全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1998数学一

1998年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析、填空题V1+x+V1-x-2(1) limx2r-→01【答】A【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，(V+x+V-x)-4原式=lim+0 2 (V1+x+V1-x+2)2(V1-x _1)因V1-x= lim-X4x22r-→01.C= limX2x2X-0【详解2】采用洛必达法则，110Vi-x-Vi+x2/1+x 2/1-x原式一=lim→lim-2xx-→04xvi-x?Vi-x-/I+x=lim4xX-→0-11O2V1-x2V1+x→lim44r-0V1-x2→1(x→0)可求出注：采用(1+u）的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当u→>0时【详解3】(+) =1+u+(-)+o(r),2!所以x→0时V1+x=1++*+(-9)xr2+0(x2)（8）2V-x =1-+++(-)x2 +0(x2)X8

1998 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 （1） 2 0 1 12 limx x x → x ++ −− = . 【答】 1 4 − . 【详解 1】 用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换， ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 2 2 0 11 4 lim 1 12 21 1 lim 4 1 1 2 lim . 2 4 x x x x x xxx x x x x → → → ++ − − = ++ −+ − − = − = =− 原式 因 2 2 1 1 1~ 2 −− − x x 【详解 2】 采用洛必达法则， 0 0 2 0 0 1 1 21 21 1 1 lim lim 2 4 1 1 1 lim 4 1 1 21 21 1 lim . 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → − + − − − + ⎯⎯→ = − −− + = − − ⎯⎯→ =− − + 0 0 0 0 原式 注： ( ) 2 1 10 −→ → x x 可求出 【详解 3】 采用( ) 1 u λ + 的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当u → 0 时 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 11 , 2! u u u ou λ λ λ λ − + =+ + + 所以 x → 0 时 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 11 , 2 8 1 1 11 , 2 8 x x x ox x x x ox ⎛ ⎞ + =+ +− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − =− +− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

于是+o(x2)-21+X.2d2.d原式=limx2x→00(x2)=lim4022f(xy)+yp(x+y),f,p具有二阶连续导数，(2）设axoy【答】yf (xy)+g(x+y)+yo(x+y)【详解】()()(),==-{()++()+()+(++)+0(++)axoy=yf'(xy)+p(x+y)+yp (x+y)(3）设1为椭圆兰+=1,其周长记为a,则Φ(2xy+3x2+4y)ds=43【答】12a.x2y?【详解】以1为方程二=1即3x2+4y2=12代入，得43b(2xy+3x2+4y2)ds=Φ(2xy+12)ds=2bxyds+12a=12a,其中第一个积分，由于1关于x轴对称，而xy关于y为奇函数，于是Φxyds=0.（4）设A是n阶矩阵，A0,A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值入,则（A）+E必有特征值【答】【详解】设 Ax=x(x±0),则Ax=4A'x=x,(x±0)A-x=22

于是 ( ) ( ) 2 22 2 0 2 2 0 11 11 11 2 28 28 lim 1 lim 4 1 4 x x x x x x ox x o x x → → + − +− − + − ⎛ ⎞ = −+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − 原式= （2）设 () ( ) 1 z f xy y x y f , , x = ++ ϕ ϕ 具有二阶连续导数，则 2 z x y ∂ = ∂ ∂ . 【答】 () ( ) ( ) '' ' '' yf xy x y y x y + ++ + ϕ ϕ . 【详解】 ( ) () ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( ) ( ) ' ' 2 2 ' ' '' ' '' '' ' '' 1 , 1 1 z y f xy f xy y x y xx x z f xy f xy yf xy x y y x y xy x x yf xy x y y x y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ =− + + + ∂ ∂ =− + + + + + + ∂ ∂ = + ++ + （3）设l 为椭圆 2 2 1, 4 3 x y + = 其周长记为 a, 则 ( ) 2 2 234 l xy x y ds + + = v∫ . 【答】 12 . a 【详解】 以l 为方程 2 2 1, 4 3 x y + = 即 2 2 3 4 12 x y + = 代入，得 ( ) ( ) 2 2 2 3 4 2 12 2 12 12 , l ll xy x y ds xy ds xyds a a ++ = + = += v vv ∫ ∫∫ 其中第一个积分，由于l 关于 x 轴对称，而 xy 关于 y 为奇函数，于是 l xyds v∫ ＝0. （4）设 A 是 n 阶矩阵， * A ≠ 0, A 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值λ, 则 ( )2 * A E + 必有特征值 . 【答】 2 1 A λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ . 【详解】 设 Ax x x = ≠ λ ( ) 0 , 则 ( ) 1 1 1 , 0 A A x x AA x x x λ λ − − =⇒ = ≠

Ax,从而(A*)Ax即49 + 0.4可见（A）+E必有特征值（5）设平面区域D由曲线y=-及直线y=0,x=1,x=e°所围成，二维随机变量(X,Y)在A区域D上服从均匀分布，则（X,Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为1【答】4【详解】区域D的面积为dx= 2于是(X,Y)的联合概率密度为y)EDf(x,y)=其他[0,其关于x的边缘概率密度为11-dy:,l<x≤e2Jx (x)= [ x(x)dy =2xJ0其他0,Jr (2)=!故N二、选择题兴(-)t等于(1）设F(x)连续，则一(C) 2xf(x2)(A) ()(B)-xf (x2)(D) -2xf(x)【答】应选（A）作变量代换u=x?-t，则【详解】

即 * , A Ax x λ = 从而 ( ) 2 2 * , A Ax x λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2 2 * 1 , 0, A A E x xx λ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ += + ≠ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 可见 ( )2 * A E + 必有特征值 2 1 A λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ （5）设平面区域 D 由曲线 1 y x = 及直线 2 y x xe = 0, 1, = = 所围成，二维随机变量( ) X ,Y 在 区域 D 上服从均匀分布，则( ) X ,Y 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为 . 【答】 1 4 . 【详解】 区域 D 的面积为 2 2 1 11 1 1 2. e e x D S dx dy dx x = == ∫∫ ∫ 于是 ( ) X ,Y 的联合概率密度为 ( ) ( ) 1 , , , 2 0, x y D f xy ⎧ ⎪ ∈ = ⎨ ⎪ ⎩ 其他 其关于 x 的边缘概率密度为 () () 1 2 0 1 1 ,1 2 2 0, x X X dy x e f x f x dy x +∞ −∞ ⎧ ⎪ = ≤ ≤ = = ⎨ ⎪ ⎩ ∫ ∫ 其他 故 ( ) 1 2 4 Xf = . 二、选择题 （1）设 f ( ) x 连续，则 ( ) 2 2 0 d x tf x t dt dx − ∫ 等于 （A） ( ) 2 xf x (B) ( ) 2 −xf x （C） ( ) 2 2xf x （D） ( ) 2 −2xf x 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 作变量代换 2 2 ux t = − ，则

(r-r)[-() u (m()-2x=xf(x2)(2）函数f(x)=(x2-x-2)x3-x不可导点的个数是(A) 3.(B) 2.(C) 1.(D) 0.1【答】应选（B【详解】因为f(x)=(x2-x-2)x3-x=(x-2)(x+1)x(x-1)(x+1)可见f(x）在x=0,1处不可导，而在x=-1处是可导的，故f(x)的不可导点的个数为2.VAX(3）已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=+α,且当x→0时，α是x的高1+x阶无穷小，y(0)=元，则y(1)等于(C) e(D) res(A）2元(B）元【答】应选（D）yax【详解】由Ay+α，有1+x2yaAy-1+x2AXAX山令X→0，得=1+x2解此微分方程并利用初始条件由y(0)=元，得y=元eartanx故y(1) = reartanxTe[a,bc是满秩的，则直线二=二=三二与直线b,（4）设矩阵。azC2a-azb,-bzci-CLa,bcx-ai-y-b,Z-Cb,-b,a-aC-C(B）重合.（A）相交于一点（C）平行但不重合(C）异面

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 1 2 2 x x x dd d tf x t dt f u du f u du dx dx dx fx x xf x ⎡ ⎤ −= − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⋅ = ∫∫ ∫ （2）函数 ( ) ( ) 2 3 f x xx xx = −− − 2 不可导点的个数是 （A）3. （B）2. （C）1. （D）0. 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 f x x x x x x x xx x = −− − = − + − + 2 2 1 1 1, 可见 f ( ) x 在 x = 0,1处不可导，而在 x = −1处是可导的， 故 f ( ) x 的不可导点的个数为 2. （3）已知函数 y yx = ( )在任意点 x 处的增量 2 , 1 y x y x = +α + + + 且当+x → 0 时，α 是+x 的高 阶无穷小， y ( ) 0 = π ，则 y ( ) 1 等于 （A） 2π . （B）π . （C） 4 e π . （D） 4 e π π 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 由 2 , 1 y x y x = +α + + + ，有 2 . 1 y y x x x α = + + + + + 令+x → 0 ，得 ' 2 1 y y x = + ， 解此微分方程并利用初始条件由 y ( ) 0 , = π 得 arctan x y e = π 故 ( ) arctan 4 1 . x ye e π = = π π （4）设矩阵 111 222 333 abc abc abc ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 是满秩的，则直线 3 33 1 2 12 12 x a yb zc aa bb cc − − − = = − − − 与直线 1 11 2 3 23 23 x a yb zc aa bb cc − −− = = −−− （A）相交于一点. （B）重合. （C）平行但不重合. （C）异面

【答】应选（A）(abrc1【详解】设矩阵b2是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵a,cLabCb,-b,[a, -a,C-C2b, -b,仍是满秩的，于是两直线的方向向量az-ayC-C1b,Ca,S,=(a -az,b -b2, -c)S, =(a, -as,a, -a,C, -c)线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合,又(a,b,c）、（as,b，c）分别为两直线上的点，其连线向量为：S,=(a,-a,b,-b,c-c),满足S,=S,+S,可见三向量S,S,S,共面，因此S,S,必相交，即两直线肯定相交(5)设A、B是两个随机事件，且00,P(BIA)=P(BIA),则必有(A) P(A|B)=P(A|B)(B) P(A|B) ± P(A|B)(C) P(AB)= P(A) P(B)(D) P(AB) + P(A) P(B) [【答】应选（C）由条件概率公式及条件P(BIA)=P(BIA)，知【详解】P(AB)_ P(AB)P(A) P(A)于是有P(AB)[1-P(A)}= P(A) P(AB)= P(A)[P(B)-P(AB)可见 P(AB)=P(A)P(B)故选（C）三、求直线1:二==号在平面元：x-+2=-1=0上投影直线。的方程，并求1.绕y11-轴旋转一周所成曲面的方程，【详解1】过直线1作一垂直于元的平面元，其法向量既垂直于1的方向向量s=1,1,-1)，又垂直于元

【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 设矩阵 111 222 333 abc abc abc ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵 1 2 12 12 2 32323 333 aa bb cc aabbcc abc ⎡ ⎤ −−− ⎢ ⎥ −−− ⎣ ⎦ 仍是满秩的，于是两直线的方向向量 { } { } 1 1 21 21 2 2 2 3 2 32 3 , , , , S a ab bc c S a aa ac c =− − − =− − − 线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又(abc 111 , , ) 、(abc 333 , , ) 分别为两直线上的点， 其连线向量为: S a ab bc c 1 3 13 13 1 =− − − { , , } ,满足 3 12 S SS = + .可见三向量 123 SS S , , 共面，因此 1 2 S S, 必相交，即两直线肯定相交. （5）设 A B 、 是两个随机事件，且0 1, 0, | | = PA PB PBA PBA () () ( ) ( ) ,则必有 （A） PAB PAB ( ) | | = ( ) (B) PAB PAB ( ) | | ≠ ( ) (C) P AB P A P B ( ) ()() = . (D) P AB P A P B ( ) ≠ ( ) () . 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由条件概率公式及条件 PBA PBA ( ) | | = ( ) ，知 ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P AB PA PA = 于是有 P AB P A P A P AB P A P B P AB ( ) () () ⎡1−= = − ⎤ ⎡⎤ ( ) () () ( ) ⎣ ⎦ ⎣⎦ 可见 P AB P A P B ( ) () () = 故选（C）. 三、求直线 1 1 : 11 1 x y z l − − = = − 在平面π : 2 10 xy z − + −= 上投影直线 0l 的方程，并求 0l 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 【详解 1】 过直线l 作一垂直于π 的平面π1，其法向量既垂直于l 的方向向量 s = {1,1, 1− }，又垂直于π

的法向量n=(1,-1,2)，可用向量积求得ki1-1=i-3j-2kn,=sxn111-12又(1,0,1)为直线1上的点，所以该点也在平面元，上，由点法式得元,的方程为(x-1)-3y-2(=-1)=0,即 x-3y-2z+1=0从而1.的方程为[x-y+2z-1=0o:[x-3y-2z+1=0x=2y将l写成参数y的方程：(y-1)于是直线绕y轴旋转所得旋转曲面方程为： +2 =(2y) +|-y-1即4x2-17y2 +4-?+2y-1=0【详解2】[x-y-1=0用平面束方法，直线1:二==号的方程可写为11(y+z-1=0-1于是过1的平面方程可写成x-y-1+(y+z-1)=0,即x+(-1)y+z--1=0在其中求出平面元，，使它与元垂直，得1-(-1)=2-元=0,解得入=-2.于是元，的方程为(x-1)-3y-2(z-1)=0,即x-3y-2z+1=0以下同解法一

的法向量 n = − {1, 1, 2}，可用向量积求得 1 1 1 1 3 2. 1 12 ijk n sn i j k =× − =− − − 又( ) 1,0,1 为直线l 上的点，所以该点也在平面π1上，由点法式得π1的方程为 ( ) x yz −− − −= 1 3 2 1 0, ( ) 即 xyz −3 2 10 − += . 从而 0l 的方程为 0 2 10 : 3 2 10 xy z l xyz ⎧ − + −= ⎨ ⎩ − − += 将 0l 写成参数 y 的方程： ( ) 2 1 1 2 x y z y ⎧ = ⎪ ⎨ =− − ⎪ ⎩ 于是直线绕 y 轴旋转所得旋转曲面方程为： ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 xz y y ⎡ ⎤ + = +− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 即 2 22 4 17 4 2 1 0. x yzy − + + −= 【详解 2】 用平面束方法，直线 1 1 : 11 1 x y z l − − = = − 的方程可写为 1 0 1 0 x y y z ⎧ − − = ⎨ ⎩ + − = 于是过l 的平面方程可写成 xy yz − −+ + − = 1 1 0, λ ( ) 即 x yz + − + − −= ( ) λ λλ 1 1 0. 在其中求出平面π1，使它与π 垂直，得 1 1 2 0, − − =− = ( ) λ λ 解得λ = −2,于是π1的方程为 () () x yz −− − −= 1 3 2 1 0, 即 xyz −3 2 10 − += 以下同解法一

四、确定常数,使在右半平面x>0上的向量A(x,J)=2xy(x+y2)i-x(x+y）"j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y)【详解】 令P(x,y)=2xy(x*+y2),0(x,y)=-x (x*+y2)由题设，有_Paxay即4x(x* +y2)(a+1)=0可见，当且仅当入=-1时，所给向量场时梯度场，在x>0在半平面内任取一点，比如点（1,0）作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有r-u(x,y)2+C1x*+0V+C=-arctan-x其中C为任意常数，五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为P，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k>O).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）【详解】取沉放点为原点OOy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得d'ym=mg-Bp-kydt?dy这是可降阶的二阶微分方程，其中v=dt令崇=,则dydd-d于是原方程可化为dt?dtdydy dtdvmvmg-Bp-ky,dy分离变量得

四、确定常数λ, 使在右半平面 x > 0 上的向量 ( ) ( )( ) 4 2 24 2 A x y xy x y i x x y j , 2 λ λ = +−+ 为 某二元函数u xy ( ) , 的梯度，并求u xy ( , ). 【详解】 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 24 2 P x y xy x y Q x y x x y , 2 , , λ λ = + =− + 由题设，有 Q P x y ∂ ∂ = ∂ ∂ 即 ( ) ( ) 4 2 4 1 0. xx y λ + λ + = 可见，当且仅当λ = −1时，所给向量场时梯度场，在 x > 0 在半平面内任取一点，比如点( ) 1,0 作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 ( ) 2 4 42 1 0 2 2 0 , 0 arctan . x y x x u x y dx C x xy y C x ⋅ = −+ + + =− + ∫ ∫ 其中C 为任意常数. 五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y （从海平面算 起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水比重为 ρ, 仪器所受 的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k k( > 0).试建立 y 与v 所满足的微分方程，并求出函 数关系式 y yv = ( ). 【详解】 取沉放点为原点O Oy , 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 2 2 , d y m mg B kv dt =−− ρ 这是可降阶的二阶微分方程，其中 dy v dt = . 令 , dy v dt = 则 2 2 , d y dv dy dv v dt dy dt dy =⋅= 于是原方程可化为 , dv mv mg B kv dy = − − ρ 分离变量得

mvdydymg-Bp-ky积分得m(mg-Bp)mIn(mg-Bp-kv)+Cyk2k再根据初始条件=0,得m(mg-Bp)in(mg-Bp-k),Ck2故所求函数关系为m,_m(mg-Bp)inmg-Bp-kvy=k2kmg-Bp大、计算[+(+ ,其中Z为下半球面=-α--的上侧，a为大(x2+y?+z于零的常数【详解1】添加一平面区域后用高斯公式进行计算I = [axdyd +(=+a] doxdy _-[ axdydz + (- + a]~ dxdy(x +y2 +22)[x?+y?≤a?补一块有向平面Z，其侧与≥轴负向一致，于是有z=0I== $f axdydz +(=+a) dxdy-{J axdydz +(=+a) dxdya24z/ -J](3a+ 2=)dV + J a’dxdy1(-2元a* -2]] =dV + ndal(-2元at -2f " do]° rdr Jja-zdz)【详解2】直接分块计算：

, mv dy dv mg B kv ρ = − − 积分得 ( ) ( ) 2 ln m m mg B y v mg B kv C k k ρ ρ − =− − − − + 再根据初始条件 0 0, |y v = = 得 ( ) ( ) 2 ln , m mg B C mg B kv k ρ ρ − = −− 故所求函数关系为 ( ) 2 ln . m mg B kv m mg B y v k k mg B ρ ρ ρ − − − =− − − 六、计算 ( ) ( ) 2 1 2 22 2 , axdydz z a dxdy xyz ∑ + + + + ∫∫ 其中 ∑ 为下半球面 222 z axy = − −− 的上侧， a 为大 于零的常数. 【详解 1】 添加一平面区域后用高斯公式进行计算 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 22 2 1 . axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a xyz ∑ ∑ + + = = ++ + + ∫∫ ∫∫ 补一块有向平面 222 1 : 0 x y a z ⎧ + ≤ ∑ ⎨ ⎩ = ，其侧与 z 轴负向一致，于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 4 4 2 0 4 0 0 3 1 1 1 32 1 22 1 22 . 2 D a a r I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a a z dV a dxdy a a zdV a a a d rdr zdz a a π π π π θ π ∑+∑ ∑ Ω Ω − − = ++ − ++ ⎛ ⎞ =− + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =− − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =− − = − ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ w 【详解 2】 直接分块计算：

I mdda +(e+a) d- axdyda+(=+a) ddyas(x2+y2 +22)J xdydz +=[[(=+a) dxdy= I, + 1,1其中I, = [xdydz = -2 [ Ja? - x? - y dydz,Dy-D为yOz平面上的半圆：y?+2?α2,z≤0.利用极坐标，得L2dol"Va?-r?rdr=元a3I, =-2[23[[(+a]" dxdy7=--(a-a-x-)dxdy,ED为xOy平面上的圆域：x?+y≤a。利用极坐标，得I, =-fdof(2a2-2ava-r-)rdr="a,6aJO=-"a.故I=I+1,=22元sin"sinsin元nn七、求lim+.11n+1Hn+n+2n【详解】由于SininSin inSininnnn,i=1,2,3,,n.,sinin+ln台nnnisl=n+n112ni元sin而lim=1.1>sin元xJon-→n+1n元n台21ni元limsin元x=Zsinnn=ln元

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 22 2 2 1 2 1 1 . axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a xyz xdydz z a dxdy I I a ∑ ∑ ∑ ∑ + + = = ++ + + = + + =+ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 其中 222 1 2 , Dyz I xdydz a x y dydz ∑ = =− − − ∫∫ ∫∫ D yz 为 yOz 平面上的半圆： 22 2 y z az +≤ ≤ , 0.利用极坐标，得 ( ) ( ) 2 22 3 1 0 2 2 2 222 2 2 . 3 1 1 , xy a D I d a r rdr a I z a dxdy a a a x y dxdy a π π θ π ∑ =− − =− = + = − −− ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ D xy 为 xOy 平面上的圆域： 2 2 x + ≤ y a 。利用极坐标，得 ( ) 2 2 22 2 3 2 0 0 1 22 , 6 a I d a a a r r rdr a a π π = − −− = θ ∫ ∫ 故 3 1 2 . 2 I II a π = + =− 七、求 2 sin sin sin lim . 1 1 1 2 n n n n n n n π π π →∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ++ + + + ⎣ ⎦ " 【详解】 由于 sin sin sin , 1,2,3, , . 1 iii nnn i n n n i n n π π π << = + + " 于是 11 1 sin 1 1 sin sin . 1 nn n ii i i ni i n nn n n n i n n π π π == = ⋅ << + + ∑∑ ∑ 而 1 0 1 1 2 lim sin 1 sin . 1 n n i n i x nn n π π →∞ = π ⋅ =⋅ = + ∑ ∫ 1 0 1 1 2 lim sin sin . n n i i x n n π π →∞ = π ∑ = = ∫

2故根据夹逼定理知，原式=元八、设正项数列(α,)单调减少，且(-1)"a,发散，试问级数是否收敛？并说a明理由【详解1】由正项数列(a,)单调减少，知极限lima,存在，记为a,则a,≥a且a≥0(-1)a,发散，根据莱布尼茨级数交错判别法知，必有α>0（否则级数(-1)α,收敛)n=l),而0.令b,-g+11lim /b,=lim+1a九、设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数（1）试证存在x(0,1),使得再区间[0,x]上以（）为高的矩形面积，等于再区间[,]上以y=f(x)为曲边的梯形面积(2)又设(t)在区间(0.1)内可导，且了()>_2(),证明（1）中的试唯一的【详解】(1）令(x)=-x"()dt,则(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，又p(0)=β(1)=0.由罗尔定理知，存在x(0,1),使βp(x)=0.即p(x0)= xof(x0)-f" (0)dt=0

故根据夹逼定理知，原式＝ 2 . π 八、设正项数列{an} 单调减少，且 ( ) 1 1 n n n a ∞ = ∑ − 发散，试问级数 1 1 1 n n n a ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ∑ 是否收敛？并说 明理由. 【详解 1】 由正项数列{an} 单调减少，知极限 lim n n a →∞ 存在，记为 a, 则 n a a ≥ 且a ≥ 0 . 又 ( ) 1 1 n n n a ∞ = ∑ − 发散，根据莱布尼茨级数交错判别法知，必有 a > 0（否则级数 ( ) 1 1 n n n a ∞ = ∑ − 收敛）. 又正项级数{an} 单调减少，有 1 1 , 1 1 n n n a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + ⎝ ⎠ 而 1 1, a 1 令 1 , 1 n n n b a ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 则 1 1 lim lim 1, 1 1 n n n n b →∞ →∞ a a = = − ，证明（1）中的 0 x 试唯一的. 【详解】 （1）令 ( ) () 1 , x ϕ x = −x f t dt ∫ 则ϕ ( x) 在闭区间[0,1]上连续，在开区间( ) 0,1 内 可导，又ϕ ϕ ( ) () 0 1 0. = = 由罗尔定理知，存在 x0 ∈(0,1 ,) 使 ( ) ' 0 ϕ x = 0.即 ( ) ( ) () 0 1 ' 0 00 0. x ϕ x x f x f t dt =− = ∫