全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1997数学三

1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题（1）设y=(lnx)e()其中于可微，则dy=e'[1(Inx)+F(x) (Inx) dx【答】【详解】dy = d[ (ln x)e()=[af (In x)]-e/() + f (In x) de (t)['(Inx)ax-e) + (Inx)e() (1)dx[r(nx)aler) + (In x)e0- ()at(2) 若()=+V1-(),则()=A【答】4-元【详解】设f,(x)dx= A,则A-s()-I+4-M-rdA儿元(arcsin x+ x/1-=arctanx0P元故A=4-元（3）差分方程y1-y,=t2'的通解为y,=【答】C+(t-2)2'【详解】齐次差分方程y+-y,=O的通解为C.C为任意常数设(at+b)2"是差分方程yt+-y,=t2"的一个特解，则a=1,b=-2.因此y,=C+(t-2)2'为所求通解

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 ( ) ( ) ln f x y f xe = 其中 f 可微，则 dy = _. 【答】 ( ) ( ) () ( ) 1 ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡ ⎤ ′ ′ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln fx fx fx dy d f x e df x e f x de = = ⋅+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln ln fx fx f x dx e f x e f x dx x ⎡ ⎤ = ⋅+ ⋅ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln ln fx fx f x dx e f x e f x dx x ⎡ ⎤ = ⋅+ ⋅ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （2） 若 ( ) ( ) 1 2 2 0 1 1 , 1 f x x f x dx x = +− + ∫ 则 ( ) 1 0 f x dx = ∫ _. 【答】 4 π −π 【详解】 设 ( ) 1 0 f x dx A = , ∫ 则 ( ) 11 1 2 2 00 0 1 1 dx A f x dx A x dx x = = +⋅ − + ∫∫∫ ( ) 2 1 1 arctan arcsin 1 0 0 2 44 A x xx x A π π = +⋅ + − =+ 故 . 4 A π π = − （3） 差分方程 1 2t t t y yt + − = 的通解为 t y = _. 【答】 ( ) 2 2t C t + − 【详解】 齐次差分方程 1 0 t t y y + − = 的通解为C C. 为任意常数 设( ) 2t at b + 是差分方程 1 2t t t y yt + − = 的一个特解，则 a b =1, 2. = − 因此 ( ) 2 2t t yCt =+− 为所求通解

（4）若二次型（,x2,）=2x+++2xx+x是正定的，则1的取值范围是-2【答】【详解】厂正定的充分必要条件是对应矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此21011>0,2t102解得-V2<1<V2（5）设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(o,3"），而X,…,X，和Y,…YX.+X服从分别式来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U=y? +.+Y?分布，参数为【答】t,9令x-4--12...9【详解】3”3则 X,~N(0,1),Y'~N(0,1),i=1,2, .-,9X'= X+...+X, ~ N(o,33),Y'= Y'+..+Y,~x?(9)因此XXX'+...+X'X+...+X.3U=区Y'Yyi? +..+y?/y2 +...+Y?V由于~ N(0,1),Y'~ x(9)3故U~t(9)二、选择题

（4） 若二次型 ( ) 222 1 2 3 1 2 3 12 23 f x x x x x x x x tx x , 2 2 = +++ + 是正定的，则t 的取值范围 是_. 【答】 − 解得 − << 2 2 t （5）设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 ( ) 2 N 0,3 ，而 1 9 X , , " X 和 1 9 Y Y , , " 分别式来自总体 X 和Y 的简单随机样本，则统计量 1 9 2 2 1 9 X X U Y Y + + = + + " " 服从_ 分布，参数为_. 【答】 t,9 【详解】 令 , , 1,2, ,9 3 3 i i i i X Y X Yi ′ ′ = == " 则 X N YN i i i ′ ′ ~ 0,1 , ~ 0,1 , 1, 2, ,9 () () = " ( ) 2 XX XN ′′ ′ = ++ 1 9 " ~ 0,3 , ( ) 2 YY Y ′′ ′ =++ Χ 1 9 " ~ 9 因此 1 91 9 2 22 2 1 91 9 3 9 X X XX X X U Y YY Y Y Y ′ ++ ++ ′ ′ ′ = = ==′ ′ ++ ++ ′ ′ " " " " 由于 ( ) () 2 ~ 0,1 , ~ 9 3 X N Y ′ ′ Χ 故U t ~ 9( ). 二、选择题

x5x6"sint?dt,g(x)=(1) 设f(x)=,则当x→0时，f(x)是g(x)的56(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等阶无穷小(D)同阶但不等价的无穷小【答】应选(B)【详解】利用洛必达法则，有f(x)sin x·sin(1-cos)sin(1-cos)limlimlim>0x+xsx+xx-=0 g(x)x4(1- cos)24= lim-lim=03 +x4x0 x3 +x4(2) 若f(-x)=f(x)(-000,且 F"(x)0, "(x)0, f"(x)>0(C)f'(x)0(D)F'(g)0[【答】应选(C)【详解】由f(-x)=f(x),得-f'(x)= f'(x), f"(-x)= f'(x)可见当xE(0,+o0)时，-xE(-00,0)，且f'(x)=-f'(-x)<0, f"(x)= f'(-x)<0所以应选(C)(2)设向量α，α,，α、线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)a, +α2,a, +αs,a -αi(B)a, +a,,α, +αs,a +2α, +α;(C)α, +2α2,2α, +3α,3α, +α

（1） 设 () () 5 6 1 cos 2 0 sin , , 5 6 x x x f x t dt g x − = =+ ∫ 则当 x → 0 时， f ( x) 是 g x( ) 的 ( ) A 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 ( ) C 等阶无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小 【 】 【答】 应选(B) 【详解】 利用洛必达法则，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 45 34 00 0 sin sin 1 cos sin 1 cos lim lim lim xx x fx x →→ → gx x x x x ⋅− − = = + + ( ) 4 2 34 34 0 0 1 cos 4 lim lim 0. x x x → → xx xx − = == + + （2） 若 f x fx x ( ) ( )( ) − = −∞ 0, 且 f x ′′( ) > 0, 0 0, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) () () Cf x f x Df x f x ′ ′′ ′ ′′ <> ( ) ( ) ( ) 【 】 【答】 应选(C) 【详解】 由 f (− = x fx ) (),得 − = −= f ′ ′ ′′ ′ ( ) x fxf x fx ( ), ( ) ( ) 可见当 x∈ +∞ ( ) 0, 时， − ∈ −∞ x ( ) ,0 ，且 fx f x f x f x ′ ′ ′′ ′ () ( ) =− − < = − < 0, 0 ( ) ( ) 所以应选( ) C . （2） 设向量 123 α , , α α 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( ) 1 22 33 1 A α ++− αα αα α , , ( ) 1 2 2 31 2 3 B α + + ++ αα αα α α , ,2 ( ) 1 2 2 331 C α + ++ 2 ,2 3 ,3 αα ααα

(D)α,+α,+,2α,-3α,+22α,3α,+5αz-5α[【答】应选(C)【详解】(A): (α, +α,)-(α, +α,)+(α, -α)=0(B):(α, +α,)-(α, +α,)-(α, +2α, +α,)=0可见(A)(B)中向量组线性相关，(C)(D)不能直接观察出，对于(C)，令k,(α, +2α,)+k,(2α, +3α,)+k,(3α,+α,)=0即(k, +k,)α +(2k +2k,)α, +(3k, +3k,)α, =0由于α,αz,α,线性无关，故[k, +k, =02k, +2k, =03k,+3k,=01012因上述齐次线性方程组的系数行列式20=12≠0，故方程组由惟一零解，即033k,=kz=k,=0，故(C)中向量组线性无关，应选(C)（4）设A,B为同阶可逆矩阵，则(A)AB= BA(B)存在可逆矩阵P，使P-"AP=B(C)存在可逆矩阵C，使CTAC=B(D)存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B[]【答】应选(D),【详解】由题设A,B可逆，若取P=B,O=A-,则PAQ=BAA-=B,即A与B等价，可见(D).成立

( ) 1 2 31 2 31 2 3 D α ++ − + + α α α α α α α− α ,2 3 22 ,3 5 5 【 】 【答】 应选(C) 【详解】 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 12 2 3 31 12 23 1 23 : 0 : 20 A B +−++−= + −+ + += αα αα αα α α α α −α α α 可见( )( ) A B 、 中向量组线性相关，(C D )、( )不能直接观察出，对于(C) ，令 kk k 11 2 2 2 3 3 3 1 ( )( ) α α α α αα + + + + += 2 23 3 0 ( ) 即 ( ) kk k k k k 1 31 1 2 2 2 33 + ++ ++ = ααα (22 33 0 ) ( ) 由于 123 α , , α α 线性无关，故 1 3 1 2 2 3 0 22 0 330 k k k k k k ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ + = ⎩ 因上述齐次线性方程组的系数行列式 101 2 2 0 12 0, 033 = ≠ ，故方程组由惟一零解，即 123 kkk === 0 ，故( ) C 中向量组线性无关，应选(C). （4） 设 A,B 为同阶可逆矩阵，则 ( ) A AB = BA ( ) B 存在可逆矩阵 P ，使 −1 P AP = B ( ) C 存在可逆矩阵C ，使 T C AC = B ( ) D 存在可逆矩阵 P 和Q ，使 PAQ = B 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 由题设 A,B 可逆，若取 1 , , − P =BQ=A 则 1 , − PAQ = BAA B= 即 A 与 B 等 价，可见( ) D .成立

矩阵乘法不满足交换律，故（A）不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此(B)(C)均不成立（5）设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=-1)=P(Y=-1)=P(X =1)= P(Y =1)=则下列各式中成立的是2(B)P(X =Y)=1(A)P(X=Y) =2(D)P(XY =1)=(C)P(X+Y =0)=[【答】应选(A)【详解】PX =Y)= P(X =1,Y =1)+P(X =-1,Y=-1)111112*2+2*22而P(X+Y =0)=-,P(XY =1) =三、在经济学中，称函数Q(x)=A[sK+(1-)L*-为固定替代弹性生产函数，而称函数Q=AKLl-为Cobb-Douglas生产函数（简称C-D生产函数）试证明：当x→0时，固定替代弹性生产函数变为C-D同阶生产函数，即有lim0(x)=0【详解】 In(x)=In A--in[8K*+(1-)*而且In[8-*+(1-8)]-8KIn K -(1-)LIn LlimInlimx→08K-*+(1-8)L*Tx=-8ln K -(1-)In L=-In(AK°L-)所以lim Ing(x)= In A+In(K° L)= In(AK°L-)于是lim(x)= AK°- =

矩阵乘法不满足交换律，故( ) A 不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合 同的，因此( ) B 、(C) 均不成立. （5） 设两个随机变量 X 与Y 相互独立且同分布： { }{ } 1 1 1, 2 P X PY = − = =− = { }{ } 1 1 1, 2 P X PY == == 则下列各式中成立的是 (){ } (){ } 1 1 2 APX Y BPX Y == == (){ } (){ } 1 1 0 1 4 4 C P X Y D P XY += = = = 【 】 【答】 应选( ) A . 【详解】 PX Y PX Y PX Y { = } = = = + =− =− { 1, 1 1, 1 } { } 1111 1 , 2222 2 =×+×= 而 { } { } 1 1 0, 1. 2 4 P X Y P XY += = = = 三、在经济学中，称函数 () ( ) 1 1 x x Qx A K L x δ δ − − − = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 为固定替代弹性生产函数，而称函 数 1 x Q AK Lδ δ − = 为 Cobb－Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数） 试证明：当 x → 0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 同阶生产函数，即有 ( ) 0 limx Qx Q → = 【详解】 ( ) ( ) 1 ln ln ln 1 x x Qx A K L x δ δ − − = − +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 而且 ( ) ( ) ( ) 0 0 ln 1 ln 1 ln lim ln lim 1 x x x x x x x x K L K K LL x KL δ δ δ δ δ δ − − − − → → − − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + − − −− = + − ( ) ( ) 1 ln 1 ln ln K L AK Lδ δ δ δ − =− − − =− 所以 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 lim ln ln ln ln x Q x A K L AK L δ − − δ δδ → =+ = 于是 ( ) 1 0 lim . x Q x AK L Q δ δ− → = =

四、设u=(x,y,=)有连续偏导数，=y(x)和z=z(x)分别是由方程e-y=0和e'-x=0 所确定，求尝dxduofafdyfdz(*)【详解】dxaxOz dxay dxdy)dy=0y=0得e"由ey+xdxdx)y2ye'dy--dx"1-xe1-xy得eddz0由er-xz=0，dxdxdz22dx"e'-xXz- z代入(*)式得duf+yafzafdxx1-xy oyxz-xoz五、一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C=3x+1（万元）（1）若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时的销售量；（2）t为何值时，政府税收总额最大【详解】1（1）设T为总税额，则T=tx：商品销售总收入为R= px =(7-0.2x)x=7x-0.2x2,利润函数为元=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=-0.2x+(4-1)x-1Adn元=0,即0.4x+4-1=0dxd'元)由于(4-1)即为最大利润时的销售量-0.4x<0因此x=dx?25(3）将x=(4-t)代入T=tx，得2.5(4-1) =101-5RT=t.22

四、设 u f xyz = ( ) , , 有连续偏导数， y yx = ( ) 和 z zx = ( ) 分别是由方程 0 xy e y − = 和 0 x e xz − = 所确定，求 . du dx 【详解】 , ( ) du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+⋅+⋅ ∗ ∂∂ ∂ 由 0 xy e y − = 得 0 xy dy dy e yx dx dx ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + −= ⎝ ⎠ 2 1 1 xy xy dy ye y dx xe xy = = − − 由 0 x e xz − = ，得 0 z dz dz e zx dx dx −− = z dz z z dx e x xz z = = − − 代入( ) ∗ 式得 2 . 1 du f y f z f dx x xy y xz x z ∂∂ ∂ =+ + ∂ − ∂ −∂ 五、一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 0.2 − x （万元/吨）， x 为销售量（单位： 吨），商品的成本函数是C x = + 3 1（万元） （1） 若每销售一吨商品，政府要征税 t（万元），求该商家获最大利润时的销售量; （2） t 为何值时，政府税收总额最大. 【详解】 （1） 设T 为总税额，则T tx = ；商品销售总收入为 ( ) 2 R = =− = − px x x x x 7 0.2 7 0.2 , 利润函数为 ( ) 2 2 π = − − = − − − − =− + − − R C T x x x tx x t x 7 0.2 3 1 0.2 4 1. 令 0, d dx π = 即 − + −= 0.4 4 0, x t 由于 2 2 0.4 0, d x dx π =− < 因此 ( ) 5 4 2 x = −t 即为最大利润时的销售量. （3） 将 ( ) 5 4 2 x = − t 代入T tx = ，得 ( ) 2 5 4 5 10 2 2 t Tt t t − =⋅ = −

dT=10-5t=0得惟—驻点1=2多dt由于-50F(x) =[0,x=0在[0,+)上连续且单调不减（其中n>0）【详解1】显然当x>0时F（x连续，又f't"f(t)dt= lim x"f(x)=0= F(0)lim F(x)= limX-0X→0x故F(x)在[0,+)上连续对于xE(0,+)有x"**f(x)-f""f(0)dt_ f(x)-5"f(5)xF'(x)=x2x2x (x)-5"f()_ x[f(x)-f(5)+f(5)(x"-5")xX其中0"，于是F"(x)≥0故F(x)在[0,+)上连续且单调不减.【详解2】连续性的证明同上，由于xf(x)-ft"f(0)dtf"x"f()dx-'r"f(0)dtF'(x):x2xJ.[xf(x)-"f(0)]dt70x2可见F(x)在[0,+oo)上连续且单调不减

由 10 5 0 dT t dt = −= 得惟一驻点t = 2 由于 2 2 5 0, d T dt =− = ⎨ ⎪ ⎩ = ∫ 在[0,+∞) 上连续且单调不减（其中 n > 0 ） 【详解 1】 显然当 x > 0 时 F x( ) 连续，又 ( ) ( ) () () 0 00 0 lim lim lim 0 0 x n n xx x t f t dt Fx xf x F x →→ → ++ + = = == ∫ 故 F x( ) 在[0,+∞) 上连续 对于 x∈ +∞ ( ) 0, 有 ( ) ( ) () () () 1 1 0 2 2 x n n n n x f x t f t dt x fx f x F x x x ξ ξ + − + − ′ = = ∫ () () ( ) ( ) ( )( ) 1 , n n n nn x fx f x fx f f x x x ξ ξ ξ ξξ + − ⎡ ⎤ −+ − ⎣ ⎦ = = 其中0 ξ ，于是 F x ′( ) ≥ 0 故 F x( ) 在[0,+∞) 上连续且单调不减. 【详解 2】 连续性的证明同上，由于 ( ) ( ) () ( ) () 1 00 0 2 2 xx x nn n n x f x t f t dt x f x dx t f t dt F x x x + − − ′ = = ∫∫ ∫ ( ) () 0 2 0. x n n x f x t f t dt x ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = ≥ ∫ 可见 F x( ) 在[0,+∞) 上连续且单调不减

七、从点P(1,0)做x轴垂线，交抛物线y=x2于点9(1,1)：再从9做抛物线的切线与x轴交于P，然后又从P做x的垂线，交抛物线于点Q，依次重复上述过程得到一系列的点P,g,P,O....P,O.....(1) 求OP（2）求级数QP+Q,P,++Q,P+.的和。其中n（n≥1)为自然数，而MM,表示点M,与M,之间的距离【详解】（1）由y=x，得=2x对于任意a(0<a≤1),抛物线y=x在点(a,α)处的切线方程为y-α2 =2a(x-a)yQPP2PQ且该切线与x轴的交点为故由OP=1可见2-LOR=1;OP, =22Jop-!-1OP =22=222-OP(2) 由于O,P,-(OP,)4可见Zo.P -Z冶(2)1he八、设函数f(t)在[0,+o)上连续，且满足方程

七、从点 P1 ( ) 1,0 做 x 轴垂线，交抛物线 2 y x = 于点Q1 (1,1) ；再从Q1做抛物线的切线与 x 轴 交于 P2 ，然后又从 P2 做 x 的垂线，交抛物线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列的点 1 12 2 , , , . PQ PQ PQ " " n n （1）求 ; OPn （2）求级数QP QP QP 11 2 2 + ++ + " " n n 的和。 其中 n n( ) ≥1 为自然数，而 M1 2 M 表示点 M1 与 M2 之间的距离. 【详解】 （1）由 2 y x = ，得 y x ′ = 2 对于任意 a a (0 1, < ≤ ) 抛物线 2 y x = 在点( ) 2 a a, 处的 切线方程为 ( ) 2 y a ax a −= − 2 且该切线与 x 轴的交点为 ,0 , 2 ⎛ ⎞ a ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 故由 1 OP =1, 可见 2 1 1 1 , 2 2 OP OP = = 3 2 2 1 11 1 2 22 2 OP OP = =⋅= "" 1 1 . 2 OPn n− = （2）由于 ( ) 2 2 2 1 , 2 n Q P OP nn n − ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可见 2 2 2 1 1 1 14 . 2 3 1 1 2 n n n n n Q P − ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 八、设函数 f ( )t 在[0,+∞) 上连续，且满足方程

(0)=e4ar + ( /x+ydxdy4求于(0).【详解】显然f(0)=1,由于[(e+)ady=dof(rdr=2am(]a可见1()=er +2元/"(r]ad两边求导得F"(0)=8元te4r +8元tf (0)解上述关于(①)的一阶线性非齐次微分方程，得(0)-(J8zte -/s d+C)els -(8 id+C)er -(4 +C)em代入(0)=1,得C=1.因此于()=(4元t*+1)e4m九、设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵Ea-αTA*hAl其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位阵计算并化简PQ;a)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-α+bb)【详解】(1)因为AA=AA"=AE,故EdPQα"A"A+|AαT-α"AA+b|Aα"A"A八α(b-αA-"α-

( ) 2 22 2 4 22 4 1 , 2 t xy t f t e f x y dxdy π + ≤ ⎛ ⎞ =+ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ 求 f ( )t . 【详解】 显然 f ( ) 0 1, = 由于 22 2 22 2 2 2 00 0 4 1 11 2 2 22 t t xy t f x y dxdy d f r rdr rf r dr π θ π + ≤ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ += = ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 可见 ( ) 2 2 4 0 1 2 2 t t f t e rf r dr π π ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 两边求导得 () () 2 4 8 8 t f t te tf t π ′ = + π π 解上述关于 f ( )t 的一阶线性非齐次微分方程，得 ( ) ( ) ( ) 2 8 8 2 2 4 4 24 8 8 4, tdt tdt t tt f t te e dt C e tdt C e t C e π π π ππ π ππ − ⎛ ⎞ ∫ ∫ = + = + =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 代入 f ( ) 0 1, = 得C =1. 因此 ( ) ( ) 2 2 4 41. t ft t e π = + π 九、设 A 为 n 阶非奇异矩阵，α 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 , , T T b ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E O A P= Q= A A α α α 其中 ∗ A 是矩阵 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵 a) 计算并化简 PQ; b) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是 1 . T T A ≠ b − α α 【详解】 （1）因为 , ∗ ∗ A A = AA A E = 故 T T TT T b b ∗ ∗∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ EO A A PQ = A A A A+ A A A+ A α α α −α α −α α ( ) 1 . 0 T b − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ A A A α α α

（2）由（1）可得[PO|=|A (b-α A-'α)而PQ=PlO|,且|P|=A+0故Q|=|A(b-α A-'α)由此可知Q+0的充分必要条件为αA-α+b,即矩阵Q可逆的充分必要条件是αA-α+b.十、设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α =(-1,-1,1) ,α, =(1,-2,-1)（1）求A的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A【详解】（1）设A的属于特征值3的特征向量为a,=(,x,).因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以αα,=0和α,α,=0,即（,2,）是齐次线性方程组[-x -x +x =0[x -2x2 +x =0的非零解，解上面方程组，得其基础解系为(1,0,1)因此A的属于特征值3的特征向量为α，=k(1,0,1)（k为任意非零常数）令矩阵c)-11--1 -2 1-1 -1 1则有[100020P-'AP=[o 0 3]即

（2） 由（1）可得 ( ) 1 , T b − = − 2 PQ A A α α 而 PQ PQ = ⋅ , 且 P A = ≠ 0, 故 ( ) T 1 b − QA A = −α α 由此可知 Q ≠ 0 的充分必要条件为 1 , T b − α α A ≠ 即矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 1 . T T A ≠ b − α α 十、 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是1,2,3; 矩阵 A 的属于特征值1,2 的特征向量分别是 1 2 ( )( ) 1, 1,1 , 1, 2, 1 . T T α α =− − = − − （1） 求 A 的属于特征值 3 的特征向量； （2） 求矩阵 A . 【详解】 （1）设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3 123 ( ) , . T α = xxx 因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1 3 0 T α α = 和 2 3 0, T α α = 即( ) 123 x , , x x 是齐次线性方程组 123 1 23 0 2 0 xx x x xx ⎧−− + = ⎨ ⎩ − += 的非零解，解上面方程组，得其基础解系为( ) 1,0,1 . T 因此 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3 ( ) 1,0,1 T α = k （k 为任意非零常数）. c) 令矩阵 111 1 2 1, 1 11 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ =− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − P 则有 1 100 020 003 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P AP 即