全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1999数学一

1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题-(1) limx2r→0xtanx1-3【答】【详解1】tanx-xtanx-x=lim= limlimx3x0xtanx0xtanxx-→0secx-1= lim3x2x-→0tan’x=lim3x2x→01I3【详解2】1sinx-xcosxsinx-xcosx=limlim=limXx°sin x-0+X→0xtanxX0cosx-cosx+xsinx= lim3x2x→>01sinx= lim33xX→0(2)dt:【答】sinx?【详解】dssin(x-t)'dtx-t=u-sinudtdJdCx"sinu'dudxJo= sin x2故本题应填sin.x2(3)y-4y=e2*的通解为

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 （1） 2 0 1 1 limx→ xxx tan ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ . 【答】 1 3 【详解 1】 2 23 0 00 2 2 0 2 2 0 1 1 tan tan lim lim lim tan tan sec 1 lim 3 tan lim 3 1 3 x xx x x x x xx xxx x x x x x x x → →→ → → ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ −= = ⎝ ⎠ − = = = 【详解 2】 223 0 00 2 0 0 1 1 sin cos sin cos lim lim lim tan sin cos cos sin lim 3 sin 1 lim 3 3 x xx x x x x x xx x xxx x x x x xx x x x x → →→ → → ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ −= = ⎝ ⎠ − + = = = （2） ( )2 0 sin d x x t dt dx − = ∫ . 【答】 2 sin x . 【详解】 ( ) ( ) 0 2 2 0 2 0 2 sin sin sin sin x x x d d x t dt x t u u du dx dx d u du dx x − −= − = = ∫ ∫ ∫ 故本题应填 2 sin x (3) '' 2 4 x y ye − = 的通解为

【答】 y=Ce-*2,其中C,C为任意常数特征方程为：2-4=0,解得=2,=-2【详解】故y-4y=0的通解为y=C,e-2*+C,e,由于非齐次项为(x)=e2，a=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y=Axe"，代入原方程可求得A=六4故所求通解为y=yi+y'=C,e-2"+C,e?xA故本题应填y=C,e（4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是!【答】n,o,..,0【详解】因为[2-12--1E-A-............-1元-A070=1::00元...故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）-因此本题应填n,0..,0(5）设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<且P(AUBUC)=云,则 P(A)=161【答】4【详解】根据加法公式有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+ P(ABC)由题4,B和C两两相互独立，ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<，因此有

【答】 2 2 1 2 1 , 4 x x y Ce C x e − ⎛ ⎞ = ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 其中 1 2 C C, 为任意常数. 【详解】 特征方程为： 2 λ − = 4 0,解得 1 2 λ = 2, 2 λ = − 故 '' y y − = 4 0 的通解为 2 2 11 2 , x x y Ce Ce − = + 由于非齐次项为 ( ) 2x f x e = ， a = 2 为特征方程 的单根，因此原方程的特解可设为 * 2 , x y Axe = 代入原方程可求得 1 4 A = ， 故所求通解为 *22 2 1 12 1 4 xx x y y y C e C e xe − =+ = + + 故本题应填 2 2 1 2 1 , 4 x x y Ce C x e − ⎛ ⎞ = ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （4）设n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 . 【答】 1 ,0, ,0 n n − " 【详解】 因为 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 0 0 0 0 n n E A n n λ λ λ λλ λ λλ λ λ λ λ −− − − − − − − − −− − −= = − − − −− − − − = − " " " " # ### # ### " " " " ## # # " 故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重） 因此本题应填 1 ,0, ,0 n n − " . （5）设两两相互独立的三事件 A, B 和C 满足条件： () () () 1 , , 2 ABC P A P B P C = φ ==< 且 ( ) 9 , 16 PA B C ∪∪ = 则 P A( ) = . 【答】 1 4 . 【详解】 根据加法公式有 P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC ( ) ∪∪ = + + − − − + ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )( ) 由题 A B, 和C 两两相互独立， () () () 1 , , 2 ABC P A P B P C = φ ==< 因此有

P(AB)= P(AC)= P(BC)= P2 (A)P(ABC)= P(μ)=0,9从而 P(AUBUC)=3P(A)-3P2(A)=16解得 P(A)=号,P(4)=云又根据题设 P(A)<,故 P(4)=2二、选择题（1）设f(x)是连续函数，F(x)是其原函数，则(A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数【【答】应选（A）【详解】(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=,(0)dt+C,于是F(-x)= ff(o)dt+Cu=-f f(-u)d(-u)+C当f(x)为奇函数时，(-u)=-f(u)，从而有F(-x)- f,f(u)du+C=J,f(0)dt+C=F(x)即F(x)为偶函数故（A）为正确选项.至于（B）、（C)、（D）可分别举反例如下：f(x)=x2是偶函数，但其原函数F(x)=x+1不是奇函数，可排除（B）；311f(x)=cosx是周期函数，但其原函数F(x)=sin2x不是周期函数，可排除（C)：-X+2*4x2在区间（-0+0）内非f(x)=x在区间(-0+co)内是单调增函数，但其原函数F(x)=2单调增函数，可排除（D）

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 2 , 0, P AB P AC P BC P A P ABC P φ === = = 从而 ( ) () () 2 9 3 3 16 PA B C PA P A ∪∪ = − = 解得 ( ) ( ) 3 1 , 4 4 PA PA = = 又根据题设 ( ) 1 , 2 P A < 故 P A( ) = 1 4 二、选择题 （1）设 f ( ) x 是连续函数， F x( ) 是其原函数，则 （A） 当 f ( ) x 是奇函数时， F x( ) 必是偶函数. （B） 当 f ( ) x 是偶函数时， F x( ) 必是奇函数. （C） 当 f ( ) x 是周期函数时， F x( ) 必是周期函数. （D） 当 f ( ) x 是单调增函数时， F x( ) 必是单调增函数. 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 f ( ) x 的原函数 F ( ) x 可以表示为 ( ) () 0 , x F x f t dt C = + ∫ 于是 ( ) () ( )( ) 0 0 . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数时， f ( ) − =− u fu( ) ，从而有 ( ) () () ( ) 0 0 x x F x f u du C f t dt C F x −= + = += ∫ ∫ 即 F x( ) 为偶函数. 故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下： ( ) 2 f x x = 是偶函数，但其原函数 ( ) 1 3 1 3 Fx x = + 不是奇函数，可排除（B）； ( ) 2 f x x = cos 是周期函数，但其原函数 ( ) 1 1 sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数，可排除（C）； f ( ) x x = 在区间( ) −∞ + ∞ 内是单调增函数，但其原函数 ( ) 1 2 2 Fx x = 在区间( ) −∞ + ∞ 内非 单调增函数，可排除（D）

1-cosx.x>0Vx其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处(2) 设(x)=xg(x),x≤0（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导(D）可导【答】应选（D）【详解】因为J(x)-f(o)1-cos xf (0+0)= lim lim=0micyxX-0-→0f(x)-f(0)xg(αx)f (0-0)= limlimg(x)x=0lim-0xx可见，f(x)在x=0处左、右导数相等，因此，f(x)在x=0处可导，故正确选项为(D)1x,0≤x≤2, S(x)=号+≥a, cos n元x,-0n时，必有行列式AB+0（B）当m>n时，必有行列式AB=0

（2）设 ( ) ( ) 2 1 cos , 0 , 0 x x f x x xg x x ⎧ − ⎪ > = ⎨ ⎪ ≤ ⎩ 其中 g x( ) 是有界函数，则 f ( x) 在 x = 0 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 因为 ( ) () () ' 3 0 0 2 0 1 cos 0 0 lim lim 0, x x fx f x f x x → → + − − − += = = ( ) () () ( ) ( ) 2 ' 0 00 0 0 0 lim lim lim 0, x xx f x f xg x f gxx x x → →→ − −− − −= = = 可见， f ( ) x 在 x = 0 处左、右导数相等，因此， f ( x) 在 x = 0 处可导， 故正确选项为(D). (3)设 ( ) 1 ,0 2 1 2 2, 1 2 x x f x x x ⎧ ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − 时，必有行列式 AB ≠ 0 （B）当 m n > 时，必有行列式 AB = 0

(C)）当n>m时，必有行列式AB+0(D）当n>m时，必有行列式AB=0[【答】应选（B）【详解】因为AB为m阶方阵，且秩r(AB)≤min[r(A),r(B)]≤min(m,n)当m>n时，由上式可知，r(AB)≤n<m,即AB不是满秩的，故有行列式AB=0因此，正确选项为（B）(5）设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(O,1)和N(1,1)，则(B)P(X+Y≤1)=1(A) P(X+Y≤O)=22(C) P(X-Y≤0)=(D) P[X-Y≤1)=22[【答】应选（B）【详解】根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此(X +Y)~ N(1,2),(X -Y)~ N(-1,2).1利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为知，（B）为正确选项2三、设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,=)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求兰dx【详解】分别在z=xf(x+y)和F(xy,=)=0的两端对x求导，得d=f+xaydxdxFx+F+F==0dxdx整理后得dydzF=f+xdx"dx+FF-Fxdxdx解此方程组，得

（C））当 n m> 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D）当 n m> 时，必有行列式 AB = 0 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 AB 为 m 阶方阵，且 秩 r AB r A r B m n ( ) () () ≤ ≤ min , min , ⎡ ⎤ ( ) ⎣ ⎦ 当 m n > 时，由上式可知， r AB n m ( ) ≤ < ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB = 0. 因此，正确选项为（B）. （5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则 （A） { } 1 0 . 2 PX Y+≤ = (B) { } 1 1 . 2 PX Y+ ≤ = （C） { } 1 0 . 2 PX Y−≤ = (D) { } 1 1 . 2 PX Y− ≤ = 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此 ( ) () XY N XY N + −− ~ 1, 2 , ~ 1, 2 ( )() 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 1 2 知，（B）为正确选项. 三、设 y yx z zx = = () () , 是由方程 z xf x y = ( + ) 和 F xyz ( , 0 ) = 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 . dz dx 【详解】 分别在 z xf x y = + ( ) 和 F xyz ( , 0 ) = 的两端对 x 求导，得 ' '' ' 1 0 dz dy f x f dx dx dy dz Fx Fy Fz dx dx ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ =+ + ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ++= ⎪⎩ 整理后得 ' ' '' ' dy dz xf f xf dx dx dy dz Fy Fz Fx dx dx ⎧ − + =+ ⎪⎪ ⎨ ⎪ + =− ⎪⎩ 解此方程组，得

4-(J+)Fy-F=(Fy+xF=*0)dxFy+xf'F2四、求I=[,(e'siny-b(x+y)dx+(e'cosy-ax)dy,其中a,b为正常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=Vax-x2到点O(0,0)的弧【详解】添加从点O(0,0)沿y=0到点A(2a,0)的有向直线段L,则I=Ju,[e sin y-b(x+y)]dx+(e cos y-ax)dy-J,[e' sin y-b(x+y)]dx+(e cos y-ax)dy利用格林公式，前一积分(%-% uxdy= J[(b-a)yady=(axdy)F"α (b-a)2其中D为L+L所围成的半圆域，后一积分选择×为参数，得L：-9.(0≤x≤2a),可直接积分I, = J°(-bx)dx = -2a*bI= 1, -1, ={(+2)ab-号a.故五、设函数(x)(x≥0)二阶可导且y(x)>0,(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,J)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S,，并设2S,-S,恒为1，求此曲线=(x)的方程【详解】曲线=y(x)上点P(x,J)处的切线方程为Y-y(x)=y (x)(X-x)

( ) ( ) ' ' '' ' '' ' '' , 0 dz f xf F y xf F z F y xf F z dx F y xf F z + − = + ≠ + 四、求 ( ) sin cos , ( ) ( ) x x L I = −+ + − e y b x y dx e y ax dy ∫ 其中 a b, 为正常数， L 为从点 A a ( ) 2 ,0 沿曲线 2 y ax x = − 到点O(0,0) 的弧. 【详解】 添加从点O( ) 0,0 沿 y = 0到点 A a (2 ,0) 的有向直线段 1 L , 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy + = −+ + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − −+ + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 利用格林公式，前一积分 ( ) ( ) 1 2 2 D D Q P I dxdy b a dxdy x y aba π ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ = − ∫∫ ∫∫ 其中 D 为 L L + 1 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 1 L : ,0 2 , ( ) 0 x x x a y ⎧ = ⎨ ≤ ≤ ⎩ = 可直接积分 ( ) 2 2 2 0 2 a I = − =− bx dx a b ∫ 故 2 3 1 2 2 . 2 2 I I I ab a ⎛ ⎞ π π =−= + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 五、 设函数 yx x ( )( ) ≥ 0 二阶可导且 ( ) ( ) ' yx y > = 0, 0 1, 过曲线 y yx = ( ) 上任意一点 Pxy ( ) , 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 1 S , 区 间 [0, x] 上以 y yx = ( ) 为曲边的曲边梯形面积记为 2 S ，并设 1 2 2S S − 恒为 1，求此曲线 y yx = ( )的方程. 【详解】 曲线 y yx = ( )上点 Pxy ( ) , 处的切线方程为 () ()( ) ' Y yx y x X x −= −

x-,0由于(x)>0,(0)=1,因此(x)(x>0)它与x轴的交点为y-)于是S,=2V1又.y(t)dtS,y(0)dt =1,根据题设2S, -S,=1,有21并且y(0)=1，两边对x求导并化简得y =(y)这是可降阶得二阶常微分方程，令P=y，则上述方程可化为dp=p2，分离变量得ypdydp_dypydy=Cy,解得p=Cy，即dx从而有y=Ce+C,根据y(0)=1,y(0)=1,可得 C, =1,C, =0y=e'.故所求曲线得方程为六、试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)【详解1】令(x)=(x2-1)Inx-(x-1) 易知f(1)=0又f(x)=2xlnx-x+2_l,f (1)=0x()=21nx+1+1,()=2>02(x2 -1)r(a)=x3

它与 x 轴的交点为 ' ,0 y x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 由于 ( ) ( ) ' yx y > = 0, 0 1,因此 yx x ( )( > 0) 于是 2 1 ' ' 1 . 2 2 y y S yx x y y ⎛ ⎞ = −− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 又 2 ( ) 0 x S y t dt = ∫ 根据题设 1 2 2 1 S S − = ，有 ( ) 2 ' 0 1, 2 y x y t dt y − = ∫ 并且 ( ) ' y 0 1 = ，两边对 x 求导并化简得 ( )2 '' ' yy y = 这是可降阶得二阶常微分方程，令 ' p = y ，则上述方程可化为 dp 2 yp p dy = ，分离变量得 dp dy p y = 解得 1 p = C y ，即 1 , dy C y dx = 从而有 1 2 x y Ce C = + 根据 () () ' y y 0 1, 0 1, = = 可得 1 2 C C = = 1, 0, 故所求曲线得方程为 . x y e = 六、试证：当 x > 0 时，( ) ( )2 2 x xx − ≥− 1 ln 1 . 【详解 1】 令 ( ) ( ) ( )2 2 fx x x x = − −− 1 ln 1 . 易知 f (1 0 ) = 又 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' '' '' 2 2 ''' 3 1 2 ln 2 , 1 0 1 2ln 1 , 1 2 0 2 1 fx x xx f x fx x f x x f x x = −+− = = ++ = > − =

可见，当00因此，有当10又由(1)=0及f(x)是单调增函数推知，当00;因此进一步有f(μ)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)【详解2】先对要证的不等式作适当变形，则当x>0时，（x2-1)lnx≥(x-1).等价于当00(>0)又因为(1)=0，可见有当00，从而当x>0时，有(x-1)f(x)=(x2-1)inx-(x-1)≥0即当x>0时，(x2-1)Inx≥(x-1)七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m抓斗自重400N，缆绳每米重500N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：1N×m=1J;m,N，sJ分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）【详解1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W=W,+W,+W

可见，当0 1 0; 因此，有当1 1 20 又由 ( ) ' f 1 0 = 及 ( ) ' f x 是单调增函数推知，当 0 1 0;因此进一步有 fx f x ( ) ≥ = 0 时，( ) ( )2 2 x xx − ≥− 1 ln 1 . 【详解 2】 先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时，( ) ( )2 2 x xx − ≥− 1 ln 1 .等价于当0 1 > + + 又因为 f ( ) 1 0 = ，可见有 当0 1 0 ，从而当 x > 0 时，有 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 x fx x x x − = − −− ≥ 1 1 ln 1 0, 即当 x > 0 时，( ) ( )2 2 x xx − ≥− 1 ln 1 . 七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400 N,缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N s/ 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：①1 1 1; , , N m JmNsJ × = 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【详解 1】 建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 WWWW =++ 123

+山其中W是克服抓斗自重所作的功：W，是克服缆绳重力作的功：W,为提出污泥所作的功.由题意知W,=400×30=12000将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为dW, = 50(30-x)dx,3 50(0-x)dx=22500从而 W,=在时间间隔[t,t+dt|内提升污泥需作功为dw, =3(2000-20t)dt30将污泥从井底提升至井口共需时间=10，所以3W=3(2000-20t)dt=57000因此，共需作功W=12000+22500+57000=91500(J)【详解2】作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力(x）包括抓斗的自重400N，缆绳的重力50(30-x)(N），污泥的重力12000-x-20N），即320170f (x)=400+50(30-x)+2000-x=3900-x33于是

其中W1 是克服抓斗自重所作的功；W2 是克服缆绳重力作的功；W3为提出污泥所作的功.由题 意知 1 W = ×= 400 30 12000. 将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为 dW x dx 2 = − 50 30 , ( ) 从而 ( ) 30 2 0 W x dx = −= 50 0 22500. ∫ 在时间间隔[t t dt , + ] 内提升污泥需作功为 dW t dt 3 = − 3 2000 20 . ( ) 将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 3 = ，所以 ( ) 10 3 0 W t dt = −= 3 2000 20 57000. ∫ 因此，共需作功 W J =++= 12000 22500 57000 91500( ) 【详解 2】 作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 力 f ( ) x 包括抓斗的自重 400 N, 缆绳的重力 50 30 ( − x)(N ) ，污泥的重力 ( ) 1 2000 20 3 − ⋅ x N ，即 () ( ) 20 170 400 50 30 2000 3900 , 3 3 f x xxx = + −+ − = − 于是

85170130xdx=3900x-3900-0=117000-24500=91500(J）x2八、设S为椭球面22=1的上半部分，点P(x,y,=)eS,元为S在点P处的切平面，22Zp(x,y,=)为点O(0,0,0)到平面元的距离，求[dss p(x,y,=)【详解】令F(s,3-)-号+号+2-1, (X,Y,2)为元上在意一点，则元的方程为22F(X-x)+F(Y-y)+F.(Z-=)=0,XX,yY即+zZ =122从而知Ax+By+Czl(++o(x,y,z+44VA?+B?+C2A=,B=岁,这里C==Z22X由曲面方程知22于是OzOz-xaxay2小号）2小-(+)2因此14-x2-yOz(Ozds:dado(ax2-(6)故有+兰+2dsYIS:p(x,y.zA(4- r2)rd[(4-x -)do=de0

( ) 30 30 2 0 0 170 85 3900 3900 117000 24500 91500 3 3 W x dx x x J | ⎛ ⎞ = − =− = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 八、设 S 为椭球面 2 2 2 1 2 2 x y + + = z 的上半部分，点 P xyz S ( , , )∈ π 为 S 在点 P 处的切平面， ρ ( ) x, , y z 为点O( ) 0,0,0 到平面π 的距离，求 ( ) . , , S z dS ρ xyz ∫∫ 【详解】 令 ( ) 2 2 2 , , 1, 2 2 x y F xyz z = + +− 设( X , , Y Z ) 为π 上任意一点，则π 的方程为 ( ) () ( ) ' '' 0, F Xx FYy F Zz x yz −+ −+ −= 即 1 2 2 xX yY + += zZ 从而知 ( ) 1 2 2 2 2 222 , , 4 4 Ax By Cz x y xyz z ABC ρ − + + ⎛ ⎞ = = ++ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 这里 , , 2 2 x y A B Cz === 由曲面方程知 2 2 1 , 2 2 x y z ⎛ ⎞ =− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 于是 22 22 , , 21 21 22 22 z xz y x y xy xy ∂ −∂ − = = ∂ ∂ ⎛⎞ ⎛⎞ −+ −+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 因此 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 2 z z x y dS d d x y x y σ σ ⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞ − − =+ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 故有 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 0 0 , 4 4 1 1 4 4 4 4 3 2 S S D z xy dS z z dS xyz x y d d r rdr π ρ σ θ π = ++ = −− = − = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫