华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第四章 数字特征 §4.5 随机变量的极限

S4.5随机变量的极限一、问题的提出1)Xi，X，，Xr为多次“测量"，则乏x，～μ（真值）合理吗？ni=l2) X,+X2+..+Xn~ ?21+1++.+=思路谁更易算？.10!2二、切比雪夫ye6b山eB不等式（P116定理4）设R.VX有E(X)=μ，D(X)=2，则对任何>0有P(X-≥6)≤2a?P(X-μ<8)≥1-或证明仅对C.RVX证明，设(x)为X的密度函数，则P(X-μ≥8)= [f(x)dx1x-μ/26(x-u)2》f(x)dx22[x-μ|≥8 Lt(x -μ)" f(x)dx2a

§4.5 随机变量的极限 一、问题的提出 1）X1，X2，.，Xn 为多次“测量”，则   n i Xi n 1 1   n  （真值）合理吗？ 2）X1+X2+.+Xn ~ ？ 思路 10! 1 2 1 1  与   100 0 ! 1 k k 谁更易算? 二、切比雪夫ч е б ь ш е в 不等式（P116定理 4） 设 R.V.X 有 E(X)=μ ，D(X)=σ 2，则对任何ε >0 有 2 2 ( )   P X      或 2 2 ( ) 1   P X       证明 仅对 C.R.V.X 证明，设 f(x)为 X 的密度函数，则           x P( X ) f (x)dx         x f x dx x u ( ) ( ) 2 2     (x  ) f (x)dx 1 2 2   2 2   

三、大数定律（0-1律）记X,x>0lim P(X,-E(X,)0，有lim P(pX则nni=lnni=lD("l)=D(X,)=p(I-p)n-nni=l由切比雪夫不等式1p(1- p)n6)>1→1n->oAn趋于概率p频率意义：n名称条件结论XX....X....两两不相关，1"-E(之x,)00n二

三、大数定律（0-1 律） 记   n i n Xi n X 1 1   0 lim (  ( )  ) 1   n n n P X E X 贝努利（Bernoulli）大数定理（P135 定理 5.3） 设μ n为 n 重贝努利试验中 A 发生的次数，且 P(A)=p，则对任何ε >0，有 lim (   ) 1    p n P n n 证明：由题意 记 Xi ~ B(1, p) i 1,2,  ，相互独立 则   n i i n X n n 1  1 ，    n i i n E X p n n E 1 ( ) 1 ( )  ，     n i i n p p n D X n n D 1 2 (1 ) 1 ( ) 1 ( )  由切比雪夫不等式 2 (1 ) 1 ( ) 1    p p n p n P n        n 1 意义： 频率 n  n 趋于概率 p 名 称 条 件 结 论 切比雪夫大数定律 X1,X2,.Xn,.两两不相关， 且 D(Xn)<C（有界） ) ) 1 1 ( 1 lim ( 1 1          n i i n i i n X n X E n P 伯努利大数定律 n~B(n,p) lim (   ) 1    p n P n n 辛钦大数定律 X1,X2,.Xn,.独立同分布， 且 E(Xn)= （有限） ) 1 1 lim ( 1         n i i n X n P

三、中心极限定理1、独立同分布的中心极限定理设(Xm，n=1,2...)是独立同分布的随机变量序列，且E(X)-μ，D(X)=α2，i=1,2，设标准化随机变量2x,-n=lY. =Ing的分布函数为F(x)，则limF,(x)=(x)（Y,依分布收敛于X~N(u,α））2、德莫佛·拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）中心极限定理设 Yn~B(n,p),n=1,2,..,则1Y,-np≤x)=limP(e2dt-8<X<+8／2元n/np(l-p)证明：取X~B(1,p),i=-1,2..，相互独立，则Y,=ZX，而E(X)-p,D(X)=p(1-p)，il由独立同分布的中心极限定理即得。应用：Yn~B(n,p)，当n充分大时b-npa-npP(a<Y,≤b)=np(1+p)np(1 + p)

三、中心极限定理 1、独立同分布的中心极限定理 设{Xn, n=1,2,.}是独立同分布的随机变量序列， 且 E(Xi)=μ ，D(Xi)=σ 2，i=1,2,.，设标准化随机变量   n X n Y n i i n    1 的分布函数为 Fn(x)，则 lim F (x) (x) n n    （Yn依分布收敛于 ~ ( , ) 2 X N   ） 2、德莫佛·拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理 设 Yn~B(n, p)，n=1,2,.，则        x t n n x e dt np p Y np P 2 2 2 1 ) (1 ) lim (    x   证明：取 Xi~B(1, p)，i=1,2,.，相互独立，则   n i Yn Xi 1 ，而 E(Xi)=p，D(Xi)=p(1-p)， 由独立同分布的中心极限定理即得。 应用：Yn~B(n, p)，当 n 充分大时 ) (1 ) ) ( (1 ) ( ) ( np p a np np p b np P a Yn b          

例1（P139例5.3）已知一批同型号的电子元件，次品率为1/6，试以99%的把握断定：从这批电子元件中任取6000只，其中次品所占的比例与1/6之差的绝对值不超过多少？这时6000电子元件中，次品数又落在一个什么范围内？解：记X为6000只电子元件中的次品数，则X~B(6000，1/6)，要求使X1P(≤)=0.9966000X-6000×-n=6000860006=P(p=云5116000x6000xX666616/6000)-1=2Φ(sJ5601.99=6000.995521==2.576x0.0123960/12X1<0.01239926 <X <1074L60006例2（P141例5.4）设有某天文学家试图观测某星球与他所在天文台的距离D，他计划作出n次独立的观测Xi、X2，"，X（单位：光年），设这n次独立的观测的期望EX-D，方差 DX,=4， i=1,2, ,n，现天文学家用又,=之X,作为 D 的估计，为使X,对 D 的ni=l估计的精度在土0.25光年之间的概率大于0.98，问这位天文学家至少要作出多少次独立的观测？

例 1（P139例 5.3）已知一批同型号的电子元件，次品率为 1/6，试以 99%的把握断 定：从这批电子元件中任取 6000 只，其中次品所占的比例与 1/6 之差的绝对值不超过多 少？这时 6000 电子元件中，次品数又落在一个什么范围内？ 解：记 X 为 6000 只电子元件中的次品数，则 X~B(6000, 1/6)，要求ε 使 ) 0.99 6 1 6000 (     X P ) 6 5 6 1 6000 6000 6 5 6 1 6000 6 1 6000 (          X P （ 6 1 6000   p n ） 6000) 1 5 6  2(  0.995 2 1.99 ) 5 60  (  600   0.01239 60 12 1    2.576  0.01239 6 1 6000   X  926  X 1074 例 2（P141例 5.4）设有某天文学家试图观测某星球与他所在天文台的距离 D，他计 划作出 n 次独立的观测 X1、X2，.，X（单位：光年），设这 n n 次独立的观测的期望 EXi=D， 方差 DXi =4，i =1,2,.,n，现天文学家用   n i n Xi n X 1 1 作为 D 的估计，为使 X n 对 D 的 估计的精度在±0.25 光年之间的概率大于 0.98，问这位天文学家至少要作出多少次独立 的观测？

X-D~ N(0,1)解：n→8时/4/n0.98=0.99=0.125/n>2.3264Φ(22=n>346.376765故n≥347即可0011~2-2~2.718=e"k=ok!k=ok!=0nr=

解： n  时 ~ (0,1) 4 / N n X  D 0.98  P( X  D  0.25) ) 1 2 0.25 ) 2 ( 2 0.25 2 / (       n n n X D P 0.99 0.125 2.3264 2 1.98 ) 2 0.25 ( n    n   n  346.376765 故 n  347 即可. 1 0 0 100 0 ! ! 1 ! 1            x n n k k n x k k 1  x x e  2.718