华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第七章 参数估计 §7.4 区间估计 第八章 假设检验 §8.1 基本问题和方法

$ 7.4区间估计一、概念问题：如何让9与9的误差体现在估计中？办法：对给定的置信度1-α构造置信下限0(Xi，X2，，X)和置信上限(Xi，X2，，X)P(0<0<0,)=1-α使称(@,)为未知参数θ的置信度为1-α的置信区间含义：若1-α=0.95，抽样100次中约有95个(@）包含0二、 N(u,α)中u的置信区间1、2已知(t)X-μN(0,1)Jo%[X-μ1-αa/2P(a/2<ua/2)=1-αa//noUa12<<X+P(X_-uα/2α/2)=1-αua/2x/nVnX+0即参数μ的置信度为1-α的置信区间为（X-ua12，a12)VnVn例1（P180例7.13）滚珠直径X~N(μ0.006)n=61.461.511.491.481.521.51α=0.05求μ的置信区间。解：X=1.495，Uo.05/2=Uo.02s=1.960.0006x1.96)=(1.4754,1.5146)(1.495 ±=6

§7.4 区间估计 一、概念 问题：如何让  ˆ 与  的误差体现在估计中？ 办法：对给定的置信度 1 构造置信下限 1 ˆ  (X1，X2，.，Xn)和置信上限 2 ˆ  (X1，X2，.，Xn) 使 P( ˆ 1   ˆ 2 ) 1 称 ) ˆ , ˆ (1  2 为未知参数  的置信度为 1 的置信区间 含义：若 1 =0.95，抽样 100 次中约有 95 个 ) ˆ , ˆ (1  2 包含  。 二、 ( , ) 2 N   中  的置信区间 1、 2  已知 ∵ ~ (0,1) 2 N X n    ∴         ) 1 / ( u / 2 n X P     (   / 2    u / 2 ) 1 n u X n P X 即参数  的置信度为 1 的置信区间为 ( , )  / 2  / 2   u n u X n X   例 1（P180 例 7.13）滚珠直径 X~N(μ ,0.006) n=6 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51   0.05 求μ 的置信区间。 解： x =1.495，u0.05/ 2  u0.025 1.96  1.96) (1.4754, 1.5146) 6 0.0006 (1.495   

1=2xa12注：置信区间的长度：(例1 中[=0.0392)Vn（2）1与/n反比（1）1与α正比（3）α越大，1越小2、α2未知f(x)X-μJn~ N(0,I)X-μJn~(n-1)T=s1-αa2a2P( T |<ta2(n- 1)=1 -αSSP(X_(n-1)<μ+ta/(n-1))=1-αt a/2(n-1)-t α/2(n-1)YVn'%hVnghSS=1al2(n-1),X+即参数μ的置信度为1-α的置信区间为（X-=1α/2(n-1)nIn例2（续例1）若g未知，则计算s=0.02258，查表to.025（5）=2.5706算得μE(1.495±0.0237)=(1.4713,1.5187)，1=0.0474三、N(u,）中的置信区间(n-1)s2P(xa(n-1)<(n-1)S2..x2(n-1)(n-1)=1-α02O2-I f(α)α-2a2A22axXα (n-1)% (n-1)22

注：置信区间的长度： 2  / 2  u n l   （例 1 中 l =0.0392） （1）l 与σ 正比 （2）l 与 n 反比 （3）  越大，l 越小 2、 2  未知 n ~ N(0,1) X    ~ ( 1)   n t n S X T  P( T  t  2 (n 1)) 1 (   ( 1)     ( 1)) 1 2 2 t n n S t n n S P X 即参数  的置信度为 1 的置信区间为 ( ( 1) , ( 1))  / 2   t / 2 n  n S t n X n S X   例 2（续例 1）若σ 未知，则计算 s=0.02258，查表 t0.025（5）=2.5706 算得  (1.495 0.0237)  (1.4713, 1.5187) ， l = 0.0474 三、 ( , ) 2 N   中 2  的置信区间 ∵ ~ ( 1) ( 1) 2 2 2   n n S                  ( 1)) 1 ( 1) ( ( 1) 2 2 1 2 2 2 2 1 n n S P n

(n-1)s2(n-1)s2即 P(92=1-α22(n-1)(n-l)21-0h(n-1)s2(n-1)s2P(=1-α<oayn-1(n-1)TX1-0/h例3（P183例7.14）零件长度X~N（u,α2）n=16，α=0.05，求α的置信区间。解：计算（x=2.125），S=0.017127，查表x0.025(15)=27.488，x0.97s(15)=6.262(0.01265,0.02651)=

即 P( ( 1) ( 1) 2 2 2   n n S     2  ( 1) ( 1) 2 2 1 2    n n S   ) 1 P( ( 1) ( 1) 2 2 2   n n S     ( 1) ( 1) 2 2 1 2    n n S   ) 1 例 3（P183 例 7.14）零件长度 ~ ( , ) 2 X N   n=16，  0.05 ，求  的置信区间。 解：计算（ x  2.125 ），S=0.017127，查表 (15) 27.488 2  0.025  ， (15) 6.262 2  0.975   (0.01265 , 0.02651)

第八章假设检验S8.1基本问题和方法一、问题的提出引例（P192例8.1）味精厂用一台包装机自动包装味精，包得的袋装味精重量服从N(μα2)，当机器正常时，其均值μ。=0.5kg，标准差α。=0.015kg，某日开工后随机地抽取9袋味精，称得重量（单位：kg）为0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.5200.515，0.512，问这台包装机是否正常？正常Ho:μ=0.5-0.5k)=α故取k使（小概率）X-0.5 ~ N(0,~)检验统计量的分布n二、两类错误第一类错误～弃真：P（拒绝H。IH。为真）=α第二类错误～存伪：P（接受HlH.不真）=β办法：在控制α≤α。（显著水平）的前提下，使β可能地小。三、检验步骤1、根据实际问题，提出原假设H。和备择假设HX~F(x,0)H.:0e

第八章 假设检验 §8.1 基本问题和方法 一、问题的提出 引例（P192 例 8.1）味精厂用一台包装机自动包装味精，包得的袋装味精重量服从 N(μ σ 2 )，当机器正常时，其均值μ 0=0.5kg，标准差σ 0=0.015kg，某日开工后随机地抽 取 9 袋味精，称得重量（单位：kg）为 0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520， 0.515，0.512，问这台包装机是否正常？ 正常 H0 ：   0.5 如果 H0 为真 x  0.5  k 太大的标准 k =? 小概率原则：小概率事件在一次试验中不应该发生 故取 k 使 P( X  0.5  k)  （小概率） 检验统计量的分布 0.5 ~ (0, ) 2 n X N   二、两类错误 第一类错误 ~ 弃真： P（拒绝 H0 | H0 为真）= 第二类错误 ~ 存伪： P（接受 H0 | H0 不真）=  办法：在控制   0 （显著水平）的前提下，使  可能地小。 三、检验步骤 1、根据实际问题，提出原假设 H0 和备择假设 H1 X ~ F(x,) H0 : 

2、构造检验统计量T（Xi，X2，，Xn），使H。为真时，T有确定的分布，如X-~N(0,1)U=Vo/n3、对给定的显著水平α，确定H。的拒绝域W如：W=(x,x2,"",x):T>k)使P(X,"",X,)eW)=α4、作出检验结论(X,",X,)eW=拒绝Ho(Xi,",X.)ew=不拒绝Ho~认为Ho与实际情况差异不显著

2、构造检验统计量 T（X1，X2，.，Xn），使 H0 为真时，T 有确定的分布，如 ~ (0,1) / 2 0 N n X U     3、对给定的显著水平  ，确定 H0 的拒绝域 W 如： W  (x1 , x2 ,  , xn ):T  k 使 P((X1 ,  , Xn )W)  4、作出检验结论 (X1 ,  , Xn )W  拒绝 H0 (X1 ,  , Xn )W  不拒绝 H0~认为 H0与实际情况差异不显著