全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2006数学一

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）答案解析与点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心清华大学数学科学系刘坤林谭泽光俞正光葛余博1.06年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主，注意考察基础知识的理解与简单综合运用。除概率统计比05年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为55-62%，平均分数为80-83分；而前几年为38-45%，平均分数只有60-63分。2.各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对07年考生的重要参考，3.06年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在06年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题自仅仅有文学和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。在面向07年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造他们人生的U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。一、填空题（每小题4分，共24分）xIn(1+x) = 2(1)lim01-cosx1【解析与点评】xln(1+×x)~x2，1-cosx~二x（当x→0时）。参见水木艾迪2006考研数学36计例1-1及例1-3等题目。(2）微分方程y=的通解是=ce“(+0)。x[解析与点评]分离变量积分即可。这是变量可分离方程。水木艾迪2006考研数学教学中有若干此类例题。例如水木艾迪2006考研数学白分训练营模拟试题数（第一套）四第3题，（第二套）数四第2题，水木艾迪2006考研数学强化班第2讲例1与第7讲例1。（3）设是锥面z=x2+y(0≤x≤1)的下侧，则[[ xdydz + 2 ydzdx + 3(= -1)dxdy = 2元2Jx+y"≤|上侧，应用Gauss公式。【解析与点评】补一个曲面Z，z=11培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 1 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 2006 年全国硕士研究生入学考试数学（一） 答案解析与点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 清华大学数学科学系 刘坤林 谭泽光 俞正光 葛余博 1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运 用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系 数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。 2． 各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别 是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是 数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。 3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准 确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与 训练，使更大面积的考生最大限度受益。 就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试 中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量 题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是 水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。 在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进 一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生 朋友，为打造他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。 一、填空题（每小题 4 分，共 24 分） （1） = − + → x x x x 1 cos ln(1 ) lim 0 2 【解析与点评】 (当 0时） 2 1 ln(1 ) ~ , 1 cos ~ x + x x 2 − x x 2 x → 。 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 1-1 及例 1-3 等题目。 （2）微分方程 x y x y (1− ) ′ = 的通解是 = ( ≠ 0) − y cxe x x 。 [解析与点评] 分离变量积分即可。这是变量可分离方程。 水木艾迪 2006 考研数学教学中有若干此类例题。例如水木艾迪 2006 考研数学白分训练营 模拟试题数（第一套）四第 3 题，（第二套）数四第 2 题，水木艾迪 2006 考研数学强化班 第 2 讲例 1 与第 7 讲例 1。 （3）设Σ 是锥面 (0 1) 2 2 z = x + y ≤ x ≤ 的下侧，则 ∫∫ Σ xdydz + 2ydzdx + 3(z −1)dxdy = 2π 【解析与点评】补一个曲面 上侧 ⎩ ⎨ ⎧ = + ≤ ∑ 1 1 : 2 2 1 z x y ，应用 Gauss 公式

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心X=x, Y=2y,Z=3(z-l)ax,aoz=1+2+3=6axyoz+=6dxdydz（Q为锥面2和平面2，所为区域）2I=6V(V为上述圆锥体体积）=6×≥=2元3而xdydz+2ydzdx+3(z-1)dxdy=021注意在，上有：z=1，dz=0。参见水木艾迪2006考研数学强化班第十二讲例6、7、8等题目：或水木艾迪2006考研数学36计例20-5等题目。（4）点（2,1,0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=/2[3×2+4×1]1022=2。【解析与点评】d=V32+42+52/502本题属于水木艾迪2006考研数学基础班简单基本例题。参见水木艾迪2006考研数学强化班第九讲例5等题目(21（5）设矩阵A=E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B(-1 2)【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等这是比较简单的一道题，只要掌握水木艾迪春季班和冲刺班关于矩阵运算，矩阵方程，以及行列式计算等内容及相应的例题，就很容易做这道题了。[解］由BA=B+2E，得BA-E)=2E，两边取行列式，得BA-E=2E=4=2，因此B=2.又A-E=-1 1（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则1P (maxX,Y)≤1)=【答案】9111【解析与点评】P(max(X,Y)≤1)=P(X≤1,Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=3*3"9考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数是要求熟练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合，是2清华创业1005电话：6279603262701055培训网：www.tsinghuatutor.com

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 2 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 , 2 , 3( 1) 1236 X xY yZ z XYZ xyz = = =− ∂∂∂ + + =+ + = ∂∂∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ 为锥面 和平面 所为区域） Σ Σ Ω + = Ω Σ Σ1 6 ( 1 dxdydz π π 2 3 6 6 ( = × = = V V为上述圆锥体体积） 而 ∫∫ Σ1 xdydz + 2ydzdx + 3(z −1)dxdy = 0 注意 1 0 在Σ1上有：z = ，dz = 。 参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第十二讲例 6、7、8 等题目；或水木艾迪 2006 考研数 学 36 计例 20-5 等题目。 （4）点（2，1，0）到平面3x + 4y + 5z = 0 的距离 d = 2 . 【解析与点评】 2 2 2 50 10 3 4 5 3 2 4 1 2 2 2 = = = + + × + × d = 。 本题属于水木艾迪 2006 考研数学基础班简单基本例题。参见水木艾迪 2006 考研数学强化 班第九讲例 5 等题目 （5）设矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 2 1 A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BAB E = + 2 ，则 B = ． 【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等．这是比较简 单的一道题，只要掌握水木艾迪春季班和冲刺班关于矩阵运算，矩阵方程，以及行列式计算 等内容及相应的例题，就很容易做这道题了。 [解] 由 BA = B + 2E ，得 B(A − E) = 2E ,两边取行列式,得 B A − E = 2E = 4 又 2 1 1 1 1 = − A − E = ，因此 B = 2 ． （ 6 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [0,3] 上的均匀分布，则 P XY {max{ , } 1 ≤ } = . 【答案】 9 1 【解析与点评】 9 1 3 1 3 1 P(max{X ,Y} ≤1) = P(X ≤1, Y ≤1) = P(X ≤1)P(Y ≤1) = × = 考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数是 要求熟练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合，是

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如36计（冲刺班）的S$1.5.2强调求最值函数分布方法和技巧，连续型见例1.5.13，离散型见例1.5.8和1.5.11，强化班对应为的S3.3.2和例3.3.13，离散型见例3.3.9和3.3.10，均匀分布概率计算则分别见冲刺班例1.2.2、例1.4.6及强化班例1.3.7、例3.1.7.二、选择题（每小题4分，共32分）(7）设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f"(x)>0，△x为自变量x在x。处的增量，Ay与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量与微分，若Ar>0，则【A】(A)00,则f(x)严格单调增加，f"(x)>0,则f(x)为凹又Ax>0，故02n=ln=l【解析与点评】【解法1】直接感觉法：首先an+I也收敛，运用运算法则可知(D)收敛。n=l1【解法2】反例排它法：取反例α，=(-1)"可排除(A)(B)(C)。Vn3培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 3 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如 36 计（冲刺班）的§1.5.2 强调求最值函数分布 方法和技巧，连续型见例 1.5.13，离散型见例 1.5.8 和 1.5.11，强化班对应为的§3.3.2 和例 3.3.13，离散型见例 3.3.9 和 3.3.10, 均匀分布概率计算则分别见冲刺班例 1.2.2、例 1.4.6 及 强化班例 1.3.7、例 3.1.7. 二、选择题（每小题 4 分，共 32 分） （7）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0, ∆x 为自变量 x 在 0 x 处的 增量， ∆y 与 dy 分别为 f (x) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 ∆x > 0 ，则【 A 】 （A）0 0, 则f (x) 严格单调增加， f ′′(x) > 0, 则f (x) 为凹 又 ∆x > 0 ，故 0 < dy < ∆y 。或直接划草图更为直观。 （8）设 f (x, y)为连续函数，则 d f r r rdr ∫ ∫ 4 0 1 0 ( cos , sin ) π θ θ θ 等于 【 C 】 （A） ∫ ∫ − 2 2 0 1 2 ( , ) x x dx f x y dy （B） ∫ ∫ − 2 2 0 1 0 2 ( , ) x dx f x y dy （C） ∫ ∫ − 2 2 0 1 2 ( , ) y y dy f x y dx （D） ∫ ∫ − 2 2 0 1 0 2 ( , ) y dy f x y dx 【解析与点评】 直接划草图交换积分次序。本题二重积分基本题， 由极坐标系化直角坐标, 直接画草图按先 x 对后对 y 的积分次序即得。参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第十 一讲例 6，例 13 等题目。 （9）若级数∑ ∞ n=1 an 收敛，则级数 【 D 】 （A）∑ ∞ n=1 an 收敛. （B）∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n a 收敛. （C）∑ ∞ = + 1 1 n an an 收敛. （D）∑ ∞ = + + 1 1 n 2 an an 收敛. 【解析与点评】【解法 1】直接感觉法： 首先∑ ∞ = + 1 1 n an 也收敛，运用运算法则可知(D)收敛。 【解法 2】反例排它法：取反例 n a n n 1 = (−1) ，可排除(A)(B)(C)

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心参见水木艾迪2006考研数学36计例9-2，基础班例8.15，强化班第6讲例5，例9等题目。(10）设f(x,J)与p(x,y)均为可微函数，且p,(x,y)0.已知(xo,yo)是f(x,y)在约束条件β(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是【D】(A)若f,(xo,)=0,则f, (xo,y)=0(B）若(xo,)=0,则, (xo,)0(C）若f(xo,y)0,则f,(xo,y)=0(D）若f(xo,yo)0,则f,(xo,yo)+0【解析与点评】【解法1】构造格朗日函数F=f(x,y)+p(x,y)=f,(x,y)+,(x,y)=0 (I)= f,(x,y)+p, (x,y)=0 (2)F, =p(x,y)=0f, (xo,yo)f, (xo,yo)对（2）由于（xo,y）0，得到=g, (xo,yo)P (xo,yo)从而有f(xo, yo)-, (xo, yo)=f,(xo,yo)- (xo,yo)当f（xo,yo)=0时，可推出f,（x,）（xoy)=0，而由此推不出：f(xo,%)±0,或f,(xo,%)=0，因而否定（A），(B)。当f，（xoy）0时，加上,（x%）0,可推出,（xoy)（x）0，由此可推出：J,(xo,yo)±0。【解法2】由极值点必要条件得到dz - (0),( 0) 1 = (.0)- ,(0)2( -0dxp,(xo.yo)当()=0，及（）0时，可推出(,)（,）=0，而由此推不出：J,(xo,%)+0,或f,(xo,yo)=0，因而否定（A），（B)。4清华创业1005电话：6279603262701055培训网：www.tsinghuatutor.com

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 4 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 9-2，基础班例 8.15，,强化班第 6 讲例 5，例 9 等 题目。 （10）设 f (x, y)与ϕ(x, y) 均为可微函数，且ϕ′ y (x, y) ≠ 0 . 已知( , ) 0 0 x y 是 f (x, y)在约 束条件ϕ(x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是【 D 】 （A）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y （B）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y . （C）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y （D）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y . 【解析与点评】【解法 1】构造格朗日函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ′ = ′ + ′ =′ = ′ + ′ =′ ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) ( , ) 0 (1) F x y x y y x y y F f x y x x y x f x F y ϕ λϕ λϕ λ 对（2）由于 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ，得到 0 0 0 0 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) y x y f xy f x y x x y xy λ ϕ ϕ ′ ′ =− =− ′ ′ ， 从而有 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）,（B）。 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ ≠ ，由此可推 出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。 【解法 2】由极值点必要条件得到 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 x x x y f x y f x y y x dx dz = = + ′ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 = ′ ′ = − x y x y f x y f x y y x x y ϕ ϕ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= , 及 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不 出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）,（B）

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心当，（xo）0时，加上（xo）0,可推出Ji(xo,yo)-, (xo, o)= f,(Xo, Jo)- (xo,o)0由此可推出：f、（xo,J。）+0。因而选（D）【解法3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由，（xo,y）0和f（xoy）+0，直接得到得到f,（xoy）0该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运用的都是初等代数知识。若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒单，有关用这方面内容来设计的题目，可参见水木艾迪2006考研数学36计例16-1。（11）设α,αz,α,均为n维列向量，A是mxn矩阵，下列选项正确的是（A）若α,α,α,线性相关，则Aα,Aαz,Aα,线性相关（B）若αα2，",α,线性相关，则Aα,Aα2""Aα,线性无关(C）若αα2"",α,线性无关，则Aα,Aα2"",Aα,线性相关【A】（D）若αα2,α,线性无关，则Aα,Aα2",Aα线性无关【解析与点评】本题主要考查向量组线性相关的判断。可以用定义，也可以转化为矩阵的秩来做，在水木艾迪辅导班上这类问题的分析方法是重点辅导的内容。【解法1】利用定义，若αi,α2",α,线性相关，则存在不全为0的常数k,2",k,使得kα +k,α,+...+k,α,=0,用A左乘等式两边，得kAα,+k,Aαz+.+k,Aα，=0，于是AαAαz，",Aα,线性相关【解法2】利用矩阵的秩.r(Aα1,Aα2,",Aα,)=r(A(αi,α2,",α,))≤r(α1,α2,,α,)<s所以Aα,Aα2，"",Aα线性相关．选（A).（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第25培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 5 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, )0 xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅≠ ， 由此可推出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。因而选 （D）. 【解法 3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ 和 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） , 直接得到得到 y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y . 该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运 用的都是初等代数知识. 若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒 单，有关用这方面内容来设计的题目, 可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 16-1。 （11）设α α α s , , , 1 2 " 均为 n 维列向量， A 是m n × 矩阵，下列选项正确的是 （A）若α α α s , , , 1 2 " 线性相关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关 （B）若α α α s , , , 1 2 " 线性相关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性无关 （C）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关 （D）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性无关 【 A 】 【解析与点评】 本题主要考查向量组线性相关的判断．可以用定义，也可以转化为矩阵的 秩来做，在水木艾迪辅导班上这类问题的分析方法是重点辅导的内容。 【解法 1】利用定义. 若α α α s , , , 1 2 " 线性相关,则存在不全为 0 的常数 s k , k , , k 1 2 " 使得 k1α1 + k2α 2 +"+ ks α s = 0 ， 用 A 左乘等式两边,得 k1Aα1 + k2 Aα 2 +"+ ks Aα s = 0， 于是 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关. 【解法 2】利用矩阵的秩． r A A A r(A ) r( ) s ( α1 , α 2 ,", α s ) = (α1 ,α 2 ,",α s ) ≤ α1 ,α 2 ,",α s < 所以 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关. 选(A)． （12）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的−1倍加到第 2

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心(110)010,则【B】列得C，记P=(0 01)(B) C=PAP-l(A) C=P-AP(C) C=PT AP.(D) C= PAPT.【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系水木艾迪辅导班春季班强化班都有专题进行辅导。只要掌握我们的例题的分析方法，这类题就能迎刃而解。(110)(1 -1 0)010A=B,B00C【解】依题意，001(001)(1 -1 0)(110)01010= P,0又[=P-l，于是C=PAP-l选(B)0（001)０11(13）设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(AB)=1，则必有(B) P(AUB)>P(B)(A) P(AUB)>P(A).【c】(C) P(AUB)= P(A)(D) P(AUB)= P(B)【解析与点评) 1= P(A|B)=P(AB)/ P(B)==> P(AB)= P(B)P(AU B)= P(A) + P(B)-P(AB)= P(A)本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式。它们同样是我们历次辅导班讲课的重点。例如36计（冲刺班）中第一计“基本概念与基本概率公式的考查要点”的最活跃的概率公式、应用特点和作用，及例1.1.1对P(A|B)与P(A)的讨论；强化班对应为S2.1.2和$1.1.2及例2.2.3。（14）设随机变量X服从正态分布N(M,），Y服从正态分布N(uz），且P(/X-μk1)>P(/Y-μ, kI),[A 】(A) 0,02. 。(C) μμ2【解析与点评】P(IX-μ,1)=P(IX-μ,//P(/Y-μ,I)，知选A。本题考点：正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧。我们历次辅导班都讲“正6清华创业1005电话：6279603262701055培训网：www.tsinghuatutor.com

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 6 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 列得C ，记 110 010 001 P ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，则 【 B 】 （A） 1 C P AP. − = （B） 1 C PAP . − = （C） . T C P AP = （D） . T C PAP = 【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系. 水木艾迪辅导班春季班强化班都有专题进行辅导。只要掌握我们的例题的分析方法，这类题 就能迎刃而解。 【解】依题意， A = B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ， B = C ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ， 又 = P ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ， 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − P ，于是 −1 C = PAP ．选(B)． （13）设 A, B 为随机事件，且 PB PA B ( ) 0, ( | ) 1 > = ，则必有 （A） PA B PA ( ) ( ). ∪ > （B） PA B PB ( ) ( ). ∪ > （C） PA B PA ( ) ( ). ∪ = （D）PA B PB ( ) ( ). ∪ = 【 C 】 【解析与点评】1 = P(A| B) = P(AB) / P(B) ==> P(AB) = P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) 本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式。它们同样是我们历次辅导班讲课的重 点。例如 36 计（冲刺班）中第一计“基本概念与基本概率公式的考查要点”的最活跃的概 率公式、应用特点和作用，及例 1.1.1 对 P(A| B)与 P(A)的讨论；强化班对应为§2.1.2 和§1.1.2 及例 2.2.3。 （14）设随机变量 X 服从正态分布 2 1 1 N(, ) µ σ ，Y 服从正态分布 2 2 2 N(, ) µ σ ，且 1 2 P X PY {| | 1} {| | 1}, − µ <> − σ 。 （C）µ1 2. µ 【A 】 【解析与点评】 (| | 1) (| | / 1/ ) (| | 1/ ) 1 * P X −µ 1 − < µ 知选 A。 本题考点：正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧。我们历次辅导班都讲“正

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心态分布是天下最重要的分布”，而“标准化是正态分布的行之有效的重要技巧”。（冲刺班）例1.6.2中标准化技巧及例1.4.2与例1.4.3正态分布，强化班也有对应的内容与例题。三解答题（共94分）（15）（10分）设区域D=（xy)x2+y2≤1x≥0计算二重积分1+ xyI =f0dxdyD1+x2+y2xy【解析与点评】利用对称性，推出dxdy=01+x+yD1derr-dr="In(1+r这样，1=-dxdy=In2。1+x?+y?Jo1+r210222这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。可参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第十一讲例17。（16）（12分）设数列(x）满足0<x，<元,x+=sinx,(n=1,2,..）。Xn+)*求：（I)证明limx，存在，并求之。（II)计算lim(1→00xn【解析与点评】（1）x,=sinx0<x,≤1，，因此当n≥2时x1=sinx，≤x，(,)单调减少。又x,≥0，即(x,)有下界，有极限存在准则，limx，=A存在，再由极限的唯一性，将递推公式两边取极限得A=sinA，解得A=0。1(sinx),为"""型（2）原式=lim(xn（方法1）对离散型不能直接用洛必达法则，先考虑1IIn(sin)lim.21→0,2tsintlim(，由复合极限定理，只需考虑t0I sint-tcost-11limlim1073t26t1→011.2sinx,sint因此lim(= lim(n→oXn-→0t利用重要极限凑成标准型（方法2）7培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 7 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 态分布是天下最重要的分布”，而“标准化是正态分布的行之有效的重要技巧”。（冲刺班） 例 1.6.2 中标准化技巧及例 1.4.2 与例 1.4.3 正态分布，强化班也有对应的内容与例题。 三 解答题（共 94 分） （15）（10 分） 设区域 {( , ) 1, 0}, 2 2 D = x y x + y ≤ x ≥ 计算二重积分 ∫∫ + + + = D dxdy x y xy I 2 2 1 1 。 【解析与点评】利用对称性，推出 ∫∫ = D + + dxdy x y xy 0 1 2 2 ; 这样， ∫∫ ∫ ∫ − = + = + = + + = 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 ln 2 2 (1 ) 1 1 2 1 π π π π θ dr ln r r r dxdy d x y I D 。 这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。可参见水木艾迪 2006 考 研数学强化班讲义第十一讲例 17。 （16）（12 分） 设数列{ }n x 满足0 , sin ( 1,2, ) < x1 < π xn+1 = xn n = . 。 求: (Ⅰ)证明 n n x →∞ lim 存在,并求之 。 (Ⅱ)计算 2 1 1 lim( ) n x n n n x x + →∞ 。 【解析与点评】 （1） sin ,0 1 x2 = x1 < x2 ≤ ，,因此当n ≥ 2时 n n n x = x ≤ x +1 sin ， { }n x 单调减少。又 xn ≥ 0 ，即 {xn }有下界，有极限存在准则， xn A n = →∞ lim 存在，再由极限的唯一性，将递推公式两边取极限得 A = sin A，解得 A = 0 。 （2）原式 ,为"1 "型 1 ) sin lim( 2 ∞ →∞ = n n n n x x x （方法 1）对离散型不能直接用洛必达法则，先考虑 ) 0 sin ln( 2 1 0 lim 2 1 ) sin lim( t t t t e t t t t → = → ，由复合极限定理，只需考虑 6 1 3 cos 1 0 lim 1 sin 0 lim 2 2 = − − → = − → t t t t t t t t 因此 2 1 ) sin lim( n n n n x x x →∞ 6 1 0 2 1 ) sin lim( − → = = e t t t t 。 （方法 2） 利用重要极限凑成标准型

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心1sint-t 1,2sint1sint-l,sint-tlim(= limi(1 +1→01t→0t由复合极限定理，再考虑如下极限即可：1 sint-tcost-11lim=lim1→0723t?6t1-→0参见水木艾迪2006考研数学36计例1-7，基础班例4.41,强化班第1讲例14，例19例23等题目。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第5章综例5.4.8x（17）（12分））将函数f(x)=展开成x的幂级数。2+x-3xAB【解析与点评】f(x)=(2 - x)(1+ x)2-x1+x2A=A(1+ x)+ B(2- x) = x令x=23A=23B=_!令x=-1,3B=-1,3211111-f(x) =33 (2-x)3 (1+ x)(-x)(12()"-:(-1)"x" =+(-1) *+nx<132343/2参见水木艾迪2006考研数学基础班例9.7.冲刺班36计例10-4，强化班第1讲例14等题。（18）（12分）设函数f(u)在(0,+o)内具有二阶导数，且Z=f(/x2+y2）满足等02z.02z=0式axoy?(1)验证 了"(v)+ ) = 0.u(II)若f(U)=0,f(l)=1求函数f(u)的表达式。Ozxn/x2+y2【解析与点评】（I）1axX8培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 8 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 2 sin 1 ] sin ) sin lim{(1 2 1 ) sin lim( 0 0 t t t t t t t t t t t t t t t − − − = + → → 由复合极限定理，再考虑如下极限即可： 6 1 3 cos 1 lim 1 sin lim 2 0 2 0 = − − = − → → t t t t t t t t 。 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 1-7，基础班例 4.41,强化班第 1 讲例 14，例 19， 例 23 等题目。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程 微积分上》（刘 坤林、谭泽光编写）第 5 章综例 5.4.8。 （17）（12 分） 将函数 2 2 ( ) x x x f x + − = 展开成 x 的幂级数。 【解析与点评】 x B x A x x x f x + + − = − + = (2 )(1 ) 2 1 ( ) 3 2 A(1+ x) + B(2 − x) = x 令 x = 2, 3A = 2, A = 令 3 1 x = −1, 3B = −1, B = − [ ] 1 ( ) 1 3 1 ) 2 (1 1 3 1 (1 ) 1 3 1 (2 ) 1 3 2 ( ) x x x x f x − − − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ ( 1) , 1 2 1 3 1 ( 1) 3 1 ) 2 ( 3 1 0 0 1 0 < ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ − ∑ ∑ − = + − ∞ = ∞ = + ∞ = x x x x n n n n n n n n n 。 参见水木艾迪 2006 考研数学基础班例 9.7, 冲刺班 36 计例 10-4，强化班第 1 讲例 14 等题。 （18）（12 分） 设函数 f (u) 在(0,+∞)内具有二阶导数 ，且 ( ) 2 2 Z = f x + y 满足等 式 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y z x z 。 (Ⅰ)验证 0 ( ) ( ) = ′ ′′ + u f u f u . (Ⅱ)若 f (1) = 0, f ′(1) = 1求函数f (u)的表达式。. 【解析与点评】 (Ⅰ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ; ( ) x y y f x y y z x y x f x y x z + = ′ + ∂ ∂ + = ′ + ∂ ∂

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心x2Jx?+yVx? +y2a2Y±12(x? + y°)(x2+y2Ox12x+1(x2+y2)(x2 +y3)3)同理，由轮换对称性得到7az/x2+ax2(x* +y2)%(x2+y022,022得于"(/+y)+(y+y)代入=0左端，ax?Oy?x?+y?因此得微分方程了"(u)+)=0。uf'(u)（II）【解法1】看作高阶可降阶方程：u(f(1)= 0, f(1)=1令(u)=P,则=-:;[rduduuJpIn=-In+c, (u)= =f(1)=1,c=1, f(u)=Inu+C2,再由f()=0,得c,=0，于是f(u)=lnu。uf"(u)+uf(u)=0【解法2】看作欧拉方程：uE(O,+0)(f(I)=0, f(1)=1令f(u)=u，特征方程(-1)+=0，即2=0，特征根=0,0微分方程的解：f(u)=ci+c,lnu，代入初始条件，于是f(u)=lnu[uf"(u)+ f'(u)= 0【解法3】看作全微分方程：(r(1)=0, r(1)=1, ue(0,+)(uf(u) = 0[ uf (u)"-- = 0[f'(u)=1/ uf(u)=InuLf(1)= 0(f(1)=0, f(1)=1 f(1)= 0, f(1)=1这是多元微分学与微分方程综合题，可参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第八9培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 9 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y f x y x y x f x y x z + + + − + ′ + + = ′′ + ∂ ∂ 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y x f x y + + ′ + + = ′′ + 同理，由轮换对称性得到 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y x f x y x y y f x y x z + + ′ + + = ′′ + ∂ ∂ 代入 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y z x z 左端， 得 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 = + ′ + ′′ + + x y f x y f x y 因此得微分方程 0 ( ) ( ) = ′ ′′ + u f u f u 。 (Ⅱ) 【解法 1】 看作高阶可降阶方程: ( ) () 0 (1) 0, (1) 1 f u f u u f f ⎧ ′ ⎪ ′′ + = ⎨ ⎩ ⎪ = ′ = 令 ∫ ∫ ′ = = − = − + c u du p dp u p du dp f (u) p, 则 ; ln p = − ln u + c ， u c f ′(u) = p = 2 f ′(1) 1, 1, ( ) ln == = + c fu u c ， 再 (1) 0, 0 由f = 得c2 = ，于是f ( ) ln u u = 。 【解法 2】看作欧拉方程: 2 () () 0 (1) 0, (1) 1 u f u uf u f f ⎧ ′′ ′ + = ⎨ = = ′ ⎩ , u ∈(0, ) +∞ 令 f ( ) u u λ = , 特征方程 λλ λ ( ) −1 0 + = , 即 2 λ = 0 , 特征根λ = 0,0 . 微分方程的解： 1 2 f ( ) ln u cc u = + , 代入初始条件,于是f ( ) ln u u = 【解法 3】看作全微分方程: () () 0 (1) 0, (1) 1 uf u f u f f ⎧ ′′ ′ + = ⎨ ⎩ = ′ = , u ∈(0, ) +∞ ( ) () 0 (1) 0, (1) 1 uf u f f ⎧ ′ ⎪ = ⎨ ⎪ = = ′ ⎩ 1 () 0 (1) 0, (1) 1 u u uf u f f = ⎧⎪ ′ = ⇒ ⎨ ⎪ = = ′ ⎩ ( ) 1/ (1) 0 f u u f ⎧ ′ = ⇒ ⎨ ⎩ = ⇒ = f ( ) ln u u 这是多元微分学与微分方程综合题，可参见水木艾迪 2006 考研数学强化班讲义第八

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心讲例7，水木艾迪2006考研数学36计例15-9等。(19)（12分）设在上半平面D=(xJ)v>0)内，函数f(x,J)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=tf(x,y)，证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有f yf(x, y)dx-xf(x, y)dy = 0 。【解析与点评】由f(tx,ty)=tf(x,y)两边对t求导得：xf'(tx,ty)+ yf,(tx,ty)=-2if(x, y)令t=1,则xf(x,j)+yf,(x,y)=-2f(x,y)记 X =yf(x,y),Y =-xf(x,y)-= (x, )+ y(x,):%-- (x, )-xf(x, )ayax%-X--(x, )-x(x,)-[(x, )+(x,)]axoy=-2f(x,y)-[xfi(x,y)+ yf(x,y)]= 0 足%-X=0，这样，于是对L内的任意分段光滑的有向简单闭由于是单连通域，又有满足axay曲线 L,都有yf(x,y)dx-xf(x,y)dy=0。这是多元微分学与曲线积分的综合题，是入手该题有两个的关键：第一是闭路径上曲线积分为零的条件；第二是2次齐次函数的微分性质，这些可参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第十讲例13，和强化班讲义第十二讲例10等题目（20）（9分）已知非齐次线性方程组X +x+X+x =-14x+3xz+5x;-x4=-1有3个线性无关的解[ax, + x, + 3x, - bx, = 1（I）证明方程组系数矩阵A的秩r（A)=2；（I）求a,b的值及方程组的通解【解析与点评】1本题考查矩阵的秩，非齐次线性方程组的求解等.涉及的知识点有非齐次10培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 10 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 讲例 7, 水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 15-9 等。 （19）（12 分） 设在上半平面 D = {(x, y) y > 0}内，函数 f (x, y)具有连续偏导数,且对任 意的t > 0 都有 ( , ) ( , ) 2 f tx ty t f x y − = ，证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L,都有 ∫ − = L yf (x, y)dx xf (x, y)dy 0 。 【解析与点评】由 ( , ) ( , ) 2 f tx ty t f x y − = 两边对 t 求导得： xf (tx,ty) yf (tx,ty) 2tf (x, y) x ′ + y ′ = − 令t 1, xf (x, y) yf (x, y) 2 f (x, y) = 则 x ′ + y ′ = − 记 X = =− yf x y Y xf x y ( , ), ( , ) (, ) (, ) y X f x y yf x y y ∂ = + ′ ∂ ; (, ) (, ) x Y f x y xf x y x ∂ =− − ′ ∂ Y X x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] x y −− − + f x y xf x y f x y yf x y ′ ′ = 2 ( , ) [ ( , ) ( , )] 0 x y −− + = f x y xf x y yf x y ′ ′ ， 由于是单连通域，又有满足 0 Y X x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ , 这样, 于是对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭 曲线 L, 都有 ∫ − = L yf (x, y)dx xf (x, y)dy 0 。 这是多元微分学与曲线积分的综合题，是入手该题有两个的关键: 第一是闭路迳上曲 线积分为零的条件；第二是 2 次齐次函数的微分性质, 这些可参见水木艾迪 2006 考研数学 强化班讲义第十讲例 13, 和强化班讲义第十二讲例 10 等题目. （20）（9 分） 已知非齐次线性方程组 1234 1 2 34 12 3 4 1 43 5 13 3 1 xxxx x x xx ax x x bx ⎧ + + + =− ⎪ ⎨ + + − =− ⎪ ⎩ ++ − = 有 个线性无关的解 （Ⅰ）证明方程组系数矩阵 A 的秩 r A( ) = 2 ； （Ⅱ）求 a b, 的值及方程组的通解． 【解析与点评】 本题考查矩阵的秩，非齐次线性方程组的求解等.涉及的知识点有非齐次