全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2000数学一

2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题-xdx=元【答】4【详解】[/2x-xdx=f/1-(x-1)'dxx-1=sinj/,cos*tdt=（2）曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,-2,2)的法线方程为x-1_y+2=-2【答】146【详解】令F(x,y,=)=x2+2y2+3-?-21,则有F (1,-2,2)= 2l(a-2)=2,F, (12,2) =4l(2) -8,F (12,2) = 6(-2)=12 因此所求法线方程为：x-1_y+2_2-21-46（3）微分方程xy+3y=0的通解为C【答】y=C, +x【详解】令p=y，则原方程化为3p=0p+Xp=Cx-3其通解为因此，y-Jcr'd=C---+

2000 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1) 1 2 0 2x − = x dx ∫ . 【答】 . 4 π 【详解】 ( ) 1 1 2 2 2 2 00 0 2 1 1 1 sin cos 4 x x dx x dxx t tdt π π − = − − −= = ∫∫ ∫ （2）曲面 2 22 xyz ++= 2 3 21在点(1, 2, 2 − ) 的法线方程为 . 【答】 122 1 46 xy z −+− = = − . 【详解】 令 ( ) 2 22 F xyz x y z , , 2 3 21 =+ + − ， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1, 2,2 ' 1, 2,2 ' 1, 2,2 1, 2, 2 2 2, 1, 2, 2 4 8, 1, 2, 2 6 12. | | | x y z F x F y F z − − − −= = − = =− −= = 因此所求法线方程为： 122 1 46 xy z −+− = = − （3）微分方程 '' ' xy y + = 3 0的通解为 . 【答】 2 1 2 C y C x = + . 【详解】 令 ' p = y ，则原方程化为 ' 3 p p 0, x + = 其通解为 3 p Cx . − = 因此， 3 2 2 1 12 2 , 2 2 C C C y Cx dx C x C C x − − ⎛ ⎞ = = − = + =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫

1213a+2（4）已知方程组2无解，则a=1a-20x.【答】-1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有1:17[222:111200-13a+2：-1a1a1-2000a-20(a-3)(a+1)a-3:a-3可见。当α=-1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解注意，当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解，A发生B不发生的概率与B发生A不(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为9发生的概率相等，则P(A)=2【答】3'【详解】由题设。有P(AB)=,P(AB)= P(AB)因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由P(AB)=P(AB)，有P(A)P(B)=P(A)P(B)即有 P(A)[1-P(B)]=[1-P(A)]P(B),可得 P(A)= P(B)从而β P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)}=解得 P(4)=2.3二、选择题(1)设f(x),g(x)是恒大于零得可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g (x) f(b)g(x)(B) f(x)g(a)>f(a)g(x)(C) f(x)g(x)> (b)g(b)(D) f(x)g(x)> f(a)g(a)

（4）已知方程组 1 2 3 12 1 1 23 2 3 12 0 x a x a x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 无解，则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有 ( )( ) 12 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 23 2 3 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 2 3 1 00 3 1 3 aa a a a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + → − →− ⎢ ⎥ − −− − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ## # ## # ## # 可见。当 a = −1时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解. 注意，当 a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 , 9 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 发生的概率相等，则 P A( ) = . 【答】 2 . 3 【详解】 由题设。有 ( ) ( ) ( ) 1 , 9 P AB P AB P AB = = 因为 A 和 B 相互独立，所以 A 与 B ， A 与 B 也相互独立。于是由 P AB P AB ( ) = ( ) ， 有 PAPB PAPB ( ) ( ) = ( ) ( ) 即有 PA PB PA PB () () () ⎡ ⎤⎡ ⎤ 11 , − =− ( ) ⎣ ⎦⎣ ⎦ 可得 P A( ) = P B( ) 从而 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , 9 P AB P A P B P A = =− = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 解得 P A( ) = 2 . 3 二、选择题 （1）设 f () () x gx , 是恒大于零得可导函数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f xgx f xg x − （B） f ( xga f agx ) ( ) () () > （C） f () () () () xgx f bgb > （D） f ( xgx f aga ) () () () > 【 】

【答】应选（A）【详解】由题设知J(x))_f'(x)g(x)-f(x)g (x) f(b)g(x)可见（A）为正确选项(2）设S:x2+y?+z=α2（z≥0),S,为S在第一卦限中的部分，则有(A) 「xdS =4/xdS(B)([ydS=4/xds(C) [J zdS =4 xds(D) [[ xyzds = 4][ xyzdS【【答】应选（C)【详解】显然，待选答案的四个右端均大于零，而S关于平面x=0和y=0对称，因此（A）（B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上，有[ =dS = 4[[ zdS = 4[ xdSsS-（3）设级数u，收敛，则必收敛的级数为=1(B)(A)un=(D)1Cu2nutu.nsl[】【答】应选（D)【详解】利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举反例说明是不正确的.例如：1(-1)"un7一收敛，但7（-1发散，可排除（A)；Innnlnnnn=2Z(-1)"1一收敛，但u，发散，可排除（B）；-=Vn=inn=ln=1

【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( ) ( ) () () () () ( ) ' ' ' 2 0, f x f xgx f xg x gx g x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = 即 f () () () () xgb f bgx > ， 可见（A）为正确选项. （2）设 ( ) 2 22 2 1 Sx y z a z S : 0, ++= ≥ 为 S 在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 S S xdS xdS = ∫∫ ∫∫ （B） 1 4 S S ydS xdS = ∫∫ ∫∫ （C） 1 4 S S zdS xdS = ∫∫ ∫∫ （D） 1 4 S S xyzdS xyzdS = ∫∫ ∫∫ 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 显然，待选答案的四个右端均大于零，而 S 关于平面 x = 0 和 y = 0对称，因此（A）、 （B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 1 1 4 4 SS S zdS zdS xdS = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ （3）设级数 1 n n u ∞ = ∑ 收敛，则必收敛的级数为 （A） ( ) 1 1 . n n n u n ∞ = ∑ − （B） 2 1 n n u ∞ = ∑ （C） ( ) 21 2 1 . n n n u u ∞ − = ∑ − (D) ( ) 1 1 . n n n u u ∞ + = ∑ + 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举 反例说明是不正确的.例如： ( ) 2 1 1 ln n n n ∞ = ∑ − 收敛，但 ( ) 2 2 1 1 ln n n n n u n nn ∞ ∞ = = ∑ ∑ − = 发散，可排除（A）； ( ) 1 1 1 n n n ∞ = ∑ − 收敛，但 2 1 1 1 n n n u n ∞ ∞ = = ∑ ∑= 发散，可排除（B）；

2(-1)收敛，但之(um--um)-Z(>二发散，可排除（c），(2n-12n)n三n（4）设n维列向量组αj",αm（m<n)线性无关，则n维列向量组β,,β线性无关的充分必要条件为(A)向量组αj,,αm可由向量组β，β线性表示(B)向量组β,β.可由向量组α…α.线性表示(C)向量组αjαm与向量组β"β等价(D)矩阵A=（α,,αm）与矩阵B=（B，,βm）等价[【答】应选（D）【详解】用排除法.（A）为充分但非必要条件：若向量组αi，,αm可由向量组β，…,β线性表示，则一定可推导β，",β线性无关，因为若β,βm线性相关，则r(αi,",αm）<m,于是αi,,αm必线性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m=1时，α,=(1,0),β,=(0,1)均为单个非零向量是线性相关的，但α,并不能用β线性表示(B)为既非充分又非必要条件.如当m=1时，考虑α,=(1,0),β,=(0,1)均线性无关，但β并不能由α,线性表示，必要性不成立；又如α,=(1,0)β=(0,0)，β可由α,线性表示，但β并不线性无关，充分性也不成立（C）为充分但非必要条件，若向量组α,"αm与向量组β,β等价，由α,α.线性无关知，r(βB，,βm）=r(αj,,αm）=m,因此β,,β线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑α=(1,0),β,=(0,1)均线性无关，但α,与β,并不是等价的，必要性不成立（E）故剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵A=（αi,αm）与矩阵B=（βi,",βm）等价r(A)=r(B)r(B,,β.)=r(αj,αm)=m,，因此是向量组β,,βm线性无关的充要条件（5）设二维随机变量（X,Y)服从二维正态分布，则随机变量=X+Y与n=X-Y不相关的充分必要条件为

( ) 1 1 1 1 n n n ∞ − = ∑ − 收敛，但 ( ) 21 2 11 1 11 1 2 12 n n nn n u u nnn ∞∞ ∞ − == = ⎛ ⎞ −= +≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑∑ ∑ 发散，可排除（c）. （4）设 n 维列向量组α α 1, , " m ( ) m n < 线性无关，则 n 维列向量组 1, , β " β m 线性无关的充 分必要条件为 （A） 向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示. （B） 向量组 1, , β " β m 可由向量组 1, , α " α m 线性表示. （C） 向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价. （D） 矩阵 ( ) 1, , A = α " α m 与矩阵 B = (β1, , " β m ) 等价. 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 用排除法. （A）为充分但非必要条件：若向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示，则一定可推 导 1, , β " β m 线性无关，因为若 1, , β " β m 线性相关，则r m (α α 1, , " m ) < 于是 1, , α " α m 必线 性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m =1时， 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均为单个非零向量是 线性相关的，但α1 并不能用 β1线性表示. （B）为既非充分又非必要条件.如当 m =1时，考虑 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均线性无关，但 β1 并不能由α1 线性表示，必要性不成立；又如 1 1 () ( ) 1,0 , 0,0 T T α β = = ， β1可由α1 线性表示， 但 β1并不线性无关，充分性也不成立. （C）为充分但非必要条件，若向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价，由 1, , α " α m 线性 无关知， ( )( ) 1 1 , , , m m rrm ββ αα " " = = 因此 1, , β " β m 线性无关，充分性成立；当 m =1时， 考虑 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均线性无关，但α1 与 β1并不是等价的，必要性不成立. （E） 故剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵 A = (α1, , " α m ) 与矩阵 ( ) 1, , B = β " β m 等价 ⇔ rA rB () () = ⇔ rrm ( ) ββ αα 1 1 , , , " " m m = ( ) = ，因此是向量组 1, , β " β m 线性无关 的充要条件. （5）设二维随机变量( ) X ,Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ = X +Y 与η = − X Y 不相关 的充分必要条件为

(A)E(X)= E(Y)(B)E(x2)-[E(X)7=E(y)-[E()7(C)E(x2)= E(y2).(D)E(x2)+[E(X) = E(y2)+[E()}【【答】应选（B）【详解】因为Cov(5,n)=Cov(X +Y,X -Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,y)= D(X)-D(Y)可见Cov(5,n)=0 D(X)-D(y)=0E(x)-[E(x)}=E(y)-[E(y)]故正确选项为（B）!2+exsinx三、求lim1+e4[μ|+【详解】因为I12+er2+ex2sinxsinxlimlim-1=14A[xl1X-0xx-→01+e1+e-xx1!2+er2+exsinxsinxlim= 0+1=1,lim44[xlxX-0x-→01+e1+e-xr0?2X四、设2，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求xy,+gaxoyyy【详解】根据复合函数的求导公式，有Oz1y=yfeaxJ

(A) E ( ) () X EY = . (B) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 E X E X EY EY − =− ⎡ ⎤ ⎡⎤ . ⎣ ⎦ ⎣⎦ (C) ( ) () 2 2 E X EY = . (D) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 E X E X EY EY + =+ ⎡ ⎤ ⎡⎤ . ⎣ ⎦ ⎣⎦ 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () , , , , , , , , Cov Cov X Y X Y Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y Cov X X Cov Y Y D X DY ξ η = +− = −+− = − = − 可见 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ,0 0 Cov D X D Y E X E X EY EY ξ η =⇔ − = ⇔ − =− ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎣ ⎦ ⎣⎦ 故正确选项为（B）. 三、求 1 0 2 sin lim . 4 1 x x e x x e x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 【详解】 因为 1 1 0 0 1 1 0 0 2 sin 2 sin 2 lim lim 1 1, 4 4 1 1 1 2 sin 2 sin lim lim 0 1 1, 4 4 1 1 x x x x x x x x ex ex x x e e x x ex ex x x e e x x − − + + → → → → ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + = − = −= + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + = + = += + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 四、设 , , x x z f xy g y y ⎛ ⎞ ⎛⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 2 . z x y ∂ ∂ ∂ 【详解】 根据复合函数的求导公式，有 '' ' 1 2 2 z y 1 yf f g x yx ∂ =+ − ∂

于是az5838axoy=fxvf221X$ xdy-ydx，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(R>1)；五、计算曲线积分I=dL4x2+y取逆时针方向xy【详解】P=20=4x2+y4x2 +y2y2-4x2apaQ,(x, y)+(0,0)则有axOy(4x + y2)[x=号cost2（te[0,2元l,C取逆时针方向），于是由格林公式有作足够小的椭圆：Cy=osintxdy-ydxb=0L+c4x?+y2从而有[===一dt=元914x+y2JoC2Pc 4x2+y2六、设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有bxf (x)dydz-xyf (x)dzdx-e2*zdxdy=0,c其中函数f(x)在(0,+o)内具有连续的一阶导数，且lim(x)=1,求f(x)【详解】由题设和高斯公式得O = df xf (x)dydz -xyf (x)dzdx-e2*zdxdy=±[[x (x)+(x)-(x)-e2" V其中Q为S围成的有界闭区域，土号对应曲面取外侧或内侧，由S的任意性，知xf (x)+ f(x)-xf(x)-e2* = 0,(x>0)

于是 2 ' '' '' ' '' '' ' '' 1 11 12 2 21 22 2 2 2 23 ' ' '' '' ' '' 1 2 11 22 2 3 23 11 1 1 1 z x xy f y xf f f xf f g g xy y y y y x x x y f f xyf f g g y y xx ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ =+ − − + − − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ =− + − − − 五、计算曲线积分 2 2 , L 4 xdy ydx I x y − = + v∫ 其中 L 是以点(1,0) 为中心， R 为半径的圆周( ) R >1 ， 取逆时针方向. 【详解】 22 22 , , 4 4 y x P Q x y xy − = = + + 则有 ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 4 , , 0,0 4 Pyx Q x y x y x y ∂ −∂ = =≠ ∂ ∂ + 作足够小的椭圆： cos : 2 sin x t C y t ε ε ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ = （t C ∈[0, 2 , π ] 取逆时针方向），于是由格林公式有 2 2 0. L C 4 xdy ydx x y + − = + v∫ 从而有 2 2 22 22 2 0 1 2 L C 4 4 xdy ydx xdy ydx I I dt xy xy π ε π ε − − = == = = + + v v ∫ ∫∫ 六、设对于半空间 x > 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S, 都有 () () 2 0, x S xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy − −= w∫∫ 其中函数 f ( ) x 在( ) 0,+∞ 内具有连续的一阶导数，且 ( ) 0 lim 1, x f x → + = 求 f ( x). 【详解】 由题设和高斯公式得 () () () () () 2 ' 2 0 , x S x xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy xf x f x xf x e dV Ω = −− =± + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫∫∫ w 其中Ω 为 S 围成的有界闭区域， ± 号对应曲面取外侧或内侧，由 S 的任意性，知 ( ) ( ) () ( ) ' 2 0, 0 x xf x f x xf x e x + − −= >

(x)+((x)=--e2,(x>0)即这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为f(x+Ce由于lim(x)=lim→0x→lim (e2* +Ce') = 0,故必有即C+1=0，从而C=-1f(x)=e(e-1因此1x"七、求幂级数的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性=I 3" +(-2)" n【详解】因为(-)[3" +(-2)"]n[an+1llimlim:lima.10037++I +(-2)(n+1)31(-)(n+1)所以收敛半径为R=3，相应的收敛区间为(-3,3)(3)"，发二发散，所以原级数在点x=3处发散；当x=3时，因为3"+(-2)"n2n=n(-3)"(2)"(-1)"=(-1)*，且当x=-3时，由于3" +(-2)"3" +(-2)"n1-_(2)".二都收敛1 3" +(-2)" n所以原级数在点x=-3处收敛八、设有一半径为R的球体，P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P。距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心位置【分析】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键

即 ( ) ( ) ( ) ' 2 1 1 1 ,0 x f x fx e x x x ⎛ ⎞ +− = > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ( ) ( ) x e x f x eC x = + 由于 ( ) 2 0 0 lim lim 1, x x x x e Ce f x x → → + + ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 故必有 ( ) 2 0 lim 0, x x x e Ce → + + = 即 C +1 0 = ，从而C = −1 因此 ( ) ( ) 1 . x e x fx e x = − 七、求幂级数 1 ( ) 1 3 2 n n n n x n ∞ = + − ∑ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 【详解】 因为 ( ) () ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 3 2 3 1 lim lim lim 32 1 2 3 31 1 3 n n n n n n nn n n n n n a a n n + →∞ →∞ →∞ + + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + −⎜ ⎟ + − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎣⎦ === ⎡ ⎤ ⎡⎤ +− + ⎛ ⎞ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ +− + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 所以收敛半径为 R = 3，相应的收敛区间为(−3,3) 当 x = 3时，因为 ( ) ( ) 3 1 1 3 2 2 n n n n n ⋅ > + − ，且 1 1 n n ∞ = ∑ 发散，所以原级数在点 x = 3处发散； 当 x = −3 时，由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 11 1 1 32 32 n n n n n n n nn n − ⋅ =− − ⋅ +− +− ， 且 ( ) 1 1 n n n ∞ = − ∑ 与 ( ) 1 ( ) 2 1 3 2 n n n n n ∞ = ⋅ + − ∑ 都收敛. 所以原级数在点 x = −3处收敛 . 八、设有一半径为 R 的球体，P0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比（比例常数 k > 0 ），求球体的重心位置. 【分析】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键

是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点P作为坐标原点，相应的有两种求解方法.【详解1】4用Q表示球体，以Q的球心为原点O,射线OP为正x轴建立直角坐标系，则点P的坐标为(R,0,0)球面的方程为x2 + y? +2? = R?设Q2的重心位置为(x,,)，由对称性，得y= 0,z=0,JJ x.[(x-R) +y2 +22avx=J [(x-R) + y2 +22av而2+2+-2ldl4J(x+y°+=)dV+ J R°dv=8fdefdo]r2.r?sinpdr+=元R332元Rs15[[ x[(x-R) + y2 +22dV =-2R[[x?dv.[(*++2)=-dTR153JX=-R故4

是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点 P0 作为坐标原点，相应的有两种 求解方法. 【详解 1】 用Ω 表示球体，以Ω 的球心为原点O, 射线OP0 为正 x 轴建立直角坐标系，则点 P0 的坐标为 ( ) R,0,0 球面的方程为 2 22 2 x ++= yzR 设Ω 的重心位置为( ) x, , y z ，由对称性，得 y z = = 0, 0, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x k x R y z dV x k x R y z dV Ω Ω ⎡ ⎤ ⋅ − ++ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ − ++ ⎣ ⎦ ∫∫∫ ∫∫∫ 而 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 22 5 2 2 000 5 4 8 sin 3 32 15 R x R y z dV x y z dV R dV d d r r dr R R π π θ ϕ ϕπ π Ω Ω Ω ⎡ ⎤ − ++ ⎣ ⎦ = ++ + = ⋅ + = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 22 2 2 23 6 2 2 8 3 15 x x R y z dV R x dV R x y z dV Rπ Ω Ω Ω ⎡ ⎤ − + + =− ⎣ ⎦ =− + + =− ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 故 4 R x = −

R因此，球体Q的重心位置为0.0【详解2】P3用Q表示所考虑的球体，O表示球心，以点P选为原点，射线PO为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为x?+y?+2?=2Rz设2的重心位置为（,J)，由对称性，得x=0,y=0,JJ ke(x2 + y +2)dv二k(x+y+2)dv2因为2RcoseAsin pdr[](x2 + 2 + 2)dV =4[e-arRJ (++)d=4fddofRpsicod64cos'psinpdp元R6?38=元R63

因此， 球体Ω 的重心位置为 ,0,0 . 4 ⎛ ⎞ R ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 【详解 2】 用Ω 表示所考虑的球体， ~ O 表示球心，以点 P0 选为原点，射线 P0 ~ O 为正 z 轴建立直角坐标系， 则球面的方程为 2 22 x ++= y z Rz 2 设Ω 的重心位置为( ) x, , y z ，由对称性，得 x y = = 0, 0, ( ) ( ) 2 23 2 23 kz x y z dV z k x y z dV Ω Ω + + = + + ∫∫∫ ∫∫∫ 因为 ( ) 2 cos 2 22 4 2 2 000 5 4 sin 32 15 R x y z dV d d r dr R π π ϕ θ ϕ ϕ π Ω ++ = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 cos 2 22 5 2 2 000 6 7 2 0 6 4 sin cos 64 cos sin 3 8 3 R z x y z dV d d r dr R d R π π ϕ π θ ϕ ϕϕ π ϕ ϕϕ π Ω ++ = = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

故-RX0,0,5R因此，球体Q的重心位置为4九、设函数F(x)在[0,元]上连续，且[。F(x)dx=0,J。于(x)cosxdx=0,试证：在(0,元)内至少存在两个不同的点,52，使()=(2)=0【详解】令F(x)=[(t)dt,则有F(0)=F(元)=0,又因为0=J。 ()cos xdx=J cos xdF()=F(t)cosxl+J° F(x)sin xdx= J° F(x)sin xdr令G(x)=[F(x)sintdt, 则G(0)=G()=0于是存在E(0,元），使F（)sin=0,因为当(0,元），这样就证明了F(0)= F(3)= F()=0再对F()在区间[0,]，[5,元]上分别用罗尔定理知，至少存在=(0,)，52=(5,元)使F (5)=F(52)=0即f(5)= f(52)=0十、（本题满分6分）[1000设矩阵A的伴随矩阵A且ABA-1=BA-1+3E,其中E为4阶单位矩阵，01o-308求矩阵B.【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘A，再左乘A，尽量不去计算A-1【详解1】由AA"=AA=AE,知A-|A"-，因此有

故 5 . 4 z R = 因此，球体Ω 的重心位置为 5 0,0, 4 R ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 九、设函数 f ( ) x 在[0,π ]上连续，且 () () 0 0 f x dx f x xdx 0, cos 0, π π = = ∫ ∫ 试证：在( ) 0,π 内 至少存在两个不同的点 1 2 ξ ,ξ ，使 f f (ξ ξ 1 2 ) = ( ) = 0. 【详解】 令 ( ) () 0 F x f t dt, π = ∫ 则有 F F (0 0, ) = (π ) = 又因为 () () () () ( ) 0 0 0 0 0 0 cos cos cos sin sin | f x xdx xdF x F x x F x xdx F x xdx π π π π π = = = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 令 () () 0 G x F x tdt sin π = ∫ ，则G G ( ) 0 0, = (π ) = 于是存在ξ ∈( ) 0,π ，使 F ( ) ξ ξ sin 0, = 因为当ξ ∈(0,π ) ，这样就证明了. FFF () () ( ) 0 0 === ξ π 再对 F x( ) 在区间[0,ξ ]，[ξ,π ]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1 ∈(0,ξ )，ξ 2 ∈( ) ξ π, 使 () ( ) ' 1 2 F F ξ ξ = = 0 即 () ( ) 1 2 f f ξ ξ = = 0 十、（本题满分 6 分） 设矩阵 A 的伴随矩阵 * 1 0 00 0 1 00 , 1 0 10 0 308 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 且 1 1 ABA BA E3 , − − = + 其中 E 为 4 阶单位矩阵， 求矩阵 B. 【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据 题设等式，可先右乘 A ，再左乘 * A ，尽量不去计算 1 A . − 【详解 1】 由 * * AA A A A E = = , 知 1 * n A A − = ，因此有