复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十四章 曲线积分与曲面积分 14.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分

习题14.2第二类曲线积分与第二类曲面积分1.求下列第二类曲线积分：(1）「(x2+y)dx+(x2-y2)dy，其中L是以A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1)为顶点的正方形，方向为逆时针方向；(2）[(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy，其中L是抛物线的一段：y=x,-1≤x≤1，方向由(-1,1)到(1,1);(x+)x-(-)，其中是圆周x2+=a，方向为(3)x? + y?逆时针方向；（4）「ydx-xdy+(x?+y")dz，其中L是曲线x=e',y=e,z=a'，0≤t≤l，方向由(ee",a)到(1,1,1);(5）「xdx+ydy+(x+y-1)dz，L是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段;（6）『+zdy+ds，L为曲线[++=2a，若从=轴的正x+z=a(a>0)向看去，L的方向为逆时针方向；(7)[(y-2)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，L为圆周[x?+y? +2? =1,，若从x轴的正向看去，这个圆周的y=xtanα (0<α<元),方向为是逆时针方向。解: (1) [(x2 + y2)dx+(x2 -2)dy [+[+[ +[ (2+y)dx+(x -y)dy="x'dx+f(4-y)dy+f'( +1)dx+J(1-y")dy=2。(2) [(x2 -2xy)dx+(y2 - 2xy)dy = J"'[(x2 -2x3)+(x4 - 2x3)2x]dxL---.(3) [(x+y)dx-(x-)dyx? +y?

习 题 14.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针 方向； （2） ∫ − + − ，其中L 是抛物线的一段： L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1，方向由(−11, )到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为 逆时针方向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e −1 ,a)到(111 , , ) ； （5） ∫ ， 是从点 到点 的直线 段； + + + − L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ∫ ，L 为曲线 若从 轴的正 向看去， 的方向为逆时针方向； + + L ydx zdy xdz ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7）∫ − + − + − ， 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz L ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z ，若从 x 轴的正向看去，这个圆周的 方向为是逆时针方向。 解：（1）∫ + + − L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) AB BC CD DA x y dx x y dy ⎧ ⎫ = + ⎨ ⎬ + + + + − ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 0 2 2 2 2 1 0 2 1 = + x dx (4 − y d) y + (x +1)dx + (1− y d) ∫ ∫ ∫ ∫ y = 2。 （2）∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 ∫− = − + − 1 1 2 3 4 3 [(x 2x ) (x 2x )2x]dx 15 14 ( 4 ) 1 1 2 4 = − = − ∫− x x dx 。 （3）∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy 1

"[(cost+ sint)(-sint)-(cost- sint)cost]dt =-2元 。(4) I =[ydx-xdy+(x? +y°)dz =['[2 +(e2i +e-2")a' na]dt 。当=e2时, 1-I (4+2e")d--{(7+e);当a=e~时，I=f'2e-'dt=(-e-);当ae?且ae时,nI= - 2+ Inaf'[(ae2) +(ae-2)']dt =-2Ina+2Ina-(5) [xdx+ ydy+(x+ y-1)dz = J'[1+1+2(1+21)+3(1+31)]dt =13 。（6）由曲线积分的定义，以z=a-x代入积分，得到[ ydx + zdy + xdz = [(y - x)dx +(a - x)dy ,其中L为L在xy平面上的投影曲线（椭圆）2x2+y2=α2，取逆时针方向。今x：方acost, =asin1,t:0→2元，则[ydx + zdy + xdz1sint)+(1-sint-cOst)(-cost)costjdt-V22J2=-~2元α。（7）由曲线积分的定义，以y=xtanα代入积分，得到[(y-z)dx +(z-x)dy+(x- y)dz =(1-tanα) xdz -zdx,其中L，为L在zx平面上的投影曲线（椭圆）=2+x2secα=1，取顺时针方向。令x=cosαsint,z=cost,t:2元→0，则[(y-2)dx +(--x)dy+(x- y)dz=(1-tana)f,, cosa(-sin? t-cos t)dt = 2π(cosα-sinα)。2.证明不等式[ P(x, y)dx + Q(x, y)dy] ≤ MC ,其中c是曲线L的弧长，M=maxt/p2(x,)+o(x,y)(x,y)eL)。记圆周2

∫ = + − − − 2π 0 [(cost sin t)( sin t) (cost sin t) cost]dt = −2π 。 （4）I = ∫ − + + L ydx xdy (x y )dz 2 2 ∫ − = + + 0 1 2 2 [2 (e e )a ln a]dt t t t 。 当a = e 2时，I = ∫ + 0 1 4 (4 2e )dt t (7 ) 2 1 4 = − + e ； 当a = e−2时，I = ∫ − 1 0 4 2e dt t (1 ) 2 1 −4 = − e ； 当a ≠ e 2且a ≠ e−2 时， I = ∫ − − + + 0 1 2 2 2 ln a [(ae ) (ae ) ]dt t t a a ae a ae ln ln 2 1 ln 2 1 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = − + − 。 （5）∫ + + + − 。 L xdx ydy (x y 1)dz [1 2(1 2 ) 3(1 3 )] 13 1 0 = + + + + + = ∫ t t t dt （6）由曲线积分的定义， 以 z = a − x代入积分，得到 ∫ + + = L ydx zdy xdz ∫ − + − Lxy ( y x)dx (a x)dy， 其中 Lxy 为 L 在 xy 平面上的投影曲线（椭圆） ，取逆时针 方向。 2 2 2 2x + y = a 令 cos , sin , : 0 2π 2 1 x = a t y = a t t → ，则 ∫ + + L ydx zdy xdz ∫ = − − + − 2π 0 2 cos ) cos ] 2 1 sin ) (1 2 1 cos )( 2 1 a [(sin t t t t t dt = 2 − 2π a 。 （7）由曲线积分的定义，以 y = x tanα 代入积分，得到 ∫ − + − + − = L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz − ∫ − Lzx (1 tanα) xdz zdx， 其中Lzx为 L 在 zx 平面上的投影曲线（椭圆） ，取顺时 针方向。 sec 1 2 2 2 z + x α = 令 x = cosα sin t, z = cost, t : 2π → 0，则 ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz = − − − = ∫ 0 2 2 2 (1 tan ) cos ( sin cos ) π α α t t dt 2π (cosα − sinα)。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中C 是曲线L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 2

x2+?=R2为L，利用以上不等式估计ydx-xdyIR=Lr (x2 + xy+ y2)2并证明limI=0。证由Schwarz不等式及cos2α+cos?β=1，可得[ P(x, y)dx+(x, y)dy|= [P(x, )cosα +9(x, y)cos βJds≤ J|P(x, y)cosα +Q(x, y)cos β|ds≤J /[P(x,y)+Q'(x, y)[cos’α+cos’ β]ds ≤MJ ds= MC 。在积分 IR=「ydx-xdy中，令P(x,J)=(x2 +xy+y)(x? +xy+ y2n(r++y，则Q(x,y)=x? + y?16p? (x, y)+o?(x, y) = (x2 + xy+ y2)4 "(x2 + y2)3于是elc-，所以R3C-R?limIR=03.方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质量为m的质点沿抛物线y2=1-x从点(1,0)移到(0,1)时，场力所作的功。8解 W={Fds=-{′(1- v2)2 dy =4.计算下列第二类曲面积分：（1）[[(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy，其中Z是中心在原点，边长为2h的立方体[-h,h]×[-h,h]×[-h,h]的表面，方向取外侧;（2）Jxdd，其中2是椭球面+芸+号=1的上半部分，方向取上62+2a2侧；（3）[[zdydz+xdzdx+ydxdy，其中是柱面x2+y=1被平面z=0和z=4所截部分，方向取外侧（4）「[zxdydz+3dxdy，其中Z是抛物面z=4-x2-y2在z≥0部分，方向3

x y R 2 2 + = 2 为LR ，利用以上不等式估计 ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0。 证 由 Schwarz 不等式及cos 2 α + cos 2 β = 1，可得 ∫ ∫ + = + L P(x, y)dx Q(x, y)dy [P(x, y) cosα Q(x, y) cosβ]ds L ( , ) cos ( , ) cos L ≤ + P x y α β Q x y ds ∫ 2 2 2 2 ( , ) ( , ) cos cos L L ≤ + ⎡ ⎤ P x y Q x y ⎡ α β + ⎤ds ≤ M ds MC ∫ ∫ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = 。 在积分 ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 中，令 ( )2 2 2 ( , ) y P x y x xy y = + + ， ( )2 2 2 ( , ) x Q x y x xy y − = + + ，则 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 ( ) 16 ( ) ( , ) ( , ) x xy y x y x y P x y Q x y + ≤ + + + + = ， 于是 3 2 4 8 R C R I R π ≤ = ，所以 lim R R I →+∞ = 0。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构 成一个力场。求质量为 的质点沿抛物线 从点 移到 时，场力所作的功。 m y x 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 解 15 8 (1 ) 1 0 2 2 = = − − = − ∫ ∫ W d y dy L F s 。 4. 计算下列第二类曲面积分： （1）∫∫ ，其中Σ是中心在原点，边长 为 的立方体[ , Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy 2h −h h] × −[ h h, ] × [ , −h h]的表面，方向取外侧； （2）∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1的上半部分，方向取上 侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4）∫∫ ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 3

取下侧：(5)[[[f(x,y,2)+xldydz+[2f(x,y,2)+yldzdx+[f(x,y,z)+zldxdy ,其中f(x,,z)为连续函数，Z是平面x-y+z=1在第四卦限部分，方向取上侧；（6）JJxdydz+ydzdx+(2+5)dxdy，其中是锥面z=/x+y2（0≤z≤h），方向取下侧。eve(7)dzdx，其中Z是抛物面y=x2+=2与平面y=1，y=2所2+x围立体的表面，方向取外侧。+j2, 2?Ldydz+二ddx+=dxdy，其中≥为椭球面(8)=1，方向b2Ca-y取外侧；（9）「[xdydz+y'dzdx+2dxdy，其中Z是球面(x-a)?+(y-b)?+(z-c)2=R2，方向取外侧。解（1)将Z的上、下、左、右、前、后六个面分别记为2,(i=1,2,3,4,5,6)。则[(x+ y)dydz=[[(x + y)dydz + [[(x+ y)dydz [[ xdydz + [ xdydz = 2h [ dydz = 8h ,JJ(y + 2)ddx = J[ (y + )dzdx+ [[(y+z)dzdx- J ydzdx + [] ydzdx = 2h][ dzdx = 8h ,[[(z+ x)dxdy = [[(z+ x)dxdy+ [[(z+ x)dxd)[[=dxdy + [[ zdxdy = 2h [[ dxdy = 8h,D.所以[[(x + y)dydz +(y + z)dzdx +( + x)dxdy = 24h3。（2）设曲面≥的单位法向量为(cosα,cosβ,cosy），由dzdx=cosβds与dxdy =cosy ds，得到 dzdx= cos β。xdy。由于z的方向取上侧，dxb2zcos它在xy平面的投影区域为D：于是b2

取下侧； （ 5 ） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其中 f x( , y,z)为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向取上 侧； （6）∫∫ ，其中Σ是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7）∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8）∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中Σ是球面 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R ，方向取外侧。 解 （1）将Σ的上、下、左、右、前、后六个面分别记为Σ (i = 1,2,3,4,5,6) i 。 则 5 6 ( ) x y dydz ( ) x y dydz ( ) x y dydz Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 5 6 3 2 8 Dyz xdydz xdydz h dydz h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 3 4 ( ) y z dzdx ( ) y z dzdx ( ) y z dzdx Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 3 4 3 2 8 Dzx ydzdx ydzdx h dzdx h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 1 2 ( ) z x dxdy ( ) z x dxdy ( ) z x dxdy Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 2 3 2 8 Dxy zdxdy zdxdy h dxdy h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 所以 3 (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy = 24h ∫∫ Σ 。 （2）设曲面 Σ 的单位法向量为 (cosα, cos β, cosγ ) ，由 dzdx = cos β dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到 dxdy b z c y dzdx dxdy 2 2 cos cos = = γ β 。由于Σ 的方向取上侧， 它在 xy平面的投影区域为 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ( , ) + ≤ 1 2 2 2 2 b y a x D x y ，于是 4

yzdzdx-dxd'rdr= abc°abc?|sinede]（3）解法一x=cos0取曲面的参数表示=sin，D=(0,=)0≤2元,0≤≤4)，则2=2a(x,y)=0 。a(y,2) = cos0 ,(z,x),= sing,a(0,2)0(0,2)0(0,2)由于的方向取外侧，于是_a(y,z)+ sing(x,y)sg 0(z,x) ,[zdydz +xdzdx+ ydxdy =ded(0,-)0(0,=)a(0,2) f"cosodof,zdz +f。singcosodof,dz=0。解法二r由于曲面Z的单位法向量为(-0)，可知/x?+y?/x?+)[ydxdy = 0 。将柱面分成前后两部分,，其中,x=1-y,x=--2，则[ zdydz = [] zdydz + [[ zdydz = [ zdydz - J] zdydz = 0 , D.D.类似地可得「[xdzdx=0，所以[[ zdydz + xdzdx + ydxdy = 0 。（4）设曲面≥的单位法向量为(cosα,cosβ,cosy)，由dydz=cosαds与dkdy=cos ds，得到dyd=cosαdxdy=2xdkdy。由于≥的方向取下侧，cOsy它在xy平面的投影区域为D=（x,y)x2+y2≤1，于是[J zxdydz +3dxdy = J[ (2x*2+3)dxdy = -J[2x(4-x2 - y°)+3]dxdy

∫∫ Σ yzdzdx = ∫∫ Σ y dxdy = b c 2 2 2 ∫∫ D y dxdy b c 2 2 2 2 1 2 2 3 0 0 sin 4 abc d r dr abc π π 2 = = θ θ ∫ ∫ 。 （3）解法一 取曲面Σ 的参数表示 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y x θ θ sin cos D z = {( , θ θ ) 0 ≤ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 4}，则 ( , ) cos ( , ) y z z θ θ ∂ = ∂ ， ( , ) sin ( , ) z x z θ θ ∂ = ∂ ， ( , ) 0 ( , ) x y θ z ∂ = ∂ 。 由于Σ 的方向取外侧，于是 zdydz xdzdx ydxdy Σ + + ∫∫ ( , ) ( , ) ( , ) cos sin ( , ) ( , ) ( , ) D y z z x x y z d z z z θ θ θ dz θ θ θ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∫∫ 2 4 0 0 cos d zdz 2 4 0 0 sin cos d d π = θ θ ∫ ∫ π + θ θ θ ∫ ∫ z = 0。 解法二 由于曲面Σ的单位法向量为 2 2 2 2 ( , x y x y + + x y ,0)，可知 ∫∫ = 0。 Σ ydxdy 将柱面Σ分成前后两部分 1 2 Σ ,Σ ，其中 2 2 2 1 Σ : x = 1− y , Σ : x = − 1− y ，则 1 2 0 D D yz yz zdydz zdydz zdydz zdydz zdydz Σ Σ Σ = + = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ = ， 类似地可得 = 0，所以 ∫∫ Σ xdzdx + + = 0 ∫∫ Σ zdydz xdzdx ydxdy 。 （4）设曲面Σ 的单位法向量为(cosα, cos β, cosγ ) ，由dydz = cosα dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到dydz dxdy 2xdxdy cos cos = = γ α 。由于Σ 的方向取下侧， 它在 xy平面的投影区域为 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ ，于是 zxdydz 3dxdy Σ + = ∫∫ 2 (2x z d 3) xdy Σ + = ∫∫ 2 2 2 2 (4 ) 3 D − − ⎡ ⎤ x x − y + dxdy ∫∫⎣ ⎦ 5

68322-[2"de["[2r2cos20(4-r2)+3]rdr= -cosod0-12元3（5）平面Z的方程为x-y+z=1，方向取上侧，由此可知dydz=dxdy，dzdx=-dxdy，于是[[f(x, y,2)+ xldlydz +[2f(x, y, 2)+ yldzdx+[f(x, ,z)+-ldxdyJ[ ([f(x, y,2)+x]-[2f(x, ,2)+y]+[f(x, y,2)+z])dxdy= J] dxdy=!。"2°（6）由对称性，「[xdydz=0，{「y2dzdx=0，所以[[ x’dydz + y dzdx +(? +5)dxdy =-[[ (x? + y? + 5)dxdy=-]2" de]"(r2 +5)rdr=-(h +10h2)。(7）记Z,:y=x2+2(1≤≤2)，方向取外侧；,:=1(x2+2≤1)，方向取左侧；2,:y=2(x2+z2≤2)，方向取右侧。则evx2+dzdx =-{2" de[' e'dr =-2元(ev -e) ,dzdx-2+x-dzdx =-[de[edr =-2edzdx22 +xVoVddx=J dof,efdr=2/2eF元,dzdx:LYD所以/1dzdx=2eV2(V2-1)元。-2（8）设2，2，分别表示上、下两半椭球面，方向分别取上、下侧。则[- dxdy = [- dxdy + [ - dxdy = 2] dxdyZxyDα?b24元ababrdr11-由对称性，可得4元ac4元bcdzdxb所以4元(ab?+b2c?+ca)。dydzabcZy6

θ θ θ θ π π π cos 12 3 32 [2 cos (4 ) 3] 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 = − − + = − − ∫ ∫ ∫ d r r rdr d π 3 68 = − 。 （5）平面Σ的方程为 x − +y z =1，方向取上侧，由此可知 ， ，于是 dydz = dxdy dzdx = −dxdy [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy {[ f (x y, ,z) x] [2 f (x, , y z) y] [ f (x y, ,z) z]} dxdy Σ = + − + + + ∫∫ 1 2 Dxy = = dxdy ∫∫ 。 （6）由对称性， x d2 ydz 0， Σ = ∫∫ 2 y dzdx 0 Σ = ∫∫ ，所以 2 2 2 2 2 ( 5) ( 5) Dxy x dydz y dzdx z dxdy x y dxdy Σ + + + = − + + ∫∫ ∫∫ 2 2 4 0 0 ( 5) ( 10 2 h d r rdr h h π 2 ) π = − θ + = − + ∫ ∫ 。 （7）记 Σ1 : y = x 2 + z 2 (1 ≤ y ≤ 2)，方向取外侧； 2 2 2 Σ : 1 y x = + ( z ≤ 1)，方 向取左侧；Σ = 3 : 2 y x( 2 2 + z ≤ 2)，方向取右侧。则 2 2 1 1 2 2 2 2 zx y x z D e e dzdx dzdx z x z x + Σ = − + + ∫∫ ∫∫ 2 2 2 0 1 2 ( ) r d e dr e π = − θ = − π e ∫ ∫ − ， 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 2 zx y D e e dzdx dzdx d edr e z x z x π θ π Σ = − = − = − + + ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ， 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 zx y D e e dzdx dzdx d e dr e z x z x π θ π Σ = = = + + ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ， 所以 2 ( 2 1)π 2 2 2 = − + ∫∫ Σ dzdx e z x e y 。 （8）设Σ1 ,Σ2 分别表示上、下两半椭球面，方向分别取上、下侧。则 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 Dxy dxdy dxdy dxdy dxdy z z z x y c a b Σ Σ Σ = + = − − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ c ab c r abrdr d π θ π 4 1 2 1 0 2 2 0 = − = ∫ ∫ ， 由对称性，可得 1 4 ac dzdx y b π Σ = ∫∫ ， 1 4 bc dydz x a π Σ = ∫∫ ， 所以 ( ) 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc dxdy z dzdx y dydz x + + = + + ∫∫ Σ π 。 6

（9）设2,2，分别表示上、下两半球面，方向分别取上、下侧。则[[-2dxdy = J-2 dxdy+ JJ-2 dxdy22,= [c+R?-(x-a)?-(y-b) dxdy - [c-R?-(x-a)-(y-b)" dxd)DD,y8= 4c[[ /R? -(x-a)? -(y-b)dxdy =元CR3。3Day同理可得8d[] xdydz = -maR, Jydedx==bR3,3324所以Jxdyd+dd+2ddy=(a+b+c)R。3

（9）设Σ1 ,Σ2 分别表示上、下两半球面，方向分别取上、下侧。则 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ = + 1 2 2 2 2 z dxdy z dxdy z dxdy ∫∫ = + − − − − Dxy c R x a y b dxdy 2 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ∫∫ − − − − − − Dxy c R x a y b dxdy 2 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ∫∫ = − − − − Dxy c R x a y b dxdy 2 2 2 4 ( ) ( ) 3 3 8 = πcR 。 同理可得 2 3 2 3 3 8 , 3 8 x dydz = πaR y dzdx = πbR ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 所以 2 2 2 3 ( ) 3 8 x dydz + y dzdx + z dxdy = a + b + c R ∫∫ Σ π 。 7