全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2001数学二

2001年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析、填空题V3-x-V1+x(1) limx?+x-2J2【答】6V3-x-V1+x2(1-x)lim=lim【详解】→-I(x-1)(x+2) /3-x+/1+xx2+x-211limV2+-1x+2-V26(2)设函数y=f(x)由方程e2*+y-cos(xy)=e-1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为【答】x-2y+2=0.【详解】在等式e2x+y-cos(xy)=e-1两边对x求导,得e2+y (2+y)+sin(xy) (y+xy ) = 0,将x=0,y=1代入上式,得y(0)=-2.故所求法线方程为y-1=2即x-2y+2=0.cosxdx=3元【答】8元元上,xcosx是奇函数,sinxcosx是偶函数，在区间【详解】2'2故

2001 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1） 2 1 3 1 limx 2 x x → x x −− + = + − . 【答】 2 6 − 【详解】 2 1 3 1 limx 2 x x → x x −− + = + − ( ) ( )( ) 1 2 1 1 lim 1 2 3 1 x x → x x x x − ⋅ − + − + + 1 1 1 lim 2 2 2 6 x→ x = − + − = ⋅ (2)设函数 y fx = ( ) 由方程 ( ) 2 cos 1 x y e xy e + − =− 所确定,则曲线 y fx = ( ) 在点( ) 0,1 处的法 线方程为 . 【答】 x y − += 2 2 0. 【详解】在等式 ( ) 2 cos 1 x y e xy e + − =− 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) ( ) 2' ' 2 sin 0, x y e y xy y xy + ⋅+ + ⋅+ = 将 x = = 0, 1 y 代入上式,得 ( ) ' y 0 2. = − 故所求法线方程为 1 1 , 2 y x − = 即 x y − += 2 2 0. (3) ( ) 32 2 2 2 x sin cos x xdx π π − + = ∫ . 【答】 8 π 【详解】 在区间 , 2 2 ⎡ ⎤ π π −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上, 3 2 x cos x 是奇函数, 2 2 sin cos x x 是偶函数, 故

2[(xcosx+sinxcos"x)dx=sin2xdx+sinx)cosxdx=-41.0(1-cos 4x)dx元18y且满足关系式yarcsinx+(4)过点=1的曲线方程为Vi-x21【答】yarcsinx=x2【详解】方法一：y原方程yarcsinx+=1可改写为Vi-x?(yarcsin x) = 1,两边直接积分，得yarcsinx=x+c.-0,解得c=又由y2故所求曲线方程为：-yarcsinx= x2方法二：将原方程写成一阶线性方程的标准形式1y+arcsinxJi-xarcsinxarcsinVi-x"aresinx解得y=ee(c+x);arcsinx故曲线方程为：1yarcsinx=x-2

( ) 32 2 2 2 x sin cos x xdx π π − + = ∫ ( ) 32 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin cos sin 2 4 x x x x dx xdx π π π π − − + = ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 cos 4 8 . 8 x dx π π π − = − = ∫ (4)过点 1 ,0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 且满足关系式 ' 2 arcsin 1 1 y y x x + = − 的曲线方程为 . 【答】 1 arcsin . 2 y xx = − 【详解】 方法一: 原方程 ' 2 arcsin 1 1 y y x x + = − 可改写为 ( )' y x arcsin 1, = 两边直接积分,得 y x xc arcsin . = + 又由 1 0, 2 y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 解得 1 . 2 c = − 故所求曲线方程为： 1 arcsin . 2 y xx = − 方法二: 将原方程写成一阶线性方程的标准形式 ' 2 1 1 . 1 arcsin arcsin y y x x x + = − 解得 y e = ( ) 1 2 1 arcsin 2 1 1 arcsin 1 arcsin 1 , arcsin dx x x dx c e dx x x x e cx x ∫ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + − ⎣ ⎦ ∫ ∫ = + 1 1 0 . 2 2 y c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⇒ =− ⎝ ⎠ 故曲线方程为： 1 arcsin . 2 y xx = −

a(5)设方程O有无穷多个解,则a=111-2allx【答】-2【详解】方法一利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形有1a[1-211:1a.A=11:103aa-1.0a:-2]01-a1+2a1-:-21a.30 a-1(a-1)00(a-1)(a+2) : 2(a+2)可见,只有当α=-2时才有秩r(A)=r(A)=21.[1, x>1.【【答】应选(B)【详解】因为(x)≤1,[(x)]=1,于是从而([()])=1

(5)设方程 1 2 3 11 1 11 1 11 2 a x a x a x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 有无穷多个解,则 a = . 【答】 -2 【详解】 方法一: 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有 2 11 1 1 1 2 1 1 1 0 11 3 1 1 2 01 1 12 a a Aa a a a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ = → −− → ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −− + # # # # # # ( ) ( )( ) ( ) 11 2 0 1 1 3, 00 1 2 2 2 a a a aa a ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − − −+ + ⎣ ⎦ # # # 可见,只有当 a = −2 时才有秩 rA rA ( ) = = 则 f { f fx ⎡ ⎣ ( )⎤ ⎦} 等于 (A) 0 . (B)1. (C) 1, 1, 0, 1. x x ⎧ ≤ ⎨ ⎩ > (D) 0, 1, 1, 1. x x ⎧ ≤ ⎨ ⎩ > 【 】 【答】 应选(B). 【详解】 因为 f x( ) ≤1, 于是 f fx ⎡ ⎤ ( ) =1, ⎣ ⎦ 从而 ff x { ⎡ ⎤ ( ) } =1. ⎣ ⎦

故正确选项为(B)(2)设当x→0时,(1-cosx)In(1+x)是比xsinx"高阶的无穷小,xsinx"是比(e-1)高阶的无穷小,则正整数n等于(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【答】应选(B)【详解]由题设,知x2.x2(1-cos x)In(1+31-12limlimlimx3-n1=0.-lim2 1-0 x"-3xsinx"x.x"2 x→0x→0x->0n应满足n≤2;+!xsin.x"又由lim=lim=0limxx-0 er _-1xX→010知n≥2.故n=2因此正确选项为(B)(3)曲线y=(x-1)(x-3)的拐点个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答】应选(C).【详解】因为y = 4(x-1)(x-2)(x-3)J' = 4(3x2 -12x+11),y" = 24(x-2),令=0,即3x-12x+11=0,因为△=122-4.3.11=12>0所以"=0有两个根，且不为2,因在此两点处,三阶导数+0,因此曲线有两个拐点故正确选项为(C)(4)已知函数(x)在区间(1-,1+)内具有二阶导数，(x)严格单调减少，且f(1)=f (1)=1,则(A)在(1-8,1)和(1,1+8)内均有f(x)x

故正确选项为(B). (2)设当 x → 0 时,( ) ( ) 2 1 cos ln 1 − + x x 是比 sin n x x 高阶的无穷小, sin n x x 是比( ) 2 1 x e − 高阶 的无穷小,则正整数n 等于 (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 【 】 【答】 应选(B). 【详解] 由题设,知 ( ) ( ) 2 2 2 3 3 0 0 00 1 1 cos ln 1 1 11 2 lim lim lim lim 0. sin 2 2 n n nn x x xx x x x x x x x xx x − → → →→ − ⋅ − + = = == ⋅ n应满足 n ≤ 2; 又由 2 1 1 2 0 00 sin lim lim lim 0, 1 n n n x xx x xx x x e x + − → →→ = == − 知 n ≥ 2.故 n = 2. 因此正确选项为(B). (3)曲线 ( )( ) 2 2 yx x =− − 1 3 的拐点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 【 】 【答】 应选(C). 【详解】 因为 ( )( )( ) ' y xx x =− − − 41 2 3 ( ) '' 2 y xx = −+ 4 3 12 11 , ( ) ''' y x = − 24 2 . 令 '' y = 0, 即 2 3 12 11 0, x x − += 因为 2 ∆ = −⋅⋅ = > 12 4 3 11 12 0, 所以 0 n y = 有两个根,且不为 2 ,因在此两点处,三阶导数 ''' y ≠ 0, 因此曲线有两个拐点. 故正确选项为(C). (4) 已知函数 f ( ) x 在区间 ( ) 1 ,1 − + δ δ 内具有二阶导数 , ( ) ' f x 严格单调减少 , 且 () () ' f f 1 1 1, = = 则 (A)在( ) 1 ,1 −δ 和( ) 1,1+δ 内均有 f ( x x )

(C)在(1-8,1)内, f(x)x(D)在(1-8,1)内,f(x)>x,在(1,1+)内, (x)f(1)=1在(1,1+8)内，F(x)f'idt即 (1)-f(x)>1-x,J()=1=f(x)<x而对(1,1+)内任一x,有J'r (0)dt<f'id,即(x)<x.故选（A）：设函数f(x)在定义域内可导，=f(x)的图形如右图所示，则导函数y=f(x)的(5）图形为

(C)在( ) 1 ,1 −δ 内, f ( x x ) . (D)在( ) 1 ,1 −δ 内, f ( x x ) > , 在( ) 1,1+δ 内, f ( x x ) = 1 1 在( ) 1,1+δ 内， ( ) ' f x ∫ ∫ 即 f () ( ) () 1 1,11 . − >− =⇒ < f x xf f x x ( ) 而对( ) 1,1+δ 内任一 x, 有 ( ) ' 1 1 1 , x x f t dt dt < ∫ ∫ 即 f ( x x ) < . 故选（A）. （5） 设函数 f ( ) x 在定义域内可导， y fx = ( ) 的图形如右图所示，则导函数 ( ) ' y fx = 的 图形为

(B)(A)[】【答】应选（D）【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y=f(x是严格单调增加的，因此当x0对应y=（x)图形必在x轴的上方，由此可排除（A），（C)；又y=f(x)的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数y=f(x)图形在轴一定有两个零点，进一步可排除（B）故正确答案为（D）dx三、求(2x2+1)/x2+1【详解】设x=tant,则dx=sec?tsectdtcostdtdsint原式=2sint+costct.(2tan21+11+sin°t= arctan(sint)+CX=arctan（(V+xsintint-sin.四、求极限lim，记此极限为f(x),求函数f(x）的间断点并指出其类型sinx【详解】方法一：

【 】 【答】应选（D） 【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y fx = ( ) 是严格单调增加的，因此当 x 0对应 ( ) ' y fx = 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）； 又 y fx = ( ) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 ( ) ' y fx = 图 形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）. 故正确答案为（D）. 三、求 ( ) 2 2 . 21 1 dx x x + + ∫ 【详解】设 x = tan ,t 则 2 dx t = sec . 原式 ( ) 2 2 22 2 sec cos sin sec 2 tan 1 2sin cos 1 sin tdt tdt d t t t tt t = == ⋅ + + + ∫ ∫∫ ( ) 2 arctan sin arctan . 1 t C x C x = + ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 四、求极限 sin sin sin lim , sin x t x t x t x − → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 记此极限为 f ( x),求函数 f ( x) 的间断点并指出其类型. 【详解】方法一：

sint-sinxsint-sinx sinx=esinx原式=lim|1+sinx→x即f(x)=esinx显然f(x)的间断点为：x=0x=k元(k=±1±2....+由于limf(x)=limesinx0r-0所以x=0是函数f（x）的第一类（或可去）间断点；而limf(x)=lim esinx与lim，f(x)=lim_esinx均不存在x-(k)→(kz)*x→(k)*x→(k)故x=k元（k=±1,±2,）是函数f（x）的第二类（或无穷）间断点方法二：sintlimx原式=limesint-sinx sinx=e**sinx故(x)=esinr求间断点并指出其类型同方法一五、设p=p(x)是抛物线y=/x上任一点M(xy)(x≥1)处的曲率半径，S=s(x)是该抛d'p_(dp)物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长，计算3p的值，（在直角坐标系下曲率ds?(ds[y公式为K：(1+ y【详解】y2/x4Vx3抛物线在点M(x,y)(x≥1)处三维曲率半径P=p(t)=_(1+y3)(4x+1)Ky抛物线上AM的弧长

原式 sin sin sin sin sin sin sin lim 1 , sin x x x t xx x t x t x e x ⋅ − → ⎡ ⎤ − =+ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 即 ( ) sin , x x fx e = 显然 f ( ) x 的间断点为： x xk k = = =± ± 0, 1, 2, π ( ") 由于 ( ) sin 0 0 lim lim , x x x x f x ee → → = = 所以 x = 0 是函数 f ( x) 的第一类（或可去）间断点； 而 ( ) ( ) ( ) sin lim lim x x xk xk f x e π π − − → → = 与 ( ) ( ) ( ) sin lim lim x x xk xk f x e π π + + → → = 均不存在， 故 xk k = =± ± π ( ) 1, 2," 是函数 f ( x) 的第二类（或无穷）间断点. 方法二： 原式 sin ln sin sin sin sin ln lim sin sin sin lim , sin x t tx x t x x t tx x t x x e e x − − → → = == 故 ( ) sin x x f x e = 求间断点并指出其类型同方法一. 五、设 ρ ρ = ( ) x 是抛物线 y x = 上任一点 M xy x ( , 1 )( ≥ )处的曲率半径，s sx = ( ) 是该抛 物线上介于点 A( ) 1,1 与 M 之间的弧长，计算 2 2 2 3 d d ds ds ρ ρ ρ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 的值.（在直角坐标系下曲率 公式为 ( ) '' 3 '2 2 1 y K y = + ） 【详解】 ' '' 3 1 1 , , 2 4 y y x x = =− 抛物线在点 M xy x ( ) , 1 ( ≥ )处三维曲率半径 ( ) ( ) ( ) 3 '2 2 3 2 '' 1 1 1 4 1. 2 y x x K y ρ ρ + = == = + 抛物线上qAM 的弧长

s=s(x)=/1+y2d4Xdp1(4x+1)2.4dp_dx?=6/元故dsds1h+dx4xd'p.616d (dp)1dsds?dx(ds)2xV4x+11+dx4xd'p6(dp)+1)2因此-36x=93p(4x-3ds?ds2/4x+1六、设函数f(x)在[0,+o)上可导，了(0)=0,且其反函数为g(x),若["(" g(t)dt = xe*, 求f(x).【详解】等式两边对x求导得g[(x)](x)=2xe' +xe而g[f(x)]=x,故xf (x)= 2xe* +x’er当x±0时，有f'(x)=2e' + xerf(x)=(x+1)e* +C积分得由于f(x）在x=0处连续，故有f(0)= lim f(x) = lim [(x+1)e*+C]= 0,得C=-1因此f(x)=(x+1)e* -1.七、设函数f(x),g(x)满足f (x)=g(x),g(x)=2e-f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求g(x)(x) )1+x(1+x)*

( ) '2 1 1 1 1 1, 4 x x s s x y dx dx x ==+ =+ ∫ ∫ 故 ( ) 1 2 1 3 414 2 2 6 1 1 4 d x d dx ds ds dx x ρ ρ π ⋅ +⋅ == = + 2 2 16 1 6 2 1 41 1 4 d dd ds dx ds ds x x dx x ρ ρ ⎛ ⎞ = ⋅= ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + 因此 ( ) 2 2 3 2 2 1 6 3 3 4 1 36 9 2 4 1 d d x x ds ds x ρ ρ ρ ⎛ ⎞ = =⋅ + ⋅ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 六、设函数 f ( ) x 在[0,+∞) 上可导，f (0 0, ) = 且其反函数为 g x( ),若 ( ) ( ) 2 0 , f x x g t dt x e = ∫ 求 f ( ) x . 【详解】 等式两边对 x 求导得 () () ' 2 2 x x g f x f x xe x e ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ 而 gfx x ⎡ ⎤ ( ) = , ⎣ ⎦ 故 ( ) ' 2 2 x x xf x xe x e = + . 当 x ≠ 0 时，有 ( ) ' 2 x x f x e xe = + 积分得 () ( ) 1 x f x x eC =+ + 由于 f ( ) x 在 x = 0 处连续，故有 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim 1 0, x x x f fx x e C → → + + = = + += ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 得 C = −1 因此 () ( ) 1 1. x fx x e =+ − 七、设函数 f ( ) x gx , ( ) 满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ,2 , x f x gx g x e f x = =− 且 f g (0 0, 0 2, ) () = = 求 ( ) ( ) ( )2 0 . 1 1 gx f x dx x x π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ ∫

【详解】方法一：由F (x)=g(x)=2e*-f(x),于是有[f"(x)+f(x)=2e*,f (0)= 0,F (0)=2,解得f(x)=sinx-cosx+et从而有g(x)f(x)[" g(x)(1+x)- f(x)(1+ x)(1+ x)["(x)(1+x)-(α)axX(1+ x)-=(- (0)1+xl1+元1+e"1+元方法二：如方法一先求出（x）的表达式，再用分部积分法求定积分：g(x)(x)x=8(d+J ()a(0.1±21+x(1+x)-+-1+x1+x-{()+(-μg(x)1+x1+元1+x1+e"1+元八、设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x>O)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1)试求曲线L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小【详解】(1）设曲线L上过点P(x,J)的切线方程为Y-y=y（X-x),令X=0,则得该切线

【详解】 方法一： 由 () () ( ) '' ' 2 , x f x gx e fx = =− 于是有 () () ( ) ( ) '' ' 2 , 0 0, 0 2, x f x fx e f f ⎧ + = ⎪ ⎨ = ⎪ = ⎩ 解得 ( ) sin cos . x f x x xe = − + 从而有 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ' 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 | gx f x gx x f x dx dx x x x f x x fx fx dx d x x fx f f x π π π π π π π ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ − = + + + ⎝ ⎠ + − ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ = =− + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 e π π + = + 方法二： 如方法一先求出 f ( ) x 的表达式，再用分部积分法求定积分： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 00 ' 0 0 0 0 0 1 1 11 1 11 1 = 0 1 11 | gx f x gx dx dx f x d x xx x gx f x f x dx dx xx x f gx gx f dx dx x x π ππ π π π π π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − =+ ⎜ ⎟ + ++ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = +− ++ + −+ − + ++ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 e π π + = + 八、设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P xy x ( , 0 )( > ) 到坐标原点的距离恒等于该点处的 切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 1 ,0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. （1） 试求曲线 L 的方程； （2） 求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 【详解】（1）设曲线 L 上过点 Pxy ( ) , 的切线方程为 ( ) ' Y y yX x −= − , 令 X = 0, 则得该切线

在y轴上的截距为y-xy，由题设知x+y=y-xy,此为一阶齐次微分方程，令u=之，，将此方程化为xdudxVi+u?x解得C由L经过点1C2于是L的方程为：V-21即x2y=4.1-x2.在点P(x,y)处的切线方程为（2）设第一象限内曲线y=4-2x(X -x)4Y -(-)= -2xX + x2 +0<x≤即12x2A它与x轴及y轴的交点分别为2x所求面积：4s(x):22x令S(x)=0，得V36V3S(x)<0;当0<x<时，6

在 y 轴上的截距为 ' y xy − , 由题设知 22 ' x + =− y y xy , 此为一阶齐次微分方程，令 , y u x = 将此方程化为 2 , 1 du dx u x = − + 解得 2 2 y xyC + += , 由 L 经过点 1 ,0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 知 1 , 2 C = 于是 L 的方程为： 2 2 1 , 2 y xy + += 即 1 2 . 4 y x = − （2）设第一象限内曲线 1 2 . 4 y x = − 在点 Pxy ( , ) 处的切线方程为 ( ) 1 2 2 , 4 Y x xX x ⎛ ⎞ − − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 即 ( ) 2 1 1 2 0 4 2 Y xX x x ⎛ ⎞ − − =− + + < ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 它与 x 轴及 y 轴的交点分别为 2 2 1 1 4 ,0 , 0, , 2 4 x x x ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 所求面积： ( ) 2 2 1 2 2 0 1 1 1 4 . 22 4 x S x x dx x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =⋅ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 令 ( ) ' S x = 0，得 3 . 6 x = 当 3 0 6 < <x 时， ( ) ' S x < 0;