全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2006数学二

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）答案解析与点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心清华大学数学科学系刘坤林谭泽光俞正光葛余博1.06年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主，注意考察基础知识的理解与简单综合运用。除概率统计比05年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为55-62%，平均分数为80-83分；而前几年为38-45%，平均分数只有60-63分。2.各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对07年考生的重要参考，3.06年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在06年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。在面向07年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造他们人生的U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。一、填空题：每小题4分，共24分x+4sinx的水平渐近线方程为y=1（1）曲线y55x-2cosx4sinx1+1【解析与点评】limy=lim2cosx55.x渐近线问题的实质是极限问题，参见水木艾迪2006考研数学百分训练营模拟试题数二第3题。ntdt,x+01(2）设函数f(x）：在x=0处连续，则a=3x=0q.sinx?.1lim f(x)=lim【解析与点评】x-0 3x23x->0出自水木艾迪2006考研数学强化班第4讲例31。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程徽积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第11章综例11.4.1，综例11.4.2。xdx1（3）广义积分(1+x2)2=21培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 1 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 2006 年全国硕士研究生入学考试数学（二） 答案解析与点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 清华大学数学科学系 刘坤林 谭泽光 俞正光 葛余博 1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运 用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系 数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。 2． 各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别 是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是 数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。 3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准 确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与 训练，使更大面积的考生最大限度受益。 就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试 中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量 题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是 水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。 在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进 一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生 朋友，为打造他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。 一、填空题：每小题 4 分，共 24 分 （1）曲线 x x x x y 5 2cos 4sin − + = 的水平渐近线方程为 5 1 y = 【解析与点评】 5 1 2cos 5 4sin 1 lim lim = − + = →∞ →∞ x x x x y x x 渐近线问题的实质是极限问题，参见水木艾迪 2006 考研数学百分训练营模拟试题数二 第 3 题。 （2）设函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = ∫ , 0 sin , 0 1 ( ) 2 0 3 a x t dt x f x x x 在 x = 0处连续，则 a = 3 1 【解析与点评】 3 1 3 sin lim ( ) lim 2 2 0 0 = = → → x x f x x x 出自水木艾迪 2006 考研数学强化班第 4 讲例 31。还可参见清华大学出版社《大学数学考研 清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第 11 章综例 11.4.1，综例 11.4.2。 （3）广义积分 = + ∫ +∞ 0 2 2 (1 x ) xdx 2 1

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心exdx1 r+od(1+x)_11【解析与点评】=0+(1+x2)2-2 J0(1+x2)22(1+x2)2出自水木艾迪2006考研数学白分训练营模拟试题数一第3题，还可参见参见水木艾迪2006考研数学强化班第5讲例27。以及清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第7章例7.3.7。(4)微分方程y'=-)的通解是y=cxe"(x 0)X【解析与点评】分离变量积分即可。这是变量可分离方程。水木艾迪2006考研数学教学中有若干此类例题。例如水木艾迪2006考研数学白分训练营模拟试题数（第一套）四第3题，（第二套）数四第2题，水木艾迪2006考研数学强化班第2 讲例1 与第7讲例1 等题目。dy（5）设函数y=y(x)由方程y=1-xe确定，则dx当x=0时，y=1,【解析与点评】又把方程每一项对x求导，y=-e-xe"yey'(l+xe)=-eyyl1+xe"参见水木艾迪2006考研数学强化班第2讲例9。水木艾迪2006考研数学基础班例3.19冲刺班考研数学36计例4-2，2T（6）设矩阵AE为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B12【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等，这是比较简单的一道题，只要掌握水木艾迪春季班和冲刺班关于矩阵运算，矩阵方程，以及行列式计算等内容及相应的例题，就很容易做这道题了。[解］由BA=B+2E，得B(A-E)=2E,两边取行列式,得B4-E|=[2E|= 42，因此B=2又A二、选择题(7）设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f"(x)>0，△x为自变量x在x。处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量与微分，若△r>O，则【A】(A) 0<dy<Ay(B)0<Ay<dy2培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 2 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 【解析与点评】 ∫ +∞ 0 + 2 2 (1 x ) xdx 2 1 2 1 0 (1 ) 1 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 0 2 0 2 2 2 = + = + = − ⋅ + + = +∞ +∞ ∫ x x d x 出自水木艾迪 2006 考研数学白分训练营模拟试题数一第 3 题，还可参见参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第 5 讲例 27。以及清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积 分上》（刘坤林、谭泽光编写）第 7 章例 7.3.7。 （4）微分方程 x y x y (1− ) ′ = 的通解是 = ( ≠ 0) − y cxe x x 【解析与点评】分离变量积分即可。这是变量可分离方程。 水木艾迪 2006 考研数学教学中有若干此类例题。例如水木艾迪 2006 考研数学白分训练营 模拟试题数（第一套）四第 3 题，（第二套）数四第 2 题，水木艾迪 2006 考研数学强化班 第 2 讲例 1 与第 7 讲例 1 等题目。 （5）设函数 y = y(x) 由方程 y y = 1− xe 确定，则 dx x=0 dy = − e 【解析与点评】 当 x = 0时， y = 1， 又把方程每一项对 x y e xe y y y 求导, ′ = − − ′ e xe e y xe e y y x y y x y y = − + ′ + = − ′ = − = = = 1 0 0 1 (1 ) 参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第 2 讲例 9。水木艾迪 2006 考研数学基础班例 3.19, 冲刺班考研数学 36 计例 4-2， （6）设矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 2 1 A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BAB E = + 2 ，则 B = ． 【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等．这是比较简 单的一道题，只要掌握水木艾迪春季班和冲刺班关于矩阵运算，矩阵方程，以及行列式计算 等内容及相应的例题，就很容易做这道题了。 [解] 由 BA = B + 2E ，得 B(A − E) = 2E ,两边取行列式,得 B A − E = 2E = 4 又 2 1 1 1 1 = − A − E = ，因此 B = 2 ． 二、选择题 （7）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0, ∆x 为自变量 x 在 0 x 处的 增量， ∆y 与 dy 分别为 f (x) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 ∆x > 0 ，则【 A 】 （A）0 < dy < ∆y （B）0 < ∆y < dy

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心(C) Ay0,则f(x)严格单调增加，f(x)>0,则f(x)为凹又△x>0，故00为周期。结论4有第一类间断点的函数没有原函数。结论5有第二类间断点的函数可以有原函数。结论6变限积分表示的函数不一定是原函数。注：以上结论中每年会从其中取出1-3个考点。(9）设函数g(x)可微，h(x)=el+g(x),h(1)=1,g(1)=2,则g(1)等于【C 】(A)In3-1(B) -ln3-1(C) -ln2-1(D) ln2-1【解析与点评】 h(x)=g(x)el+g(),h'(1)=g(1)el+g() =1,1由g(1)=2得到1+g(1)=ln==-ln2, g(1)=-1-ln2, 选 (C)。2（10）函数y=C,e+C,-2×+xe满足的一个微分方程是[D](B)y"-y'-2y=3e(A) y"-y'-2y=3xe(C)y"+y'-2y=3xe(D) y"+y'-2y=3e*【解析与点评】本题考查线性常系数非齐次方法的基本知识，由题设可知特征根为1和-2，故特征方程为（元-1)(元+2)=元2+元-2=0，因此相应的线性齐次方程是y"+y'-2y=0这样就排除了（A)，（B）：再由非齐次方程之解的形式可知，α=1为3培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 3 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 （C） ∆y 0, 则f (x) 严格单调增加， f ′′(x) > 0, 则f (x) 为凹 又 ∆x > 0 ，故 0 0为周期。 结论 4 有第一类间断点的函数没有原函数。 结论 5 有第二类间断点的函数可以有原函数。 结论 6 变限积分表示的函数不一定是原函数。 注：以上结论中每年会从其中取出 1-3 个考点。 （9）设函数 g(x) 可微， ( ) , (1) 1, (1) 2, g(1) h x = e 1+g ( x) h′ = g′ = 则 等于【 C 】 （A）ln 3 −1 （B） − ln 3 −1 （C） − ln 2 −1 （D）ln 2 −1 【解析与点评】 1 ( ) ( ) ( ) g x h x g x e + ′ = ′ , (1) (1) 1 1 (1) ′ = ′ = +g h g e , 由 g′(1) = 2 得到 ln 2 2 1 1+ g(1) = ln = − , g(1) = −1− ln 2 , 选 (C)。 （10）函数 2 1 2 x xx y c e c xe − =+ + 满足的一个微分方程是[D] （A） 2 3 x y y y xe ′′ ′ −− = （B） 2 3 x yy ye ′′ ′ −− = （C） 2 3 x y y y xe ′′ ′ +− = （D） 2 3 x yy ye ′′ ′ +− = 【解析与点评】 本题考查线性常系数非齐次方法的基本知识， 由题设可知特征根为 1 和 -2，故特征方程为 2 ( 1)( 2) 2 0 λ λ λλ − + = +−= ， 因此相应的线性齐次方程是 yy y ′′ ′ +− = 2 0 这样就排除了（A），（B）; 再由非齐次方程之解的形式可知， α = 1为

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心单根，方程的非齐次项应是Ae型，从而选（D）.类似题目参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第八讲例3,4；或水木艾迪2006考研数学36计例11-8等题目。de['f(rcosrsinrdr等于【c】(11）设f(x,y)为连续函数，则[y2V2Vi-x/1-)(B)「（A)2dxf(x, y)dydxof(x, y)dy/1-f(x,y)dx(D)f(x,y)dx)22dy【解析与点评】本题二重积分基本题，由极坐标系化直角坐标，直接画草图按先x对后对】的积分次序即得。参见水木艾迪2006考研数学强化班第十一讲例6，例13等题目。(12）设f(x,y)与p(x,y)均为可微函数，且p(x,y)0.已知(xo,yo)是f(x,y)在约束条件β(x,J)=0下的一个极值点，下列选项正确的是【D】(A)若f(xo,yo)=0,则f,(xo,y)=0(B）若f,(xo,yo)=0,则f,(xo,yo)0(C)若f (xo,y)±0,则f,(xo,y)=0(D）若f(xo,yo)0,则f,(xo,y)0【解析与点评】【解法1】构造格朗日函数F=f(x,J)+Λp(x,y)=f,(x,y)+p,(x,y)=0 (1)SF, =f.. (x,y)+ap, (x,y)=0 (2)F, =p(x,y)=0(xo,yo)f'(xo,yo)对（2）由于（x）0，得到=p, (xo,yo)P, (xo,yo)J.(xo,yo)-p, (xo,yo)=f,(xo,yo).p, (xo,yo)从而有当(xo,%）=0时，可推出,(x,）（x）=0，而由此推不出：f(xo,y)0,或f(xo,%)=0，因而否定（A）和（B)。4培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 4 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 单根，方程的非齐次项应是 x Ae 型，从而选 (D) .类似题目参见水木艾迪 2006 考研数学强 化班讲义第八讲例 3, 4; 或水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 11-8 等题目。 （11）设 f (x, y)为连续函数，则 d f r r rdr ∫ ∫ 4 0 1 0 ( cos , sin ) π θ θ θ 等于【 C 】 （A） ∫ ∫ − 2 2 0 1 2 ( , ) x x dx f x y dy （B） ∫ ∫ − 2 2 0 1 0 2 ( , ) x dx f x y dy （C） ∫ ∫ − 2 2 0 1 2 ( , ) y y dy f x y dx （D） ∫ ∫ − 2 2 0 1 0 2 ( , ) y dy f x y dx 【解析与点评】本题二重积分基本题，由极坐标系化直角坐标, 直接画草图按先 x 对后对 y 的积分次序即得。参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第十一讲例 6，例 13 等题目。 （12）设 f (x, y)与ϕ(x, y) 均为可微函数，且ϕ′(x, y) ≠ 0 . 已知 ( , ) 0 0 x y 是 f (x, y)在约 束条件ϕ(x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是【 D 】 （A）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y （B）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y . （C）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y （D）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y . 【解析与点评】【解法 1】构造格朗日函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ′ = ′ + ′ =′ = ′ + ′ =′ ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) ( , ) 0 (1) F x y x y y x y y F f x y x x y x f x F y ϕ λϕ λϕ λ 对（2）由于 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ，得到 0 0 0 0 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) y x y f xy f x y x x y xy λ ϕ ϕ ′ ′ =− =− ′ ′ ， 从而有 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）和（B）

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心当，（x）0时，加上（x）0,可推出f（0）（x）0，由此可推出:f, (xo,yo)#0。【解法2】由极值点必要条件得到dz ( 0) ,(, 0) 1 - (0. 0)- ,(. 0) () -0dxxoP, (xo,yo)当（0)=0，及（）0时，可推出,(o,)（x,)=0，而由此推不出：J,(xo,y）0,或J,(xo,y)=0，因而否定（A），（B)。当(xo,o）*0时，加上(xo,）0,可推出f. (xo, yo)-, (xo, yo)= f, (xo. yo).P. (xo. yo)+0 ,由此可推出：f，（xo，y）0。因而选（D）【解法3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由，（xo,）+0和f，（xo,o）0，直接得到得到f,（xo,y）0该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运用的都是初等代数知识。若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒单，有关用这方面内容来设计的题目，可参见水木艾迪2006考研数学36计例16-1（13）设α,αz，",α,均为n维列向量，A是mxn矩阵，下列选项正确的是(A）若α,αz"",α线性相关，则Aα,Aαz",Aα,线性相关（B）若α,α"α,线性相关，则Aα,Aαz,",Aα线性无关(C）若ααzα,线性无关，则AαAα2,Aα线性相关【A】(D）若ααα,线性无关，则Aα,Aα2",Aα,线性无关【解析与点评】本题主要考查向量组线性相关的判断。可以用定义，也可以转化为矩阵的秩来做，在水木艾迪辅导班上这类问题的分析方法是重点辅导的内容。【解法1】利用定义.若αr,αz,",α,线性相关,则存在不全为0的常数k,kz,",k,使得ka,+ka,+..+k,a,=0,5培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 5 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ ≠ ，由此可推 出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。 【解法 2】由极值点必要条件得到 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 x x x y f x y f x y y x dx dz = = + ′ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 = ′ ′ = − x y x y f x y f x y y x x y ϕ ϕ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= , 及 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不 出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）,（B）。 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, )0 xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅≠ ， 由此可推出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。因而选 （D）. 【解法 3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ 和 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） , 直接得到得到 y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y . 该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运 用的都是初等代数知识. 若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒 单，有关用这方面内容来设计的题目, 可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 16-1. （13）设α α α s , , , 1 2 " 均为n 维列向量， A 是 m n × 矩阵，下列选项正确的是 （A）若α α α s , , , 1 2 " 线性相关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关 （B）若α α α s , , , 1 2 " 线性相关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性无关 （C）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关 （D）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关，则 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性无关 【 A 】 【解析与点评】 本题主要考查向量组线性相关的判断．可以用定义，也可以转化为矩阵的 秩来做，在水木艾迪辅导班上这类问题的分析方法是重点辅导的内容。 【解法 1】利用定义. 若α α α s , , , 1 2 " 线性相关,则存在不全为 0 的常数 s k , k , , k 1 2 " 使得 k1α1 + k2α 2 +"+ ks α s = 0

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心用A左乘等式两边，得寻k,Aα,+k,Aα,++k,Aα,=0,于是Aα,Aα,.,Aα线性相关.【解法2】利用矩阵的秩，r(Aαr,Aα,,",Aα,)=r(A(α,α,,".,α,)<r(α,α2,",α,)<s所以Aαi,Aα2,",Aα,线性相关选(A).（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2(1 1 0)010,则列得C，记P=(001)(A) C= P-"AP.(B)C=PAP-I(D) C=PAPT.(C) C=PTAP【B】【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系.水木艾迪辅导班春季班强化班都有专题进行辅导。只要掌握我们的例题的分析方法，这类题就能迎刃而解。(110)(1 -1 0)10A=B，B 0100=C解：依题意，(0 0 1)(o010(110)1-101010=P,0又[=P-l，于是C=PAP-I.选(B).00(001)1三、解答题(共94分)（15）（10分）试确定A，B，C的常数值，使e(1+Bx+Cx2）=1+Ax+o(x3）其中o(x3）是当x→0时比x的高阶无穷小。x2x3【解析与点评】将e=1+x++o(x）代入已知等式得26xx[1 + x ++ 0(x3)][1+ Bx + Cx2] =1+ Ax + 0(x3)26整理并比较两边同次幂函数得(B12.+C++0(x)=1+ Ax+0(x3)1+(B+1)x+(C+B+=)x22(266培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 6 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 用 A 左乘等式两边,得 k1Aα1 + k2 Aα 2 +"+ ks Aα s = 0， 于是 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关. 【解法 2】利用矩阵的秩． r A A A r(A ) r( ) s ( α1 , α 2 ,", α s ) = (α1 ,α 2 ,",α s ) ≤ α1 ,α 2 ,",α s < 所以 Aα Aα Aα s , , , 1 2 " 线性相关. 选(A)． （14）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的−1倍加到第 2 列得C ，记 110 010 001 P ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，则 （A） 1 C P AP. − = （B） 1 C PAP . − = （C） . T C P AP = （D） . T C PAP = 【 B 】 【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系. 水木艾迪辅导班春季班强化班都有专题进行辅导。只要掌握我们的例题的分析方法，这类题 就能迎刃而解。 解：依题意， A = B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ， B = C ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ， 又 = P ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ， 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − P ，于是 −1 C = PAP ．选(B)． 三、解答题(共 94 分) （15）（10 分）试确定 A，B，C 的常数值，使 (1 ) 1 ( ) 2 3 e Bx Cx Ax x x + + = + +ο 其中 ( ) 3 ο x 是当 x → 0时比x 3 的高阶无穷小。. 【解析与点评】将 ( ) 2 6 1 3 2 3 x x x e x x = + + + +ο 代入已知等式得 ( )][1 ] 1 ( ) 2 6 [1 3 2 3 2 3 x Bx Cx Ax x x x + x + + +ο + + = + +ο 整理并比较两边同次幂函数得 ( ) 1 ( ) 6 1 2 ) 2 1 1 ( 1) ( 2 3 3 C x Ax x B B x C B x ⎟ +ο = + +ο ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + +

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心@B+1=A1②C+B+=02B1+C+-?=026B,12式②-③得=0,B=A=C=23136参见清华大学出版社《考研通用教材》（考研数学应试导引与进阶）微积分（上）例6.48水木艾迪2006考研数学强化班第1讲例40等题。rarcsinex（16）（10分）求dxerrarcsinedx【解析与点评】【解法1】arcsine'de-"=-e-"arcsine*e.对第二项取变换e=sint，e'dx=costdt，-d = ot sectd lesc - cot + Csint cost/1-e2x= -x+In(1- /1-e2*)+Crarcsiner-dx = -e* arcsine* - x+ In(1- V1-e2*)+C因此e【解法2】原式=[arcsine'de-r=-e-"arcsine+2-e""arcsine" +-de-Ve-2x -1= -e- arcsine* - nle + Ve-2x -i|+C【解法3】取e=t，则rarcsinearcsint原式=de71(er)dtarcsint1ttdtarcsinttt2y1-t?7培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 7 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 B +1 = A ① 0 2 1 C + B + = ② 0 6 1 2 + C + = B ③ 式②-③得 0 3 1 2 + = B ， 3 2 B = − ， 3 1 A = ， 6 1 C = 。 参见清华大学出版社《考研通用教材》（考研数学应试导引与进阶）微积分（上）例 6.48, 水木艾迪 2006 考研数学强化班第 1 讲例 40 等题。 （16）（10 分）求 dx e e x x ∫ arcsin 【解析与点评】【解法 1】 dx e e x x ∫ arcsin dx e e de e e x x x x x ∫ ∫ − = = − + − − 2 1 1 arcsin arcsin 对第二项取变换e t x = sin ，e dx tdt x = cos ， ∫ ∫ ∫ = ⋅ = = − + − dt tdt t t C t t dx e x sec ln csc cot cos 1 sin cot 1 1 2 x e C x = − + ln(1− 1− ) + 2 因此 dx e e x x ∫ arcsin e e x e C x x x = − − + − − + − arcsin ln(1 1 ) 2 【解法 2】原式 dx e e de e e x x x x x ∫ ∫ − = = − + − − 2 1 1 arcsin arcsin x x x x de e e e − − − ∫ − = − + 1 1 arcsin 2 e e e e C x x x x = − − + − + − − − arcsin ln 1 2 【解法 3】取e t x = ，则 原式= dt t t de e e x x x ∫ ∫ = 2 2 arcsin ( ) arcsin ∫ ∫ − = − = − + 2 1 arcsin ) 1 arcsin ( t t dt t t t td ∫ − = − + 2 2 1 arcsin t t tdt t t

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心令V-2=u(-2udu)_duarcsintarcsint原式u2u(1-u?)-tarcsint21u+arcsinearcsiner/1-e2小e.er2V1-e2x.出自清华大学出版社水木艾迪2006考研数学《考研通用教材》（刘坤林等编写：考研数学应试导引与进阶）微积分（上）例5.20.亦为水木艾迪2006考研数学强化班第3讲例15。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第7章部分例题。（17）（10分）设区域D=（x,y)x2+y≤1,x≥0计算二重积分1+xydxdy。1+x2+yxy【解析与点评】利用对称性，推出-dxdy=01+x2+Ddr=这样，『=2de-In(1+r-In2dxdy=Jo1+10B1+x?+y22这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。也可参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第十一讲例17（18）（12分）设数列(满足000x.【解析与点评】（1）x=sinx,,0<x,≤1，,因此当n≥2时xn+I=sinx≤x，(,)单调减少。又x≥0，即(x，）有下界，有极限存在准则，limx，=A存在，再由极限的唯一性，将递推公式两边取极限得A=sinA，解得A=0。1+01sinx,为"1""型（2）原式=lim（n-→0Xn8培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 8 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 令 − t = u 2 1 ， 原式 ∫ − − = − + (1 ) ( 2 ) 2 arcsin 1 2 u u udu t t ∫ − = − + 1 arcsin 2 u du t t C u u t t + + − = − + 1 1 ln 2 arcsin 1 C e e e e dx e e x x x x x x + − + − − = − + ∫ 1 1 1 1 ln 2 arcsin arcsin 1 2 2 出自清华大学出版社水木艾迪 2006 考研数学《考研通用教材》（刘坤林等编写：考研 数学应试导引与进阶）微积分（上）例 5.20, 亦为水木艾迪 2006 考研数学强化班第 3 讲例 15。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽 光编写）第 7 章部分例题。 （17）（10 分）设区域 {( , ) 1, 0}, 2 2 D = x y x + y ≤ x ≥ 计算二重积分 ∫∫ + + + = D dxdy x y xy I 2 2 1 1 。 【解析与点评】利用对称性，推出 ∫∫ = D + + dxdy x y xy 0 1 2 2 ; 这样， ∫∫ ∫ ∫ − = + = + = + + = 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 ln 2 2 (1 ) 1 1 2 1 π π π π θ dr ln r r r dxdy d x y I D 。 这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。也可参见水木艾迪 2006 考研数学强化班讲义第十一讲例 17 （18）（12 分）设数列{ }n x 满足0 , sin ( 1,2, ) < x1 < π xn+1 = xn n = . 。 求: (Ⅰ)证明 n n x →∞ lim 存在,并求之 。 (Ⅱ)计算 2 1 1 lim( ) n x n n n x x + →∞ 。 【解析与点评】（1） sin ,0 1 x2 = x1 < x2 ≤ ，,因此当n ≥ 2时 n n n x = x ≤ x +1 sin ， { }n x 单调减少。又 xn ≥ 0 ，即 {xn }有下界，有极限存在准则， xn A n = →∞ lim 存在，再由极限的唯一性，将递推公式两边取极限得 A = sin A，解得 A = 0 。 （2）原式 ,为"1 "型 1 ) sin lim( 2 ∞ →∞ = n n n n x x x

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心（方法1）对离散型不能直接用洛必达法则，先考虑1In(sint,lim2→0,2tsintlim，由复合极限定理，只需考虑Ee11COst-11 sint-tlimlim1-0R3t26tt→011221sintsinx.An因此lim(=lim(=e61→0n-→otXnt利用重要极限凑成标准型（方法2）1sint-t 1232sintsintsint-lim= lim((1+t-→0t1-→0t由复合极限定理，再考虑如下极限即可：1 sint-tcost-11=limlim1→0 123t261→01参见水木艾迪2006考研数学36计例1-7，基础班例4.41,强化班第1讲例14，例19，例23等题目。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第5章综例5.4.8。（19）（10分）证明：当0asina+2cosa+元a【解析与点评】此题属于水木艾迪2006考研数学冲刺班36计之五的典型例题，即移项做辅助函数，再利用值加增减性分析法是证明等式与不等式的重要手段和技巧。做辅助函数：f(x)=xsinx+2cosx+πx只需证明0f(元)=0，即f(x)严格单调增加。9培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 9 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 （方法 1）对离散型不能直接用洛必达法则，先考虑 ) 0 sin ln( 2 1 0 lim 2 1 ) sin lim( t t t t e t t t t → = → ，由复合极限定理，只需考虑 6 1 3 cos 1 0 lim 1 sin 0 lim 2 2 = − − → = − → t t t t t t t t 因此 2 1 ) sin lim( n n n n x x x →∞ 6 1 0 2 1 ) sin lim( − → = = e t t t t 。 （方法 2） 利用重要极限凑成标准型 2 sin 1 ] sin ) sin lim{(1 2 1 ) sin lim( 0 0 t t t t t t t t t t t t t t t − − − = + → → 由复合极限定理，再考虑如下极限即可： 6 1 3 cos 1 lim 1 sin lim 2 0 2 0 = − − = − → → t t t t t t t t 。 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 1-7，基础班例 4.41,强化班第 1 讲例 14，例 19， 例 23 等题目。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程 微积分上》（刘 坤林、谭泽光编写）第 5 章综例 5.4.8。 （19）（10 分）证明：当0 sin + 2cos + 【解析与点评】 此题属于水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计之五的典型例题，即移项做 辅助函数，再利用值加增减性分析法是证明等式与不等式的重要手段和技巧。 做辅助函数： f (x) = x sin x + 2cos x +πx 只需证明0 f ′(π ) = 0 ，即 f (x) 严格单调增加

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心令x=b，得到f(b)>f(a)。参见水木艾迪2006考研数学冲刺班36计之五详细阐述的方法与例题，例5-6，例5-7，例5-8，强化班第2讲例31、34、38等题。（20）（12分）设函数f(u)在(0,+oo)内具有二阶导数，且Z=f(x2+y2）满足等式0*=+"=0.ax?ay?(1)验证 F(n)+ [( =0.u(II)若f(I)=0,f(I)=1求函数f(u)的表达式。=f(V+y)【解析与点评】（I）axx2+Vx? +y?a2Yax(x2 +y2(x? + y2)y2x2+y2x-+y2Ffe(x2 +y2)(x2+y*)32同理由轮换对称性得到v2a?2x1ax?(x2 + y2)(x +y2)为1J(/x +y?azaz=0左端，得f"(/x2+y2)+代入Oy2ax?x2 + y2f'(u)因此得微分方程f"(u)+=0uf"(u)=0（I）【解法1】看作高阶可降阶方程uf()=0. f()=1令(u)=p,则--;[rdu-duupInpl=-In+c, 5(u)==f(1)=1,c=1, f(u)= Inu+c2,10培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 10 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 令 x = b，得到 f (b) > f (a)。 参见水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计之五详细阐述的方法与例题，例 5-6，例 5-7， 例 5-8，强化班第 2 讲例 31、34、38 等题。 （20）（12 分）设函数 f (u) 在(0,+∞)内具有二阶导数 ，且 ( ) 2 2 Z = f x + y 满足等式 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y z x z 。 (Ⅰ)验证 0 ( ) ( ) = ′ ′′ + u f u f u . (Ⅱ)若 f (1) = 0, f ′(1) = 1求函数f (u)的表达式。. 【解析与点评】 (Ⅰ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ; ( ) x y y f x y y z x y x f x y x z + = ′ + ∂ ∂ + = ′ + ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y f x y x y x f x y x z + + + − + ′ + + = ′′ + ∂ ∂ 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y x f x y + + ′ + + = ′′ + 同理由轮换对称性得到 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y x f x y x y y f x y x z + + ′ + + = ′′ + ∂ ∂ 代入 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y z x z 左端， 得 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 = + ′ + ′′ + + x y f x y f x y 因此得微分方程 0 ( ) ( ) = ′ ′′ + u f u f u 。 (Ⅱ) 【解法 1】 看作高阶可降阶方程: ( ) () 0 (1) 0, (1) 1 f u f u u f f ⎧ ′ ⎪ ′′ + = ⎨ ⎪ ⎩ = ′ = 令 ∫ ∫ ′ = = − = − + c u du p dp u p du dp f (u) p, 则 ; ln p = − ln u + c ， u c f ′(u) = p = 2 f ′(1) 1, 1, ( ) ln == = + c fu u c