全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2001数学四

2001年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）设生产函数为Q=ALK，其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量而A,α,β均为大于零的参数,则当O=1时K关于L的弹性为-0【答】B【详解】当Q=1时，有K=ALB于是K关于L的弹性为aαABLBβK(L)aS=LL.βK(L)ATL%(2) 设≥=e"-(x-2),且当y=0时,==x,则%ax【答】2(x-2y)-e*+e2y-x【详解】由题设y=0时，z=x2,知x2=e-f(x)即f(x)=e--x于是z=e-f(x-2y)=e-*-e-(-2n) +(x-2y)2Oz故=-e** +e-(x-2) + 2(x-2y)ax= 2(x-2y)-e-* +e2y-r130A02222(3)设行列式D：则第四行各元素余子式之和的值为-70o53-22【答】-28【详解 1]用M4,(j=1,2,3,4)表示第四行各元素的余子式,则040[3 4 022M4=2=-56,M42=2222=0-700000

2001 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）设生产函数为Q AL K , α β = 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量, 而 A, , α β 均为大于零的参数,则当Q =1时 K 关于 L 的弹性为 . 【答】 α β − 【详解】 当Q =1时,有 , l K AL α β β − − = 于是 K 关于 L 的弹性为 1 1 1 '( ) . ( ) A L K L L L K L A L α β β α β β α β α ξ β − −− − − − = = =− i （2）设 ( 2) x z e fx y − =− − ,且当 y = 0时, 2 z x = , 则 z x ∂ = ∂ . 【答】 2 2( 2 ) x yx x ye e − − − −+ 【详解】 由题设 y = 0时, 2 z x = ,知 2 ( ) x x e fx − = − 即 2 ( ) x f xe x − = − 于是 ( 2) 2 ( 2) ( 2) x x xy z e fx y e e x y − − −− = − − = − +− 故 ( 2) 2( 2 ) z x xy e e xy x ∂ − −− =− + + − ∂ 2 2( 2 ) x yx x ye e − − = − −+ (3)设行列式 30 40 22 22 , 0 700 5 3 22 = − − D 则第四行各元素余子式之和的值为 . 【答】 -28 【详解 1】 用 4 ( 1,2,3,4) j M j = 表示第四行各元素的余子式,则 41 42 0 40 340 2 2 2 56, 2 2 2 0, 700 000 = =− = = − M M

3003042222=42,M44=22|=14M43 = 20-7 000-70故M41+M42+M43+M44=-28.【详解2】用A,(j=1,2,3,4)表示第四行各元素的代数余子式，由于A4,=(-1)*i M4j,于是有M41 + M42 + M43 + M44= - A41 + A42 - A43 + A4430402222-280-70(-111 1k111k1（4）设矩阵A且秩(A)=3,则k=k1-111全【答】-3【详解】由题设r(A)=3,知必有[k111]1k1=(k+3)(k-1) = 0,1k1[111k]解得k=1或k=-3.显然k=1时r(A)=1,不符合题意，因此一定有k=-3（5）设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式PX-Y≥6≤1【答】12【详解】另Z=X-Y,则E(Z)= E(X)-E(Y)=0

43 44 300 304 2 2 2 42, 2 2 2 14 0 70 0 70 = = = =− − − M M 故 41 42 43 44 MMMM + + + =−28. 【 详 解 2 】 用 ( 1,2,3,4) ij A j = 表示第四行各元素的代数余子式 , 由 于 4 4 4 ( 1) , j j j + A M = − 于是有 MM MM AAAA 41 42 43 44 41 42 43 44 + + + =− + − + 3 0 40 2 2 22 28. 0 700 1 1 11 = = − − − − （4）设矩阵 111 1 11 , 11 1 111 k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 且秩( ) 3, A = 则 k = . 【答】 -3 【详解】 由题设 r( ) 3, A = 知必有 3 111 1 11 ( 3)( 1) 0, 11 1 111 k k k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =+ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 解得 k =1或 k = −3.显然 k =1时 r A( ) 1, = 不符合题意,因此一定有 k = −3. （5）设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 0.5.则根据切 比雪夫不等式 PX Y { − ≥ ≤ 6} . 【答】 1 12 【详解】 另 Z = − X Y,则 EZ E X EY ( ) ( ) ( ) 0, = −=

D(Z)= D(X -Y)= D(X)+ D(Y)- 2Cov(X,Y)=1+4-2.0.5.D(X)JD(Y) =3,于是有P(X-Y)≥6)=P(Z-E(2)≥6)≤D)=6212二、选择题f'(x)=-1,则（1）设函数f(x）的导数在x=a处连续，又limX.C(A）x=a是f(x)的极小值点(B)x=α是f(x)的极大值点(C)(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点(D）x=a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点【答】[B]由lim “)=-1,知lim (x)=0,即 F(a)=0,于是有【详解】1X-0f(x)-f(a) = limf'(x)f"(a)=lim--1x-a→ax-0即f(a)=0,f"(a)=-1,故x=a是f(x)的极大值点，因此,正确选项为(B)(x+1),0≤x≤12(2)设函数g(x)=J(u)du,其中f(x)=,则g(x)在区间x-1),1≤x≤2(0,2)内(A)无界（B）递减(D)连续(C）不连续【答】 [D]【详解】当0≤x<1时，有-x+(x2 + 1)dx =g(x)26当1≤x≤2时，有

D Z D X Y D X D Y Cov X Y () ( ) ( ) () 2 ( ,) = −= + − =+ − = 1 4 2 0.5 ( ) ( ) 3, i i D X DY 于是有 { } { } 2 () 1 6 () 6 . 6 12 D Z P X Y P Z EZ −≥ = − ≥ ≤ = 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 的导数在 x = a 处连续,又 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 则 (A) x = a 是 f ( ) x 的极小值点. (B) x = a 是 f ( ) x 的极大值点. (C) ( , ( )) afa 是曲线 y fx = ( ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( ) x 的极值点, ( , ( )) afa 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【答】 [ B] 【详解】 由 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 知lim '( ) 0, x a f x → = 即 f a'( ) 0 = ,于是有 '( ) '( ) '( ) "( ) lim lim 1, xa xa fx fa fx f a → → xa xa − = = =− − − 即 f a'( ) 0 = , f a "( ) 1 = − ,故 x = a 是 f ( ) x 的极大值点, 因此,正确选项为(B). （2）设函数 0 () () , x g x f u du = ∫ 其中 1 2 ( 1),0 1 2 () , 1 ( 1),1 2 3 x x f x x x ⎧ + ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪⎩ 则 g x( ) 在区间 (0,2) 内 (A)无界 （B）递减 (C) 不连续 (D) 连续 【答】 [D] 【详解】 当0 1 ≤ x < 时,有 2 3 0 1 11 ( ) ( 1) , 2 62 x g x x dx x x = +=+ ∫ 当1 2 ≤ ≤x 时,有

2(x-1)2,g(x)1)dx36110≤x<1-x,62即g(x)=2-(x-1),1≤x≤2[36显然g(x）在区间(0,2)内连续，所以,应选(D)[aiai4[ai40a12ai3ai3a1200aun0010a21a22a24a24a23a22a21a238P（3）设A：0001agiag2aas4aya3ag2as11000La4ia4ta42a43aa44a43aa201000001其中A可逆,则B-等于P, =0100Lo001(C)PP,A-I(A)A-"PP(B) PA-'P,(D) P,A'P.【答】[C]（4）对于任意二事件A和B,与AUB=B不等价的是BcA.AB=O.Ac B.AB =O.(A)(B)(C)(D)【答】[D]因为AUB=BACBBCAAB=O【详解】所以正确选项为(D)（5）将一枚硬币重复掷n次以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数.则X和Y的相关系数等于10(C)(D)1(A)-1(B)2【答】[A]【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n-X,因此X和Y的相关系数为r=-1三、（本题满分8分）

1 2 2 0 1 1 1 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) , 2 3 36 x g x x dx x dx x = + + − =+ − ∫ ∫ 即 3 2 1 1 ,0 1 6 2 ( ) 2 1 ( 1) , 1 2 3 6 x x x g x x x ⎧ + ≤< ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + − ≤≤ ⎪⎩ 显然 g x( ) 在区间(0,2) 内连续, 所以,应选(D). （3）设 11 12 13 14 14 13 12 11 21 22 23 24 24 23 22 21 1 31 32 33 34 34 33 32 31 41 42 43 44 44 43 42 41 0001 0100 , , 0010 1000 aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ABP 2 1000 0010 , 0100 0001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P 其中 A 可逆,则 −1 B 等于 (A) 1 1 2 − A P P （B） 1 1 2 − PA P (C) 1 1 2 − PP A (D) 1 2 1. − PA P 【答】 [C ] （4）对于任意二事件 A 和 B ,与 A∪ = B B 不等价的是 (A) A ⊂ B. (B) B ⊂ A. (C) AB = ∅. (D) AB = ∅. 【答】 [ D ] 【详解】 因为 A B B A B B A AB ∪ = ⇔ ⊂ ⇔ ⊂ ⇔ =∅. 所以正确选项为(D) （5）将一枚硬币重复掷 n 次,以 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和Y 的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 【答】 [A ] 【详解】设 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y nX = − ,因此 X和Y 的 相关系数为 r = −1. 三 、（本题满分 8 分）

设u=f(x,y,=)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两edux-=sintdi,求式确定：e-xy=2和e=Jotdx【详解】根据复合函数求导公式，有duoffdyafdz(*)dxoxaydxozdxew- xy=2由两边对x求导，得dy(y+d)e(y+x)=0dxdx即dxxx-= sint由e=dt,两边对x求导,得Jodzsin(x-z)a-er-dxX-zdze'(x-z)=1-即dxsin(x-2)将其代入(*)式,得-%-%+(1-9(x-)%dxaxx aysin(x-z)Oz四、（本题满分8分）已知f(x）在（一00,+o0）内可导，且lim f(x)=e, lim(+) = lim[f(x)- (x-1),+0Dx-求c的值2c2cxlim(*+) = lim[(++=p20)Jr-c【详解】因为x-Cx-→x-c又由拉格朗日中值定理有f(x)-f(x-1)= f'()1,于是介于x-1与x之间，于是lim[f(x)-f(x-1)]=limf()=e-

设 u f xyz = (, ,) 有连续的一阶偏导数,又函数 y yx = ( ) 及 z zx = ( ) 分别由下列两 式确定: 2 xy e xy − = 和 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 求 du dx 【详解】 根据复合函数求导公式,有 . du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ i i (*) 由 2 xy e xy − = 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) 0, xy dy dy e yx yx dx dx + −+ = 即 . dy y dx x = − 由 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 两边对 x 求导,得 sin( ) (1 ), x x z dz e x z dx − = − − i 即 ( ) 1 . sin( ) x dz e x z dx x z − = − − 将其代入(*)式,得 ( ) (1 ) . sin( ) x du f y f e x z f dx x x y x z z ∂ ∂ −∂ = − +− ∂ ∂ −∂ 四 、（本题满分 8 分） 已知 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内可导,且 lim '( ) ,lim( ) lim[ ( ) ( 1)], x xxx x c f x e fx fx →∞ →∞ →∞ x c + = = −− − 求c 的值. 【详解】 因为 2 2 2 2 . lim( ) lim[(1 )] x c cx c x c x c x x xc c e xc xc − − →∞ →∞ + =+ = − − 又由拉格朗日中值定理,有 fx fx f ( ) ( 1) '( ) 1, − −= ξ i 于是ξ 介于 x −1与 x 之间,于是 lim[ ( ) ( 1)] lim '( ) x x f x fx f e ξ →∞ →∞ − −= =

1从而e2=e故c=2五、（本题满分8分）(x+求二重积分Jdxdy的值,其中D是由直线y=x,y=-1及x=1围y[l+xe0成的平面区域【详解】积分区域如图所示2O-111(x*+y23+1ll+xe?l ydxdy + [ldxdy=dxdyxyeDDDJ ydxdy=I,f,dx = J",x(1-)dy =-其中0H(+y2(x+y)[[ xye?'dxdy=dudxe, tese = 0(+y)2于是[[[1+xe?Jdxdy = -3D六、（本题满分9分）某商品进价为α（元/件）根据以往经验，当销售价为b（元/件）时，销售量为c件4(a,b,c均为正常数,且b≥=α),市场调查表明，销售价每下降10%,销售量可增加40%,现3

从而 2c e e = 故 1 2 c = 五 、（本题满分 8 分） 求二重积分 1 2 2 ( ) 2 [1 ] x y D y xe dxdy + + ∫∫ 的值,其中 D 是由直线 y xy = , 1 = − 及 x =1围 成的平面区域 【详解】 积分区域如图所示 1 1 22 22 () () 2 2 [1 ] , xy xy D DD y xe dxdy ydxdy xye dxdy + + + =+ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 其中 11 1 1 1 2 (1 ) ; y 3 D ydxdy dy dx y y dy − − = = − =− ∫∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 22 22 () () 1 1 2 2 1 xy xy y D xye dxdy ydy xe dx + + − = ∫∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 (1 ) 2 1 [ ]0 y y y e e dy + − = − = ∫ 于是 1 2 2 ( ) 2 2 [1 ] 3 x y D y xe dxdy + + =− ∫∫ 六、（本题满分 9 分） 某商品进价为 a (元/件),根据以往经验,当销售价为 b (元/件)时,销售量为 c 件 ( abc , , 均为正常数,且 4 3 b a ≥ ),市场调查表明,销售价每下降 10%,销售量可增加 40%,现

决定一次性降价，试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润【详解】设p表示降价后的销售价,x为增加的销售量,L(x)为总利润,那么x_0.4cb-p-0.1bb则p=b--4c从而L(x)=R-C=p-(c+x)-a(c+x)6=(b--x-a)(c+x)4cb..3L(x)==b-a对x求导，得x+:2c4令L（x）=0，得唯一驻点(3b-4a)cXo=2bb<0,可知，x为极大值点,也是最大值点，由问题的实际意义或L"(x)=2cb-la1a)=Sb+p=b-(2故定价为二α（元）时得最大利润为82°82-(5b-4a)（元)L(xo)=16b七、（本题满分9分）设f(x）在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)=3fee-r f(x)dx,O证明存在(0,1),使得f()=2Ef()【详解】由f(1)=3jel-f(x)dx,及积分中值定理，知至少存在一点5(0,)c[0,1],使得f()=3fel-" f(x)dx=e- f()=0,即f()e" =e-" f(5)令F(x)=ef(x),那么,F(x)在[5,1]上连续,在(5,1)内可导,且F(5)=F(1)由罗尔中值定理知,至少存在一点E(S,1)C(0,1),使得

决定一次性降价,试问,当销售价定为多少时,可获得最大利润?并求出最大利润. 【详解】 设 p 表示降价后的销售价, x 为增加的销售量, L x( ) 为总利润,那么 0.4 , 0.1 x c bp b = − 则 4 b p b x c = − 从而 Lx R C p c x ac x () ( ) ( ) =−= + − + i ( )( ). 4 b b x ac x c =− − + 对 x 求导,得 ( ) 3 ' , 2 4 b Lx x ba c = − +− 令 L x ' 0 ( ) = ,得唯一驻点 0 (3 4 ) . 2 b ac x b − = 由问题的实际意义或 0 "( ) 0, 2 b L x c = − < 可知, 0 x 为极大值点,也是最大值点, 故定价为 31 51 ( ) () 82 82 pb b a b a =− − = + 元 时得最大利润为 ( ) 2 0 (5 4 ) 16 c Lx b a b = − (元). 七、（本题满分 9 分） 设 f ( ) x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 2 1 1 3 0 (1) 3 ( ) , x f e f x dx − = ∫ 证明存在ξ ∈(0,1), 使得 f f '( ) 2 ( ). ξ = ξ ξ 【 详 解 】 由 2 1 1 3 0 (1) 3 ( ) , x f e f x dx − = ∫ 及积分中值定理 , 知至少存在一点 1 (0, ) [0,1], 3 ξ ∈ ⊂ 使得 2 2 1 1 1 1 3 0 (1) 3 ( ) '( ) 0, x f e f x dx e f ξ ξ − − = == ∫ 即 ( ) 2 1 1 1 fe ef (1) . ξ ξ − − = 令 ( ) 2 ( ). x Fx e fx − = 那么, F x( )在 1 [ ,1] ξ 上连续,在 1 ( ,1) ξ 内可导,且 1 F F ( ) (1). ξ = 由罗尔中值定理知,至少存在一点 1 ξ ∈( ,1) (0,1), ξ ⊂ 使得

F(5)= -2Ee-f()+e-f'(E)=0即f()=25f()八、（本题满分8分）5设函数 f(x)在[0,+o] 内连续,f(1)=,且对所有x,tE(0,+o),满足条件2J" f(u)du=if' f(u)du+xf'f(u)du,求 f(x)【详解1】由题意可知,等式的每一项都是x的可导函数,于是等式两边对x求导,得f(xt)=f (x)+f' f(u)du,0在①式中,令×=1,由()=号,得f (t)=t+ f" f(u)du,则f(t)是(0,+o)内的可导函数.式两边对t求导,得1()+()=号+(0)即F(0)=号S22tSlnt+C.f(0)=上式两边求积分，得25S由)=号，得C=2g(n x+1).于是f(x)=2【详解1】已知等式两边同时对t求导，得xf(xt)= ( f(u)du + xf()由上式可知f是(O,+oo)内的可导函数.两边再对x求导,得f (xt)+txf'(xt)= f (x)+ f(0)令t=1,得f(x)+xf(x)= f(x)+f(1),即有()=2xf(x)=-Inx+C上边两式求积分，得25，得C=5由f(I)=22

2 2 F ef ef '( ) 2 ( ) '( ) 0 ξ ξ ξξ ξ ξ − − =− + = , 即 f '( ) 2 ( ) ξ = ξ ξ f 八、（本题满分 8 分） 设函数 f x( ) [0, ] 在 +∞ 内连续 , 5 (1) 2 f = , 且对所有 x t, (0, ) ∈ +∞ , 满足条件 1 11 () () () , xt x t f u du t f u du x f u du = + ∫∫∫ 求 f ( ) x . 【详解 1】 由题意可知,等式的每一项都是 x 的可导函数,于是等式两边对 x 求导,得 ( ) () 1 () , t tf xt tf x f u du = + ∫ ○1 在○1 式中,令 x =1,由 5 (1) , 2 f = 得 ( ) 1 5 () , 2 t tf t t f u du = + ∫ ○2 则 f ( )t 是(0, ) +∞ 内的可导函数. ○2 式两边对t 求导,得 5 ( ) '( ) ( ), 2 f t tf t f t + =+ 即 5 '( ) . 2 f t t = 上式两边求积分,得 5 ( ) ln 2 f t tC = + . 由 5 (1) , 2 f = 得 5 2 C = 于是 5 ( ) (ln 1). 2 fx x = + 【详解 1】 已知等式两边同时对t 求导,得 1 ( ) ( ) ( ), x xf xt f u du xf t = + ∫ 由上式可知 f 是(0, ) +∞ 内的可导函数.两边再对 x 求导,得 f () () xt txf xt f x f t + =+ ' , ( ) ( ) 令t =1,得 f ( ) '( ) ( ) (1), x xf x f x f + =+ 即有 5 '( ) . 2 f x x = 上边两式求积分,得 5 ( ) ln . 2 f x xC = + 由 5 (1) , 2 f = 得 5 2 C =

于是f(x)=-(ln x+ 1)2九、（本题满分13分）11a设矩阵A=a已知线性方程组AX=β有解但不唯一，试求a1-2()a的值;(2）正交矩阵Q,使Q"AQ为对角矩阵【详解】(1）对线性方程组AX=β的增广矩阵作行初等变换,有.1[1.1aa10a-1:A=11-a01a11001-2 (a-1)(a+2) : a+2a因为方程组AX=β有解但不唯一,所以r(A)=r(A)<3,故a=-2(2)由(1),有11-2-211A=-2 1A的特征多项式E-A=(-3)(+3)故A的特征值为=3,=-3,=0.对应的特征向量依次为α =(1,0,-1),α, = (1,-2,1),α, =(1,1,1))由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交,将α,α,α,单位化,得(1-2.),β=(111,0,-),β =(-β =(666J333V2V2

于是 5 ( ) (ln 1). 2 fx x = + 九、（本题满分 13 分） 设矩阵 11 1 1 1, 1 11 2 a a a ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ = = ⎣ ⎦ ⎣⎦ − A β .已知线性方程组 AX = β 有解但不唯一,试求: (!) a 的值; (2) 正交矩阵 Q,使 T Q AQ 为对角矩阵. 【详解】 (1) 对线性方程组 AX = β 的增广矩阵作行初等变换,有. 11 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0. 1 1 2 0 0 ( 1)( 2) 2 a a a aa a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = →− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −+ + # # # # # # A 因为方程组 AX = β 有解但不唯一,所以 rr a ( ) ( ) 3, 2 A A = < =− 故 . (2) 由(1),有 11 2 1 2 1. 21 1 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − A A 的特征多项式 λ λλ λ E A− =−+ ( 3)( 3). 故 A 的特征值为 12 3 λ = =− = 3, 3, 0. λ λ 对应的特征向量依次为 1 23 (1,0, 1) , (1, 2,1) , (1,1,1) T TT ααα = − =− = 由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交,将 123 α , , α α 单位化,得 12 3 1 1 1 21 111 ( ,0, ) , ( , , ) , ( , , ) . 2 2 6 66 333 T TT ββ β = − =− =

1/下V2621令Q=0V611 1[300-3 00则有 Q"AQ=Q"AQ=000十、（本题满分13分）设α,=(aaz..am）i=1,2,,rr<n)是n维实向量,且ααz,.α,线性无关.已知β=（b,b2….b,）是线性方程组am+a+.a,=0,amj+a2+..-a2n,=0ax+arx+.amx,=0,的非零解向量.试判断向量组αi,αz,α,,β的线性相关性【详解】设有一组数k,k,,..k,,k,使得成立，k,α,+..+k,α,+kβ=0,(*)因为β=（b,ba,….b）是线性方程组a+a2x,+.an,=0,a2+a22x2+..ax,=0,[a,x+a,2+amx,=0,的非零解向量,故有αβ=0(i=1,2,r)也即βα,=0(i=1,2,,r)于是,由k,βα,+...+k,β'α,+kββ=0,得kββ=0.但ββ0故=0

令 1 11 2 63 2 1 0 , 6 3 111 263 Q ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则有 1 300 0 3 0. 000 T Q AQ Q AQ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 十、（本题满分 13 分） 设 1 2 ( , , ) ( 1,2, , ; ) T i i i in α = =< a a a i rr n " " 是 n 维实向量,且 1 2 , , α α α " r 线性无关.已 知 1 2 (, , )T n β = bb b " 是线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 11 2 2 0, 0, 0, n n n n r r rn n ax ax ax ax ax ax ax ax ax ⎧ ++ = ⎪ ⎪ ++ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ++ = " " " " " "" " 的非零解向量.试判断向量组 1 2 , , α α αβ " r 的线性相关性. 【详解】 设有一组数 1 2 , , , r kk kk " 使得 1 1 0, r r k kk α +"+ += α β (*) 成立. 因为 1 2 (, , )T n β = bb b " 是线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 11 2 2 0, 0, 0, n n n n r r rn n ax ax ax ax ax ax ax ax ax ⎧ ++ = ⎪ ⎪ ++ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ++ = " " " " " "" " 的非零解向量,故有 0( 1,2, , ) T i α β = =i r " , 也即 0( 1,2, , ) T i β α = =i r " 于是,由 1 1 0, T TT r r k kk βα βα ββ ++ + = " 得 0 T kβ β = .但 0 T β β ≠ ,故k = 0