华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第一章 随机事件与概率 §1.4 概率的公理化定义（2/2）

二、乘法公式P(AB) = P(B)P(A/ B)P(B)±0P(AB)P(A/ B) =P(B)P(A)± 0P(AB)= P(A)P(B/ A)例2袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时放入2个同色的球。记A,为第i次取到红球，求概率P(AA)、P(AAAs)和P(A)。353解 P(AA)= P(A)P(A / A)=5773571P(AAA)=5793= P(A)P(A, / A)P(A, / A,A)推广P(A)=P(AA, +AA)= P(AA)+P(AA)3523_357+57=号#三、全概率公式设A，A2，，A是对Q的一个划分：AlA2Anitj(1) AA, =Φ≥4=Q(2)（n可以为）i=l则对任何事件B有0P(B)=P(A)P(B/ A)证明 P(B)= P(B2)=P(BZ4)= P(Z BA)V≥ P(BA)=≥ P(4)P(B/ A)i=l例3（P25例1.19）两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台的2倍。现任取一零件，问取到合格品的概率是多少？

二、乘法公式 ( ) ( ) ( / ) P B P AB P A B   例 2 袋中有 5 个球：3 个红球，2 个白球。现每次任取 1 个，取后放回，并同时放 入 2 个同色的球。记 Ai为第 i 次取到红球，求概率 P(A1A2)、P(A1 A2 A3)和 P(A2)。 解 ( ) ( ) ( / ) P A1 A2  P A1 P A2 A1 7 3 7 5 5 3    ( ) P A1 A2 A3 3 1 9 7 7 5 5 3     ( ) ( / ) ( / )  P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 推广 ( ) ( ) ( ) ( ) P A2  P A1 A2  A1 A2  P A1 A2  P A1 A2 5 3 7 3 5 2 7 5 5 3      # 三、全概率公式 设 A1 , A2 , ., An是对  的一个划分： （1） Ai Aj  i  j （2）     n i Ai 1 （n 可以为∞） 则对任何事件 B 有   n i P B P Ai P B Ai 1 ( ) ( ) ( / ) 证明         n i i n i P B P B P B Ai P BA 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )   n i P BAi 1 ( )   n i P Ai P B Ai 1 ( ) ( / ) 例 3（P25例 1.19）两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04，第二台的废 品率为 0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台的 2 倍。现任取 一零件，问取到合格品的概率是多少？ P(AB)  P(B)P(A/ B) P(B)  0 P(AB)  P(A)P(B/ A) P(A)  0 A1 A2 . An Ω B

解记A={取到第i台车床加工的零件}，（i=1,2）B=取到废品)21x0.04+x0.07=0.05P(B)=P(A)P(B/ A)+P(A)P(B/ A)则33P(B)=1-0.05=0.95反问：如果取到废品，它是哪台车床加工的概率更大？8P(A,B)P(A)P(B/ A)）号x0.04P(A / B)= 15P(B)P(B)0.057P(A / B)=1- P(A, / B) =15四、bayes公式设A1,A2,An是对2的一个划分，则P(Ai)-一先验概率P(A)P(B/ A)P(A /B)AiA2A5≥ P(A)P(B/ A,)P(A/B)P(B/A)i=1,2,.,n后验概率B例4（P2例1.20）有一台机床，当其正常时，产品的合格率为90%，当其非正常时，产品的合格率为30%。由历史数据分析显示：每天上班开动机床时，机床是正常的概率为75%。检验人员为了检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？解记A=【机器处于正常状态】0.250.75B=[生产出合格产品]7→P(A)P(B/ A)AAP(A/ B) =P(A)P(B/ A)+ P(A)P(B/ A)0.75×0.90.30.90.75×0.9+0.25x0.3B= 0.9

解 记 Ai={取到第 i 台车床加工的零件}，（ i 1,2 ）B={取到废品} 则 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P B  P A1 P B A1  P A2 P B A2 0.07 0.05 3 1 0.04 3 2      P(B) 10.05  0.95 反问：如果取到废品，它是哪台车床加工的概率更大？ ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) 1 1 1 1 P B P A P B A P B P A B P A B   15 8 0.05 0.04 2 3    ( / ) 1 ( / ) P A2 B   P A1 B 15 7  四、bayes 公式 设 A1 ,A2 ,. ,An 是对  的一个 划分，则   n i j j i i i P A P B A P A P B A P A B 1 ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( / ) i 1,2,.,n B 例 4（P25例 1.20）有一台机床，当其正常时，产品的合格率为 90%，当其非正常时， 产品的合格率为 30%。由历史数据分析显示：每天上班开动机床时，机床是正常的概率 为 75%。检验人员为了检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产 品为合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？ 解 记 A={机器处于正常状态} B={生产出合格产品} ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( / ) P A P B A P A P B A P A P B A P A B   A A 0.75 0.9 0.25 0.3 0.75 0.9       0.9 B 0.75 55 0.25 0.9 0.3 P(Ai)—— 先验概率 P(Ai /B) 后验概率 A1 A2 . An P(B/Ai)

五、事件的独立性引例E~随机点名，A=点到女生)，B={该生姓王)P(AB)P(A)= P(A/ B)= P(AB)=P(A)P(B)P(B)P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。定义1若事件A、B满足：例5设甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，两人独立地向同一目标射击，求目标被击中的概率。解记A=甲击中目标)，B={乙击中目标}，C={目标被击中]。则P(C)= P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98定理下面四个等式是等价的：(2) P(AB)=P(A)P(B)(1) P(AB)= P(A)P(B)1(3) P(AB)=P(A)P(B)(4) P(AB)=P(A)P(B)证明(1) = (2) P(AB)= P(A- AB) = P(A)- P(AB)0= P(A)-P(A)P(B)= P(A)[1- P(B))= P(A)P(B)例5另解 P(C)=1-P(AB)=1-0.1×0.2=0.98定义2称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：P(AB)= P(A)P(B) , P(BC)= P(B)P(C) , P(AC)= P(A)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)一般称A1,A2,，An相互独立，是指下面?等式成立：P(Ail, A2... , Aik)-P(Ai1) P(A2) ... P(Aik)1≤i<i<...<i≤n,2≤k<n例6（P28例1.21）设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A={抽出的卡片上出现红色)，B={抽出的卡片上出现白色)，C-抽出的卡片上出现黑色)，试分析A、B、C的独立性。解Q={A=

五、事件的独立性 引例 E~随机点名，A ={点到女生}，B ={该生姓王} ( ) ( ) ( ) ( / ) P B P AB P A  P A B   P(AB)  P(A)P(B) 定义 1 若事件 A、 B 满足： P(AB)  P(A)P(B)，则称 A 与 B 相互独立。 例 5 设甲的命中率为 0.9，乙的命中率为 0.8，两人独立地向同一目标射击，求目 标被击中的概率。 解 记 A={甲击中目标}，B ={乙击中目标}，C ={目标被击中}。 则 P(C)  P(AB)  P(A)  P(B)  P(AB)  0.9 0.80.90.8  0.98 定理 下面四个等式是等价的： （1） P(AB)  P(A)P(B) （2） P(AB)  P(A)P(B) （3） P(AB)  P(A)P(B) （4） P(AB)  P(A)P(B) 证明(1)  (2) P(AB)  P(A AB)  P(A)  P(AB) ( ) ( ) ( ) ( )[1 ( )] ( ) ( ) (1)  P A  P A P B  P A  P B  P A P B 例 5 另解 P(C) 1 P(AB) 10.10.2  0.98 定义 2 称 A、B、C 相互独立，是指下面等式成立： P(AB)  P(A)P(B)， P(BC)  P(B)P(C)， P(AC)  P(A)P(C) P(ABC)  P(A)P(B)P(C) 一般称 A1, A2,. , An 相互独立，是指下面 ? 等式成立： P(Ai1, Ai2,. , Aik)=P(Ai1) P(Ai2) . P(Aik) 1≤i1< i2<. < ik≤n，2≤k≤n 例 6（P28例 1.21）设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色， 一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令 A={抽出的卡片上出现红色}，B={抽 出的卡片上出现白色}，C={抽出的卡片上出现黑色}，试分析 A、B、C 的独立性。 解   { } A={ }，B={ }，C={ }

P(A)= P(B)= P(C).11P(AB)= P(BC)= P(AC)=4221111P(ABC):4222即A、B、C中任何两个事件相互独立，但A、B、C不是相互独立的。例7（P29例1.22）设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是p=0.004求他独立的射击n次能命中目标（至少一次）的概率。解记A,=第i次命中目标)，i=1,2,n，A=[目标被击中】，则P(A)= P(UA)=1- P(UA)=1- P(DA=1- IP(4)=1-(1- p)"=1-0.996"i=lP, =1- (1- p)10nn :-1..100p :-0.004P.20104601000.87110.8760.8810.88510.890.8940.8980.960.9110.910.9170.9210.92一般的乘法公式：P(AA -A)=P(A)P(A / A)P(A / AA)...P(A, / AA :..A-)

2 1 P(A)  P(B)  P(C)  2 1 2 1 4 1 P(AB)  P(BC)  P(AC)    2 1 2 1 2 1 4 1 P(ABC)     即 A、B、C 中任何两个事件相互独立，但 A、B、C 不是相互独立的。 例 7（P29例 1.22）设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是 p=0.004， 求他独立的射击 n 次能命中目标（至少一次）的概率。 解 记 Ai ={第 i 次命中目标}，i=1,2,.n，A ={目标被击中}，则 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1    n i i n i i n i P A P Ai P A P A         n n n i 1 P(Ai ) 1 (1 p) 1 0.996 1         n 1  100 p 0.004 P n 1 ( 1 p) 10 n  P n n 0 20 40 60 80 100 0 0.5 1 P T 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 0 0.871 0.876 0.88 0.885 0.89 0.894 0.898 0.902 0.906 0.91 0.913 0.917 0.92 0.923  一般的乘法公式： ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / ) P A1 A2 An  P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2 An1

本章小结：样本空间Q={w}关系：ACB，AB=Φ，B=A随机试验随机事件ACQ运算：AUB，AB，A-B=AB=A-AB公理化定义P(A)=1- P(A)1.P(A)≥0A B=P(A-B)=P(A)-P(B)2. P(Q)=1P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB)3. P(EA)= EP(A)独立 P(AB)=P(A)P(B)条件概率P(A/B)=P(A)P(AB)P(A/ B)=公式P(AB)=P(A)P(B/A)P(B)全概率公式P(B)=Z=P(A）P（B/A）P(A,B)Bayes公式P(A,/B)=E"P(A,)P(B/A)注：互不相容与相互独立是两个不同的概念互不相容: AB=Φ=P(AUB)=P(A)+P(B)相互独立: P(AB)=P(A)P(B) = P(A/ B)= P(A)思考题试举一例说明A与B互不相容，同时又相互独立

本章小结： 注：互不相容与相互独立是两个不同的概念 互不相容： AB    P(A B)  P(A)  P(B) 相互独立： P(AB)  P(A)P(B)  P(A/ B)  P(A) 思考题 试举一例说明 A 与 B 互不相容，同时又相互独立。 随 机 试 验 样本空间Ω ={ω } 随机事件 A   关系： A  B， AB   ， B  A 运算： A B， AB ，A-B= AB =A-AB 公理化定义 1.P(A)≥0 2. P() 1 3. ( )   ( ) P Ai P Ai P(A) 1 P(A) A  B  P(A B)  P(A)  P(B) P(A B)  P(A)  P(B)  P(AB) 条件概率 ( ) ( ) ( / ) P B P AB P A B  独立 P(AB)=P(A)P(B) 公式 P(AB)=P(A)P(B/A) P(A/B)=P(A) 全概率公式 P(B)=∑i=1 n P(Ai)P(B/Ai) Bayes 公式    n j j j i i P A P B A P A B P A B 1 ( ) ( / ) ( ) ( / )