全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2005数学二

2005年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）(1）设y=(1+sinx)"，则dy【答】- πdx.dy=den(+sin) = (I+ sin x)*d(xln(I+sin x)【详解】cosx+ In(1+ sin x)dx= In(1 + sin x1+sinx= y(π)dx = -ndx11曲线=+(2)一的斜渐近线方程为x3【答】y=x+2(1+x)因为a=lim【详解】=limVxxr*45(1+x)x23b = lim [(x) - ax]= lim2Vx3于是所求斜渐近线方程为V=x+2xdx(3)-x)/1- x2o元【答】4【详解】令x=sint，则xdxsintcostd(2-sint)costx2)1-(2dcostTarctan(cost)I + cos? t4的解为（4）微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=O11【答】-xnx-V=-x93

2005 年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析 一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 设 x y = (1+ sin x) ，则 x=π dy = _ 【答】 − πdx . 【详解】 dy = ( ) ln(1 sin ) (1 sin ) ln(1 sin ) xx x de x d x x + =+ + cos ln(1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin x x x dx x ⎛ ⎞ =+ ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + x=π dy = y′(π )dx = −πdx. （2） 曲线 x x y 2 3 (1+ ) = 的斜渐近线方程为_. 【答】 2 3 y = x + 【详解】 因为 a= 3 2 (1 ) lim lim 1, x x y x x x x →+∞ →+∞ + = = [ ] 2 (1 ) 3 lim ( ) lim 2 3 2 3 = + − = − = →+∞ →+∞ x x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 2 3 y = x + （3） = − − ∫ 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx _ 【答】 4 π . 【详解】 令 x = sin t ，则 = − − ∫ 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx ∫ − 2 0 2 (2 sin ) cos sin cos π dt t t t t = . 4 arctan(cos ) 1 cos cos 2 0 2 0 2 π π π = − = + − ∫ t t d t （4）微分方程 xy′ + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为_. 【答】 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x

【详解】原方程等价为2y'+y=lnx,YxInxdx+C]于是通解为dx+111-xlnx-x+c,391得C=0，故所求解为y=-xlnx-由 y(1) =x399(5）当x→0时，α(x)=kx?与β(x)=/1+xarcsinx-Vcosx是等价无穷小，则k=3【答】4V1+xarcsinx-cosxβ(x)lim【详解】-limkx?x-0 α(x)x→0xarcsinx+1-cosx=limr-0 kx(/1+xarcsin x+/cosx)xarcsinx+1-cosx31lim=1x?2k x→04k得k=34（6）设α1,α2,α，均为3维列向量，记矩阵A=(αα2,α),B=(α,+α+α,α,+2α2+4α3,α,+3α+9α),如果A=1，那么B=【答】2【详解】由题设，有B=(α,+α2+α3,α,+2α2+4α3,α,+3α2+9α)[1 11=(αj,α2,α)1 2 314911于是有[B| = [A] .2 3=1x2=249二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中

【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2 ′ + = ， 于是通解为 ∫ ∫ + = ⋅ + ∫ ⋅ ∫ = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C dx x dx x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x （5）当 x → 0时， 2 α(x) = kx 与β (x) = 1+ x arcsin x − cos x 是等价无穷小， 则 k= _ 【答】 4 3 . 【详解】 2 0 0 1 arcsin cos lim ( ) ( ) lim kx x x x x x x x + − = → α → β = ( 1 arcsin cos ) arcsin 1 cos lim 2 0 kx x x x x x x x + + + − → = 2k 1 1 4 arcsin 1 cos 3 lim 2 0 = = + − → x k x x x x ， 得 . 4 3 k = （6）设 1 2 3 α ,α ,α 均为 3 维列向量，记矩阵 ) ( , , A = α1 α 2 α 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = α 1 +α 2 +α 3 α 1 + α 2 + α 3 α 1 + α 2 + α 3 ， 如果 A = 1，那么 B = . 【答】 2 【详解】 由题设，有 ) B = (α 1 +α 2 +α 3 ,α 1 + 2α 2 + 4α 3 ,α 1 + 3α 2 + 9α 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) α1 α 2 α 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A ⋅ = × = 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7）设函数f(x)=lim%/1+x[3"，则f(x)在(-00,+o0)内(A）处处可导(B）恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点，(D）至少有三个不可导点[]【答】应选(C)【详解】先求出 f(x)的表达式lim /1+x = lim(1+x) =10 =1(x1),lim /1+|x" = lim(1+1) = 20 =1(Ix=1),lim /1+x" =↓xP 1iml= (x>1)r因此，[1, [μ≤1,f(x):[x,x>1.由y=f(x)的表达式及它的函数图形可知，f(x)在x=±1处不可导（图形是尖点），其余点f(x)均可导，因此选（C）（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MN"表示“M的充分必要条件是N"，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数【答】应选（A）

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ →∞ ，则 f(x)在(−∞,+∞) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 先求出 f(x)的表达式. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 0 1 3 0 1 33 3 3 lim 1 lim 1 1 1 1 , lim 1 lim 1 1 2 1 1 , 1 lim 1 lim 1 1 . n n n n n n n n n n n n n n n n n xx x x x x x xx x →+∞ →∞ →+∞ →∞ →+∞ →∞ + = + == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 因此， 3 1, 1, ( ) , 1. x f x x x ⎧ ≤ ⎪ = ⎨ ⎪ > ⎩ 由 y fx = ( ) 的表达式及它的函数图形可知，f ( x) 在 x = ±1处不可导（图形是尖点）， 其余点 f ( ) x 均可导，因此选（C）. （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，"M ⇔ N"表示“M 的充分必要条 件是 N”，则必有 (A) F(x)是偶函数⇔ f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数⇔ f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔ f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数⇔ f(x)是单调函数. 【 】 【答】 应选（A）

【详解】已知，F(x)=[f(t)dt+C若F(x)为奇函数→[f(0)dt 为偶函数= F(x)的全体原函数为偶函数又若F(x)为偶函数，则F(x)=(x)为奇函数，因此选（A）[x=T+21; 确定，则曲线 y-y(x)在 x=3 处的(9）设函数y=y(x)由参数方程y=In(1+t)法线与x轴交点的横坐标是Iln2+3.ln2 +3.(A)(B)8(C)(D) 8ln2+3-8ln2+3【【答】应选（B)【详解】当x=3时，有t+2t=3，得t=1,t=-3（舍去，此时y无意义），于是+21dyldx -l " 21+2 = 8可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：y-ln2=-8(x-3),令y=0，得其与x轴交点的横坐标为：In2+3,8故应(A)(10)设区域D=((x,)x2+≤4,x≥0,y≥0)，f(x)为D上的正值连续函数，ab为常数，则[+bdof(x)+f(y)aba+b(B)ab元.(C)(D)(A)(a+b)元.一元22【【答】应选(D)【详解】由轮换对称性，有ra)+bdga+bdo/f(x)+f(y)/f()+/f(x)+Jf(x)+f(y)f(y)+/f(x)

【详解】 已知， ∫ = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) 若 F x( ) 为奇函数⇒ ( ) 0 x f t dt ∫ 为偶函数⇒ F x( ) 的全体原函数为偶函数. 又若 F ( ) x 为偶函数，则 ( ) ( ) ' F x fx = 为奇函数，因此选（A）. （9）设函数 y=y(x)由参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + ln(1 ) 2 , 2 y t x t t 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的 法线与 x 轴交点的横坐标是 (A) ln 2 3 8 1 + . (B) ln 2 3 8 1 − + . (C) − 8ln 2 + 3. (D) 8ln 2 + 3. 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 当 x=3 时，有 2 3 2 t + t = ，得t = 1,t = −3（舍去，此时 y 无意义）， 于是 8 1 2 2 1 1 1 1 = + + = t= t= t t dx dy ， 可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为： y − ln 2 = −8(x − 3)， 令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为： ln 2 3 8 1 + , 故应(A). （10）设区域 {( , ) 4, 0, 0} 2 2 D = x y x + y ≤ x ≥ y ≥ ，f(x)为 D 上的正值连续函数， a,b 为常数，则 = + + ∫∫ dσ f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) (A) abπ . (B) π 2 ab . (C) (a + b)π . (D) π 2 a + b . 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由轮换对称性，有 = + + ∫∫ dσ f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) dσ f y f x a f y b f x D ∫∫ + + ( ) ( ) ( ) ( ) = dσ f y f x a f y b f x f x f y a f x b f y D ∫∫ + + + + + ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 2 1

a+b 1元·2=a+ba+b[d:元222应选(D)(11) 设函数u(x,J)=p(x+ y)+p(x-y)+y(t)dt，其中函数β具有二阶导数，业具有一阶导数，！则必有a'uauu_au(B)(A)ax?ax"oy?oy2auauauau(C)(D)Oyaxdyaxoy"ax?【【答】应选（B)=0(x+)+p(x-)+y(++)-(x-),【详解】axu=p(x+y)-p'(x-y)+y(x+y)+y(x-y),ayau=p"(x+y)+p"(x-y)+y'(x+y)-y(x-y),ax?a'u=g"(x+y)-p(x-y)+y'(x+ y)+y'(x-y),axaya'u=@"(x+y)+p'(x-y)+y(x+y)-y(x-y),ay?uau可见有应选(B)OyEax?1，则（12）设函数f(x)=ex-l -1x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点(A)(B)x=0,x=1 都是f(x)的第二类间断点x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点(C)(D)x=0 是f(x)的第二类间断点，x=1 是f(x)的第一类间断点【【答】应选（D)【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点

= . 2 2 4 1 2 2 2 σ π π a b a b d a b D + ⋅ ⋅ = + = + ∫∫ 应选(D). （11）设函数 ∫ + − = + + − + x y x y u(x, y) ϕ(x y) ϕ(x y) ψ (t)dt , 其中函数ϕ 具有二阶导 数，ψ 具有一阶导数，则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ . （B） 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ . (C) 2 2 2 y u x y u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . (D) 2 2 2 x u x y u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 (x y) (x y) (x y) (x y) x u = ′ + + ′ − + + − − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， (x y) (x y) (x y) (x y) y u = ′ + − ′ − + + + − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y x u = ′′ + + ′′ − + ′ + − ′ − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y x y u = ′′ + − ′′ − + ′ + + ′ − ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y y u = ′′ + + ′′ − + ′ + − ′ − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， 可见有 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ，应选(B). （12）设函数 , 1 1 ( ) 1 − = x− x e f x 则 (A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. (C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点

且limf(x)=00，所以x=0为第二类间断点；limf(x)=0, limf(x)=-1,所以x=1为第一类间断点，故应选(D)（13）设,,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为αi,α2，则α,，A(α,+α,)线性无关的充分必要条件是(A)±0.(B)0. (C)=0.(D)=0【【答】应选（B)【详解】按特征值特征向量定义，有A(α+α)=Aα,+Aα,=α,+α2α，A(α,+αz)线性无关k,α,+k,A(α,+α,)=0，k,,恒为0(+)α+α=0,,恒为0由于不同特征值的特征向量线性无关，所以α，α,线性无关[ki +k, = 0,于是k,k,恒为0k,=0. 引0=#0.[k,+k2=0,只有零解而齐次方程组k,=0.02所以应选（B），(14)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A,B分别为A,B的伴随矩阵，则(A）交换A的第1列与第2列得B(B）交换A*的第1行与第2行得B*.(C）交换A的第1列与第2列得-B(D交换A*的第1行与第2行得-B*.【【答】应选（C）【详解】为书写方便，不妨考查A为3阶矩阵，因为A做初等行变换得到B，所以用初等矩阵左乘A得到B，按已知有

且 = ∞ → lim ( ) 0 f x x ，所以 x=0 为第二类间断点； 0 lim ( ) 1 = → + f x x ， lim ( ) 1 1 = − → − f x x ， 所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D). （13）设 1 2 λ ,λ 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 α ,α ， 则α1， ( ) A α1 +α 2 线性无关的充分必要条件是 (A) 0 λ1 ≠ . (B) 0 λ2 ≠ . (C) 0 λ1 = . (D) 0 λ2 = . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 按特征值特征向量定义，有 A AA (α1 2 1 2 11 2 2 += + = + α α α λα λα ) . α1， ( ) A α1 +α 2 线性无关⇔ ( ) 0 k1 α1 + k2 A α1 +α 2 = ， 1 2 k k, 恒为 0 ⇔ (kk k 1 12 1 22 2 + λ α λα ) + = 0, 1 2 k k, 恒为 0 由于不同特征值的特征向量线性无关，所以 1 2 α ,α 线性无关. 于是 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 λ λ k k k 1 2 k k, 恒为 0 而齐次方程组 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 λ λ k k k 只有零解⇔ 1 2 2 1 0 0. 0 λ λ λ ≠ ⇒ ≠ 所以应选（B）. （14）设 A 为 n（n ≥ 2）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, * * A , B 分别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B . (B) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B . (C) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * − B . (D) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * − B . 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 为书写方便，不妨考查 A 为 3 阶矩阵，因为 A 做初等行变换得到 B，所 以用初等矩阵左乘 A 得到 B，按已知有

00100A=B001[010]00)于是B-" =000001001B从而01Bl[010-B*又因A=-B,故A.00所以选（C)三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）'(x-t)f(t)dt设函数f(x)连续，且f(O)￥0，求极限linxf f(x-t)dt【详解】 由于 [f(x-t)dt ="["f(u)(-du)=["f(u)du于是 (x-t)f(t)dtxf, f(0)dt - f f(0)dtlir2xf, f(x-t)dtxf" f(u)duI, f()dt[ f(1)dt + x(x)- xf(x)=limJ° f(u)du + xf(x) f(u)du + xf(x)f" f()dt /f(0)1=lim2f(0)+ f(O)f(u)du+ f(x)（16）（本题满分11分）如图，C,和C,分别是y==(1+e)和y=e*的图象，过点(0,1)的曲线C,是一单

010 100 . 001 A B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 于是 1 11 1 010 010 1 0 0 1 0 0. 001 001 BA A − −− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ 从而 * * 010 100 001 B A B A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 又因 * *. 010 , 100 001 A BA B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =− =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 故 所以选（C） 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.） （15）（本题满分 11 分） 设函数 f(x)连续，且 f (0) ≠ 0，求极限 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 ∫ ∫ − − → x x x x f x t dt x t f t dt 【详解】 由于∫ ∫ ∫ − = − = − = 0 0 0 ( ) ( )( ) ( ) x x x x t u f x t dt f u du f u du , 于是 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − − → → x x x x x x x x f u du x f t dt tf t dt x f x t dt x t f t dt 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim = ∫ ∫ + + − → x x x f u du xf x f t dt xf x xf x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim = ∫ ∫ + → x x x f u du xf x f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim = ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 f x x f u du x f t dt x x x + ∫ ∫ → = . 2 1 (0) (0) (0) = f + f f （16）（本题满分 11 分） 如图，C1和C2 分别是 (1 ) 2 1 x y = + e 和 x y = e 的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单

调增函数的图象.过C,上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线1和l，：记Ci,C,与l,所围图形的面积为S,(x)；C2,C,与l,所围图形的面积为S,(y).如果总有S,(x)=S,(y)，求曲线C,的方程x=p(y)【详解】(1）先求S(x)与S,(y)的表达式由定积分的几何意义知(1+e')]dt =-(er -x-1)S,(x) =[[e' --S2(y) = f' (Int - p(0)dt ,(2）由题设，S(x)=S,(y)(e*-x-1)=I'(n1-0(0)d,即2其中y=e，于是-lny-1)=(nt-0(0)d（3）解方程①：在①中令y=1，等式自然成立I(1-1))=lny-(y);两边对①求导得2y故所求的函数关系为：x=0()=lny-岁-!2ytyCsC2M(x,y)C（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1,与l,分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分(x2+x)"(x)dx【详解】按题意，直接可知

调增函数的图象. 过C2 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 x l 和 y l . 记 1 2 C ,C 与 x l 所围图形的面积为 ( ) 1 S x ； 2 3 C ,C 与 y l 所围图形的面积为 ( ). 2 S y 如果总有 ( ) ( ) 1 2 S x = S y ，求曲线C3的方程 x = ϕ( y). 【详解】 （1）先求 1 S x( )与 2 S y( )的表达式. 由定积分的几何意义知 ∫ = − + = − − x t t x S x e e dt e x 0 1 ( 1) 2 1 (1 )] 2 1 ( ) [ ， ∫ = − y S y t t dt 1 2 ( ) (ln ϕ( )) ， （2）由题设， 1 S x( )＝ 2 S y( ) 即 ∫ − − = − y x e x t t dt 1 ( 1) (ln ( )) 2 1 ϕ ， 其中 x y = e ，于是 ∫ − − = − y y y t t dt 1 ( ln 1) (ln ( )) 2 1 ϕ （3）解方程①: 在①中令 y = 1，等式自然成立. 两边对①求导得 ) ln ( ) 1 (1 2 1 y y y − = −ϕ ， 故所求的函数关系为： . 2 1 ( ) ln y y x y y − = ϕ = − （17）（本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 1l 与 2l 分别是曲 线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计 算定积分 ∫ + ′′′ 3 0 2 (x x) f (x)dx. 【详解】 按题意，直接可知

f(0)=0,f(3)=2,f"(3)=0.（拐点必要条件）.从图中可求出y=f(x)在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为y=2x,y=-2x+8于是f(0)=2,f(3)=-2现在分部积分法计算积分值：原式-J.(x2 +x)ar (x)=(x2 +x) (x)l -f.(2x+1) (x)dx-f.(2x+1)f (x) = -(2x +1) F (x)l +2f f (n)=-7 f (3)+f (0)+2f(x)。= -7 (-2)+ 2 + 2 (2 0)=20er20122（18）（本题满分12分）用变量代换x=cost(0<t<元）化简微分方程（1-x2）y"-xy'+y=0，并求其满。=2的特解【详解】建立v对t的导数与y对x的导数之间的关系dydt1 dydt dxsint dtdydtdycost dy1J=dt dx'sin't dtsint dtsintd'y代入原方程，得+y=0dt?

f (0) 0, = f f (3) 2, (3) 0. = = ′′ （拐点必要条件）.从图中可求出 y fx = ( ) 在点(0,0)与 (3,2)处的切线分别为 y xy x = 2, 2 8 =− + 于是 f ′(0) = 2， f ′(3) 2 = − 现在分部积分法计算积分值： 原式 ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () () () () () () ( ) 3 3 3 2 '' 2 '' '' 0 0 0 3 3 3 ' '' 0 0 0 3 ' ' 0 2 1 21 21 2 7 3 02 7 2 2220 20 | | | x x df x x x f x x f x dx x df x x f x f x f f fx = + =+ − + =− + =− + + =− ⋅ + + =− ⋅ − + + ⋅ − = ∫ ∫ ∫ ∫ （18）（本题满分 12 分） 用变量代换 x = cost(0 < t < π ) 化简微分方程(1 ) 0 2 − x y′′ − xy′ + y = ，并求其满 足 1, 2 0 0 = ′ = x= x= y y 的特解. 【详解】 建立 y 对 t 的导数与 y 对 x 的导数之间的关系. dt dy dx t dt dt dy y sin 1 ′ = ⋅ = − ， ) sin 1 ] ( sin 1 sin cos [ 2 2 2 dt t d y dt t dy t t dx dt dt dy y ⋅ = − ⋅ − ′ ′′ = ， 代入原方程，得 0 2 2 + y = dt d y

解此微分方程，得y=C, cost+C, sinty=Cx+C,V1-x?回到x为自变量得将初始条件。=1,。=2代入，有C,=2,C,=1故满足条件的特解为y=2x+V1-x2（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：(I)存在(0,1)，使得f()=1-;(II）存在两个不同的点n,(0,1)，使得f(n)f()=1【详解】（I）即证F(x)=f(x)-1+x，则F(x)在[0，1]上连续且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在(0,1)，使得F()=0即 f(5)=1-5(II)在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点ne(0,5),be(5,I),1(n)=- (-(), 1(5)=-()使得5-01-5于是(n)(5)= (). 1-T(2)1-51-5.5=151-5（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y）的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域D=(,)+兰≤1)上的最大值和最小值4【详解】(1)先求f(x,y)由dz=dx2-dy=d(x2-y)=z=x-y2+c

解此微分方程，得 1 2 yC tC t = + cos sin 回到 x 为自变量得 2 1 2 y Cx C x =+ −1 将初始条件 1, 2 0 0 = ′ = x= x= y y 代入，有 2, 1 C1 = C2 = . 故满足条件的特解为 2 1 . 2 y = x + − x （19）（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在ξ ∈ (0,1), 使得 f (ξ ) = 1− ξ ； （II）存在两个不同的点η,ζ ∈ (0,1) ，使得 f ′(η) f ′(ζ ) = 1. 【详解】 （I） 即证 F(x) = f (x) −1+ x ，则 F(x)在[0，1]上连续， 且 F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在ξ ∈ (0,1), 使得 F(ξ ) = 0， 即 f (ξ ) = 1−ξ . （II） 在[0,ξ ]和[ξ,1]上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理， 知存在两个不同的点 η ∈ (0,ξ ),ζ ∈ (ξ,1) ， 使得 0 ( ) (0) ( ) − − ′ = ξ ξ η f f f ， ξ ξ ζ − − ′ = 1 (1) ( ) ( ) f f f 于是 ()1 () () () 1 1 1. 1 f f f f ξ ξ η ζ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − ′ ′ = ⋅ − − =⋅= − （20）（本题满分 10 分） 已知函数 z=f(x,y) 的全微分dz = 2xdx − 2ydy ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆 域 1} 4 {( , ) 2 2 = + ≤ y D x y x 上的最大值和最小值. .【详解】 （1）先求 f (x , y). 由 ( ) 2 2 22 22 dz dx dy d x y z x y c = − = − ⇒= − + ;