华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第二章 随机变量及其分布 §2.3 连续型随机变量（1/2）

例3某射手向一远处活动目标射击，其命中率p=0.005。求他独立地射击200次能命中5次以上的概率。解记X为命中次数，则X~B(200，0.005)P(X >5)=1-P(X ≤5)ZCo0.005*0.995200-1k=0=1—0.999436=0.000564limchpn(1-p,)n-kPoisson定理若limnpn=元（入>0），则k!(np, / n)*npCh pn*(1- p,)"-k = n(n-1).(n-k+1)证明k!k-1、(npn)npn= 1. (1-(1np[(1-np(1-p,)-k!nnn2kk!(np)knr应用：设X~B(n.p)，当n>10,p5)=1-P(X=k)~1-k!k=0k=0N查表P2670.0005942=k!2元20注意到：10>0Lk!k!k=0

例 3 某射手向一远处活动目标射击，其命中率 p=0.005。求他独立地射击 200 次 能命中 5 次以上的概率。 解 记 X 为命中次数，则 X ~B(200，0.005) P(X  5) 1 P(X  5)     5 0 200 1 2000.005 0.995 k k k k C =1—0.999436 =0.000564 Poisson 定理 若    n n limnp （λ >0），则       e k C p p k n k n k n k n n ! lim (1 ) . 证明 n n k k n k n n k n k n n np k np n C p p n n n k        (1 ) ! ( / ) (1 ) ( 1).( 1) k n n p n p n n k n p n np k np n k n n  n          [(1 ) ] (1 ) ! ( ) ) 1 ).(1 1 1 (1    n   e k k ! 应用：设 X ~B(n,p)，当 n >10，p < 0.1 时，有 np k e k np P X k    ! ( ) ( ) 续例 3：             5 0 200 0.005 5 0 ! (200 0.005) ( 5) 1 ( ) 1 k k k e k P X P X k      6 1 ! 1 k k e k  查表P267 0.000594 注意到： 0 ! 1 0    e k k ； 1 ! 2 0 0      k k e k  

3.泊松(Poisson）分布X～P(a)2kP(X = k) :(>0),k=0,1,2,...k!例4（P46例2.6）由某商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售量（单位：件）可用参数为入=5的泊松分布描述。为了有99%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少要进货多少件？解记X为该商品的月销售量（件），由题设X~P(5）设月底进货N件，则不脱销的概率为P(X≤M)=Ze~ ≥0.99=ok5kM0.91-0.6i=1i-1In0.1→0.6*=4.5，即k>5。ln 0.6

3．泊松（Poisson）分布 X ~ P()     e k P X k k ! ( ) （   0 ）， k=0,1,2,. 例 4（P46例 2.6）由某商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售量（单位： 件）可用参数为λ =5 的泊松分布描述。为了有 99%以上的把握保证不脱销，问商店在 月底至少要进货多少件？ 解 记 X 为该商品的月销售量（件），由题设 X~P(5) 设月底进货 N 件，则不脱销的概率为 0.99 ! 5 ( ) 0 5       N k k e k P X N 即 0.01 ! 5 1 5       k N k e k 查表得 N+1≥12，即 N≥11。 4．几何分布 设每次试验的“成功”率均为 p，X 为进行独立试验首次“成功”的试验次数，则 P X k p p k 1 ( ) (1 )     k=1,2,. 例 5（P46例 2.7）设某求职人员，在求职过程中每次求职成功的概率为 0.4。试问该 人员至少求职多少次，才能有 0.9 的把握获得一个就业机会？ 解 记 X 为首次求职成功的求职次数，则 X 服从 p=0.4 的几何分布。 1 0.6 0.9 1 0.6 0.4(1 0.6 ) ( ) ( ) 0.6 0.4 1 1 1                k k k i i k i P X k P X i  0.6  0.1 k 4.5 ln 0.6 ln 0.1  k   ，即 k≥5

S2.3连续型随机变量一、问题的提出?出生于元月一日零点？灯管寿命为200小时？例1设飞机投弹到区域D=(x,J)：x2+y2≤r)内的概率与半径的平方成正比。记X为弹着点到目标中心的距离，求X的分布函数（0≤r≤2）。解ANF(x)F(x) = P(X≤x)0,x<0= kx?,0≤x≤21,x≥202x且 P(X ≤2)= P(2)=k2?=1=k=1F(x)=p;F(x)=tdi连续化类比1≤x≤2x,≤x二、定义如果对随机变量X存在一（非负）函数f(x)，使其分布函数F(x) = [f(t)dt00<x<+0则称X为连续型随机变量，记为C.R.V，并称f(x)为X的概率密度函数

§2.3 连续型随机变量 一、问题的提出 ●出生于元月一日零点？ ●灯管寿命为 200 小时？ 例 1 设飞机投弹到区域 D={(x, y): x 2 +y 2≤r 2 }内的概率与半径的平方 r 2 成正比。 记 X 为弹着点到目标中心的距离，求 X 的分布函数（0≤r≤2）。 解 F(x)  P(X  x)           1, 2 , 0 2 0, 0 2 x kx x x 且 P(X  2)  P()  2 1 2 k   4 1 k  类比    x x i i F(x) p 连续化   x F x tdt 0 2 1 ( ) 1≤x≤2 二、定义 如果对随机变量 X 存在一（非负）函数 f (x)，使其分布函数   x F(x) f (t)dt －∞< x <+∞ 则称 X 为连续型随机变量，记为 C.R.V.，并称 f (x)为 X 的概率密度函数。 1 0 2 x F(x)

三、性质(1）C.R.V.的分布函数F(x)为连续函数：从而0≤ P(X=a) ≤P(a-△x<X≤a)=F(a)-F(a-△x)0Ax-0(2) P(a<X≤b)(x)= F(b)- F(a)Dd（3）若f(x)在X处连续，则b0F(x)= f(x)f(x)dx=1f(x)≥(4)0≤x<1x,1≤x<2f(x)=^ A-x,例2设X的密度函数0,其他试求（1）常数A；（2）P(-1<X<3/2)；（3）F(x)。解 (1) [~ f(x)dx= J xdx+F(A-x)dx=+(A-号)= A-1=1=A=2(2) P(-1<X<号)=[ f(x)dx=Jxdx+"2(2-x)dx=++1-号=

三、性质 （1）C.R.V.的分布函数 F(x)为连续函数； 从而 0≤ P(X=a) ≤ P(a  x  X  a)= F(a)  F(a  x) x0 0 （2） P(a  X  b) f(x)  F(b)  F(a)   b a f (x)dx （3）若 f(x)在 x 处连续，则 a b x F(x)  f (x) （4） ； ( ) 1    f x dx 例 2 设 X 的密度函数            0, 其他 , 1 2 , 0 1 ( ) A x x x x f x 试求（1）常数 A；（2）P(－1<X<3/2)；（3）F(x)。 解（1）     f (x)dx     2 1 1 0 xdx (A x)dx ( ) 1 1 2 3 2 1   A  A   A  2 （2）      3/ 2 1 2 3 P( 1 X ) f (x)dx      3/ 2 1 1 0 xdx (2 x)dx 8 7 8 5 2 1  1  f(x) ≥ 0

f(x)dx = 0,x2(3)J xdx+['(2-x)dx=1-(2-x), 1≤x21.f(x)021xF(x)X

（3）                                1, 2 (2 ) 1 (2 ) , 1 2 , 0 1 2 ( ) ( ) 0, 0 ( ) 2 2 1 1 1 0 2 0 x xdx x dx x x x x f x dx xdx f x dx x F x x x x x f(x) 0 1 2 x 1 0 1 2 3 1 F(x) x

n 200C(n,k) :k:1..nCrCmk - C(n, k)6061626364.TCm7.041 ·10511.616 ·10523.623 ·10 52 7.935 ·10521.699 .1053+P(KP0.005Pk p"6789672.5.1051.2510-76.2510-10|3.12510-121.56310-14m

n 200 C( n  k) 1 k j ( n j 1) j = k 1   n Cmk C( n  k) Cm0 1 CmT 60 61 62 63 64 0 7.041 10 51 1.616 10 52 3.623 10 52 7.935 10 52 1.699 10  53 P0 1 p 0.005 Pk p k P T 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2.5 10 -5 1.25 10 -7 6.25 10 -10 3.125 10 -12 1.563 10 -14 0 0 0  PB 0 m j C( n  j) p j  ( 1 p) n j  =