全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1997数学一

1997年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析、填空题3sin x+xcos-(1)lim0 (1+cosx)In(1+x)3【答】2:13sin x+xcos-31sinx1xlim+limlim-xcos2x【详解】原式=x→02 x→0x→0 2xx36+0=3/22（2）设幂级数a,x"的收敛半径为3，则幂级数na,（x-1)"的收敛区间为n=0n=l【答】(-2,4)根据幂级数的性质，逐项求导后，得乙na,x""的收敛半径仍为3，故【详解】n=lna,(x-1)** =(x-1)"2na, (x-1)-n=l=的收敛区间为x-1<3,即(-2,4)（3）对数螺线p=e°在点处切线的直角坐标方程为Ax+y=e2【答】【项解1】由于x=pcos,y=psin,螺线方程p=e可化为x=e"cosa,ly=e'sing.由于sinの+cos=-1,且当0=时，x=0,y=e号cos-singlo-dx le-2故所求切线方程为

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 （1） ( )( ) 2 0 1 3sin cos limx 1 cos ln 1 x x x → x x + = + + . 【答】 3 2 . 【详解】 原式＝ 2 0 00 1 3sin cos 3 sin 1 1 lim lim lim cos 22 2 3 3 0 . 2 2 x xx x x x x x → →→ x x x + = + = += （2）设幂级数 0 n n n a x ∞ = ∑ 的收敛半径为 3，则幂级数 ( ) 1 1 1 n n n na x ∞ + = ∑ − 的收敛区间为 . 【答】 ( ) −2, 4 . 【详解】 根据幂级数的性质，逐项求导后，得 1 1 n n n na x ∞ − = ∑ 的收敛半径仍为 3，故 () () () 12 2 1 1 11 1 n n n n n n na x x na x ∞ ∞ + − = = ∑ ∑ − =− − 的收敛区间为 x − < 1 3, 即( ) −2, 4 . （3）对数螺线 e θ ρ = 在点处切线的直角坐标方程为 . 【答】 2 x y e . π + = 【项解 1】 由于 x y = = ρ cos , sin , θ ρθ 螺线方程 e θ ρ = 可化为 cos , sin . x e y e θ θ θ θ ⎧ = ⎨ ⎩ = 由于 2 2 sin cos 1, cos sin | | dy dx π π θ θ θ θ = = θ θ + = =− − 且当 2 π θ = 时， 2 x 0, . y e π = = 故所求切线方程为

2=-1(x-0),即x+y-022【详解2】螺线方程p=e可化为隐函数方程：In +y =arctan兰x处的导数为y(O)=-1,故所求切线方程为利用隐函数求导法，得在点0.e2元=-1(x-0),即x+y=-P[12-2341(4）设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0.则t3-1【答】-3.【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB=0，可见线性方程组Ax=0存在非零解，故[12-2[4| = 4 3t=0=t=-31311(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是21【答】S【详解】设A=第一个人取出的为黄球）,B=（第一个人取出的为白球！，C=第二个人取出的为黄球2, P(CIB)= 20.319,P(CIA)=!,P(B)= 3则P(A)=495549由全概率公式知：P(C)= P(A).P(CIA)+ P(B)-P(C[B)2、93,20 19_ 25*495*49"495二、选择题xy(x,y)+(0,0)在点(0,0)处x2(1）二元函数f(x,y)=[0,(x, J)=(0,0)

( ) 2 ye x 1 0, π − =− ⋅ − 即 . 2 x y π + = 【详解 2】 螺线方程 e θ ρ = 可化为隐函数方程： 2 2 ln arctan , y x y x + = 利用隐函数求导法，得在点 2 0,e π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 处的导数为 ( ) ' y 0 1, = − 故所求切线方程为 ( ) 2 ye x 1 0, π − =− ⋅ − 即 . 2 x y π + = （4）设 12 2 4 3, 3 11 At B ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 为三阶非零矩阵，且 AB = 0,则 t= . 【答】 -3. 【详解】 由于 B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0,，可见线性方程组 Ax = 0存在非零解，故 12 2 4 3 0 3. 3 11 At t − = = ⇒ =− − (5)袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一 球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 . 【答】 2 . 5 【详解】 设 A = {第一个人取出的为黄球}, B = {第一个人取出的为白球}，C = {第二个人取 出的为黄球}. 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 19 20 , ,| ,| . 5 5 49 49 PA PB PC A PC B == = = 由全概率公式知： ( ) ( ) ( | | ) ( ) ( ) 2 9 3 20 19 2 . 5 49 5 49 49 5 PC PA PC A PB PC B =⋅ +⋅ =× +× = = 二、选择题 （1）二元函数 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 , , 0,0 , 0, , 0,0 xy x y f xy x y x y ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ + ⎪ = ⎩ ，在点(0,0) 处

（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在(D）不连续，偏导数不存在【【答】应选（C)【详解】由偏导数的定义知f(0+ax,0)- f(0,0)f (0,0)= lim0AX→0aX而当y=kx,有kx·kxxylim= lim1+k2(r,)-(0,0) x2 + y2X0 x2 +k2x?kxy当k不同时，不同，故极限lim不存在，因而f（x,J）在点（0,0)处不连续，1+k2(x,y)-(0,0) x2 + y可见，应选（C）(2)设在区间[a,b]上f(x)>0, f (x)0, 令S,=[" f(x)dxS, = f (b)(b-a),S, =,[F (a)+ f (b)](b-a), 则(A) S,0,f(x)0知，曲线y=f(x)在[a,b]上单调减少且是凹曲线弧，于是有f(x)>(b)

（A）连续，偏导数存在. （B）连续，偏导数不存在. （C）不连续，偏导数存在. (D) 不连续，偏导数不存在. 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由偏导数的定义知 ( ) ( ) () ' 0 0 ,0 0,0 0,0 lim 0, x x f xf f → x + − = = + + + 而当 y kx = ,有 ( )( ) 2 2 2 22 2 , 0,0 0 lim lim , xy x 1 xy x kx k → → x y x kx k ⋅ = = + ++ 当 k 不同时， 2 1 k + k 不同，故极限 ( )( ) 2 2 , 0,0 lim x y xy → x + y 不存在，因而 f ( x y, ) 在点( ) 0,0 处不连续， 可见，应选（C）. (2)设在区间[a b, ] 上 () () ( ) ' '' fx f x f x ><> 0, 0, 0 ，令 1 ( ) , b a S f x dx = ∫ 2 3 ( )( ) ( ) ()( ) 1 , 2 S fb b a S fa fb b a = −= + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ，则 （A） 1 2 3. SS S <> 0, 0, 0 知，曲线 y fx = ( ) 在[a b, ] 上单调减少且是凹曲线弧，于 是有 f () () x fb >

() f(b)(b-a)=S2,S,='()(a)+)-(b-a[(a)+ (b)](b-αa)=S,即S,0.故应选（A）[a][b]Cb则三条直线(4)设α=aaα,Q[b,][a,][]ax+by+c=0,ax+b,y+c=0ax+by+c,=0（其中a+b0,i=l,2,3）交于点的充要条件是（A）α,αα线性相关（B）α,αz,α,线性无关(C)秩r(α,α,α)=秩r(α,α,)(D）α,αz,α线性相关，α,α,线性无关【【答】应选(D)【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组

() () () () ( ), . fb fa f x fa x a a x b b a − −= ⎡ ⎤ − = ∫ ∫ ∫ ∫ 故应选（A）. （4）设 111 1 22 23 2 333 , abc abc abc ααα ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ = == ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ 则三条直线 111 2 2 2 3 3 3 ax by c ax by c ax by c + += + + = + += 0, 0, 0（其中 2 2 0, 1,2,3 i i ab i +≠ = ）交于一 点的充要条件是 （A） 123 α , , α α 线性相关. （B） 123 α , , α α 线性无关. （C）秩 ( ) 123 r α , , α α ＝秩 ( ) 1 2 r α ,α （D） 123 α , , α α 线性相关， 1 2 α ,α 线性无关. 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组

ax+by+c,=0a,x+by+c,=0[a,x+by+c,=0有唯一解，其充要条件为秩秩r(αj,αz,α）=秩r(αj,α2)=2.（A）、（C）必要但非充分：（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D），（5）设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是(A) 8.(B) 16.(C) 28.(D) 44.【答】应选（D)【详解】D(3X -2Y)=3°D(X)+2°D(Y)=9×4+4×2=44=2z绕=轴旋转一周形成的曲面三、（1）计算I=J[[(x2+y)dV,其中Q为平面曲线x=0Q与平面z=8所围成的区域【详解】利用柱面坐标，积分区域可表示为r2Q=3(0,r,2)10≤0≤2元,0≤r≤4,≤282于是I = J," dof, rdr [2r’dz = 2元1024元3x?+y?=1(2）计算曲线积分Φ(z-y)dx+(x-2)dy+(x-y)dz,其中C是曲线[x-y+z=2(从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的【详解1】令x=cos0,y=sin0,则z=2-x+y=2-cos0+sino由于曲线C是顺时针方向，其起点和终点所对应0值分别为0=2元，θ=0于是(z-y)dx+(x-2)dy+(x-y)d=J°-[2(sino+cos0)-2cos20-1do

111 222 333 0 0 0 ax by c ax by c ax by c ⎧ + += ⎪ ⎨ + += ⎪ ⎩ + += 有唯一解，其充要条件为秩秩 ( ) 123 r α , , α α ＝秩 r(α1 2 ,α ) ＝2. （A）、（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D）. （5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量3 2 X − Y 的方差是 （A）8. （B）16. （C）28. （D）44. 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 ( ) () ( ) 2 2 D X Y D X DY 3 2 3 2 9 4 4 2 44. − = + =×+×= 三、（1）计算 ( ) 2 2 I x y dV, Ω = + ∫∫∫ 其中 Ω 为平面曲线 2 2 0 y z x ⎧ = ⎨ ⎩ = 绕 z 轴旋转一周形成的曲面 与平面 z = 8 所围成的区域. 【详解】 利用柱面坐标，积分区域可表示为 ( ) 2 , , | 0 2 ,0 4, 8 , 2 r θ θπ rz r z ⎧ ⎫ Ω= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 于是 2 2 2 48 4 2 3 00 0 2 2 8 2 1024 . 3 r r I d rdr r dz r dr π θ π π ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ∫∫ ∫ （2）计算曲线积分 ( )( ) ( ) , C z y dx x z dy x y dz − +− +− v∫ 其中C 是曲线 2 2 1 , 2 x y xyz ⎧ + = ⎨ ⎩ −+= 从 z 轴正向往 z 轴负向看，C 的方向是顺时针的. 【详解 1】 令 x y = = cos , sin , θ θ 则 z xy =−+ =− + 2 2 cos sin θ θ 由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应θ 值分别为θ = 2 , 0. π θ = 于是 ( )( ) ( ) ( ) 0 2 2 sin cos 2cos 2 1 C z y dx x z dy x y dz d π θ θ θθ − +− +− =− + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ v

=-[2(cos 0 + sin 0)-sin 20-0],=-2元【详解2】设Z是平面x-y+z=2以C为边界的有限部分，其法向量与Z轴负向一致，D.为Z在xOy面上的投影区域记F=(z-y)i+(x-z)j+(x-y)kkijaaa则rotF= 2k.azaxayz-y x-z x-y根据斯托克斯公式知d(z-y)dx+(x-=)dy +(x-y)dz= [[ rotFds= [2dxdy = -[2dxdyNDay=-2元（3）在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为xo,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(）（将x()视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t)[=k(N-x)dt【详解】由题设，有x(0)= xodx=kdt,原方程可化为x(N-x)NCeEN积分，得x:1+CekN,NxeN代入初始条件，得N Xo + Xekx+y+b=0四、（1）设直线1：在平面元上，而平面元与曲面z=x+相切于点x+ay-z-3=0

( ) 0 2 2 cos sin sin 2 2 . | π θ θ θθ π =− + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − 【详解 2】 设 ∑ 是平面 xyz −+= 2 以 C 为边界的有限部分，其法向量与 Z 轴负向一致， D xy 为 ∑ 在 xOy 面上的投影区域. 记 F z yi x z j x yk =− +− +− ( )( ) ( ) , 则 2 . i jk rotF k xyz zyxzxy ∂∂∂ = ∂∂∂ −−− 根据斯托克斯公式知 ( )( ) ( ) 2 2 2 . xy C D z y dx x z dy x y dz rotFdS dxdy dxdy π ∑ ∑ − +− +− = = =− = − ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ v （3）在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N,在 t = 0时刻已掌握新技术的人数为 0 x , 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为 x ( )t （将 x ( )t 视为 连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k > 0, 求 x ( )t . 【详解】 由题设，有 ( ) ( ) 0 , 0 dx kx N x dt x x ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ 原方程可化为 ( ) , dx kdt xN x = − 积分，得 , 1 kNt kNt NCe x Ce = + 代入初始条件，得 0 0 0 kNt kNt Nx e x N x xe = − + 四、（1）设直线 0 : 3 0 xyb l x ay z ⎧ ++= ⎨ ⎩ + −−= 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 2 2 zx y = + 相切于点

(1,-2,5)，求a、b之值【详解1】令F(x,y,2)=x2+y2-z，则F,=2x,F,=2y,F=-1.在点(1,-2,5)处曲面得法向量为n={2,-4,-1)，于是切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即2x-4y-z-5=0x+y+b=0由：[x+ay-2-3=0得x-b,z=x-3+a(-x-b)代入平面元方程，得2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5=0有5+a=0,4b+ab-2=0a=-5,b= -2由此解得【详解2】由方法一知，平面元方程为2元-4y-z-5=0x+y+b=0过直线1：的平面束为[x+ay-z-3=0x+y+b+x(x+ay-z-3)=0即(1+)x+(1+aa)y-^z+b-3元=0.其与平面元重合，要求1+1+a元-b-3元2"4""5解得=1, a=-5,b=-20=+==ez,求（2）设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(e'siny)满足方程ax?ay?f(u).【详解】

( ) 1, 2,5 − ，求 a b 、 之值. 【详解 1】 令 ( ) 2 2 F xyz x y z , , =+− ，则 '' ' 2 , 2 , 1. F xF yF xyz = = =− 在点(1, 2,5 − ) 处曲面得法向量为 n = −− {2, 4, 1}，于是切平面方程为 2 1 4 2 5 0, ( ) x yz −− + − − = ( ) ( ) 即 2 4 5 0. x yz − −−= 由 0 : 3 0 xyb l x ay z ⎧ ++= ⎨ ⎩ + −−= ， 得 x − = −+ −− bz x a x b , 3 ( ) 代入平面π 方程，得 2 4 4 3 5 0, x x b x ax ab + + −++ + −= 有 5 0,4 2 0. += + −= a b ab 由此解得 a b =− =− 5, 2 【详解 2】 由方法一知，平面π 方程为 2 4 5 0. π − −−= y z 过直线 0 : 3 0 xyb l x ay z ⎧ ++= ⎨ ⎩ + −−= 的平面束为 x y b x ay z +++ + −− = κ ( 3 0, ) 即 ( )( ) 1 1 3 0. + + + − +− = λ λλ λ x a y zb 其与平面π 重合，要求 11 3 , 2 415 ++−− λ a b λλ λ = == −−− 解得 λ =1, a b =− =− 5, 2 （2）设函数 f ( ) u 具有二阶连续导数，而 ( sin ) x z fe y = 满足方程 2 2 2 2 2 , z z x e z x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ 求 f ( ) u . 【详解】

OzOz-= f (u)e"cosy= f' (u)e' sin y,axay022= f" (u)e' sin y+ f'(u)e?* sin’ yax?a2z--f' (u)e*sin y+f" (u)e? cos" y,ay2代入方程%+%-c;,得 了()-{()=0.ax2+ay?解此方程得f(u)=C,e"+C,e"（其中C,C,为任意常数）五、设T(g)连续, (t)=I"(x)d,且lim()=A（A为常数)，求()并讨论p(x)在x=0处的连续性.由题设m一()=4A知, (0)=0. (0)=4,且有(0)=0. 【详解】x['f (u)du又p(x):(xt)dtu=xt(x±0),_ (x)-J。f(u)du于是@(x)=(x+0)X由导数定义，有"f (u)duF(x)_ A (0)= limlim22x→0-0而f(u)duxf(x)-[f(u)duf(x)limlimp (x)= lim= limXx21-0x-→0x-→0xAA=A-.= p (0)22可见，@（x）在x=0处的连续性六、设=2,an+=1,2,),证明

( ) ( ) () () () () ' ' 2 ' '' 2 2 2 2 ' '' 2 2 2 sin , cos , sin sin , sin cos , x x x x x x z z f ue y f ue y x y z f ue y f ue y x z f ue y f ue y y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ =− + ∂ 代入方程 2 2 2 2 2 , z z x e z x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ 得 ( ) ( ) '' f u fu − = 0. 解此方程得 ( ) 1 2 u u f u Ce Ce− = + （其中 1 2 C C, 为任意常数）. 五、设 f ( ) x 连续， () ( ) 1 0 ϕ x = f xt dt, ∫ 且 ( ) 0 limx f x A → x = （ A 为常数），求 ( ) ' ϕ x 并讨论 ( ) ' ϕ x 在 x = 0 处的连续性. 【详解】 由题设 ( ) 0 limx f x A → x = 知， ( ) ( ) ' f 0 0, 0 , = f A = 且有ϕ (0 0. ) = 又 () ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 , x f u du x f xt dtu xt x x ϕ == ≠ ∫ ∫ 于是 ( ) () () ( ) ' 0 2 0 x xf x f u du x x x ϕ − = ≠ ∫ 由导数定义，有 ( ) ( ) ( ) ' 0 2 0 0 0 lim lim . 2 2 x x x f u du f x A x x ϕ → → = == ∫ 而 ( ) () () ( ) ( ) ( ) ' 0 0 2 2 0 0 00 ' lim lim lim lim 0 2 2 x x x x xx xf x f u du f u du f x x x xx A A A ϕ ϕ →→ →→ − = =− =− = = ∫ ∫ 可见， ( ) ' ϕ x 在 x = 0 处的连续性. 六、设 1 1 ( ) 1 1 2, , 1, 2, , 2 n n n aa a n a + ⎛ ⎞ = =+ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " 证明：

（1）lima,存在；a,(2）级数收敛2n=（an+）【详解】（1）因为11-a,1an+1-a, a,+a.22anan-而/a.+an+I=2于是有a+1-a,≤0,故数列(a,单调递减且有下界，所以lima,存在(2)方法一：由(1) 知 0≤--1=“-≤a,-αm:an+1an+1Z(a,-anI)的部分和数列S,=由于级数Z（ak-ak+）=a-an的极限limS,存在，可见n=a,-1级数Z(a,-αm)收敛，由比较判别法知，级数也收敛1=（an+ln=1方法二：令b，=-1，利用递推公式，有an+la?+1 a?-1bal =lim1p=lim0也收敛由比值判别法知m=)(an+1七、（1)设B是秩为2的5×4矩阵，α,=(1,1,2,3),α,=(-1,1,4,-1),α,=(5,-1,-8,9)是齐次方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基【详解】因秩r(B)=2,故解空间的维数为：4-r(B)=4-2=2,又α,α,线性无关，可见α,α,是解空间的基先将其正交化，令：

（1）lim n n a →∞ 存在； （2）级数 1 1 1 n n n a a ∞ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 收敛. 【详解】 （1）因为 2 1 1 1 1 , 2 2 n nn n n n n a aa a a a a + ⎛ ⎞ − −= + −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 而 1 11 1 1, 2 nn n n n aa a a a + ⎛ ⎞ = + ≥ ⋅= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 于是有 1 0, n n a a + − ≤ 故数列{an} 单调递减且有下界，所以 lim n n a →∞ 存在. (2)方法一： 由（1）知 1 1 1 1 01 . n nn n n n n a aa a a a a + + + + − ≤ −= ≤ − 由于级数 ( ) 1 1 n n n a a ∞ + = ∑ − 的部分和数列 ( ) 11 1 1 n kk n k S a a aa ∞ + + = = − =− ∑ 的极限 lim n n S →∞ 存在，可见 级数 ( ) 1 1 n n n a a ∞ + = ∑ − 收敛，由比较判别法知，级数 1 1 1 n n n a a ∞ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 也收敛. 方法二： 令 1 1 n n n a b a + = − ，利用递推公式，有 2 2 1 2 2 1 1 1 1 lim lim 0 1, 4 1 n nn n n n nn b aa b aa ρ + →∞ →∞ + + − = = ⋅ ⋅ =< + 由比值判别法知 级数 1 1 1 n n n a a ∞ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 也收敛. 七、（1）设 B 是秩为 2 的5 4 × 矩阵， 12 3 () ( ) ( ) 1,1,2,3 , 1,1,4, 1 , 5, 1, 8,9 TT T αα α = =− − = − − 是齐次方程组 Bx = 0 的解向量，求 Bx = 0 的解空间的一个标准正交基. 【详解】 因秩 r B( ) = 2, 故解空间的维数为：4 4 2 2, − r B( ) =−= 又 1 2 α ,α 线性无关，可见 1 2 α ,α 是解空间的基. 先将其正交化，令：

314(12-311(α2,β)β, = α, =β,3=α32X2(βi,β)10333-2再将其单位化，令：[1]-2-11β.1β,,n5.3915nBB[3][-3]即为所求的一个标准正交基，2253(2)已知=1是矩阵A=a的为一个特征向量[-]][-1 b -2](1)试确定参数α,b及特征向量所对应的特征值；(II)问A能否相似于对角阵？说明理由【详解】）由题设，有A=,即[2-15ab-1212-1-2=2也即5+a-3=%-1+b+2=-%解得a=-3,b=0,1=-1(II) 由2[2-2 -1 21-2=(α+1)°,531+3A=a，知ME-A=-5-3 10-1 b -2元+2可见元=-1为A的三重根，但秩r-E-A)=2.从而=-1对应的线性无关特征向量只有3-r(-E-A)=1个，故A不可对角化八、设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第i行对换后得到的矩阵为B

( ) ( ) 2 1 11 2 2 1 1 1 3 4 1 11 2 1 11 , 1 , 3 2 42 , 3 10 3 13 3 2 α β βα βα β β β ⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ − ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ == =− = − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ − ⎦ 再将其单位化，令： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , 15 2 5 39 3 3 β β η η β β ⎡⎤ ⎡ ⎤ − ⎢⎥ ⎢ ⎥ == == ⎣⎦ ⎣ ⎦ − 即为所求的一个标准正交基. (2)已知 1 1 1 ζ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 是矩阵 2 12 5 3 1 2 A a b ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − 的一个特征向量. (I) 试确定参数 a b, 及特征向量ζ 所对应的特征值； (II) 问 A 能否相似于对角阵？说明理由. 【详解】 （I）由题设，有 A 0 ζ = λ ζ ,即 0 2 121 1 5 3 1 1, 1 21 1 a b λ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −− − 也即 0 0 0 212 5 3 1 2 a b λ λ λ ⎧ −− = ⎪ ⎨ +−= ⎪ ⎩− + + =− 解得 a b =− = =− 3, 0, 1. λ （II）由 2 12 5 3 1 2 A a b ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − ，知 ( )3 21 2 5 3 3 1, 10 2 E A λ λ λλ λ − − − =− + − = + + 可见 λ = −1为 A 的三重根，但秩 r EA (− − =) 2, 从而 λ = −1对应的线性无关特征向量只有 3 1 − −− = r EA ( ) 个，故 A 不可对角化. 八、设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第i 行和第 j 行对换后得到的矩阵为 B