ，故所求特解为 2 y x = . （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz _ . 【答】 2 2. edx e dy + + ( ) 【详解】 利用全微分方程的四则运算法则与一阶微分形式不变性直接计算，得 ( ) ln 1 1 1 ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )) xy xy dz e dx xd e y d x x d y + + = + + + ++ + + ( )( ) () ln 1 1 1 xy xy dy e dx xe d x y y dx x y + + = + ++ + ++ + ( )( ) ( 1) ln 1 1 xy xy x dy e dx xe d x y y dx y + + + = + ++ + + + , , 于是 = (1,0) dz edx e dx dy edx e dy + + = ++ ( ) 2 ( 2) . （4）设行向量组(2,1,1,1) ，(2,1,a,a) ，(3,2,1,a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a ≠ 1，则 a= _

1【答】2【详解】由题设，有0221110-21-11a31212321aa（a-1)(2a-1)=0，由于题12012231a0a0A30020a-1a-1-11设规定α±1，故a=2（5）从数1.2.3.4中任取一个数，记为X，再从12.，X中任取一个数，记为Y，则P(Y =2)=13【答】48【详解1】由于事件(X =1),(X = 2),(X =3],(X = 4)是一个完备事件组，且PIX=i=,i=1,2,3,4.条件概率P(Y=2|X=1)=0,P(Y =2[X =i) :i= 2,3,4P(Y =2)=Z P(X =)P(Y =2|X =1)i=l-(0+*)-%41【详解2】根据乘法公式P(X=i,Y=)=P[X=iP(Y=jX=i),,j=1,2,3,4,容易写出（X,Y）的联合密度概率分布为3x724V1-4100011-112180818811113121212121111416161616

【答】 1 2 【详解】 由题设，有 2111 00 1 2 1 1 2 21 11 2 3 11 2 3 321 1 1 2 00 1 2 4321 00 1 1 00 1 1 a a a a a a a − − = = = −− −− (a −1)(2a −1) = 0 , 由于题 设规定 a ≠ 1，故 . 2 1 a = （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从1,2,", X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2}= _ . 【答】 13 48 【详解 1】 由于事件 {XX X X == = = 1, 2, 3, 4 } { } { } { } 是一个完备事件组，且 { } 1 , 1,2,3,4. 4 PX i i == = 条件概率 PY X { = 2 | 1 0, = =} { } 1 PY X i i 2 | , 2,3,4 i = == = 4 1 { 2} { } { 2 } i PY P X iPY X i = == = = = ∑ 1 1 1 1 13 0 . 4 2 3 4 48 ⎛ ⎞ = +++ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 【详解 2】 根据乘法公式 P X iY j P X i P Y j X i i j { = == = = = = , | , , 1, 2,3, 4, } { } { } 容易写出( ) X ,Y 的联合密度概率分布为 X Y 1 2 3 4 1 1 0 0 0 4 2 11 1 1 88 8 8 3 11 1 1 12 12 12 12 4 11 1 1 16 16 16 16

Zpi2=1+1+1_13DY=28121648isl（6）设二维随机变量(X,Y）的概率分布为xl0100.4a1b0.1已知随机事件X=O与（X+Y=1)相互独立，则a=【答】0.4,0.11从ZZp,=0.4+a+b+0.1=1,或知a+b=0.5.【详解】i从事件X=O与X+Y=1相互独立，于是有依题意P(X = 0, X +Y =I) = P(X = 0)P(X +Y =1) ,P(X = 0, X +Y =I) = P(X = 0)P(X =1)= a,P(X+Y =1) = P(X = 0,Y =1)+P(X =1,Y =0)= A+B=0.5P(X = 0) = P(X =0,Y =0)+ P(X =0,Y =1) =0.4+a,[0.5(a +0.4) = a,解方程组、[a+b=0.5,得a=0.4, b=0.1二、选择题（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x2-9x2+12x-α恰好有两个不同的零点(A) 2.(B) 4. (C) 6.(D)8.【答】[B]令函数g(x)=2x3-9x2+12x,【详解】g(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)=0,可得g(x)恰有两个驻点x=1与x=2,利用，limg(x)=-, lim g(x)=+00,即知g(1)=5,f(2)=4分别是函数g(）的惟一极大值与惟一极小值，且函数g（x）的单调性如下表：

{ } 4 1 1 1 1 13 22 . i 8 12 16 48 P Y pi = = = =+ + = ∑ （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则 a= , b= . 【答】 0.4, 0.1 【详解】 从 0.4 0.1 1, ij i j ∑∑ p ab = +++ = 或知 a b + = 0.5. 从事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，于是有 依题意 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， PX X Y PX PX a { 0, 1} { 0} { 1} , = +== = == PX Y PX Y P X Y A B { 1} { 0, 1} 1, 0 0.5, +== = =+ = = =+= { } PX PX Y P X Y a { 0} { 0, 0} 0, 1 0.4 , = = = =+ = == + { } 解方程组 0.5 0.4 , ( ) 0.5, a a a b ⎧⎪ + = ⎨ ⎪⎩ + = 得 a=0.4, b=0.1 二、选择题 （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 【 】 【答】[ B ] 【详解】 令函数 ( ) 3 2 gx x x x =−+ 2 9 12 , 2 gx x x x x ′( ) 6 18 12 6( 1)( 2) 0, = − += − −= 可得 g x( ) 恰有两个驻点 x x = = 1 2, 与 利 用， lim , lim , () () x x gx gx →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ 即知 g f (1) 5, (2) 4 = = 分别是函数 g x( ) 的惟一极大 值与惟一极小值，且函数 g x( ) 的单调性如下表：

21+(-0, 1)(1,2)(2, +)+00+g(x)极大值5极小值41g(x)从-80 个个到+00由此可见曲线y=g(x）与y=4恰有两个不同的交点即当a=4时，函数f(x)=2x3-9x2+12x-α恰好有两个零点，故应选(B)(8) 设 I, = [[cos /x? + y do, I, = [[cos(x? + y)do, I, = [[cos(x? + y2)’d,其中D=((x,y)x? +y?≤1), 则(A) I, >I, >I,(B) I>I, >I,(C) I, >I >I(D) I, >I,>I2[【答】［A】【详解】在积分区域D=((xy)x2+y2≤1)上，有(x +y2)≤x2 +y≤/x2 +y2,且等号仅在区域D的边界(x,y)x2+y=1)上成立，从而积分区域D上有cos(x +y2) ≤cos(x2 +y)I,>I,，故应选(A)之(-1)-a,收效， 则下列结论正确的是(9)设a,>0,n=1,2,,若a,发散，-n=l=o anao收敛，(B)发散(A)n=ln=l(aSa(C)+a2,）收敛(D)a2,）收敛[【答】［D]

x ( ) −∞,1 1 (1, 2) 2 ( ) 2,+∞ g x ′( ) ＋ 0 － 0 ＋ g x( ) 从 −∞ ↑ 极大值 5 ↓ 极小值 4 ↑ 到 +∞ 由此可见曲线 y gx = ( ) 与 y = 4 恰有两个不同的交点即当 a=4 时， 函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设 I x y dσ D ∫∫ = +2 2 1 cos , I x y dσ D ∫∫ = cos( + ) 2 2 2 , I x y dσ D ∫∫ = +2 2 2 3 cos( ) ,其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ ，则 (A) 3 2 1 I > I > I . （B） 1 2 3 I > I > I . (C) 2 1 3 I > I > I . (D) 3 1 2 I > I > I . 【 】 【答】[ A ] 【详解】 在积分区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ 上，有 ( )2 22 22 22 x + ≤+≤ + y xy xy , 且等号仅在区域 D 的边界 2 2 {( , ) 1} xy x y + = 上成立，从而积分区域 D 上有 ( )( ) 2 22 22 22 cos cos cos , x + ≤ +≤ + y xy xy 且等号也仅仅在区域 D 的边界 2 2 {( , ) 1} xy x y + = 上成立。此外，三个被积含函数又都在 区域 D 上连续，按二重积分的性质，即得 3 2 1 I > I > I ，故应选(A). （9）设a > 0,n = 1,2,", n 若∑ ∞ n=1 an 发散，∑ ∞ = − − 1 1 ( 1) n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑ ∞ = − 1 2 1 n a n 收敛，∑ ∞ =1 2 n a n 发散 . （B） ∑ ∞ =1 2 n a n 收敛，∑ ∞ = − 1 2 1 n a n 发散. (C) ( ) 1 ∑ 2 1 2 ∞ = − + n a n a n 收敛. (D) ( ) 1 ∑ 2 1 2 ∞ = − − n a n a n 收敛. 【 】 【答】 [ D ]

【详解】级数Z(α2,-α2m-1)是把收敛级数Z(-1)"-la,各项不改变顺序且相邻两n=n=项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选（D）。（10）设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是(A）f(0)是极大值，J()是极小值）是极大值（B）f(0)是极小值，Tn2f(0)是极大值，F(元元）也是极大值f(0)是极小值，F()也是极小值(C)(D)a【【答】【B］注意函数1(#)在区间[0.上可导，且【详解】2f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx>0,上成立，故函数(x)在区间0,上单调增加，从而f(0)<f(x)<在0,22即(0)是最（极）小值,显然F(0)=0,F()=0，f(元）是极大值，应选(B)P（11）以下四个命题中，正确的是(A）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界（B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界（C）若(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界(D）若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界[【答】【℃］【详解1】举例否定错误的命题设函数(t)=Inx，它的导函数}(t)=在（0，1）内连续，但(x)在（0，1）内-1无界，着表明命题（A)不正确.同样，设函数f(x)=lnx，在（0，1）内连续，但f(x)在（01）内无界，这表明（B）不正确.设函数f(x)=Vx，它在（0，1）内有界，但它的导函数1一在（0，1）内无界，这表明(D)不正确.由此可见，应选(C)f'(x)=2/x【详解2】用拉个朗日中值定理直接证明命题（C）正确

【详解】 级数 ( ) 2 21 1 n n n a a ∞ − = ∑ − 是把收敛级数 ∑ ∞ = − − 1 1 ( 1) n n n a 各项不改变顺序且相邻两 项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选（D）。 （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是 (A) f(0)是极大值， ) 2 ( πf 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 ( πf 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 ( πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 ( πf 也是极小值 【 】 【答】 [ B ] 【详解】 注意函数 f ( ) x 在区间 0, 2 ⎡ π ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上可导，且 fx xx x x x x ′( ) sin cos sin cos 0 =+ −= > ， 在 0, 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 上成立，故函数 f ( ) x 在区间 0, 2 ⎡ π ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上单调增加，从而 () () 0 2 f fx f ⎛ ⎞ π < < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 即 f ( ) 0 是最（极）小值,显然 ) 0 2 ′(0) = 0, ′( = π f f ， ) 2 ( πf 是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f ′(x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f ′(x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f ′(x) 在（0，1）内有界. 【 】 【答】 [ C ] 【详解 1】 举例否定错误的命题. 设函数 f ( ) x x = ln ，它的导函数 ( ) 1 f x x ′ = 在（0，1）内连续，但 f ( ) x 在（0，1）内 无界，着表明命题 (A)不正确.同样，设函数 f ( x x ) = ln ，在（0，1）内连续，但 f ( ) x 在（0， 1）内无界，这表明（B）不正确.设函数 f ( x x ) = ，它在（0，1）内有界，但它的导函数 x f x 2 1 ′( ) = 在（0，1）内无界，这表明(D)不正确.由此可见，应选(C). 【详解 2】 用拉个朗日中值定理直接证明命题（C）正确

因f"(x)在(0,1)内有界，可知存在整数M，使得当xE(0,1)时F(x)≤M成立，由题设，对任何xe(0.)有位于×与之间的号，使()-()- ()(x-)()=()+()(x-)故(+()+xe(0.1)这表明(x)在(0,1)内有界（12）设矩阵A=(α）33满足A=A"，其中A'是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵：若a,ai2,ai3为三个相等的正数，则a为V31V3.(A)(B)(D)3. (C)33[【答】[A]因为A=A即【详解】[AA21As[aaaA2A2A23A12a22a23[As A2 As][aaga由此可知a,=A，Vi,j=1,2,3.那么[A=aA,+a2A2+aA,=i+a2+a=3ai>0又由A=A"，两边取行列式并利用4=A"-"及A=|A得|A=[4]，从而|4|=1V3故应选为(A)因为3=1,故α=3（13）设,,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α,α2，则α，A(α,+α）线性无关的充分必要条件是

因 f ′( ) x 在( ) 0,1 内有界，可知存在整数 M，使得当 x∈(0,1)时 f ′( x M ) ≤ 成立，由题设， 对任何 x∈( ) 0,1 有位于 x 与 1 2 之间的ξ ，使 ( ) ( ) 1 1 2 2 fx f f x ξ ⎛⎞ ⎛ ⎞ −= − ′ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 1 1 2 2 fx f f x ξ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⇔= + − ′ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ 故 ( ) ( ) ( ) 1 1 11 , 0,1 . 2 2 22 f x f f x f Mx ξ ⎛⎞ ⎛⎞ ≤ + −≤ + ∈ ′ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 这表明 f ( ) x 在( ) 0,1 内有界. （12）设矩阵 A= 3 3 ( ) aij × 满足 T A = A * ，其中 * A 是 A 的伴随矩阵， T A 为 A 的转置矩阵. 若 11 12 13 a ,a ,a 为三个相等的正数，则 11 a 为 (A) 3 3 . (B) 3. (C) 3 1 . (D) 3 . 【 】 【答】 [ A ] 【详解】 因为 T A = A * 即 11 21 31 11 21 31 12 22 23 12 22 23 31 32 33 31 32 33 , AAA aaa AAA aaa AAA aaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎣ ⎦⎣ ⎦ 由此可知 , , 1,2,3. ij ij a A ij = ∀= 那么 222 2 11 11 12 12 13 13 11 12 13 11 A aA aA aA a a a a = + + =++= > 3 0 又由 T A = A * ，两边取行列式并利用 1 * n A A − = 及 T A A = 得 2 A = A ，从而 A =1. 因为 2 11 3 1, a = 故 . 3 3 a11 = 故应选为(A). （13）设 1 2 λ ,λ 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 α ,α ，则α1 ， ( ) A α1 +α 2 线性无关的充分必要条件是

(A)=0.(D)±0(B) =0. (C) ^±0. [】【答】［D]【详解】按特征向量的定义，有A(α+α=Aα,+Aα=α,+αα,A(α,+α,)线性无关k,α,+k,A(α,+α,)=0,k,k,恒为0,( +k,)α, +,k,α,=0,k,k,恒为0,由于不同特征值的特征向量线性无关，所以α，α,线性无关于是[k, +k,^ =0,k,k,恒为0k,=0.[12[K,+=0,只有零解￥0+0而齐次方程k,m=0.J0元所以应选（B）（14）设一批零件的长度服从正态分布N(u,α2），其中μ,α2均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x=20(cm），样本标准差s=1(cm），则μ的置信度为0.90的置信区间是11(20-(A)(20-4'00s(16),20+to.(16),20+t0.0s(16),(B)10. (16)444111110. (15),20 +(C)(20 -4'00s(15),20+t0.0s (15)). (D)(20 -t0. (15)44【答】[c]SS1X+-【详解】根据一个正态总体方差未知，关于μ的置信区间公式I=（－2)InVn其中入满足：P(T|>a)=α,T~t(n-1)对于t分布的双侧邻界值表P(T>a(n))=α,应选（D)，对于t分布的上侧分位数表P(T|>(n)=α,应选 (C)。三、解答题

(A) 0 λ1 = . (B) 0 λ2 = . (C) 0 λ1 ≠ . (D) 0 λ2 ≠ . 【 】 【答】 [ D ] 【详解】 按特征向量的定义，有 A AA (α1 2 1 2 11 2 2 += + = + α αα α α ) λ λ . α1 12 , A( ) α α+ 线性无关⇔ += k k kk 11 2 1 2 1 2 α αα + A( ) 0, , 恒为 0, ( ) 1 12 1 2 2 1 2 ⇔+ = k k k kk λ λ 0, , α α + 2 恒为 0, 由于不同特征值的特征向量线性无关，所以 1 2 α ,α 线性无关. 于是 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 λ λ k k k 1 2 k k, 恒为 0 而齐次方程 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 λ λ k k k 只有零解 1 2 2 1 0 0. 0 λ λ λ ⇔ ≠⇒ ≠ 所以应选（B）. （14） 设一批零件的长度服从正态分布 ( , ) 2 N µ σ ，其中 2 µ,σ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 x = 20(cm) ，样本标准差 s = 1(cm) ，则 µ 的置信度为 0.90 的 置信区间是 (A) (16)). 4 1 (16),20 4 1 (20 0.05 0.05 − t + t (B) (16)). 4 1 (16),20 4 1 (20 0.1 0.1 − t + t (C) (15)). 4 1 (15),20 4 1 (20 0.05 0.05 − t + t (D) (15)). 4 1 (15),20 4 1 (20 0.1 0.1 − t + t 【 】 【答】 [ C ] 【详解】根据一个正态总体方差未知，关于 µ 的置信区间公式 ( , ), S S Ix x n n =− + λ λ 其中λ 满足： P tn {T T >= − λ α } , ~ 1, ( ) 对于t 分布的双侧邻界值表 P n { ( )} , T > = λα α 应选（D），对于t 分布的上侧分位数表 P n { ( )} , T > = λα α 应选（C）。 三 、解答题

1+x(15)求lim(r-→01-e-rx1-ere.= lim-【详解】利用洛必达法则可得lim=1x→01X->0x1-er于是又有lim=1r-→0x从而x(x+x)-1+e-1+x1lim()=limx-→0 1-e-xx-→0x(1-e-*)xx2-lte=lim1-e-x0 x(1-e-xx-1+e-4X= lim+ limlimx2x-→01-e-xx-0x→01-x-1+e-r13x-e-=1+lim=1+lim=1+=x22x22x-→0r-0(16）设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,)=()+()，求x-gax2-Oy2J【详解】利用多元复合函数求偏导数的链销法则直接计算，得器-()+(()-()+()--()()()()()-()(+)器=r() +()+():-()+()()(((

（15）求 ). 1 1 1 lim( 0 e x x x x − − + → − 【详解】 利用洛必达法则可得 0 0 1 lim lim 1, 1 x x x x e e → → x − = = 于是又有 0 1 lim 1. x x e → x − = 从而 ( ) 0 0 1 1 1 lim( ) lim 1 (1 ) x x x x x x x xx e e x xe − → → − − + + −+ − = − − ( ) ( ) 2 0 0 1 lim lim 1 1 x x x x x x x e x e xe − → → − − − + = + − − 2 00 0 1 lim lim lim 1 1 x x x xx x x xe x exe − →→ → − − − + = + − − 2 0 0 1 13 1 lim 1 lim 1 2 22 x x x x x e xe x x − − → → −+ − =+ =+ =+ = （16）设 f(u)具有二阶连续导数，且 ( , ) ( ) ( ) y x yf x y g x y = f + ，求 . 2 2 2 2 2 2 y g y x g x ∂ ∂ − ∂ ∂ 【详解】 利用多元复合函数求偏导数的链销法则直接计算，得 2 x x g yy xx y y x f yf f f x xx yy x x y ′ ′ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + =− + ′ ′ ′′ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 2 2 22 2 1 x gy y y y y f ff x x x x xy x ′ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =− + − + ′ ′′ ′′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 2 3 4 2 1 y yy x x f ff x xx yy y ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =++ ′ ′′ ′′ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ y y g yy x xx f f yf y xx y yy ′ ′ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ++ ′ ′ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ， 1 y xx x ff f x x yy y ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ = +− ′ ′ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 22 2 2 3 g y x y x xx x 1 f fff yx xy xy yy y ∂ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ = −++ ′′ ′ ′ ′′ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

+“()++等由此可得2 0"g-120"gax?ay2+f"(一)+e"-nf"(Y1yxVx121（17）（本题满分9分）计算二重积分[]x2+2-1d，其中D=((x,)0x≤1,0≤≤1)D【详解】将积分区域分块，如图，y1D,D,01X设D, = (x, y)]x2 +y2 ≤1)nD,D, =((x, y)x2 +y2 >1)nD,则D=D,+D,,且可以分块计算二重积分[[]x + y2 - 1da = J[]x + y2 -1 da + [[]x2 + y2 -1 do= J(1-x -y)da+ J[(x +y2-1)do,OD用极坐标x=rcosの,y=rsine计算第一个二重积分，由于

2 2 3 1 yx x f f x xyy ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ++ ′′ ′′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 由此可得 2 2 2 2 2 2 y g y x g x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y x f y x y x f x y x y f x y ′ + ′′ + ′′ ( ) ( ) 2 2 2 y x f y x x y f x y − ′′ − ′′ = ( ). 2 x y f x y ′ （17）（本题满分 9 分） 计算二重积分 x y dσ D ∫∫ + −1 2 2 ，其中 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 【详解】 将积分区域分块，如图， 设 2 2 1 D xy x y D = +≤ {( , ) 1}∩ ， 2 2 2 D xy x y D = +> {( , ) 1} , ∩ ， 则 DDD = +1 2 ,且可以分块计算二重积分 x y dσ D ∫∫ + −1 2 2 1 2 22 22 1 1 D D = +− + +− x y d xy d σ σ ∫∫ ∫∫ 1 2 22 22 (1 ) ( 1) , D D = −− + +− x yd x y d σ σ ∫∫ ∫∫ 用极坐标 xr yr = = cos , sin θ θ 计算第一个二重积分，由于

D,=[(r0)10≤0≤号,0≤rs1)故[J[(1-x-y)do=I,aof(1-r)rdr=(-)--用直角坐标系计算第二个二重积分.由于D, =(x,y)10≤x≤1, V1-x ≤y≤1)故[[(x2 +y2 -1)dg = f"'dxf"(r2 +y2 -1)d)1-(1-x2)(1-V1-x)(r-1)dx+(1-x)d+[1231元元133422-83最后可得-1dg="_1+y431（18）求幂级数-1)x2"在区间(-1,1)内的和函数S(x)2n+I=】不难发现S(0)=0.从而只需求出当0<x<1时和函数S(x)的表达式，注意【详解】1r2nS11)x2n =S(x) =2n+12n+1nsl三1y2n+x42x2n-S (x)2n+11-xx1=0其中1ES,(x)=x2n,xe(-1,1)=12n+1逐项求导，得

1 ( ) , |0 ,0 1 , 2 Dr r π θ θ ⎧ ⎫ = ≤ ≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 故 ( ) 1 1 22 2 2 0 0 1 1 (1 ) 1 . 22 4 8 D x y d d r rdr π π π σ θ ⎛ ⎞ −− = − = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ ∫ 用直角坐标系计算第二个二重积分.由于 {( ) } 2 2 D xy x x y = ≤≤ − ≤≤ , | 0 1, 1 1 , 故 ( ) 2 ( ) 2 1 1 22 22 0 1 1 1 x D x y d dx x y dy σ − +− = +− ∫∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) 2 1 3 2 2 2 0 1 1 11 1 3 x x x dx ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ = + − −− ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 3 1 1 2 2 2 0 0 1 2 1 1 3 3 =+ − + − x dx x dx ∫ ∫ 1 231 1. 3 3422 8 3 π π =− + = − 最后可得 2 2 1 1 . 4 3 D xy d π + − =− σ ∫∫ （18）求幂级数∑ ∞ = − 1 + 2 1) 2 1 1 ( n n x n 在区间(-1,1)内的和函数 S x( ) . 【详解】 不难发现 S ( ) 0 0. = 从而只需求出当0 1 < x < 时和函数 S x( ) 的表达式，注意 2 2 2 1 11 1 ( ) ( 1) 21 21 n n n n nn x Sx x x n n ∞ ∞∞ = == = −= − + + ∑ ∑∑ ， ( ) 21 2 2 2 1 2 1 0 1 1 , 21 1 n n n n x x x x Sx x n xx ∞ ∞ + = = = − =− + − ∑ ∑ 其中 ( ) 2 1 1 1 ( ) , 1,1 2 1 n n Sx x x n ∞ = = ∈− + ∑ 逐项求导，得