华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）课程复习

课程复习一、事件的概率1.概率的定义：①非负性；②规范性；③可列可加性。2.计算公式：①P(A)=1-P(A);②P(AUB)= P(A)+ P(B)-P(AB), P(AB)=P(A)P(B/ A) ;③ P(B)= ≥ P(4)P(B/ A)P(A, / B)= P(4)P(B/ A)先验概率P(A)P(B)例1设甲、乙、丙三人的命中率A分别为0.3，0.2，0.1。现三人独立地P(A, / B)P(BIA)向目标射击一次，结果有两次命中目标，后验概率B试求丙没有命中目标的概率。解记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D为目标被命中两次，则P(D)= P(ABC + ABC+ ABC)= P(ABC)+ P(ABC)+ P(ABC)=0.3×0.2×0.9+0.3×0.8×0.1+0.7×0.2×0.1=0.092P(CD)0.3×0.2×0.9P(C / D)==0.587P(D)0.0923.两个概念：A 与B独立→P(AB)=P(A)P(B)→P(A)P(B/A)=P(A)P(B)A与B互不相容→AB=P→P(AUB)=P(A)+P(B)U例2若A与B独立，且A与B互不相容，则min[P(A)，P(B))=

课 程 复 习 一、事件的概率 1.概率的定义：①非负性；②规范性；③可列可加性。 2.计算公式：① P(A) 1 P(A) ； ② P(A B)  P(A)  P(B)  P(AB) ， P(AB)  P(A)P(B/ A) ； ③    n i P B P Ai P B Ai 1 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( / ) P B P A P B A P A B i i j  例 1 设甲、乙、丙三人的命中率 A1 A2 . An 分别为 0.3，0.2，0.1。现三人独立地 向目标射击一次，结果有两次命中目标， 试求丙没有命中目标的概率。 B 解 记 A、B、C 分别为甲、乙、丙命中目标，D 为目标被命中两次，则 P(D)  P(ABC  ABC  ABC)  P(ABC)  P(ABC)  P(ABC)  0.30.20.90.30.80.10.70.20.1 =0.092 0.587 0.092 0.3 0.2 0.9 ( ) ( ) ( / )      P D P CD P C D 3.两个概念：A 与 B 独立→P(AB)=P(A)P(B)→ P(A)P(B/A)=P(A)P(B) A 与 B 互不相容→ AB=φ → P(A∪B)=P(A)+P(B) ∪ 例 2 若 A 与 B 独立，且 A 与 B 互不相容，则 min{P(A)，P(B)}= 。 ( / ) P B Ai ( ) P Ai —— 先验概率 P(A / B) i 后验概率

二、随机变量及其分布1.设置随机变量例3（练习15.4）设某地区有一个小型停车场，现拟筹建一个大型停车场。统计资料表明，该地区日平均停车n=1600，且估计有3/4的车将停放在新建的停车场，在规划新停车场时，要求空车位达到200或200以上的概率不超过0.1，问设计多少个停车位为好？解若设计M个停车位，记X为在新停车场的停车数。则X～B(1600,)按要求P(M-X≥200)≤0.1，即P(X≤M-200)≤0.1X-1600×M-200-1200由中心极限定理P(X≤M-200)=P(10V3/1600×+×+M-1400~Φ()≤0.110V3M-14002≤1.28153→M≤14001.28153×10/3=1377.8查表得10/3故应设计1377个停车位。2.常用分布：B(n,p)，P(a)，N(u,α2)，U(a,b)，E(a)例4设每袋水泥的重量X～N(50，2.5）（单位：公斤），卡车的载重量为2吨，为了以0.95的概率保证不超载，一车最多能装多少袋水泥？解设一车装n袋水泥，则总重量为Y=nX～N(50n，2.52n2）(2000- 50n)≥0.95按要求P(Y≤2000)=Φ(=2.5n2000- 50n ≥1.645 = n ≤2000/54.1125 = 36.96查表得2.5n

二、随机变量及其分布 1.设置随机变量 例 3（练习 15.4）设某地区有一个小型停车场，现拟筹建一个大型停车场。统计资 料表明，该地区日平均停车 n=1600，且估计有 3/4 的车将停放在新建的停车场，在规划 新停车场时，要求空车位达到 200 或 200 以上的概率不超过 0.1，问设计多少个停车位 为好？ 解 若设计 M 个停车位，记．X．为在新停车场的停车 ．．．．．．．．．数．。则 ~ (1600, ) 4 3 X B 按要求 P(M  X  200)  0.1，即 P(X  M  200)  0.1 由中心极限定理 ) 10 3 200 1200 1600 1600 ( 200) ( 4 1 4 3 4 3           X M P X M P ) 0.1 10 3 1400 (     M 查表得 1.28153 10 3 1400   M   M 1400 1.2815310 3 1377.8 故应设计 1377 个停车位。 2.常用分布： B(n, p) ， P()， ( , ) 2 N   ，U(a,b) ， E() 例 4 设每袋水泥的重量 ~ (50 , 2.5 ) 2 X N （单位：公斤），卡车的载重量为 2 吨，为了以 0.95 的概率保证不超载，一车最多能装多少袋水泥？ 解 设一车装 n 袋水泥，则总重量为 ~ (50 , 2.5 ) 2 2 Y  nX N n n 按要求 ) 0.95 2.5 2000 50 ( 2000) (      n n P Y 查表得 1.645 2.5 2000 50   n n  n  2000/54.1125  36.96

故一车最多能装36袋水泥。解设一车装n袋水泥，则总重量为Y=≥X,～N(50n，2.5*n)i=l2000-50n)≥0.95按要求P(Y≤2000)=Φ(2.5/n2000-50n≥1.645→n≤39.483，故一车最多能装39袋水泥。查表得2.5/nPi.=ZpyFx(x)=F(x,+00)3.联合分布→边缘分布[x(x)= Lt f(x, y)dy4.随机变量函数的分布y=g(x)[x[h(y)]·|'(y)],α<y<β①公式法：f(n)=)Jr(y)=其他0,X与Y独立P(X+Y=k)=-ZP(X=i,Y=k-i) = ZP(X =i)p(Y=k-i)X与Y独立fx+r(z)=f(x,z-x)dx=[fx(x)fr(z-x)dx②分布函数法：Fz(z)=P(g(X)≤z)=fz(z)=F(z)（注意分段函数）三、数字特征1.计算E(X), D(X)=E(X)-E(X), COV(X,Y), Px2.性质: ① E(aX +b)=aE(X)+b, D(aX+b)=aD(X)② E(ZX))=ZE(X), D(X±Y)= D(X)+D(Y)±2COV(X,Y)E(XY)= E(X)E(Y)③X与Y独立={D(X ±Y) = D(X)+ D(Y)

故一车最多能装 36 袋水泥。 解 设一车装 n 袋水泥，则总重量为 ~ (50 , 2.5 ) 2 1 Y X N n n n i  i   按要求 ) 0.95 2.5 2000 50 ( 2000) (      n n P Y 查表得 1.645 2.5 2000 50   n n  n  39.483，故一车最多能装 39 袋水泥。 3.联合分布  边缘分布              f x f x y dy p p F x F x X j i ij X ( ) ( , ) ( ) ( , ) 4.随机变量函数的分布 ①公式法： f (x) X ( ) ( ) y g x x h y            0, 其他 [ ( )] ( ), ( ) f h y h y  y  f y X Y                             f z f x z x dx f x f z x dx P X Y k P X i Y k i P X i p Y k i X Y X Y X Y i i X Y ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 与 独立 与 独立 ②分布函数法： FZ (z)  P{g(X)  z}  f (z) F (z) Z Z   （注意分段函数） 三、数字特征 1.计算 E(X) ， ( ) ( ) ( ) 2 2 D X  E X  E X ，COV(X,Y) ，  XY 2.性质：① E(aX b)  aE(X) b， ( ) ( ) 2 D aX  b  a D X ②    i i E Xi E Xi ( ) ( )， D(X Y)  D(X)  D(Y)  2COV(X,Y) ③X 与 Y 独立         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D X Y D X D Y E XY E X E Y

Pu = Pi. = P.j3.两个概念：X与Y相互独立F(x,Jy)=Fx(x)Fy(y)f(x,y)= fx(x)fr(y)COV(X,Y)= Pxr =0X与Y不相关E(XY)= E(X)E(Y)D(X + Y)= D(X)+ D(Y)X与Y均服从两点分布X与Y独立一COV(X,Y)=0特例：(X,Y)服从二维正态分布四、数理统计1.三个概念：总体、样本、统计量（X,S2)2.三个分布：F(n,n)x(n)N(0,1)(n)3.三个结论：X,X,,.,X ~ N(u,o?)=n-1s2～(n-1)；③与相互独立N(u,--):4.二个方法：矩估计；极大似然估计5.二个标准：无偏性；有效性6.置信区间（三个公式）（注意置信度1-α与区间长度L的关系）例5（练习18.5）设～E(1/0），证明=nX为0的无偏估计。证明: : Jx (x)=n[1-Fx(x)"-" fx(x) =f(x)=n[1-Fx(x)"-" fx(x). E(0)= [tx fa(x)dx = 0

3.两个概念： X 与 Y 相互独立          ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) f x y f x f y p p p F x y F x F y X Y ij i j X Y            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 0 D X Y D X D Y E XY E X E Y COV X Y X Y  XY 与 不相关 特例： ( , ) 0 ( , )       X Y COV X Y X Y X Y 与 独立 服从二维正态分布 与 均服从两点分布 四、数理统计 1.三个概念：总体、样本、统计量 ( , ) 2 X S 2.三个分布： 3.三个结论： , , , ~ ( , ) 2 X1 X2 X N   iid  n  ① ~ ( , ) 2 n X N   ；② ~ ( 1) 1 2 2 2   S n n   ；③ X 与 2 S 相互独立 4.二个方法：矩估计；极大似然估计 5.二个标准：无偏性；有效性 6.置信区间（三个公式）（注意置信度 1 与区间长度 L 的关系） 例 5（练习 18.5）设 X ~ E(1/) ，证明   1 ˆ  nX 为  的无偏估计。 证明：  ( ) [1 ( )] ( ) 1 * 1 f x n F x f x X n X X     ( ) [1 ( )] ( ) 2 1 f ˆ x n F x f x X n X         E )  x ˆ ( f ˆ (x)dx   N(0,1) ( ) 2  n t(n) ( , ) F n1 n2