全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2004.数学三

2004年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题sinx(1)若lim-(cosx-b)=5，则a=h:x-→0ex-a【答】1,-4sinx(cosx-b)=5, 且 lim sinx:(cosx-b)=0, 所以【详解】因为lim-x-0er-ax-0lim(er-a)=0，得a=1.极限化为x-→0sinx-(cosx-b)= lim =(cosx-b)=1-b=5,limx-0ex-ax-→0x得b=-4.因此，α=1，b=-4.(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(w),J=x+g(v)确定，其中函数g()可微，且g()0,af则Ouov[答] _ g()g(v)2【详解】令u=xg()，v=y，则f(u,v)=+ g(v),g(v)a?f1af-.g(v)所以，auOuovg(v)g(v)11xe≤x21【答】-2Fif(x-1)dx= fl1f(0)dt=fl1 f(x)dt【详解】令x-1=t，22-)=-}, xer dx+ fi(-1)dx= 0+(-222

2004 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a =_，b =_. 【答】1, 4 − 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 ⋅ − = → x x b x ，所以 lim( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ， 得 b = −4.因此，a = 1，b = −4. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) ≠ 0， 则 2 f u v ∂ = ∂ ∂ . 【答】 2 ( ) ( ) g v g v ′ − 【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) = ( ) ( ) g v g v u + ， 所以， ( ) 1 u g v f = ∂ ∂ ， ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f ′ = − ∂ ∂ ∂ . （3） 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − ≤ < = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 2 f x dx ( 1) − = ∫ . 【答】 1 2 − 【详解】令 x − 1 = t， ∫ ∫ ∫ − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = − ∫ ∫ − xe dx dx x

(4）二次型f(x,x2,x)=(x+x)+(x-x)+(+x)的秩为【答】2【详解1) 因为f(x,x2,x)=(x +x2) +(x-)2 +(x +x)2=2x?+2x22+2x+2xx2+2xx3-2x2x3(2 112 -11A=于是二次型的矩阵为(1 -1 2)(1 -1221-133A→o-3-3由初等变换得0(o3-3)000从而r(A)=2，即二次型的秩为2【详解2)因为f(x,x2,x)=(x+x)+(x-x)+(x+x)=2x*+2x2+2x?+2xx2 +2xx -2xx3113+= 2(x) +xX,+-(x21132y沙11其中y=x, +2专+5,Y2 = X2 -X3设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P(X>DX=(5）1-【答】e1【详解】由于DXX的分布函数为12"[1-e-x,x>0,F(x) =0.x≤0故P(X >/DX)= 1- P(X ≤DX)= 1- P(X ≤=1-(6）设总体X服从正态分布N(μ,G2)，总体Y服从正态分布N(μ2,2)，X,X,,X，和Y,Y,,Y分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则

（4） 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 . 【答】2 【详解 1】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 = 2x + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 于是二次型的矩阵为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A , 由初等变换得 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 3 0 3 3 1 1 2 A , 从而 r(A) = 2 , 即二次型的秩为 2. 【详解 2】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 = 2x + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 2 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 3 ) 2 1 2 1 = 2(x + x + x + x − x 2 2 2 1 2 3 = 2y + y , 其中 , 2 1 2 1 1 1 2 3 y = x + x + x 2 2 3 y = x − x . （5） 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X > DX } = _. 【答】 e 1 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X > DX } = 1− P{X ≤ DX } = − ≤ } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . (6) 设总体 X 服从正态分布 ( , ) 2 1 N µ σ , 总体Y 服从正态分布 ( , ) 2 2 N µ σ , 1 , , X1 X 2 "X n 和 2 , , Y1 Y2 "Yn 分别是来自总体 X 和Y 的简单随机样本, 则

(x -x) +(Y,-y)j=lEn+n,-2【答】?11因为E[-X)21=g?EL-Z(Y,-Y)1=g?【详解】(X.n,-14n,=故应填2二、选择题[xsin(x-2)(7）函数f(x)=在下列哪个区间内有界x(x-1)(x-2)2(A) (-1 , 0).(B) (0, 1).(C) (1 , 2).(D) (2,3).[】【答】［A]【详解】当x+0，1，2时，J(x)连续，而lim, (x)= - sin3,sin2lim f(x)=184x→0x→-Isin2lim f(x)=lim f(x)= 00,lim f(x)= 00 ,4x-→0*x-→1→所以，函数f(x)在(-1,0)内有界，故选(A)(8)设f(x)在(-0,+oo)内有定义，且limf(x)=a,x>1-),x±0fe则g(x)=X0x=0(A)x=0必是g(x)的第一类间断点,(B)x=0 必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点(D)g(x)在点x=0处的连续性与α的取值有关【】(D)【答】【详解】 因为 lim g(x)= lim f(-)= lim f(u)=a(令u=)，又g(0)=0，所以，x-0x-→0u-→00x当a=0时，limg(x)=g(0)，即g(x)在点x=0处连续，当a*0时，x-0limg(x)±g(0)，即x=0 是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性x-

1 2 2 2 1 1 1 2 ( ) () 2 n n i j i j X X YY E n n = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −+ − = + − ⎣ ⎦ ∑ ∑ . 【答】 2 σ 【详解】 因为 2 1 2 1 ( ) ] 1 1 [ 1 X X σ n E n i i − = − ∑= , 2 1 2 2 ( ) ] 1 1 [ 2 Y Y σ n E n j j − = − ∑= , 故应填 2 σ . 二、选择题 (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 【 】 【答】[ A ] 【详解】当 x ≠ 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = ∞ → lim ( ) 1 f x x ， = ∞ → lim ( ) 2 f x x ， 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). (8) 设 f (x)在(−∞ , +∞)内有定义，且 f x a x = →∞ lim ( ) ， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. 【 】 【答】 （D） 【详解】 因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→∞ = = = a(令 x u 1 = )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a ≠ 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x ≠ → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性

与α的取值有关，故选(D)(9) 设f(x)=x(1 -x)l,则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点(B)x=0不是f(x)的极值点，但(O,O)是曲线y=f(α)的拐点(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点[】【答】C)【详解】设00，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点显然，x=0是f(x)的不可导点.当xe(-8,0)时，f(x)=-x(1-x)，f"(x)=2>0，当xe(0,8)时，f(x)=x(1-x)，"(x)=-21,贝则un发散.no0unn=l800000(4)若(un+vn)收敛，则un，Zvn都收敛n=ln=1n=l则以上命题中正确的是(A) () (2)(B) (2) (3).(C) (3) (4)(D) (1) (4)【】【答】(D)0000【详解】（1)是错误的，如令un=(-1)"，显然，Zun分散，而Z（u2n-1+u2n）收敛n=ln=l(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性(3)是正确的，因为由lim"ntl>1可得到u,不趋向于零(n→0)，月所以un发散n-00Unn=1l000o11Z都发散，而Zun,显然，(4)是错误的，如令un=,Vn=nnn=ln=1

与 a 的取值有关，故选(D). (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. 【 】 【答】C） 【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ∈ (−δ , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f ′′(x) = 2 > 0 ， 当 x ∈ (0 , δ)时，f (x) = x(1 − x)， f ′′(x) = −2 + →∞ n n n u u ，则 ∑ ∞ n=1 un 发散. (4) 若 ∑ ∞ = + 1 ( ) n n n u v 收敛，则 ∑ ∞ n=1 un ， ∑ ∞ n=1 nv 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). 【 】 【答】 （D） 【详解】 (1)是错误的，如令 n un = (−1) ，显然， ∑ ∞ n=1 un 分散，而 ∑ ∞ = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由 lim 1 1 > + →∞ n n n u u 可得到un 不趋向于零(n → ∞)，所以 ∑ ∞ n=1 un 发散. (4)是错误的，如令 n v n un n 1 , 1 = = − ，显然， ∑ ∞ n=1 un ， ∑ ∞ n=1 nv 都发散，而

Z(un+vn)收敛.故选(B),n=l(11)设f(x)在[a,b)上连续，且f(a)>0,f(b)f(a)(B）至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(b)(C)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0(D)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0[【答】 (D)【详解】首先，由已知f(x)在[ab]上连续，且f(a)>0.f(b)0,由极限的保号性，至少存在一点o e(a,b)x-ax→at使得(n)-(>0, 即 ()>(a)。同理，至少存在一点o =(a,b)Xo-a使得f(xo)>f(b).所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D)(12）设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当|A=α(a0)时，Bα.(B)当|Aα(a0)时，B=-a(C)当|A±0时，IB=0(D)当|A=0时，IB0.【【答】 (D)【详解】因为当|A=0时，r(A)<n，又A与B等价，故r(B)<n，即|B=0，故选(D)(13）设n阶矩阵A的伴随矩阵A0，若1.52.3,34是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(A）不存在(B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量：（D）含有三个线性无关的解向量【答】(B)【详解】因为基础解系含向量的个数=n-r(A)，而且

∑ ∞ = + 1 ( ) n n n u v 收敛. 故选(B). (11) 设 f ′(x)在[a , b]上连续，且 f ′(a) > 0, f ′(b) f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 f ′(x0 ) = 0 . (D) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. 【 】 【答】(D) 【详解】首先，由已知 f ′(x) 在[a , b]上连续，且 f ′(a) > 0, f ′(b) − − ′ = → + x a f x f a f a x a ，由极限的保号性，至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b 使得 0 ( ) ( ) 0 0 > − − x a f x f a ，即 ( ) ( ) f x0 > f a . 同理，至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b 使得 ( ) ( ) f x0 > f b . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). (12) 设n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必有 (A) 当| A |= a(a ≠ 0)时, | B |= a . (B) 当| A |= a(a ≠ 0)时, | B |= −a . (C) 当| A |≠ 0时, | B |= 0 . (D) 当| A |= 0时, | B |= 0 . 【 】 【答】 （D） 【详解】因为当| A |= 0时, r(A) < n , 又 A 与 B 等价, 故 r(B) < n , 即| B |= 0 , 故选(D). (13) 设n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 0, * A ≠ 若 1 2 3 4 ξ , ξ , ξ , ξ 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. 【 】 【答】 （B） 【详解】 因为基础解系含向量的个数= n − r(A), 而且

[n, r(A)=n,r(A*)=^ 1, r(A)= n-1,[0, r(A)u。)=α若PlXkx=α，则x等于(A)(B) u,-"(C)u-a"(D) ul-aWa'222【【答】(C)【详解】由PXx}=α，以及标准正态分布密度曲线的对称性可得1-α故正确答案为(C)P(X>x) =2三、解答题cos2x1求lim((15)2x-→0 sin2 xcos?x? - sin? xcos? x1= lim【详解】lim(x->0 sin?xX?sin?xx→0112xsin22xsin4x1-cos4x4=lim=lim=limx44x36x2x-→0r→0x→02a4= lim36x2x→0(16)（本题满分8分）求[[(++)d，其中D是由圆×+=4和(x+1)+=1所围成的D平面区域(如图)[详解) 令 D, =((x,J)[x2 + y2 ≤4), D, =(x,y)[(x+1)? +y2 ≤1)由对称性，[[ ydg = 0D

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ uα } = α , 若 P{| X | = . 故正确答案为(C). 三、解答题 （15） 求 ) cos sin 1 lim( 2 2 2 0 x x x x − → . 【详解】 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin sin cos ) lim cos sin 1 lim( − − = → → = 2 2 4 32 0 00 1 1 sin 2 2 sin 4 1 cos 4 4 2 lim lim lim x xx 4 6 x xx x x → →→ x xx − − − = = . 2 2 0 1 (4 ) 4 2 limx 6 3 x → x = = (16) (本题满分 8 分) 求 ∫∫ + + D ( x y y)dσ 2 2 ，其中 D 是由圆 4 2 2 x + y = 和( 1) 1 2 2 x + + y = 所围成的 平面区域(如图). 【详解】令 {( , ) | 4}, {( , ) | ( 1) 1} 2 2 2 2 2 D1 = x y x + y ≤ D = x y x + + y ≤ ， 由对称性， = 0 ∫∫ D ydσ

[x? +ydg=[? + yda- [? +ydoDDiD2-2cose2dr12de1216元3216(3元-2)39916(3元 -2)所以，[[(/2+y2 +y)da=UD(17)(本题满分8分)设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足Jf(0)dt≥ J,g(0)dt, xe [a, b), J"f(0)dt=J,g(1)dt证明: ['xf(x)dx≤[,xg(x)dx.【详解】 令 F(x)=f(x)-g(x),G(x)=["F(t)dt ,由题设 G(x)≥0,xe[a,b],G(a)=G(b)=0, G(x) = F(x)从而['xF(x)dx=J'xdG(x)= xG(x) -['G(x)dx =-['G(x)dx 由于 G(x)≥0,x[α,b]，故有-J'G(x)dx ≤0,['xF(x)dx≤0因此 ['xf(x)dx≤Jxg(x)dx(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格Pe（0，20)，Q为需求量()求需求量对价格的弹性Ea(Ea>0);() 推导dRQ(1-Ea)(其中R为收益)，并用弹性E。说明价格在何范围内变化时，dp降低价格反而使收益增加[P dg]P【详解】(】Ed20-Pdp

∫∫ ∫∫ ∫∫ + = + − + 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y dσ x y dσ x y dσ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − θ π π π θ θ 2cos 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 d r dr d r dr . (3 2) 9 16 9 32 3 16 = − = π − π 所以， (3 2) 9 16 ( ) 2 2 + + = − ∫∫ σ π D x y y d . (17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 ∫ ∫ ≥ x a x a f (t)dt g(t)dt ，x ∈ [a , b)， ∫ ∫ = b a b a f (t)dt g(t)dt . 证明： ∫ ∫ ≤ b a b a xf (x)dx xg(x)dx . 【详解】令 F(x) = f (x) − g(x)， ∫ = x a G(x) F(t)dt ， 由题设 G(x) ≥ 0，x ∈ [a , b]， G(a) = G(b) = 0，G′(x) = F(x) . 从而 ∫ ∫ ∫ ∫ = = − = − b a b a b a b a b a xF(x)dx xdG(x) xG(x) G(x)dx G(x)dx ， 由于 G(x) ≥ 0，x ∈ [a , b]，故有 − ( ) ≤ 0 ∫ b a G x dx ， 即 ( ) ≤ 0 ∫ b a xF x dx . 因此 ∫ ∫ ≤ b a b a xf (x)dx xg(x)dx . (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)； (II) 推导 (1 ) Q Ed dP dR = − (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) P P dP dQ Q P Ed − = = 20

(II)由R=PQ，得dR=g(1+Pdg)=+pd)=Q(1-Ea)dpOdpdpP又由Ea==1，得P=1020-P当10>1，于是尝<0dp故当10<P<20时，降低价格反而使收益增加(19)（本题满分9分）设级数x8x4 x62.4*2.4.6*2.4.6.+ (-0<x<+)的和函数为S(x).求：()S(x)所满足的一阶微分方程;() S(x)的表达式x8r6+4【详解】 (I) S(x)=2.42.4.62.4.6-8易见S(0)=0,+?r3WS'(x) =+22.42.4.6+6x4+ S(x)]=x(...) =x[22.42.4.62因此S(x)是初值问题x3y'= xy+,J(0)=0 的解x3的通解为(II)方程y=xy+2xddx+C-x2大-1+Ce22由初始条件y(0)=0，得C=1

(II) 由 R = PQ，得 (1 ) (1 ) Q Ed dP dQ Q P Q dP dQ Q P dP dR = + = + = − . 又由 1 20 = − = P P Ed ，得 P = 10. 当 10 1，于是 < 0 dP dR ， 故当 10 < P < 20 时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分 9 分) 设级数 ( ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8 4 6 8 + −∞ < < +∞ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ x x x x " 的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. 【详解】(I) +" ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( ) 4 6 8 x x x S x ， 易见 S(0) = 0， +" ⋅ ⋅ + ⋅ ′ = + 2 2 4 2 4 6 ( ) 3 5 7 x x x S x ) 2 2 4 2 4 6 ( 2 4 6 +" ⋅ ⋅ + ⋅ = + x x x x ( )] 2 [ 2 S x x = x + . 因此 S(x)是初值问题 , (0) 0 2 3 ′ = + y = x y xy 的解. (II) 方程 2 3 x y′ = xy + 的通解为 ] 2 [ 3 e dx C x y e xdx xdx + ∫ ∫ = ∫ − 2 2 2 1 2 x Ce x = − − + ， 由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1

X2x2故y=+e2-1，因此和函数S(x)=+e2-122(20)(本题满分13分)设α, =(1,2,0), α, =(1,α+2,-3α)", α, =(-1,-b-2,α+2b), β=(1,3,-3),试讨论当a,b为何值时，（I）β不能由α,αz,α,线性表示；（I）β可由α,αz,α,唯一地线性表示，并求出表示式；(I)β可由αi,α2,α,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式【详解】设有数k,k,,ks，使得(*)ka,+k,az +k,a,=β记A=(αi,α2,αs）.对矩阵（A,β)施以初等行变换，有[11-111[11-113-b-202a+2a-b1(A,β) =Lo-3]3aa+2b00a-b0（I）当α=0时，有[1 1-117-b100(A, β)→[o 00-1可知r(A)r(A,β)故方程组(*)无解，β不能由α,αz,α,线性表示(II）当a0，且a+b时，有1001[111-1a10-b0a0(A,β)→ao00a-b0001r(A)=r(A,β)=3，方程组(*)有唯一解：专=！k=1_lk,=0.a0此时β可由αi,α2,α,唯一地线性表示，其表示式为

故 1 2 2 2 2 = − + − x e x y ，因此和函数 1 2 ( ) 2 2 2 = − + − x e x S x . (20)(本题满分 13 分) 设 T α (1,2,0) 1 = , T α (1,α 2, 3α) 2 = + − , T α ( 1, b 2,α 2b) 3 = − − − + , T β = (1,3,−3) , 试讨论当 a,b 为何值时, (Ⅰ) β 不能由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示; (Ⅱ) β 可由 1 2 3 α ,α ,α 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【详解】 设有数 , , , 1 2 3 k k k 使得 k α + k α + k α = β 1 1 2 2 3 3 . (*) 记 ( , , ) A = α1 α2 α3 . 对矩阵(A, β) 施以初等行变换, 有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − − − = 0 3 2 3 2 2 2 3 1 1 1 1 ( , ) a a b A β a b ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 a b a b . (Ⅰ) 当 a = 0 时, 有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − → 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 (A, β) b . 可知 r(A) ≠ r(A, β) . 故方程组(*)无解, β 不能由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示. (Ⅱ) 当 a ≠ 0 , 且a ≠ b 时, 有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) a b A β a b ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − → 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 a a r(A) = r(A, β) = 3, 方程组(*)有唯一解： a k 1 1 = 1− , a k 1 2 = , k3 = 0． 此时 β 可由 1 2 3 α ,α ,α 唯一地线性表示, 其表示式为

1B=(1-)α,+-α.2aa(II)当α=bO时，对矩阵(A,β)施以初等行变换，有001-11a1-b00(A,β)→ga0o0a-b0000r(A)=r(A.B)=2，方程组(*)有无穷多解，其全部解为11k =1-k, =--+c,k,=c,其中c为任意常数aaβ可由α,αz,α,线性表示，但表示式不唯一，其表示式为11β= (1-=)α, +(+c)α2+caa(21)(本题满分13分)设n阶矩阵(1b...hb1...A=::(bb..1（I）求A的特征值和特征向量；(II）求可逆矩阵P，使得P-"AP为对角矩阵1°当b+0时，【详解】()[a-1-b..-b-b1-1 ... -b[E-A=:-b-b ... 1-1=[α-1-(n- 1)b][α -(1- b)]"-1 得A的特征值为=1+(n-1)b，,=.….=,=1-b对 =1+(n-1)b

1 2 1 ) 1 (1 α a α a β = − + ． (Ⅲ) 当 a = b ≠ 0时, 对矩阵(A, β) 施以初等行变换, 有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) a b A β a b ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − → 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 a a ， r(A) = r(A, β) = 2 , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为 a k 1 1 = 1− , c a k = + 1 2 , k = c 3 ， 其中c 为任意常数． β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为 1 2 3 ) 1 ) ( 1 (1 c α cα a α a β = − + + + ． (21) (本题满分 13 分) 设 n 阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 " # # # " " b b b b b b A . (Ⅰ) 求 A 的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵 P , 使得 P AP −1 为对角矩阵. 【详解】 (Ⅰ) D 1 当b ≠ 0时， 1 1 1 | | − − − − − − − − − − = b b λ b λ b λ b b λE A " # # # # " " ＝ 1 [ 1 ( 1) ][ (1 )] − − − − − − n λ n b λ b , 得 A 的特征值为 λ 1 (n 1)b 1 = + − ， λ2 =" = λn = 1− b ． 对 λ 1 (n 1)b 1 = + −