全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1998数学三

1998年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析、填空题（1）设曲线f(x)=x"在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(5m,0),则limf(,）=e~1【答】【详解】因为df (x)-1 df (x)nndxdxx = 1故过(1,1)的切线方程为y-1=n(x-1)当y=0时，得5,=x=1-n因此lim(5.)= lim-e-Inx-(2)dxx2Inx【答】+Cx【详解】Inx-dx=(Inx-)(Inx-1)+-d(lnx-1InxInx+(-dx:xXxX1Inx+x（3）差分方程2y++10y-5t=0的通解为y, =C(-5)【答】216【详解】差分方程可化为标准形式：LCy+I+5y =其通解为

1998 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设曲线 ( ) n f x x = 在点( ) 1,1 处的切线与 x 轴的交点为(ξ n ,0 ,) 则 lim ( ) n n f ξ →∞ = _. 【答】 1 e− 【详解】 因为 ( ) ( ) 1 , , 1 n df x df x nx n dx dx x − = = = 故过( ) 1,1 的切线方程为 y nx −= − 1 1. ( ) 当 y = 0时，得 1 1 , n x n ξ = =− 因此 ( ) 1 1 lim lim 1 . n n n n e n ξ − →∞ →∞ ⎛ ⎞ = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （2） 2 ln 1 x dx x − = ∫ _ 【答】 ln x C x − + 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 ln 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 x dx x d x d x x xx x − ⎛ ⎞ = − − =− − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ 2 ln 1 1 ln 1 1 x x dx C x x x x xx =− + + =− + − + ∫ ln . x C x =− + （3） 差分方程 1 2 10 5 0 t t y yt + + −= 的通解为_ 【答】 ( ) 5 1 5 . 12 6 t t yC t ⎛ ⎞ = −+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 【详解】 差分方程可化为标准形式： 1 5 5 , 2 t t y yt + + = 其通解为

y, =C(-5)-00710-20（4）设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E，其中A=E为单位矩阵，A为ALo1]0的伴随矩阵，则B=[200]【答】0-40[o 0 2]【详解1】将已知矩阵方程组两边分别左乘A，右乘A-得A(ABA)A- = A(2BA)A- - A(8E)A-!化简有JAB=2AB-8E.又[4| = -2,因此(A+E)B=4E.于是2201-10B=4E(A+E)-=4 002L01120012007-40=4000021011200【详解2】对A'BA=2BA-8E两边分别左乘A，分别右乘A-"，利用AA*=AE以及AA-"=E得[AB=2AB-8E.因此，B=8(2A-|A|E)而

( ) 5 1 5 . 12 6 t t yC t ⎛ ⎞ = −+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （4） 设矩阵 A,B 满足 2 8 ∗ A BA = BA E − ，其中 100 0 2 0, 001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A E 为单位矩阵， ∗ A 为 A 的伴随矩阵，则 B = _ 【答】 200 0 40 002 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解 1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘 A ，右乘 −1 A 得 ( ) ( ) ( ) 1 11 2 8, ∗− − − A A BA A = A BA A A E A − 化简有 A B AB E. = − 2 8 又 A = −2, 因此 ( ) A+ E B E. = 4 于是 ( ) 1 1 220 4 40 1 0 002 − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B E A+ E 1 0 0 2 200 40 1 0 0 4 0. 1 002 0 0 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解 2】 对 2 8 ∗ A BA = BA E − 两边分别左乘 A ，分别右乘 −1 A ，利用 ∗ AA AE = 以及 −1 AA E= 得 A B AB E. = − 2 8 因此， ( ) 1 82 . − B A AE = − 而

2A4【详解2】由已知矩阵方程得(2E-A)BA=8E两边分别左乘（2E-A）"，右乘A得B=8(2E- A)"A"=8[A(2E- A)"=8(2A- AA)=8(2A-|A|E)"=8(2A+2E)(A+E)l8.12(5）设X,X,X3,X4是来自正态总体N(o,2）的简单随机样本，X =a(X,-2X,)°+b(3X,-4X.),则当a=,b=时，统计量X服从分布，其自由度为112【答】20100【详解1】即X服从x?分布，则n=2，且须a(X, -2X,)~ N(0,1);Vb(3X, -4X.)~ N(0,1)于是E(X -2X,)=E(X)-2E(X,)=0,D(X -2X,)= D(X)+4D(X,)= 20,E(3X,-4X)=3E(X,)-4E(X)=0D(3X,-4X)=9E(X,)+16E(X)=100

( ) 22 4 2 4 2 2, 2 24 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − =− − − =− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − A AE 1 1 4 4 2 1 8 2 8 4. 2 4 3 1 4 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = − = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B 【详解 2】 由已知矩阵方程得 ( ) 2 8 ∗ E − = A BA E 两边分别左乘( ) 1 2 − ∗ E A− ，右乘 −1 A 得 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 82 8 2 82 − − − ∗− ∗ ∗ = − ⋅= − = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ B E A A A E A A AA ( ) ( ) 1 1 82 82 2 − − =− =+ A AE A E ( ) 1 2 1 8 4. 2 2 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⋅ + = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A E （ 5 ） 设 1234 X , XXX 是来自正态总体 ( ) 2 N 0,2 的简单随机样本， ( )( ) 2 2 12 34 X aX X b X X =− + − 2 34, 则当 a = _ ,b = _时，统计量 X 服 从 2 χ 分布，其自由度为_. 【答】 1 1 2 20 100 【详解 1】 即 X 服从 2 χ 分布，则 n = 2 ，且须 aX X N b X X N ( ) 12 34 − − 2 ~ 0,1 ; 3 4 ~ 0,1 . ( ) ( ) ( ) 于是 EX X EX EX ( ) () 12 1 2 −= − = 2 2 0, ( ) DX X DX DX ( ) () 12 1 2 −= + = 2 4 20, ( ) E X X EX EX ( ) () 3 4 3 4 0, 34 3 4 −= − = ( ) D X X EX EX ( ) () 3 4 9 16 100, 34 3 4 −= + = ( )

于是-2X~ N(0.1),3X,-4X ~ N(0.1),V2010且相互独立，由分布的构成知：(X,-2x,) (3x,-4x)Xx (2)2010011所以当a=时，X服从×分布，其自由度为2.b:20100二、选择题f(1)-f(1-x)设周期函数(x)在(-co,+oo)内可导，周期为4.又lim-1则曲线(1)02xy=(x)在点(5,f(5)处的切线斜率为(a)(B)0.(C)-1.(D)-2.【答】应选(D)【详解】由己知f(0)-f(1-x)f(l)-f(1-x)imLlimf'(1)=-1C2x2 x10-x+于是f(1)= -2.又f(x+4)=f(x),两边求导得f'(x+4)= f'(x),故f (5)= f(1) = -2.即曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率f(5)=-21+x,讨论函数(t)的间断点，其结论为(2)设函数f (x)=lim(B)存在间断点x=1(A)不存在间断点

于是 ( ) ( ) 1 2 3 4 2 3 4 ~ 0,1 , ~ 0,1 , 20 10 X X X X N N − − 且相互独立，由 2 χ 分布的构成知： ( ) ( ) ( ) 2 2 12 34 2 2 34 ~ 2, 20 100 XX XX X χ − − = + 所以当 1 1 , 20 100 a b = = 时， X 服从 2 χ 分布，其自由度为 2. 二、选择题 （1） 设周期函数 f ( x) 在( ) −∞ +∞ , 内可导，周期为 4.又 ( ) ( ) 0 1 1 lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点( ) 5, 5 f ( ) 处的切线斜率为 ( ) () () ( ) 1 . 0. 1. 2. 2 AB C D − − 【 】 【答】 应选( ) D 【详解】 由已知 () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 11 11 1 1 lim lim 1 1, x x 22 2 f fx f fx f → → x x −− −− = = =− ′ − 于是 f ′(1 2. ) = − 又 f ( x fx + = 4 , ) ( ) 两边求导得 f ′ ′ ( ) () x fx + = 4 , 故 f f (5 1 2. ) = ( ) = − 即曲线 y fx = ( ) 在点( ) 5, 5 f ( ) 处的切线斜率 f ′(5 2. ) = − （2） 设函数 ( ) 2 1 lim , 1 n n x f x →∞ x + = + 讨论函数 f ( x) 的间断点，其结论为 ( ) A 不存在间断点. (B) 存在间断点 x =1

(C)存在间断点x=0(D)存在间断点x=-1【】【答】应选(B)【详解】由于[0,x>1,1+x(x)= lim -1,x=0,01+x2n[1+x,x<1.可见，x=1为f(x）的间断点x+x+2x=0,（3）齐次线性方程组x+x,+=0，的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B+0,使得[+x+x=0AB=0,则(A)=-2且B=0(B)=-2且B+0(C)=1且|B = 0.(D)=1且|B ± 0.[】【答】应选(C)【详解1】由题设条件：AB=0,且B+O知方程组Ax=0,存在非零解，于是A=0即[11元1=0,1元1解得入=1.于是111[1111:111由AB=O,知道ATBT=O.故方程组B"x=0存在非零解，于是B=B=0【详解2】因为AB=0,所以r(A)+r(B)≤3

( ) C 存在间断点 x = 0 (D) 存在间断点 x = −1. 【 】 【答】 应选( ) B 【详解】 由于 ( ) 2 0, 1, 1 lim 1, 0, 1 1 , 1. n n x x fx x x x x →∞ ⎧ > + ⎪ = =− = ⎨ + ⎪ ⎩ + < 可见， x =1为 f ( ) x 的间断点. （3）齐次线性方程组 2 12 3 1 23 12 3 0, 0, 0 xx x x xx xx x λ λ λ λ ⎧ ++ = ⎪ ⎨ + += ⎪ ++ = ⎩ 的系数矩阵记为 A ，若存在三阶矩阵 B O≠ ,使得 AB = O,则 ( ) A B λ λ =− = =− ≠ 2 0. 2 0 . 且 且 B B ( ) ( ) C D λ λ == =≠ 1 0. 1 0. 且 且 B B ( ) 【 】 【答】 应选( ) C 【详解 1】 由题设条件： AB = O,且 B O≠ 知方程组 Ax = O,存在非零解，于是 A = 0, 即 2 1 1 1 0, 1 1 λ λ λ λ = 解得λ =1. 于是 111 1 1 1. 111 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 由 AB = O,知道 T T A B = O. 故方程组 0 T B x = 存在非零解,于是 0. T B B = = 【详解 2】 因为 AB = O, 所以 r r ( A B ) + ( ) ≤ 3

又因为A+0,B+0所以1≤r(A)<3,1≤r(B)<3故B=0又因为元=-2时，[-21X[A|=1 -21=9121即此时r(A)=3故应选(C)111事实上，当入=1时，r(A)1 11ada1aa...a(4）设n（n≥3)阶矩阵A=1，若矩阵A的秩为n-l，则a必为0a...a...1:a1aa..1(A)1.(c)-1.(D)(B)-n2-【【答】应选(B)【详解1】由题设秩r(A)=n-1,必有|A=0,又/10a...a1aa..a|A|=al.aa：.aa..la(n-1)a+1 (n-1)a+1 (n-1)a+1(n-1)a+1..1aaa.1aaa=...::::1aaa

又因为 A ≠ O,B O, ≠ 所以 1 3,1 3. ≤ <≤ < r r ( A B ) ( ) 故 B = 0 又因为λ = −2 时， 21 4 1 2 1 9, 11 2 A − = − = − 即此时 r( ) A = 3. 故应选( ) C 事实上，当λ =1时， ( ) 111 1 1 1 1. 111 r r ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A （4） 设 n n( ) ≥ 3 阶矩阵 1 1 1 1 aa a aa a aa a aaa ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " " ### # " A ，若矩阵 A 的秩为 n −1，则 a 必为 () () () () 1 1 1. . 1. . 1 1 AB C D n n − − − 【 】 【答】 应选( ) B 【详解 1】由题设秩 r n ( ) A = −1, 必有 A = 0, 又 1 1 1 1 aa a aa a aa a aaa = " " " ### # " A () () 11 11 11 11 ( ) ( ) 1 1 1 na na na na a aa aa a aaa −+ −+ −+ −+ = " " " ### #

0-a=[(n-1)a+1=(n-o::::001-a...9a=(1-a)"[(n-1)a+1]可见A0时，必有a=1或a=1-n但α=1时，显然r(A)=1,与题设矛盾，故必有α1-n?【详解2】因题对n≥3的一切正整数n选项恒惟一确定，故对n=3时的正确选项即为所求.此时r(A)=2,所以a±1.对A进行初等变换00a1-aa11-a00A1-a01-aaQa001+2aa-la-11aa1因而r(A)=2,所以1+2a=0即1-3故应选(B)(5）设F(x)与E(x)分别为随机变量X,与X,的分布函数.为使F(x)=aF(x)+bE(x)是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取2,b=2(4)a=2,b=-2.(B)a=533521_1,b=b=(C)a=-(D)a=3222[】【答】应选(A)【详解】根据分布函数的性质：limf(x)=1,因此有lim F(x)=a lim F(x)-b lim F(x),即1=a-b.4对比四个选项知，只有（A）中的a和b值满足a-b=1

( ) ( ) 111 1 11 1 1 01 0 11 11 1 00 1 1 aa a a na na aa a a aaa − =−+ =−+ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎣⎦ − " " " " " ## # ### # " " 1 1 1, ( )( ) n =− − + ana ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 可见 A ≠ 0时，必有 1 1 . 1 a a n = = − 或 但 a =1时，显然 r( ) A =1,与题设矛盾，故必有 1 . 1 a n = − . 【详解 2】 因题对 n ≥ 3的一切正整数 n 选项恒惟一确定，故对 n = 3时的正确选项即为 所求. 此时 r( ) A = 2,所以 a ≠ 1.对 A 进行初等变换 1 10 10 1 01 01 1 1 11 0 0 12 aa a a a a a a aa a a aa a a a ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = → −→ − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ −− + A 因而 r( ) A = 2,所以1 2 0. + a = 即 1 1 . 2 13 a =− = − 故应选( ) B . （5） 设 F1 2 ( ) x Fx 与 ( ) 分别为随机变量 X1 2 与X 的分布函数.为使 F () () () 1 2 x aF x bF x = + 是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 22 , . , . 5 5 33 12 1 3 , . , . 23 2 2 Aa b Ba b Ca b Da b = =− = = =− = = =− 【 】 【答】 应选( ) A 【详解】 根据分布函数的性质： lim 1, ( ) x f x →+∞ = 因此有 lim lim lim , () () 1 2 ( ) x xx Fx a Fx b F x →+∞ →+∞ →+∞ = − 即1 . = a b − 对比四个选项知，只有( ) A 中的 a b 和 值满足 a b − =1

a三、设≥=(+2y2)em,求d 与OxOy【详解】0==2xe2 12ax= =2 ye21-Yay所以[(2x+ y)dx+(2y-x)dy]dz=éa"zx? + y?Oxoy四、设D=(x,)]x2+≤x),求[Vxdxdy【详解1】[[Vxdxdy=[,de]rcosordicoso3pdrfcos odo-cosede5J015【详解2] D=(x,y)10≤x≤1,-Vx-x≤y≤Vx-x)所以JVdxdy=J'Vxdx[dy=2]'x/l-xd -×=14f2(-)a4(6-)6-%五、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果先在（假定1=0）就售出，总收入为R。（元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为

三、设 ( ) arctan 2 2 2 , y x z x ye− = + 求 dz 与 2 . z x y ∂ ∂ ∂ 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) arctan arctan arctan 2 2 2 2 2 arctan arctan arctan 2 2 2 2 1 2 2, 1 1 1 2 2. 1 yy y xx x yy y xx x z y xe x y e x y e x x y x z ye x y e y x e y x y x −− − −− − ⎡ ⎤ ∂ ⎢ ⎥⎛ ⎞ = −+ − = + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∂ ⎢ ⎥ = −+ = − ⎢ ⎥ ∂ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 所以 ( )( ) arctan 2 2, y x dz e x y dx y x dy − = + +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) 2 22 arctan arctan arctan 2 2 2 2 1 1 2 . 1 yy y xx x z y xy x e x ye e xy x x y y x −− − ⎡ ⎤ ∂ −− ⎢ ⎥ = −+ = ⎢ ⎥ ∂∂ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 四、 设 {( ) } 2 2 D xy x y x = +≤ ,| , 求 . D xdxdy ∫∫ 【详解 1】 cos 2 0 2 cos D xdxdy d r rdr π θ π θ θ − = ∫∫ ∫ ∫ 1 3 cos 3 2 2 2 2 0 0 2 4 8 cos cos . 5 15 d r dr d π π θ π θθ θθ − = == ∫∫ ∫ 【详解 2】 {( ) } 2 2 D xy x x x y x x = ≤≤− − ≤ ≤ − , | 0 1, , 所以 2 2 1 1 0 0 2 1 x x x x D xdxdy xdx dy x xdx − − − = =− ∫∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 5 1 2 2 0 1 8 41 4 . 3 5 15 0 t t t t dt ⎛ ⎞ − =− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 五、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果先在（假定t = 0）就售出，总收入为 R0 （元）.如果 窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为

2R= R,e5假定银行的年利率为r，并以连续复利计算试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求r=0.06时的t值【详解】根据连续复利公式，这批酒再窖藏t年末售出总收入R的现值为A(t)=Re-"，而24FR=Re，所以A(0)R令dA=R,edt(5Vf10/3则有dA-12.5r3)<0Redt?11于是，是极大值点即最大值点，故窖藏t：（年）售出，总收入的现值最大。25r225r210011（年）当r=0.06时，t：9六、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f"(x)0.试证存在≤,ne(a,b),使得-f'(n)b-a【详解1 由拉个朗日中值定理知, 存在5 e(a,b),使得 F()=1()-/(a)b-a把上式代入要证的关系式I'()_e-"e"f'(n)b-a转化为只需证明f(b)-f(a)_ f'(n)eb-eae'".显然，只需对f(x),g(x)=e在[a,b]上应用柯西中值定理即可【详解2】令=n,要证结论即为

2 5 0 t R = R e 假定银行的年利率为 r ，并以连续复利计算试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求 r = 0.06 时的t 值. 【详解】 根据连续复利公式，这批酒再窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 ( ) Re , n A t − = 而 2 5 0 t R = R e ，所以 ( ) 2 5 0 . t n A t Re − = 令 2 2 5 0 3 1 1 , 5 10 dA t nt Re r dt t t − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = −− ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 则有 ( ) 2 1 25 3 2 0 0 12.5 0. r d A Re r dt t t = − < = 于是， 0 2 1 25 t r = 是极大值点即最大值点，故窖藏 2 1 25 t r = （年）售出，总收入的现值最大。 当 r = 0.06 时， 100 11 9 t = ≈ （年）. 六、 设函数 f ( ) x 在[a b, ] 上连续，在(a b, ) 内可导，且 f x ′( ) ≠ 0.试证存在ξ η, , ∈( ) a b 使 得 ( ) ( ) . b a f e e e f ba η ξ η − ′ − = ⋅ ′ − 【详解 1】 由拉个朗日中值定理知，存在ξ ∈(a b, ,) 使得 ( ) ( ) () , f b fa f b a ξ − ′ = − 把上式代入要证的关系式 ( ) ( ) . b a f e e e f ba η ξ η − ′ − = ⋅ ′ − 转化为只需证明 () () ( ) b a . fb fa f ee eη − ′ η = − 显然，只需对 () () , x f x gx e = 在[a b, ] 上应用柯西中值定理即可. 【详解 2】 令ξ =η, 要证结论即为

b-eb-a令g(x)=e在[a,b]|上应用拉个朗日中值定理即得结论，七、设有两条抛物线y=mx2+=和y=(n+1)x2+记它们交点的横坐标的绝对值为n+1nan.（1）求这两台抛物线所围成的平面图形的面积S，；求级数之兴的和。(2)n=ian【详解】1解联立方程y=nx?+1hy=(n+1)x? +n+1得-2.nn+1n(n+1)从而a.n(n+1)因图形关于y轴对称，所以[n*+-(a+1)-]d=2S.-n(n+1)43 n(n+1) /n(n+1)因此--n(n+1)从而2S=lim2=lim1-1福:-=ank-→oan-→03n+1

, b a e e e b a − ξ = − 令 ( ) x gx e = 在[a b, ] 上应用拉个朗日中值定理即得结论. 七、 设有两条抛物线 2 1 y nx n = + 和 ( ) 2 1 1 , 1 yn x n =+ + + 记它们交点的横坐标的绝对值为 . n a （1） 求这两台抛物线所围成的平面图形的面积 ; n S （2） 求级数 1 n n n S a ∞ = ∑ 的和. 【详解】 解联立方程 ( ) 2 2 1 , 1 1 , 1 y nx n yn x n ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ =+ + ⎩⎪ + 得 ( ) 2 11 1 , 1 1 x n n nn =− = + + 从而 ( ) 1 . 1 n a n n = + 因图形关于 y 轴对称，所以 ( ) ( ) 22 2 0 0 11 1 2 12 1 1 n n a a n S nx n x dx x dx n n nn ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +− + − = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( )( ) 4 1 , 3 nn nn 1 1 = + + 因此 ( ) ( ) 4 1 41 1 , 3 13 1 n n S a nn n nn ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 从而 1 1 41 4 lim lim 1 . 3 13 n n k k n n k n k S S aa n ∞ →∞ →∞ = = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = = −= ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ + ∑ ∑