复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性

第十章函数项级数81函数项级数的一致收敛性点态收敛设un(x）（n=1,2,3,）是具有公共定义域E的一列函数，这无穷个函数的“和”u(x)+u,(x)+.+un (x)+...称为函数项级数，记为u,(x)。P=

点态收敛 设 un (x)（n = 1,2,3,.）是具有公共定义域 E 的一列函数，这无 穷个函数的“和” 1 + 2 +"+ n xuxuxu )()()( +" 称为函数项级数，记为∑ ∞ =1 )( n n xu 。 第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性

定义10.1. 1设un(x）（n=1,2,3,）在E上定义。对于任意固定的xeE，若数项级数u,(x)收敛，则称函数项级数u,(x)在点xonn=收敛，或称x是u,(x)的收敛点。n=1函数项级数u,(x)的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数n=1Zu,(x)的收敛域n=

定义 10.1.1 设 un (x) （n = 1,2,3,.）在 E 上定义。对于任意固 定的 0 x ∈E，若数项级数∑ ∞ =1 0 )( n n xu 收敛，则称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在点 0 x 收敛，或称 0 x 是∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点。 函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域

设u,(x)的收敛域为DcE，则u,(x)就定义了集合D上的一个n=]n=1函数S(x)=u,(x), xeD 。n=S(x)称为u,(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的，n=因此称u,(x)在D上点态收敛于S(x)。n=1

设∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域为 D⊂ E，则∑ ∞ =1 )( n n xu 就定义了集合 D 上的一个 函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D 。 S(x)称为∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的， 因此称∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛于 S(x)

例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：Zx"的收敛域是(-1,1)，和函数为 S(x)=,1-X一

例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；

例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：Zx"的收敛域是(-1,1)，和函数为 S(x)=,1-xn=lBWTX的收敛域为[-1,1) ;n名s的收敛域[-1,1] ;n

∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 − ]1,1[ ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；

例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：Zx"的收敛域是(-1,1)，和函数为 S(x)=_x1-xn=lWTSTSWTX的收敛域为[-1,1);nX"的收敛域[-1,1];n?X的收敛域为R=(-80,+);:(n!)x"的收敛域为单点集0)；的收敛域为(O,+o)，和函数为 S(x)=n=l

∑ ∞ =1 ! n n n x 的收敛域为R = −∞ +∞),( ； ∑ ∞ =1 )!( n n xn 的收敛域为单点集{0}； ∑ ∞ = − 1 e n nx 的收敛域为 +∞),0( ，和函数为 S(x) = 1e 1−x 。 ∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 − ]1,1[ ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；

给定一个函数项级数u,(x)，可以作出它的部分和函数n=1Sh(n)= Zus(x), xeE;显然，使(S(x)>收敛的x全体正是级数的收敛域D。因此在D上，u,(x)的和函数 S(x)就是其部分和函数序列(Sn(x))的极限，即有=S(x) =lim S,(x)=lim Zux(x),xeD。0n→00k=l

给定一个函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu ，可以作出它的部分和函数 Sn(x) = ∑ = n k k xu 1 )( ， x∈E； 显然，使{Sn(x)}收敛的 x 全体正是级数的收敛域 D 。因此在 D 上， ∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数 S(x)就是其部分和函数序列{Sn(x)}的极限，即有 S(x) = n ∞→ lim Sn(x)= n ∞→ lim ∑ = n k k xu 1 )( ， x∈D

反过来，若给定一个函数序列(S(x))（xeE），只要令ui(x) = Si(x),(n = 1,2,.),Un+1(x)= Sn+1(x) - Sn(x)就可得到相应的函数项级数亡u,(x)，它的部分和函数序列就是n=l(S(x))

反过来，若给定一个函数序列 { Sn (x)} ( x ∈E )，只要令 u1(x) = S1(x )， un + 1 (x) = Sn+ 1 (x ) - Sn (x) ( n = 1,2, . )， 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，它的部分和函数序列就是 { Sn (x)}

反过来，若给定一个函数序列(S(x))（xeE），只要令ui(x)=Si(x),(n = 1,2,),Un+ 1(x) = Sn+i(x) - Sn(x)就可得到相应的函数项级数u,(x)，它的部分和函数序列就是n=l(Sn(x))。所以，函数项级数u,(x)与函数序列(Sn(x))的收敛性在本质上完7=全是一回事。为方便起见，下面将经常通过讨论函数序列来研究函数项级数的性质

所以，函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 与函数序列{Sn(x)}的收敛性在本质上完 全是一回事。为方便起见，下面将经常通过讨论函数序列来研究函数 项级数的性质。 反过来，若给定一个函数序列 {Sn(x)} ( x∈E )，只要令 u1(x) = S1(x)， un + 1(x) = Sn+ 1(x) - Sn(x) (n = 1,2,.)， 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，它的部分和函数序列就是 {Sn(x)}

函数项级数（或函数序列）的基本问题设有限个函数u(x)，(x)，…，un(x)在D上定义且具有某种分析性质，如连续性、可导性和Riemann可积性（以下就称可积性）等则它们的和函数ui (x)+u2(x)+...+un (x)在D上仍保持同样的分析性质

函数项级数(或函数序列)的基本问题 设有限个函数 u1 (x )，u 2 (x )，.， un (x ) 在 D 上定义且具有某种分 析性质，如连续性、可导性和 Riemann 可积性（以下就称可积性）等， 则它们的和函数 u1 (x ) + u 2 (x )+.+ un (x) 在 D 上仍保持同样的分析性质