华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第六章 数理统计的基本概念 §6.2 抽样分布（2/2）、第七章 参数估计 §7.1 参数估计的概念 §7.2 点估计

五、基本抽样定理定理设X，X,，，X,是取自总体N(μ，α)的一个样本，则2(1) X--x,~N(u,n=s-(2）x(n-1):92=1(3）X与S2独立。说明：(1)X-2x,~N(2>Z()°)(=in=inni=lX,-X~ N(0,?)Z(X,-X)=ZX,-nX=0(2)且aisli=l(3)X→μ(X-X)→02X-μ Jn~t(n-1)T-推论1sX-~N(0,1)证明：由定理（1）知g/Vn(n-1)s?(2)~ x(n-1)?两者独立(3)a(X-μ)/ n故=T~I(n-I)(n-)s//n-a2

五、基本抽样定理 定理 设 X1，X2，.，Xn是取自总体 N(μ ,σ 2 )的一个样本，则 （1） ~ ( , ) 1 2 1 n X N n X n i i      ； （2）       n i i n X X S n 1 2 2 2 2 ( ) ~ ( 1) 1    ； （3） X 与 S 2 独立。 说明：（1）        n i n i n i i n n X N n X 1 1 2 2 1 ) ) 1 , ( 1 ~ ( 1   （2） ~ N( 0, ? ) Xi X   且 ( ) 0 1 1         n i i n i Xi X X nX （3） 2 X  , (Xi  X)  推论 1 ~ ( 1)   n t n S X T  证明  由定理（1）知 ~ (0,1) / N n X    （2） ~ ( 1) ( 1) 2 2 2   n n S   （3） 两者独立 故 ~ ( 1) 1 ( 1) ( )/ 2 2 2      T t n n S n n X   

推论2 设(X,X2,,X)~N(u,)：XS2(Yi,Y2,.., Ym) ~ N(u2,02) : YS?S? /o?F=~ F(n -1,nz -1)则S2/a2推论3条件同推论2，且==2记S=-1)S+(n-1)n,-nz-2X--(μ-μ) ~ t(n, + n, -2)则T11S.n,n2q2aY-N(H证明：因为X-N(u,与）相互独立，所以n,n2X--(μ-μ2) ~ N(0,1)02a2X-~(-Un,n2aVn,n2(~(n-1)相互独立，由分布可加性,又由 ~(n-1)上aO1[(n, -1)S +(n -1)S]~ x(n + n -2)1[(X-)-(μ, -μ,)]/,n,n2=T~ I(n + n -2)故(n, -1)S? +(nz -1)S1an, +nz-2

推论 2 设 ( , , , ) ~ ( , ) 2 X1 X2 X 1 N 1 1 iid  n ： 2 X S1 ( , , , ) ~ ( , ) 2 Y1 Y2 Y 2 N 2  2 iid  n ： 2 Y S2 则 ~ ( 1, 1) / / 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1  F n  n  S S F   推论 3 条件同推论 2，且 2 2 2 2 1   ，记 2 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 2 2 1 1       n n n S n S Sw 则 T= ~ ( 2) 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2       t n n n n S X Y w   证明： 因为 ( , ) 1 2 1 n X N    与 ( , ) 2 2 2 n Y N    相互独立，所以 ~ ( , ? ) 2 2 1 2 1 2 n n X Y N        ~ (0,1) 1 1 ( ) 1 2 1 2 N n n X Y        又由 ~ ( 1) ( 1) 1 2 2 2 1 1   S n n   与 ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 2   S n n   相互独立，由 2  分布可加性， [( 1) ( 1) ] ~ ( 2) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 n1  S1  n  S  n  n   故 ~ ( 2) 2 1 ( 1) ( 1) 1 1 [( ) ( )]/ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2             T t n n n n n S n S n n X Y    

例1（P158例6.4）设X,和X，分别是取自正态总体N(ul,α")的容量为n的两个样本（Xu，Xi2，，Xin）和（X21，X22，，X2n）的样本均值。试确定n使两个样本均值之差的绝对值超过的概率大于0.0192n=1,2, 相互独立知X,-X,~ N(0, 2~解由X,~N(u,nhXoP(X, -X0.0>q)=2[1202nn1<0.995=<2.576=n<13.271202

例 1 （P158 例 6.4）设 X1 和 X 2 分别是取自正态总体 ( , ) 2 N   的容量为 n 的两个样本 （X11，X12，.，X1n）和（X21，X22，.，X2n）的样本均值。试确定 n 使两个样本均值 之差的绝对值超过  的概率大于 0.01 解 由 ~ ( , ) 1,2 2 n  n Xi N   ，相互独立知 ~ (0, 2 ) 2 1 2 n X X N                      n n X X P X X P 2 2 1 2 1 2 2 2 ( )     )] 0.01 2  2[1 (  n 2.576 13.27 2 ) 0.995 2  (     n  n n

第七章参数估计S7.1参数估计的概念(X,X,,X,）→F(x,e)中的未知参数(X,X2,X,)-→样本估计量(x,x2,"",x）估计值$7.2点估计一、矩法1、理理论据：大数定律limPP≥x-E(X*)<6)=1ni=l!2X2、基本原则：用Ak=-估计α=E(X)k=1,2,..n3、具体步骤：例1（P167例7.2）试求总体期望日1=E(X)和方差日2=D(X)。解 (1) , =E(X)=α , =D(X)=E(X)-(EX)=α, -α)0, =A -A =-2x?-X2=-2(X, -X) =S?(2) Φ, = A = Xni=ni注1此结论对一切（期望和方差存在）总体都适用，即E(X)=X，D(X)=S2注2对总体P()有=和=2不唯注3基本原则可增加，用B,=之(X,-X)估计β=E(X-EX)ni-l

第七章 参数估计 §7.1 参数估计的概念 ( , , ) X1 X2 Xn  ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn  F(x,θ )中的未知参数θ 样本 估计量 ( , , , ) ˆ 1 2 n  x x  x 估计值 §7.2 点估计 一、矩法 1、理理论据：大数定律 ( ) ) 1 1 lim ( 1        k n i k i n X E X n P 2、基本原则：用    n i k k Xi n A 1 1 估计 k  E(X k ) k 1,2,  3、具体步骤： 例 1（P167 例 7.2）试求总体期望θ 1=E(X)和方差θ 2=D(X)。 解（1） 2 1 1 2 2 1 1 2   E(X)    D(X)  E(X )  (EX )   （2） 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 ~ ( ) 1 1 ˆ ˆ X X S n X X n A X A A n i i n i       i          注 1 此结论对一切（期望和方差存在）总体都适用，即 E ˆ (X)  X ， ~2 ( ) ˆ D X  S 注 2 对总体 P() 有  ˆ  X 和 ~2 ˆ   S 不唯一 注 3 基本原则可增加，用     n i k k Xi X n B 1 ( ) 1 估计 k  k  E(X  EX )

例2（P168例7.3）设总体X～U[a,b，试由样本（X，X2，，X），求未知参数a，b的矩估计量。a=bα, = E(X)=[a=α, -/3β,2解(1)(b-a)2b=α,+3β2β, = D(X)= (12a=A-/3B,=X-V352(2)[6=A+/3B,=X+V352[缺点］如…为来自X~U[a,b]的样本观察值，则a，b的估计值为2341a=-0.01，6=0.414。注意到：x=0.5>b一般 P(a>min X,)和 P(b<max X,)全非零。Va(x)a:-1b:2bn30i:0..nx :a+md(b a)al :-mean(x)3-nn+ 1al =1.045b1=1.9531.5 0.5 3:0.52.51.52

例 2（P168 例 7.3）设总体 X ~ U[a,b] ，试由样本（X1，X2，.，Xn），求未知参数 a，b 的矩估计量。 解（1）            12 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 1 b a D X a b E X            1 2 1 2 3 3     b a （2）             2 1 2 2 1 2 ~ 3 3 ˆ ~ ˆ 3 3 b A B X S a A B X S [缺点] 如 11 1 , , 4 1 , 3 1 , 2 1  为来自 X~U[a,b]的样本观察值，则 a，b 的估计值为 a ˆ  0.01， 0.414 ˆ b  。注意到： x b ˆ 1  0.5  一般 (ˆ min ) P a  Xi 和 max ) ˆ ( P b  Xi 全非零。 a 1 b 2 n 3 0 i 0  n x i a rnd( b a) a1 mean( x) 3n Var( x) n 1  b 1 mean( x) 3n Var( x) n 1  a1  1.045 b 1  1.953 0.5 1 1.5 2 2.5 0.5 1 1.5