复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十三章 重积分 13.4 反常重积分

习题13.4反常重积分1.讨论下列反常积分的敛散性：dxdy(1) R (1+ /x/P)(1+1 y1)p(x,y)F(2）dxdy, D=((x,y)10≤y≤1),而且01且g>1时收敛，所以原积分当p>1且g>1时收敛，而在其他情况下发散。（2）由于[p(x, y)Mm(1+x? +y?)p(1+x?+y2)p(1+x?+y2)p1dxdy当p>时收敛，当ps时发散，所以原积而积分5 (1+x2 + y21分当p>时收敛，当p时发散。（3）由于[(x, )Mm(1-x?-y)p(1-x -y2)p(1-x2-y2)P而rdid(1-r2rdeldxdy =(1-r2)p=p'sP+ys (1-x2-y2)p(1-r2)当p→0时，等式右端的积分当p<1时收敛，当p≥1时发散，所以原积分当p<1时收敛，当p≥1时发散。(4）[0,a]×[0,a]=D,UD,，其中D, =(x,y)o≤y≤x≤a), D, = (x,y)lo≤x≤y≤a)。则-

习 题 13.4 反常重积分 1． 讨论下列反常积分的敛散性： （1）∫∫ 2 (1+ | | )(1+ | | ) R p q x y dxdy ； （2） ( ) ∫∫ D + + dxdy x y x y p 2 2 1 ϕ( , ) ，D = {(x, y) |0 ≤ y ≤ 1}，而且0 1 q > 1 p > 1 q > 1 （2）由于 ≤ + + p x y m (1 ) 2 2 ≤ + + p x y x y (1 ) ( , ) 2 2 ϕ p x y M (1 ) 2 2 + + ， 而积分 ( ) ∫∫ D + + dxdy x y p 2 2 1 1 当 2 1 p > 时收敛，当 2 1 p ≤ 时发散，所以原积 分当 2 1 p > 时收敛，当 2 1 p ≤ 时发散。 （3）由于 ≤ − − p x y m (1 ) 2 2 ≤ − − p x y x y (1 ) ( , ) 2 2 ϕ p x y M (1 ) 2 2 − − ， 而 ∫∫ ∫ ∫ ∫ − − = − − = − − ≤ + ≤ 1 2 2 1 2 2 0 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 ρ ρ π ρ θ π p p x y p r d r r rdr dxdy d x y ， 当 ρ → 0时，等式右端的积分当 p < 1时收敛，当 时发散，所以原 积分当 时收敛，当 时发散。 p ≥ 1 p < 1 p ≥ 1 （4）[0, ] a a × = [0, ] D1 ∪ D2，其中 D1 = { } (x, y) 0 ≤ y ≤ x ≤ a ，D2 = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y ≤ a}。 则 1

dxdydxdydxdyB (x-y)pD(y-x)[0,a]x[0,a]dxdx(x-+'df['dy]-y-x)p可知当pq>1;BxPy9()r(2)dxdy;(r*+y*+)dxdydz (3)[r dxdy =r解 (1)dxJr-dyxPy91+o9-1J xp-94r dx =(p-q)(q-1)（2）作广义极坐标变换x=arcoso,y=brsinの，则Jesa+62[e-"rdr=rabdxdy=ab[[e-" rdrde =ab[?"de],r21(3) (fe(*+y+)dxdydz = e-* dx[e-" dye dz3.设D是由第一象限内的抛物线y=x2，圆周x2+y2=1以及x轴所围的平面区域，证明ddy收敛。x2+y证取r>0充分小，设D,=(x,y)lo≤y≤x2,0≤x≤r，x是抛物线y=x2与圆周x2+2=1交点的横坐标，则dy[dxdy+DID

dxdy x y p a a × − ∫∫ [,] 0 0[ , ] ∫∫ − = 1 ( ) D p x y dxdy ∫∫ − + 2 ( ) D p y x dxdy ∫ ∫ ∫ ∫ − + − = a x p a a y p a y x dx dx x y dx dy ( ) ( ) 0 0 ， 可知当 p q > 1； （2） e dx x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dy ； （3）∫∫∫ − + + 。 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z 解 （1） ∫∫ D p q x y dxdy 1 1 1 1 p q x dx dy x y +∞ +∞ = ∫ ∫ 。 1 1 1 1 1 1 ( p q dx q x p q q +∞ − + = = − − ∫ )( −1) 。 （2）作广义极坐标变换 x = ar cosθ , y = brsinθ ，则 e dxdy x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = = ∫∫ ∫ ∫ +∞ − ≥ − 1 2 0 1 2 2 e rdrd ab d e rdr r r r π =ab θ θ e πab 。 （3）∫∫∫ − + + 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ − +∞ −∞ − = e dx e dy e dz x y z 2 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ +∞ −∞ − 3 2 e dx x 2 3 π 。 3．设D是由第一象限内的抛物线 y = x 2 ，圆周 x y 2 2 + = 1以及 x轴所围 的平面区域，证明∫∫ + D 2 2 x y dxdy 收敛。 证 取r > 0充分小，设Dr = {(x, y) 0 ≤ y ≤ x ,0 ≤ x ≤ r} 2 ， 是抛物线 与 圆周 交点的横坐标，则 0 x y = x 2 x y 2 2 + = 1 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − + + + = + 2 0 2 0 1 0 2 2 1 0 2 2 \ 2 2 x x x x r D x y dy dx x y dy dx x y dxdy D r 2

dyarctanxx2 + y2aretanxax存在，所以lim Jxdy,存在，即反常积分由于lim[DID,x + ydxdy_收敛。x+4.判别反常积分dxdyL (1+x)(1+ y2)是否收敛。如果收敛，求其值，dxdy解因为[dx,[dy,收敛，所以1=[收敛，并且(1+x)(1+)P1+y34dxdydxdy(1+x)(1+y) 001+x5. 设F(t)= [[e了dxdy，求F'(t)。02121[x=tua(x,)=，于是则解当t>0时，y=tva(u,v)F(t)=1?. [[e dudv,0us0所以2F(t)F'(t)= 2t.[edudy0s0当t=0时，F(0)=0，易得F()-F(0) = 0 。F'(0) = limt6.设函数f(x)在[0,al上连续，证明f(y)r('f(x)dx 。dxdy=元(a-x)(x-y)0≤ySxs证由于f(y)dxdy=dxf(y)dyJ(a-x)(x-y)(a-x)(x-y)0≤y<x≤a1在积分dx中，令x=ycos?t+asin?t，则dx=(a-y)sin2tdt，(a-x)(x-y)且当x:y→α时，t:0→，于是23

∫ ∫ ∫ − + = + 2 0 0 1 0 2 2 arctan 1 x x x r x y dy dx dx x x ， 由于 → ∫ 0 arctan lim 0 x r r dx x x 存在，所以 ∫∫ → + Dr r x y dxdy \ 2 2 0 lim D 存在，即反常积分 ∫∫ + D 2 2 x y dxdy 收敛。 4．判别反常积分 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I 是否收敛。如果收敛，求其值。 解 因为∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ + + 2 2 1 1 y dy x dx 收敛，所以 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I 收敛，并且 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ + + 2 2 1 1 y dy x dx 2 = π 。 5．设 ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − = y t x t y tx F t e dxdy 0 0 2 ( ) ，求F′(t)。 解 当t > 0时，令 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = y tv x tu 2 ( , ) ( , ) t u v x y = ∂ ∂ ，于是 ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − = ⋅ 0 1 0 1 2 2 ( ) v u v u F t t e dudv， 所以 F′(t) = ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − ⋅ 0 1 0 1 2 2 v u v u t e dudv t 2F(t) = 。 当t = 0时，F(0) = 0 ，易得 0 ( ) (0) (0) lim 0 t F t F F → + t − ′ = = 。 6．设函数 f (x)在[0, a]上连续，证明 ∫∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ − − a y x a dxdy f x dx a x x y f y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) π 。 证 由于 ∫∫ ∫ ∫ − − = − − ≤ ≤ ≤ a y a y x a dx a x x y dxdy f y dy a x x y f y ( )( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 ， 在积分∫ − − a y dx (a x)(x y) 1 中，令 x = y cos 2 t + a sin 2 t ，则dx = (a − y)sin 2tdt ， 且当 x : y → a 时， 2 : 0 π t → ，于是 3

dx =[22dt=元a-x)(x-y)所以f(y)一dxdy=元"f(x)dx0syxsa /(a - x)(x - y)7.计算积分e++xdx,xR"fe+*) x,dx, . dx.解R*=e'dx fe' d re-' d, = ?。4

∫ − − a y dx (a x)(x y) 1 π π = = ∫ 2 0 2dt ， 所以 ∫∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ − − a y x a dxdy f x dx a x x y f y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) π 。 7．计算积分 ∫ − + + + 。 n n n x x x dx dx dx R ( " ) 1 2 " 2 2 2 2 1 e 解 ∫ − + + + n n n x x x dx dx dx R ( " ) 1 2 " 2 2 2 2 1 e 2 1 2 2 2 2 2 1 n n x x x e dx e dx e dx n = = π ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ − +∞ −∞ − " 。 4