华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第一章 随机事件与概率 §1.4 概率的公理化定义（1/2）

S1.4概率的公理化定义一、定义设Q为试验E的样本空间，对E的每一个事件都给一个实数P(A)与之对应使之满足：1°非负性：P(A)≥0;2°规范性：P(Q)=1：3°可列可加性：若AA,=Φ（iJ)，则P(A)=P(4)i=则称P(A)为A 的概率。二、性质(1) P(Φ)=0证： 取 A, =Φ，i=1,2, , 则 P()= P(g)===P()= 0i-l(2）有限可加性：A,A,=(i+J)，则P(ZA)=P(4)izl1z/证：取An+i=，i-1,2,，则P(Z4)= P(Z4 +$+..P(A)+0+..= P(A)i=li=lfzlI=l（3）逆事件概率=1-P(A)证: 1===P(2)= P(A+ A) ===P(A)+ P(A)例1求n个人中至少两人在同一天过生日的概率。A365=1_ 365*364*..*(365-n+1)解 P(A)=1-P(A)=1-365"365*365*...*365注

§1.4 概率的公理化定义 一、定义 设  为试验 E 的样本空间，对 E 的每一个事件都给一个实数 P(A)与之对应， 使之满足： 1 o非负性： P(A)≥0； 2 o规范性：P(  ) =1； 3 o可列可加性：若 A A (i j) i j   ，则        1 1 ( ) ( ) i i P Ai P Ai 则称 P(A)为 A 的概率。 二、性质 （1）P(  ) = 0 证：取 Ai  ，i=1,2,.，则 ( ) ( ) ( ) 0 1 3 1 0        i i P  P  P  （2）有限可加性： A A (i j) i j   ，则      n i n i P Ai P Ai 1 1 ( ) ( ) 证：取 Ani  ，i=1,2,.，则                n i n i i n i i n i P Ai P Ai P A P A 1 1 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0    （3）逆事件概率=1  P(A) 证： 1 ( ) ( ) 0 1 P   P A A ( ) ( ) (2) P A  P A 例 1 求 n 个人中至少两人在同一天过生日的概率。 解 P(A) =1  P(A) n n A 365 1 365   365*365* *365 365*364* *(365 1) 1       n 注

(4) 差公式 ACB=P(B-A)=P(B)-P(A)图证 P(B)= P(BA +A) = P(B-A) +P(A)(4)AcB推论P(A)≤P(B)(5）加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB证 P(AUB)=P(A+AB)BAAB(2)= P(A)+ P(B- AB)4)2= P(A) + P(B)- P(AB)推广P(A U BUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC一般P(U4)=ZP(A)-ZP(A,A,)+ EP(A,A,A)-..i=l讲jitjtk...+(-1)" P(AA, ... A.)例2（P1s例1.12）已知AB=Φ，P(A)=p，P(B)=，求下列概率：解P(AUB)=P(A)+P(B) -P(AB)=p+q40P(AUB)===P(A)=1- pP(AB)= P(B- AB)= P(B)=qP(AB)=1- P(AUB)=1-p-q

（4）差公式 A B  P(B  A)  P(B)  P(A) 证 P(B)= P(B A ＋A) = P(B－A)＋P(A) 图 推论 A  B (4)  P(A)≤P(B) （5）加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)－P(AB) 证 P(A B)  P(A AB) ( ) ( ) (2)  P A  P B  AB ( ) ( ) ( ) (4)  P A  P B  P AB 推广 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC) 一般 ( ) 1  n i P Ai         i jk i j k i j i j n i P(Ai ) P(A A ) P(A A A ) 1 ( 1) ( ) 1 2 1 n n  P A A A    例 2（P18例 1.12）已知 AB=  ，P(A)=p，P(B)=q，求下列概率： 解 P(A∪B)= P(A)+P(B)－P(AB)=p+q P A B P A p A B     (  ) ( ) 1 P(AB)  P(B  AB)  P(B)  q P(AB) 1 P(A B) 1 p  q Ω A AB B

例3从5双不同的鞋子中任意取4只，求这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。解记A为所求事件110*8*7法I P(A)=910*9*8*710*8*7*C2法IⅡP(A):-2310*9*8*7C,C,C,C,C,10*8*6*48或法IⅢI P(A)Co2110*9*8*713P(A)=1- P(A)=21法IV记Ai={只有2只配成一双）A2={4只恰好配成2双）C?1C,CC,C!12P(A)=P(A)=且AA=ΦCoCio212113故 P(A)= P(A, U A))= P(A)+ P(A,) =21法V记B,=(取到第i双鞋)i=1,2,3,4,5?P(B)=i=1,2,3,4,5c%?P(B,B,)=G,i+]P(B,B,B)=?,i±j+k故 P(A)=P(B)-ZP(B,B)+0-0+0i=litj

例 3 从 5 双不同的鞋子中任意取 4 只，求这 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概 率。 解 记 A 为所求事件 法Ⅰ 10*9*8*7 10*8*7 P(A)  9 1  法Ⅱ 10*9*8*7 10*8*7* ( ) 2 C4 P A  3 2  ？ 法Ⅲ 10*9*8*7 10*8*6*4 P(A)  或  4 10 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 C C C C C C 21 8  21 13 P(A) 1 P(A)  法Ⅳ 记 A1={只有 2 只配成一双} A2={4 只恰好配成 2 双} 21 12 ( ) 4 1 0 1 2 1 2 2 4 1 5 1   C C C C C P A 21 1 ( ) 4 10 2 5 2   C C P A 且 A1 A2  故 21 13 ( ) ( ) ( ) ( ) P A  P A1  A2  P A1  P A2  法Ⅴ 记 Bi ={取到第 i 双鞋} i=1,2,3,4,5 1,2,3,4,5 ? ( ) 4 1 0  i  C P Bi 4 10 ? ( ) C P Bi Bj  ，i  j ( )  ? P Bi Bj Bk ，i  j  k 故          i j i j i P(A) P(Bi ) P(B B ) 0 0 0 5 1

=5*211411310*1521-2121021$1.5条件概率与事件的独立性一、条件概率1.问题E~随机点名。女生人数P(A) =A=点到女生）全班人数B-{该生名中含有“芳”字)=P(A/B)=?=P(A/C)= ?C=(该生是球迷)2.定义设A、B为两随机事件，且BP(B)>0，则称P(AB)P(A/ B)= P(B)AB为在B发生的条件下，A发生的条件概率。p注1.P(A/B)是将样本空间Q压缩成B后计算概率：注2.当B取成样本空间2时，P(A/B)就是无条件概率P(A);注3.条件概率P(A/B)确实是概率，既实数P(A/B)满足三条公理。例1（P22例1.17）设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经30年未

21 13 21 1 21 14 210 1 10* 15 2  5*     §1.5 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 1．问题 E~随机点名。 A={点到女生} 全班人数 女生人数 P(A)  B={该生名中含有“芳”字}  P(A/ B)  ? C={该生是球迷}  P(A/C)  ? 2．定义 设 A、B 为两随机事件，且 P(B)>0，则称 ( ) ( ) ( / ) P B P AB P A B  为在 B 发生的条件下，A 发生的条件概率。 注 1．P(A/B)是将样本空间  压缩成 B 后计算概率； 注 2．当 B 取成样本空间  时，P(A/B)就是无条件概率 P(A)； 注 3．条件概率 P(A/B)确实是概率，既实数 P(A/B)满足三条公理。 例 1 （P22 例 1.17）设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在 30 年内发生特大 洪水的概率为 80%，在 40 年内发生特大洪水的概率为 85%，现已知该地区已经 30 年未 Ω B AB

发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解记A=（30年内无特大洪水），B=(40年内无特大洪水0.15P(AB)0.75P(B/ A)==则0.2P(A)P(B / A)=1- P(B/ A)=0.25故所求概率为

发生特大洪水，问未来 10 年内将发生特大洪水的概率是多少？ 解 记 A={30 年内无特大洪水}， B={40 年内无特大洪水} 则 0.75 0.2 0.15 ( ) ( ) ( / )    P A P AB P B A 故所求概率为 P(B / A) 1 P(B/ A)  0.25

n:-2,3..100(365 i)P, :-1-365i=0Pn0.51020 0406070801000.8780.89110.97810.98110.984AEAB-AQP(B)=P(BA+ A)=P(B-A)+P(A)

n 2 3  100 Pn 1 0 n 1 i ( 365 i) 365 = Pn n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.51 PT 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 0 0.878 0.891 0.903 0.914 0.924 0.933 0.941 0.948 0.955 0.961 0.966 0.97 0.974 0.978 0.981 0.984  P(B)  P(BA  A)  P(B  A)  P ( A ) Ω B - A B A

AB4BABCBCACC0P(AUBUC)= P(A)+ P(B)+P(C)- P(AB)-P(BC)- P(AC)+ P(ABC)10*8*7*C?-10*8*C2 *±13P(A)=2110*9*8*7

P(ABC)  P(A)  P(B)  P(C)  P(AB)  P(BC)  P(AC)  P(ABC) 21 13 10*9*8*7 10*8*7* 10*8* * ( ) 2 2 1 4 2 4    C C P A