复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）微积分实际应用举例

85微积分实际应用举例微元法我们先回忆一下求曲边梯形面积s的步骤：对区间[a,b]作划分a=xo<x,<x2<...<x,=b,然后在小区间[x-1,x,]中任取点5,，并记△x,=x,-x-1，这样就得到了小曲边梯形面积的近似值△S,~f(S)Ax。最后，将所有的小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到S = limZf(5)Ax, = f" f(x)dx

微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[, ] a b 作划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 然后在小区间 ],[ 1 ii xx − 中任取点ξ i ，并记Δ = − iii −1 xxx ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i ii Δ ≈ ξ )( ΔxfS 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 ∑ = → = Δ n i ii xfS 1 0 ξ )(limλ ∫ = ba )( dxxf 。 §5 微积分实际应用举例

对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点x和x分别记为x和x+△x，将区间[x,x+Axl上的小曲边梯形的面积记为AS，并取,=x，于是就有AS~f(x)Ax。然后令Ax→0，这相当于对自变量作微分，这样Ax变成dx，As变成dS，于是上面的近似等式就变为微分形式下的严格等式ds=f(x)dx。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的过程视作对微分形式ds=f(x)dx在区间[a,bl上求定积分，就得到S=f'f(x)dx

对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 xi−1和 xi分别 记为 x 和 x + Δx ，将区间 + Δxxx ],[ 上的小曲边梯形的面积记为 Δ S ，并 取 x ξ i = ，于是就有 Δ ≈ )( ΔxxfS 。然后令 Δx → 0，这相当于对自变量作 微分，这样 Δx 变成dx ，Δ S 变成dS ，于是上面的近似等式就变为微分 形式下的严格等式dS f x dx = ( ) 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值 进行相加，再取极限的过程视作对微分形式 = )( dxxfdS 在区间[, ] a b 上 求定积分，就得到 ∫ = b a )( dxxfS

根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下的步骤自变量科学转为电花蓝势→ dS = f(x)dx→S = I" (x)dx规律分割[x,x+Ax]AS ~ f(x)Ax -来直接求解。了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始就将小区间形式地取为[x.x+dxl（dx称为x的微元），然后根据实际问题得出微分形式dS=f(x)dx（ds称为s的微元），再在区间[a,bl上求积分。也就是dx→dS = f(x)dx→S= ["f(x)dx 。这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如84中计算曲线的弧长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出，下面我们举一些其它类型的例子

根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 ⎯⎯ → xxx ],[ ⎯Δ+⎯ ⎯→ )( Δ≈Δ⎯ xxfS 规律 科学 分割 自变量 ∫ ⎯⎯→ ⎯=⎯ ⎯→ =⎯ b a )( )( dxxfSdxxfdS 积分 直接 微分 转为 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为 + dxxx ],[ （dx称为 x 的微元），然后根据实际问 题得出微分形式 = )( dxxfdS （dS 称为 S 的微元），再在区间 ba ],[ 上求积 分。也就是 ∫ ⎯⎯→ ⎯= ⎯→ = b a )( )( dxxfSdxxfdSdx 。 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧 长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导 出，下面我们举一些其它类型的例子

由静态分布求总量我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为1的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在x轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在x处的密度（称为线密度）可由某个连续的分布函数p(x)表示（xE[0,l1），由微元法，它在[x,x+dxl上的物理量dQ为dQ =p(x)dx,对等式两边在[0,11上积分，就得到由分布函数求总量的公式Q=J'p(x)dx

由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数ρ( ) x 表示( x l ∈[, ] 0 )，由微元法，它在 + dxxx ],[ 上 的物理量dQ 为 dQ x dx = ρ( ) ， 对等式两边在[, ] 0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式 Q x dx l = ∫ ρ( ) 0

例7.5.1如图7.5.1的一根金属棒，其密度分布为p(x) = 2x2 +3x +6 (kg/m),06x求这根金属棒的质量M。解M = [(2x+3x+6)dx图 7.5. 13= 234 (kg) 。+6x2

例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1

例7.5.1如图7.5.1的一根金属棒，其密度分布为p(x)= 2x2 +3x +6 (kg/m),06x求这根金属棒的质量M。解M=[(2x2+3x+6)dx图7.5.132+6x=234 (kg) 。210这个问题可以作以下的推广：(1)假定物理量分布在一个平面区域上，x的变化范围为区间[a,b]。如果过x（a≤x≤b）点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用f(x）表示，或者说该平面区域在横坐标位于[x,x+dx]中的部分上的物理量可以表示为f(x)dx，那么由类似的讨论，可以得到这个区域上的总物理量为Q= J'f(x)dx

这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x的变化范围为区间[, ] a b 。 如果过 x （ ≤ ≤ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 xf )( 表示，或者说该平面区域在横坐标位于 + dxxx ],[ 中的部分上的物理量可以表示为 )( dxxf ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 Q f x dx a b = ∫ ( ) 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1

例7.5.2求圆心在水下10m，半径为1m的竖直放置的圆形铁片（图7.5.2）所受到的水压力。解由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压强为p= hpg ,这里，p是液体的密度，g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10+x处（-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g，在圆铁水面片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的x+10一条带域，则带域的面积为dS = 2/1- x2 dx ,dx所以带域上所受到的压力为dF = 2g /1-x2 .(10 + x)dx ,于是铁片所受到的水压力为(N)F = 2gL, /1- x2 .(10 + x)dx = 10πg图7.5.2

例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的 压强为 = ⋅ ρghp ， 这里， ρ 是液体的密度， g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿 铅垂线方向向下为x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 1 ≤ x ≤ )受到的压强为( ) 10 + x g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 dS dxx 2 12 −= ， 所以带域上所受到的压力为 )10(12 dxxxgdF 2 +⋅−= ， 于是铁片所受到的水压力为 10)10(12 πgdxxxgF 1 1 2 =+⋅−= ∫− （N）

这个结论可以推广到立体区域去。事实上，S4的第三部分给出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公式：设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为A(x），则几何体的体积为V= f' A(x)dx。此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数A(x）是截面的面积

这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x a = 和 x b = 之间的几何体的体积公 式：设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A x( )， 则几何体的体积为 V A x dx a b = ∫ ( ) 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 xA )( 是截面的面积

（2）假定物理量是分布在一条平面曲线x = x(t),t e[T, T,]y = y(t),上，分布函数（即物理量的密度）为f(t)，在(x(t),y(t))处截取一段长度为dl的弧，那么在这段弧上的物理量do为dQ= f(t)dl 。利用弧长的微分公式，dQ = f(t)dl = f(t)/x'(t)? + y'(t) dt ,关于t在[T，T]上积分，就得到Q=f"f(t)dl ="f(t)/x(t)2 + y(t) dt 。这个结论可以推广到空间曲线的情况

⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x xt y yt t TT = = ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f t( )，在( ( ), ( ) ) xt yt 处截取一段 长度为dl 的弧，那么在这段弧上的物理量dQ 为 = )( dltfdQ 。 利用弧长的微分公式， dQ f t dl = ( ) = f t x t y t dt () () () ′ + ′ 2 2 ， 关于 t 在[, ] T T 1 2 上积分，就得到 Q f t dl f t x t y t dt T T T T = = ∫ ∫ () () () () ′ + ′ 1 2 1 2 2 2 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况

例7.5.3设上半个金属环x2+2=R2（≥0）上任一点处的电荷线密度等于该点到>轴的距离的平方，求环上的总电量。解将金属环的方程写成参数形式x=Rcost,t e[0, 元],y=Rsint,于是dl = yx'(t)2 + y'(t)2 dt = Rdt 。分布函数 f(t)=[x(t)= R2 cos2 t，因此dQ = f(t)dl = R3 cos2 t dt ,所以环上的总电量为R3元Q=R3J'cos? t dtt:2

例 7.5.3 设上半个金属环 222 =+ Ryx （ y ≥ 0）上任一点处的电 荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。 解 将金属环的方程写成参数形式 xR t yR t t = = ⎧⎨⎩ ∈ cos , sin , [, ] 0 π ， 于是 dl = x t y t dt R dt ′() () + ′ = 2 2 。 分布函数 f t xt R t ( ) [ ( )] cos = =2 22 ，因此 dQ f t dl = ( ) = R t dt 3 2 cos ， 所以环上的总电量为 Q R t dt R = = ∫ 3 2 0 3 2 cos π π