华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第三章 多维随机变量及其分布 §3.2 边缘分布 §3.3 条件分布

$3.2边缘分布一、边缘分布函数Fx(x) = P(X≤x) = P(X ≤x,Y <+00) = F(x,+00)F(y) = P(Y≤y) = P(X<+00,Y ≤ y) = F(+00, y二、D.R.V.的边缘分布P(X = x)=ZP(X = x,Y =y,)= p, = p.P(Y = y)=ZP(X=x,Y =y,)=Ep, = p.j例1（P79例3.4）在有1件次品和5件正品的产品中，分别进行有放回和不放回地任取两次，定义随机变量(X,Y)如下：[1第一次取到正品第二次取到正品1X =[o，第一次取到次品，第二次取到次品10,求(X,Y)的联合概率分布和两个边缘概率分布。Y解（1）有放回抽样：01Pi.xP(X = 0,Y = 0)536136%0= P(X = 0)P(Y = 0/ X = 0)5362%6%1111%%P.j6*6-36Y（2）不放回抽样：01Pi.xP(X = 0,Y = 0)%%00= P(X = 0)P(Y = 0/ X = 0)%%%11×0=0%%p.j6

§3.2 边缘分布 一、边缘分布函数 F (x)  P(X  x)  P(X  x,Y  )  F(x,) X F (y) P(Y y) P(X ,Y y) F( , y) Y         二、D.R.V.的边缘分布         i j ij j P(X xi ) P(X xi ,Y yj ) p p j i ij i P Y  yj  P X  xi Y  yj  p  p ( ) ( , ) 例 1（P79例 3.4）在有 1 件次品和 5 件正品的产品中，分别进行有放回和不放回地 任取两次，定义随机变量(X,Y)如下：     第一次取到次品 第一次取到正品 0, 1, X ，     第二次取到次品 第二次取到正品 0, 1, Y 求(X,Y)的联合概率分布和两个边缘概率分布。 解（1）有放回抽样： P(X  0,Y  0)  P(X  0)P(Y  0/ X  0) 36 1 6 1 6 1    Y X 0 1 pi 0 36 1 36 5 6 1 1 36 5 36 25 6 5 p j 6 1 6 5 （2）不放回抽样： P(X  0,Y  0)  P(X  0)P(Y  0/ X  0) 0 0 6 1    Y X 0 1 pi 0 0 6 1 6 1 1 6 1 6 4 6 5 p j 6 1 6 5

注：此例说明由联合分布可以导出边缘分布，而边缘分布不一定能确定联合分布。三、C.R.V.的边缘分布Fx(x) = F(x,+0) = [* (t f(u, v)dudv = "[f(u,v)d]dy故X的边缘密度函数fx(x)=f(x,y)dy同理Y的边缘密度函数fr(y)=f(x,)dx例2(Ps2例3.5)设(X,Y)～N(μ,z,o,2,p)，求X和Y的边缘密度函数。解（X,Y)的联合密度函数1(x-μ）20(x-μ)(y-μz)+(y-μz)exp :2(1-gi6002aif(x,y) :2元/1-p20,02x-μ--今u=则ai02u?-2puv+vexp[-2(1- p2)dvfx(x) = [f(x,y)dy =2元0,/1-p211(v-pu)2(1-p)udvexpexp12元0V2元/1-2(1- 2(/1-0(x-u)1207e2元0即 X~N(,),同理 Y~N(,2)例3（Ps例3.6）设(X,)在G上服从均匀分布，其中G=(,):+芸≤1.求62g2fx(x)和 fr(v)

注：此例说明由联合分布可以导出边缘分布，而边缘分布不一定能确定联合分布。 三、C.R.V.的边缘分布          x x FX (x) F(x, ) f (u,v)dudv [ ( , ) ]    f u v dv dv 故 X 的边缘密度函数    f x  f x y dy X ( ) ( , ) 同理 Y 的边缘密度函数    f y  f x y dx Y ( ) ( , ) 例 2（P82 例 3.5）设 ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1   ，求 X 和 Y 的边缘密度函数。 解 (X,Y)的联合密度函数 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ]} ( ) ( ) ( ) 2 ( ) [ 2(1 ) 1 exp{ ( , )                         x x y y f x y 令 1 1     x u ， 2 2     y v ，则    f x  f x y dy X ( ) ( , )          dv u uv v 2 1 2 2 2 2 1 ] 2(1 ) 2 exp[     2 1 1          dv v u ] 2( 1 ) ( ) exp[ 2 1 1 2 2 2 2     ] 2(1 ) (1 ) exp[ 2 2 2      u 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1       x e 即 ~ ( , ) 2 X N 1 1 ，同理 ~ ( , ) 2 Y N 2  2 例 3（P83 例 3.6）设(X,Y)在 G 上服从均匀分布，其中 {( , ) : 1} 2 2 2 2    b y a x G x y ,求 fX(x)和 fY(y)

解个y6y-≤1xab2f(x,y)=ab元其他0,-aX-bfx(x) =dab元20.5 Va?-x?a元-a<x<a-10.500.5同理2[b2-y2,-b<y<bf()=b元其他0

解         0, 其他 , 1 1 ( , ) 2 2 2 2 b y a x ab f x y  dy ab f x a x b a x b X  1 ( ) 2 2 2 2 1 1      2 2 2 2 a x a    a  x  a 同理          0, 其他 , 2 ( ) 2 2 2 b y b y b f Y y b  y b -a a x -b 1 0.5 0 0.5 1 0.5 1

83.3条件分布一、问题身高X~N(170,42），体重Y~N(59,22）X|Y=50~N（？，？）二、D.R.V.的条件分布P(X= x,Y= y,)= Pj, P(X =x)= pic, P(Y = y)= p.jP(X = x,Y= y)PiP(X = x, IY = y)=i=12,....固定Y-yjP.,"P(Y = y))P(Y=y,IX =x)= Pu同样j=1,2,...pi.例1（续$3.1例1）P(X = m) = , m=1,2,3,4,P(Y=n|X=m)=n=1,2....m￥2134pi.X/Y =3X11/40001/40201/81/801/40301/121/121/121/44/741/161/161/161/161/43/725/4813/487/483/48P.j1/21/200Y/X=2

§3.3 条件分布 一、问题 身高 X~N (170, 42 )，体重 Y~N (59, 22 ) X|Y=50 ~N ( ? , ? ) 二、D.R.V.的条件分布 i j pij P(X  x ,Y  y )  ，  i  pi P(X x ) ， j p j P Y y    ( ) 固定 Y=yj， j ij j i j i j p p P Y y P X x Y y P X x Y y         ( ) ( , ) ( | ) ， i 1,2,  同样     i ij j i p p P(Y y | X x ) ， j 1,2,  例 1（续§3.1 例 1） 4 1 P(X  m)  ，m=1,2,3,4， X m m P Y n 1 (  |  )  ，n=1,2,.m Y X 1 2 3 4 pi X /Y  3 1 1/4 0 0 0 1/4 0 2 1/8 1/8 0 0 1/4 0 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4/7 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 3/7 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 Y / X  2 1/2 1/2 0 0

例2（Psz例3.8）设某医院一天出生的婴儿数为X，其中男婴数为Y，已知(X,H)的联合分布列为：6.86"-mP(X = n, Y = m) = e-14 7.14"m=o,1..,n.n=0o.1....(n-m)!m!求X与Y的边缘分布和条件分布。7.14"6.86"-m e-14n!KP(X=n)=解n!= m!(n-m)!(7.14 +6.86)"14n=0.1....n!即X~P(14)6.86"-m7.14m6.867.14P(Y =m)=0Xm!(n-m)7.14m7.14m=0,l,..m!即Y~P(7.14)6.86"-m-14 7.14m6.86"-mm!(n-m)!n=m,m+l...6.86P(X=n/Y =m)=7.14m(n-m)!7.14（m固定）em!即X/Y=m~P(6.86)6.86n-m-14 7.14mm!(n-m)!6.86P(X =n/Y =m)=14m1414-14en!m=0,l.n（n固定）

例 2（P87 例 3.8）设某医院一天出生的婴儿数为 X，其中男婴数为 Y，已知(X,Y) 的联合分布列为： ( )! 6.86 ! 7.14 ( , ) 1 4 m n m P X n Y m e m n m        m  0,1,  ,n ， n  0,1,  求 X 与 Y 的边缘分布和条件分布。 解       n m m n m n e m n m n P X n 0 1 4 ! 7.14 6.86 !( )! ! ( ) 14 ! (7.14 6.86)    e n n n  0,1,  即 X ~ P(14)           n m n m m e m e n m P Y m 6.8 6 7.1 4 ! 7.14 ( )! 6.86 ( ) 7.14 ! 7.14   e m m m  0,1,  即 Y ~ P(7.14) 6.8 6 7.1 4 1 4 ( )! 6.86 ! 7.14 ( )! 6.86 ! 7.14 ( / )             e n m e m m n m e P X n Y m n m m m n m （m固定） n  m,m 1 即 X /Y  m ~ P(6.86) m m n m m n m n m C e n m n m e P X n Y m           ) 14 6.86 ) ( 14 7.14 ( ! 14 ( )! 6.86 ! 7.14 ( / ) 1 4 1 4 （n固定） m  0,1,n

即Y/X=n~B(n,0.51)三、C.R.V.的条件分布xir(x/ y)=f(x,y)f(x,y)fr/x(y/x)= fx(x)fr(y)例3（Psg 例3.9）设(X,Y)~N(,lz,o,o2,p)，求fx/x(x/ y)和fyix(y/x)。解1(x-μ)2(-(-)+(-)expgi2(1-p2a2a2Jxr(x/ )= 2元/1-p'0,0,1exp (-(-μ,),J2元2202[x-(μl +- p(y- μ2)P1-exptV2元01-p2e2(1-p)X/Y = y~N(μ +p(y-μ2), or(1-p))即同理Y/X=x~ N(μ,+p(x-), (1-p)

即 Y / X  n ~ B(n, 0.51) 三、C.R.V.的条件分布 ( ) ( , ) ( / ) / f y f x y f x y Y X Y  ， ( ) ( , ) ( / ) / f x f x y f y x X Y X  例 3 （ P89 例 3.9 ） 设 ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1   ， 求 ( / ) / f x y X Y 和 ( / ) / f y x Y X 。 解 } 2 ( ) exp{ 2 1 ]} ( ) ( ) ( ) 2 ( ) [ 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 ( / ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 /                              y x x y y f x y X Y } 2 (1 ) [ ( ( ))] exp{ 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1                 x y 即 / ~ ( ( ), (1 )) 2 2 2 1 2 1 1       X Y  y N   y   同理 / ~ ( ( ), (1 )) 2 2 1 2 1 2 2       Y X  x N   x  