全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2000数学四

2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析、填空题arcsinx(1)Jyx【答】2/xarcsinx+2/1-x+C1【详解】令t=√x，则dt=dx,dx=2tdt故2Vxarcsinxarctan tdtdxVx= 2(arctan tot + 1-f)+C=2/x arcsin Vx+2/1-x+C(2)若a>0,b>0均为带数，则lim("+包)2-03【答】 (ab)弓,α*+b*~22a+br3a'+b*α*+b-2lim(= lim(1+X1【详解1】22x->0x→0limg+b*-2lma/na+6*/mb-21=e2x-0x=e2x-0nlinab=(ab)=e22mg'+ha"+b3lim(2.x=limexr【详解2】2x->0x->0a*Ina+b’Inblim 31(a*+6*)-31n23lima'+brx→0=ex-0=eInab=(ab)2=e

2000 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1） = ∫ dx x arcsin x _. 【答】 2 x arcsin x + 2 1− x + C 【详解】令t = x .，则 dx dx tdt x dt , 2 2 1 = = 故 arcsin 2 arctan x dx tdt x = ∫ ∫ 2 = +− + 2(arctan 1 ) tt t C i = + −+ 2 arcsin 2 1 x x xC （2）若a > 0,b > 0均为常数，则 x x x x a b 3 0 ) 2 lim( + → =_. 【答】 2 3 (ab) 【详解 1】 3 2 2 2 0 0 2 lim( ) lim(1 ) 2 2 x x x x xx xx a b x ab x x x ab ab + − + − → → + +− = + i 0 0 3 2 3 ln ln 2 lim lim 2 2 1 x x x x x x a b a ab b x e e → → + − + − = = 3 3 ln 2 2 ( ) ab = = e ab 【详解 2】 3 3ln 2 0 0 lim( ) lim 2 x x x x a b x x x x a b e + → → + = 0 0 3ln( ) 3ln 2 ln ln lim 3 lim x x x x x x x x a b a ab b x ab e e → → + − + + = = 3 3 ln 2 2 ( ) ab = = e ab

(3).设α=(,0,-1)"，矩阵A=aa，n为正整数，则aE-A"=【答】α?(a-2")10-1因为A=αα：000【详解1】aa=2-1 01故有A"=αααα..aαα=α(α"α)"-lα =2"-l A故有aE-A"=E-2"-"Aα- 2n-12n-000a=α'(a-2")21-10a-2n【详解2】因为A满足：A?=2A，因此A的三个特征值为=，=0,，=2（三根之和等于A的对角线上三个因素之和），从而aE-A"的三个特征值为：a-”，即a,a,a-2”，故有aE-A=a-a(a-2")=a(a-2").（4）已知四阶矩阵A相似于B；A的特征值2、3、4、5.E为四阶单位矩阵，则B-E|=【答】24【详解】因为A相似于B，所以B得四个特征值为2，3，4，5.从而矩阵B-E的特征值为入，-1，即1，2，3，4.故行列式B-E=1X2×3×4=24[1若x>0若X=0,（5）假设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量Y=0若x<0-1则方差DY=8【答】19【详解】因为X在区间[-1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为

(3) .设 T a = (1,0,−1) ，矩阵 T A = aa ，n 为正整数，则 _ n aE A− = . 【答】 ( 2 ) 2 n a a − 【详解 1】 因为 10 1 0 0 0, 2 10 1 T T ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − A αα αα ， 故有 n TT T A =⋅⋅ αα αα αα " 1 1 () 2, Tn T n − − = = ααα α A 故有 1 2 n n a a − E −=− AE A 1 1 2 1 1 2 02 0 0 ( 2) 2 02 n n n n n a a aa a − − − − − = =− − 【详解 2】因为 A 满足： 2 A = 2A ， 因此 A 的三个特征值为λ1 = λ2 = 0,λ3 = 2 （三根之和等于 A 的对角线上三个因素之 和 ）， 从 而 n aE − A 的三个特征值为： n a − λi ， 即 n a,a,a − 2 ，故有 2 ( 2 ) ( 2 ). n nn a aa a a a E A− =⋅⋅ − = − （4）已知四阶矩阵 A 相似于 B ； A 的特征值 2、3、4、5.E 为四阶单位矩阵，则 B-E =_. 【答】 24 【详解】 因为 A 相似于 B ，所以 B 得四个特征值为 2，3，4，5.从而矩阵 B - E 的特 征值为λi −1，即 1，2，3，4.故行列式 B-E =1×2×3×4＝24 （5）假设随机变量 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，随机变量 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 1 0 0 X 0 1 0 x x Y 若 若 若 ， 则方差 DY =_. 【答】 9 8 【详解】因为 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为

[1-1≤x≤23f(x) =[o其他于是P(Y=-I)= P(X 0)-23因此E(M)=-1×I+0x0+1x-=I3-33E()=(-1)×+0~ ×0+1×=13318故 D(Y)= E(2)-[E(Y)} =1-９99二、选择题(1)设对任意的x，总有 p(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)-p(x))=0，则lim f(x)(A）存在且一定等于零(B)存在但不一定为零(C）一定不存在(D)不一定存在【答】[D]【详解】若令p(x)=1-e-l,g(x)=1+e-l,f(x)=1 ，则有p(x)≤ f(x)≤g(x),且 lim[g(x)- p(x)]= 0, lim f(x)=1可排除（A）（C）两个选项又如p(x)=e -e-l,g(x)=e-l +e*,f(x)=e显然p(x),g(x),(x)满足题设条件，但limf(x)不存在。因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项(2）设函数f(x)在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处不可导的充分条件是f(a)=0且f(a)±0(A) f(a)=0且f (a)=0(B)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ = 0 其他 1 2 3 1 ( ) x f x 于是 { } 3 1 P{Y = -1} = P X 0 = 因此 3 1 3 2 0 0 1 3 1 E(Y) = −1× + × + × = 1 3 2 0 0 1 3 1 ( ) ( 1) 2 2 2 2 E Y = − × + × + × = 故 9 8 9 1 ( ) ( ) [ ( )] 1 2 2 D Y = E Y − E Y = − = 二、选择题 （1）设对任意的 x ，总有ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0 →∞ g x x x ϕ ，则 lim f (x) x→∞ (A) 存在且一定等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 【答】 [ D] 【详解】 若令 ( ) = 1− , ( ) = 1+ , ( ) = 1 − − x e g x e f x x x ϕ ，则有 ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0, →∞ g x x x ϕ lim ( ) = 1 →∞ f x x 可排除（A）（C）两个选项. 又如 x x x x x x = e − e g x = e + e f x = e − − ϕ( ) , ( ) , ( ) 显然ϕ(x), g(x), f (x)满足题设条件，但 lim f (x) x→∞ 不存在。 因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项. （2）设函数 f ( ) x 在点 x = a 处可导，则函数 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件是 (A) ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a = （B） ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a ≠

(C)f(a)>0且f(a)>0(D)f(a)0，()>0，但f(x)=x2在点x=1处可导，排除（C)同样，f(x)=-x2在点x=1处，f(I)<0，f(1)<0,但f(x)=x2,在点x=1处可导,排除(D)剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即f(a)=0且f(α)±0时,有f(x)-f(a))[f(x)]limlim-f'(a)l,x-→ax-ax-[f(x)]-1(a)[f(x)]limlim=-F (a)1ax-a可见当f(a)±0时，f(x)在点x=α处的左、右导数不相等,因此导数不存在故f(a)=0且f(a)±0是f(x)在点x=α处不可导的充分条件（3）设aaz,a,是四元非齐次线形方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3,a,=(1,2,3,4),az+a,=(0,1,2,3),c表示任意常数，则线形方程组AX=b得通解X10221(A)(B)334-4134(C)(D)513(4)(546【答】[C]

(C) ( ) 0 ( ) 0 ' f a > 且f a > (D) ( ) 0 ( ) 0 ' f a 0 ， (1) 0 ' f > ，但 2 f (x) = x 在点 x = 1处可导， 排除（C）； 同样， 2 f (x) = −x 在点 x = 1处， f (1) < 0 ， (1) 0 ' f < ,但 2 f (x) = x ,在点 x =1 处可导,排除(D). 剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 时,有 () () ( ) lim lim '( ) , xa xa fx fa f x f a xa xa → → − − − =− =− − − () () ( ) lim lim '( ) . x a x a fx fa f x f a xa xa → + → + − =− =− − − 可见当 f a'( ) 0 ≠ 时, f (x) 在点 x = a 处的左、右导数不相等,因此导数不存在. 故 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 是 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件. （3）设 123 aa a , , 是四元非齐次线形方程组 AX=b 的三个解向量，且秩 (A)=3, 1 (1,2,3,4)T a = , 2 3 (0,1,2,3)T a a + = ,c 表示任意常数，则线形方程组 AX = b 得通解 X = (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 4 3 2 1 c (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 0 4 3 2 1 c (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 4 3 2 4 3 2 1 c (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 5 4 3 4 3 2 1 c 【答】 [C]

【详解】、由题设，r（A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系又根据解的性质知2a -(a, +a,)=(a -a,)+(a -a,)=(2,3,4,5) = 0为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组Ax=b的通解为2R1323x=a+c4345（4）5故正确选项为(C)（4）设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是(A)A与BC独立(B)AB与AUC独立(C)AB与AC独立(D)AUB与AUC独立【答】(A)【详解】在A、B、C两两独立的前提下，A、B、C相互独立的充要条件是(A).因为若A与BC独立,则P(ABC)= P(A)P(BC)= P(A)P(B)P(C),所以A、B、C相互独立.反过来若A、B、C相互独立,则有P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= P(A)P(BC),说明(A)成立，而其余选项均无法推出以上结论（5）在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t。，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”设To)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件(A) (Ta) ≥tol (B) (T(2) ≥to).(C) (T(3) ≥to) (D) (T(4) ≥to) -

【详解】. 由题设,r (A)=3, 可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的 个数为 4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系. 又根据解的性质知 1 23 12 13 2 ( ) ( ) ( ) (2,3,4,5) 0 T a a a aa aa −+ =−+− = = 为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组 Ax b = 的通解为 1 21 2 32 3 . 43 4 54 5 xa c c ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 故正确选项为(C) （4）设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是 (A) A 与 BC 独立 (B) AB 与 A∪ C 独立 (C) AB 与 AC 独立 (D) A∪ B 与 A∪ C 独立 【答】 (A) 【详解】 在 A、B、C 两两独立的前提下, A、B、C 相互独立的充要条件是(A).因为 若 A 与 BC 独立,则 P ABC P A P BC P A P B P C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = = 所以 A、B、C 相互独立.反过来.若 A、B、C 相互独立,则有 P ABC P A P B P C P A P BC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = = 说明(A)成立,而其余选项均无法推出以上结论. （5）在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度 0t ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”， 设T(1) ≤ T(2) ≤ T(3) ≤ T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等 于事件 (A) { } (1) 0 T ≥ t . (B) { } (2) 0 T ≥ t . (C) { } (3) 0 T ≥ t . (D) { } (4) 0 T ≥ t

【答】 (C)【详解】，“电炉断电”这一事件E发生，意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大于或等于t,即若将4个温控器上的值Ta,T(2),T(3),T(4)从小到大排列的话,排在第3的温度值一定大于或等于t。,即有(T(3)≥to),故正确为(C).三、（本题满分6分）已知z=u,u=ln/x?+y2,v=arctan兰,求dzxOzOzOu+OzOv【详解】因为OxOuOxOvox= (vu"-l)+(u"Inu)+1YuXV-ylnu)x? + y?uOz_ Oz Ou9z OvQyQu yOvdyy1-= (vu"-I+(uInux? + y?u"Vxlnu)x+yuu"uXVyv- x ln u)dy.故有dzylnu)dx+x+yx?+yuu四、（本题满分6分）dx计算Iel+* +e-xdxdx【详解】【 limel+* + e3-- =a Ji e(e' +e?.e-)derlim=limarctan ere(e?+e2x)b→+00e20

【答】(C) 【详解】. “电炉断电”这一事件 E 发生,意味着四个温控器至少有两个显示的温度值 大于或等于 0t ,即若将 4 个温控器上的值 (1) (2) (3) (4) TTTT , 从小到大排列的话,排在第 3 的 温度值一定大于或等于 0t ,即有{ } (3) 0 T ≥ t ,故正确为(C). 三 、（本题满分 6 分） 已知 x y z u u x y v v , ln , arctan 2 2 = = + = ，求 dz 【详解】 因为 z zu zv x ux vx ∂ ∂∂ ∂∂ = + ∂ ∂∂ ∂∂ i i 1 22 2 2 1 ( ) ( ln ) ( ) 1 v v x y vu u u x y x y x − =+ − + ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ii 2 2 ( ln ). v u xv y u x yu = − + z zu zv y uy vy ∂ ∂∂ ∂∂ = + ∂ ∂∂ ∂∂ i i 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ln ) 1 v v y vu u u x y x y x − = + + ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ii 2 2 ( ln ). v u yv x u x yu = − + 故有 22 22 ( ln ) ( ln ) . v v u xv u yv dz y u dx x u dy x yu x yu = −+ − + + 四 、（本题满分 6 分） 计算 1 3 1 . x x dx I e e +∞ + − = + ∫ 【详解】 13 2 1 1 lim ( ) b xx x x b dx dx I e e ee e e +∞ +− − →+∞ = = + + ∫ ∫ i 1 22 2 1 1 1 lim lim arctan ( ) x b b x x b b de e ee e e − →+∞ →+∞ = = + ∫

元三元=e~(.e-2244五、（本题满分8分）假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是P=18-29，P3=12-2Q2，其中Pl,P2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/顿），O和Q，分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=01+Q2(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上改产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小。【详解】（1）根据题意,总利润函数为L=R-C=PQ+P2Q,-(2Q+5)=-29-Q +16Q, +102-5JLo, = -49, +16 = 0[Lo, = -2Q, +10= 0解得9=4,Q,=5,对应P=10(万元/吨),P2=7（万元/吨）因驻点（4,5）唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，相应最大利润为L=-2×4-52+16×4+10×5-5=52（万元）(2）若实际价格无差别策略,则P=P2，于是有约束条件29 -Q, = 6.构造拉格朗日函数F(91,Q2,2)=-2Q-Q +16Q +1002-5+(2Q-Q2-6)

2 2 () . 24 4 e e − − = −= π π π 五 、（本题满分 8 分） 假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是 1 1 p = 18 − 2Q ， p3 = 12 − 2Q2 ，其中 1 2 p , p 分别表示该产品在两个市场的价格（单位： 万元/顿），Q1和Q2分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企 业生产这种产品的总成本函数是C = 2Q + 5 ，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量， 即Q = Q1 + Q2 （1） 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使 该企业获得最大利润； （2） 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上改产品的销售量及其统 一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小。 【详解】 (1) 根据题意,总利润函数为 11 2 2 L R C pQ pQ Q =−= + − + (2 5) 2 2 12 1 2 =− − + + − 2 16 10 5. QQ Q Q 令 1 2 ' 1 ' 2 4 16 0 , 2 10 0 Q Q L Q L Q ⎧ =− + = ⎪ ⎨ ⎪ =− + = ⎩ 解得 1 2 Q Q = = 4, 5,对应 1 p =10(万元/吨), 2 p = 7 (万元/吨). 因驻点(4,5) 唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到,相应 最大利润为 2 2 L =− × − + × + × − = 2 4 5 16 4 10 5 5 52 (万元). (2) 若实际价格无差别策略,则 1 2 p = p ,于是有约束条件 1 2 2 6. Q Q− = 构造拉格朗日函数 2 2 12 1 2 1 2 1 2 FQ Q Q Q Q Q Q Q ( , , ) 2 16 10 5 (2 6). λ λ =− − + + − + − −

[Fg, =-40 +16+2 =0Fo=-2Q,+10-元=0[Fo, =20,-Q, -6=0解得9=5,Q,=4,元=2,对应p,=P2=8最大利润L=-2×52-42+16×5+10×4-5=49（万元）由上述结构可知，企业实行差别定价，所得利润总要大于统一价格的利润六、（本题满分7分）aran求函数y=(x-1)e2的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线【详解】x?+xireta因为y=P1+x2令y=0,得驻点x=0,x=-1列表讨论如下：x-10(-8,-1)(-1, 0)(0, +o0)+00+yty极大值极小值个↓个由此可见,递增区间为(-80,-1),(0,+);递减区间为(-1,0)极小值为f(0)=-e;极大值为f(-1)=-2e号f(x)= e",b = lim[f(x)-ax]= -2e",又因为α=limX() =1,b, = lim[(x)-a,x) = -2,a, = lim故所求渐近线为y=a,x+b,=e"(x-2),以及y=a,x+b,=x-2七、（本题满分6分）

令 1 2 3 ' 1 ' 2 ' 1 2 4 16 2 0 2 10 0 2 60 Q Q Q F Q F Q F QQ ⎧ =− + + = ⎪⎪ ⎨ =− + − = ⎪ ⎪ = − −= ⎩ λ λ 解得 1 2 Q Q = == 5, 4, 2, λ 对应 1 2 p p = = 8. 最大利润 2 2 L =− × − + × + × − = 2 5 4 16 5 10 4 5 49 (万元). 由上述结构可知,企业实行差别定价,所得利润总要大于统一价格的利润. 六、（本题满分 7 分） 求函数 x y x e arctan 2 ( 1) + = − π 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线. 【详解】 因为 2 arctan 2 2 ' ; 1 x x x y e x + + = + π 令 y ' 0, = 得驻点 1 2 x x = =− 0, 1. 列表讨论如下: x ( , 1) −∞ − −1 ( 1,0) − 0 (0, ) +∞ y ' + 0 − 0 + y ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 由此可见,递增区间为( , 1),(0, ); −∞ − +∞ 递减区间为( 1,0) − . 极小值为 2 f (0) ; = −e π 极大值为 4 f ( 1) 2 . − =− e π 又因为 1 11 ( ) lim , lim[ ( ) ] 2 , x x f x a e b f x ax e →∞ →∞ x = = = − =− π π 2 22 ( ) lim 1, lim [ ( ) ] 2, x x f x a b f x ax →−∞ →−∞ x = = = − =− 故所求渐近线为 1 1 y ax b e x = += − ( 2), π 以及 2 2 y ax b x = + =− 2. 七、（本题满分 6 分）

xy若l<x≤2,0≤y≤x设f(x,y)其他0求[lf(x,y)dxdy,其中D=((x,y)x? +y? ≥2x)yY=x(2,2)oi112【详解】如图所示，记D,=(x,y)/1≤x≤2, /2x-x ≤y≤x),则有 [ f(x, )dxdy=JJ x ydxdyDo=xdx2.2x-='(r*-)dx= 4920八、（本题满分6分）设函数f(x)在[0,元]上连续，且f(x)dx=0，f(x)cosxdx=0试证明：在(0,元）内存在两个不同的点51,52，使f(5)=f(52)=0【详解】 令F(x)= f(t)dt,则有 F(0)=F(元)=0.又因为0 = J f(x)cos xdx= J° cos xdF(x)= F(x)cos xl +J° F(x)sin xdx= J" F(x)sin xdx.令 G(x)= [" F(t) sin tdt,则 G(0) = G(π)= 0

设 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = 其他 若 0 1 2,0 ( , ) 2 x y x y x f x y 求 f x y dxdy D ∫∫ ( , ) ，其中 {( , ) 2 } 2 2 D = x y x + y ≥ x 【详解】 如图所示,记 2 1 D xy x x x y x = ≤≤ − ≤≤ {( , ) |1 2, 2 }, 则有 2 (, ) D D f x y dxdy x ydxdy = ∫∫ ∫∫ 2 2 2 2 1 2 2 x x x y x dx − = ∫ i 2 4 3 1 49 () . 20 =−= x x dx ∫ 八、（本题满分 6 分） 设函数 f (x) 在[0,π ]上连续，且 ( ) 0 0 = ∫ π f x dx ， ( ) cos 0 0 = ∫ π f x xdx 试证明：在(0,π ) 内存在两个不同的点 1 2 ξ ,ξ ，使 ( ) ( ) 0 f ξ 1 = f ξ 2 = 【详解】 令 0 F( ) () , x f t dt = ∫ π 则有 F F (0) ( ) 0. = π = 又因为 0 0 0 ( )cos cos ( ) = = f x xdx xdF x ∫ ∫ π π 0 0 = + F( )cos ( )sin x x F x xdx ∫ π π 0 = F( )sin . x xdx ∫ π 令 0 G x F t tdt ( ) ( )sin , = ∫ π 则G G (0) ( ) 0, = π =

于是由罗尔定理存在E（0,元）,使G()=F()sin=0.因为当E（0,元）,sin±0,所以有F（）=0.这样就证明了F(0)= F()= F(元)= 0再对F(x)在区间[0,5],[5,元]上分别用罗尔中值定理知，至少存在5t e(0,3),52 e(5,元)使 F(5)=F(5)=0,即f(5)=f(52)=0九、（本题满分8分）设向量组α,=(a,0,10)，α,=(-2,1,5)，α,=(-1,1,4)"，β=(1,b,c)"，试问：当a,b,c满足什么条件时，（1）β可由α,α2,α,线性表出，且表示唯一？（2）β不可由α,αz,α,线性表出？（3）β可由αi,αz,α,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。【详解1】设有一组数X,x2,，使得Xa+xa, +xa=β,ax, -2x -x, =1即2x++=b10x,+5x,+4x,=c该方程组的系数行列式2-1a-21[A| = 2 =-a-4[1054(1）当α≠-4时,行列式A+0,方程组有唯一解，β可由α,αz,α,线性表出

于是由罗尔定理存在ξ ∈(0, ), π 使 G F '( ) ( )sin 0. ξ = = ξ ξ 因为当ξ ∈ ≠ (0, ),sin 0, π ξ 所以有 F() 0 ξ = .这样就证明了 FFF (0) ( ) ( ) 0. = ξ = = π 再 对 F x( ) 在区间 [0, ],[ , ] ξ ξ π 上分别用罗尔中值定理知 , 至少存在 ξ1 2 ∈ ∈ () ( ) 0, , , . ξ ξ ξπ 使 1 2 F F '( ) '( ) 0, ξ = ξ = . 即 1 2 f f () () 0 ξ = ξ = 九、（本题满分 8 分） 设向量组 1 ( ,0,10)T α = a ， 2 ( 2,1,5)T α = − ， 3 ( 1,1,4)T α = − ， (1, , )T β = b c ，试问： 当 a,b,c 满足什么条件时， （1） β 可由 123 α , , α α 线性表出，且表示唯一？ （2） β 不可由 123 α , , α α 线性表出？ （3） β 可由 123 α , , α α 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。 【详解 1】 设有一组数 123 x , , x x ,使得 11 2 2 33 xx x α + α αβ + = , 即 1 23 123 12 3 2 1 2 10 5 4 ax x x xxx b x x xc ⎧ − −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ ++= 该方程组的系数行列式 2 1 2 1 1 4. 10 5 4 a A a − − = =− − (1) 当 a ≠ −4 时,行列式 A ≠ 0,方程组有唯一解, β 可由 123 α , , α α 线性表出