全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2001数学一

2001年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题(I)设y=e（c,sinx+C,cosx）（c,C,为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同解，则该方程为【答】y-2y+2y=0【详解】方法一看出所给解对应的特征根为4,2=1i，从而特征方程为(a-(1+i)(-(1-i))=2-2+2=0,于是所求方程为y-2y+2y=0方法二将已知解代入y+by+cy=0，得e'sinx-(b(c-c)+cc,-2c,)+e*cosx-(b(c,+c,)+c,+2c.).由于e*sinx与e'cosx线性无关，故b(c-c)+cc,=2c,b(c+c)+cc,=-2cj，解得b=-2,c=2显然解法2较解法1麻烦.方法三、由通解y=e(c,sinx+c,cosx)，求得y' =e* (c -c,)sinx+(c +c2)cosx)y' = e*(-2c, sin x+ 2c, cosx)从这三个式子消去c与C，得y-2y+2y=0(2)设r= /x+y2 +2,则 div(gradr)la-2)=2【答】3【详解】根据定义有ar.arOgradraxOyOa)a2r2div(gradr)rraxayOz2_2于是div(gradr)(1,-2,2)/12 +(-2) +2223(3)交换二次积分的积分次序：~dyj,"(x,y)dax=

2001 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1)设 ( ) 1 2 sin cos x y ec xc x = + （ 1 2 c c, 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同 解，则该方程为 . 【答】 '' ' yyy − += 2 20 . 【详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为 1,2 λ =1± i ，从而特征方程为( ) λ − + ( ) 1 , i ( ) ( ) 2 λ λλ − − = − += 1 2 2 0, i 于是所求方程为 '' ' yyy − 220 + = . 方法二 将已知解代入 '' ' y by cy + += 0，得 sin 2 cos 2 ( ) ( ) 12 1 2 12 2 1 ( ( ) ) x x e x b c c cc c e x b c c cc c ⋅ −+− + ⋅ +++ .由于 sin x e x 与 cos x e x 线性无关，故b c c cc c b c c cc c ( ) 12 1 2 12 2 1 − + = + + =− 2, 2 ( ) ，解得b c = − = 2, 2 显然解法 2 较解法 1 麻烦. 方法三、由通解 ( ) 1 2 sin cos x y ec xc x = + ，求得 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 12 12 '' 2 1 sin cos 2 sin 2 cos x x ye cc x cc x ye c xc x = − ++ =− + 从这三个式子消去 1 c 与 2 c ，得 '' ' yyy − += 220 （2）设 2 22 r xyz = ++ , 则 ( ) ( ) 1, 2,2 div gradr | − = . 【答】 2 . 3 【详解】 根据定义有 ( ) 22 2 2 22 2 3 3 33 2 2 r r r xy z gradr i j k i j k x y z rr r xyz rrr rxry rz r div gradr x y z r r r rr ∂∂ ∂ = + + =+ + ∂∂ ∂ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ −−− = + + = + + == ∂∂∂ 于是 ( ) ( ) ( ) 1, 2,2 2 2 2 2 2 3 1 22 div gradr | − = = +− + (3)交换二次积分的积分次序： ( ) 0 1 1 2 , y dy f x y dx − − = ∫ ∫

【答】 "dxf" (x,y)dy【详解】因为~dyf,"f (x,y)dx =- dyff(x, y)dx,积分区域为D=((x,y)I-1≤y≤0,1-y≤x≤2)又可将D改写为D=(r,y)[1≤x≤2,1-x≤y≤2),于是有 dyf'"(x, y)dx=-, dy (x,y)dx=-f' dx" (x,y)=I' dxff(x, y)dy(4)设矩阵A满足A?+A-4E=O,其中E为单位矩阵，则（A-E)=(A+2E)【答】【答】由题设，A+A-4E=O有 A+A-2E=2E,(A-E)(A+2E)=2E,也即(A-E):(A+2E)=E(A+2E)故(A-E)(5）设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P(X-E(X)≥2)≤1【答】2【详解】根据切比雪夫不等式有P(x-E(X)≥2)≤D()=1222二、选择题（1）设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示，则导函数y=f（x)的图形为

【答】 ( ) 2 1 1 0 , x dx f x y dy − ∫ ∫ . 【详解】 因为 () () 01 02 12 11 , , y y dy f x y dx dy f x y dx − − −− = − ∫∫ ∫∫ 积分区域为 D xy y y x = −≤ ≤ − ≤ ≤ {( ) , | 1 0,1 2 , } 又可将 D 改写为 D xy x x y = ≤≤ −≤ ≤ {( ) , |1 2,1 2 , } 于是有 () () () ( ) 0 1 0 2 20 12 11 1 2 1 1 0 , , , y y x x dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy − − −− − − =− =− = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ (4)设矩阵 A 满足 2 A A EO + − = 4 ,其中 E 为单位矩阵，则( ) 1 A E − − ＝ . 【答】 ( ) 1 2 2 A+ E . 【答】 由题设， 2 A + A EO − = 4 ， 有 2 AAE E +− = 2 2 ， ( )( ) A− += EA E E 2 2, 也即 ( ) ( ) 1 2 , 2 A−⋅ + = E AEE 故 ( ) 1 A E − − ＝ ( ) 1 2 2 A+ E （5）设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X EX { − ( ) ≥ ≤ 2} . 【答】 1 2 . 【详解】 根据切比雪夫不等式有 { } ( ) ( ) 2 1 2 2 2 D X P X EX − ≥≤ = 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 在定义域内可导， y fx = ( ) 的图形如右图所示，则导函数 ( ) ' y fx = 的图 形为

(B)(A)[【答】应选（D）【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y=f(x)是严格单调增加的，因此当x0对应y=(x)图形必在x轴的上方，由此可排除（A)，（C)；又y=f(x)的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数y=f(μ)图形在y轴一定有两个零点，进一步可排除（B）故正确答案为（D）(2）设函数f(x,J)在点(0,0)附近有定义，且(0,0)=3,F,(0,0)=1，则(A) del0o0 3dx + dy.(B）曲面z=F(x,J)在点(0,0,F(0,0))的法向量为(3,1,1)我[= (x,)在点(0,0. (0,0)的切向量为(1,0,3)(C）曲线y=0(D）曲线=()在点(0.0,(0,0)的切向量为[301)y=O【】【答】应选（C)【详解】题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A)；至于（B），（C）(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令F(x,y,=)=z-f(x,y),则有

【 】 【答】应选（D） 【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y fx = ( ) 是严格单调增加的，因此当 x 0对应 ( ) ' y fx = 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）； 又 y fx = ( ) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 ( ) ' y fx = 图 形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）. 故正确答案为（D）. （2）设函数 f ( ) x y, 在点( ) 0,0 附近有定义，且 ( ) ( ) ' ' 0,0 3, 0,0 1 x y f f = = ，则 （A） ( ) 0,0 3 . dz dx dy | = + （B）曲面 z f xy = ( ) , 在点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的法向量为{3,1,1} （C）曲线 ( ) , 0 z f xy y ⎧ = ⎨ ⎩ = 在点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的切向量为{1,0,3} （D）曲线 ( ) , 0 z f xy y ⎧ = ⎨ ⎩ = 在点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的切向量为{3,0,1} 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）； 至于（B），（C）,(D)则需要通过具体的计算才能进行区分， 令 F ( ) xyz z f xy , , = − ( ) ，则有

F=-f",F',=-f,,F'=1因此过点(0,0,F(0,0))的法向量为±-3,-1,1)，可排除（B)：x=xJ==(x,)可表示为参数形式：曲线点J=0，其中点(0,0,F(0,0)的切向量为y=0[z= f(x,0)±(1,0, F (0,0)) =±(1,0,3)故正确选项为（C）(3）设(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为(A)lim(1-cosh)存在）存在(B) 1im>0h[(2h)-f(h)]存在(C) limlim京(h-sinh)存在.(D)lim【【答】应选（B）因为【详解】f(x)lim-1In(1x)h-0h(1-e"）一定存在；反过来，若lim可见，若f（x）在点x=0可导，则极限limf(1-eh14存在，则f(1-e')f(1-eh)hf(x)lim-lim1-ehhhX-0→0h->0x存在，即f(x)在点x=0可导，因此正确选项为（B）至于（A)，（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如，f(x)=x，在x=0处不可导，但[1 - cosh|1-cosh11lim-f (1-cosh)= limlimh?22h-0h->0 hh-→0[h - sinh|[1-sinh1[| = 0 lm (h-sinh)= limlimh?hh-0h-→0均存在，可排除（A）、（C）1,x±0又如f(x)=在x=0处不可导，但0,x=01-1[(2h)- (h)]= lim lim-.0-0.1h-→0 h

' '' '' , ,1 F fF fF x xy yz =− =− = 因此过点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的法向量为 ±− − { 3, 1,1} ，可排除（B）； 曲线点 ( ) , 0 z f xy y ⎧ = ⎨ ⎩ = 可表示为参数形式： ( ) 0 ,0 x x y z fx ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ = ⎩ ，其中点 (0,0, 0,0 f ( )) 的切向量为 { ( )} { } ' 1,0, 0,0 1,0,3 x ± =± f 故正确选项为（C）. （3）设 f ( ) 0 0 = ，则 f ( ) x 在点 x = 0 可导的充要条件为 （A） ( ) 2 0 1 lim 1 cosh h f → h − 存在. （B） ( ) 0 1 lim 1 h h f e → h − 存在. （C） ( ) 2 0 1 lim sinh h f h → h − 存在. （D） ( ) () 0 1 lim 2h h f f h → h ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ 存在 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim 1 1 lim ln 1 h h h x f x x f e ex → → h xx − −= ⋅ − 可见，若 f ( ) x 在点 x = 0 可导，则极限 ( ) 0 1 lim 1 h h f e → h − 一定存在；反过来，若 ( ) 0 1 lim 1 h h f e → h − 存在，则 ( ) ( ) ( ) 00 0 1 1 lim 1 lim lim 1 h h h h xh h f x f e fe h x e →→ → x he h − − = − ⋅ =− − 存在，即 f ( ) x 在点 x = 0 可导，因此正确选项为（B）. 至于（A），（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如， f ( ) x x = ,在 x = 0 处不可导，但 ( ) ( ) 2 22 0 00 2 23 0 00 1 1 cosh 1 1 cosh lim 1 cosh lim lim 2 1 1 sinh sinh lim sinh lim lim 0 h hh h hh f h hh h fh h h hh → →→ → →→ − − −= = = − − − = = ⋅= 均存在，可排除（A）、（C）. 又如 ( ) 1, 0 0, 0 x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩ = 在 x = 0 处不可导，但 ( ) () 0 0 1 11 lim 2h lim 0 h h f fh → → h h − ⎡ ⎤ − = = ⎣ ⎦

存在，进一步可排除（D）[1114100011000011B:(4）设A=则A与B0001101000011（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似【【答】应选(A)【详解】因为A是实对称矩阵，且其特征值为：2=4.2三2=元，=0.故存在正交矩阵0.使得[40000000中O-"AO=OTAO-00000000可见，则A与B既合同又相似(5)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1(A) -1(B) 0(C)(D) 1-2[【答】应选（A）【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y=n-X，因此X和Y的相关系数为r=-1rarctane三、求(dxe2【详解】arctanerarctane'd(dx:02x2arctaner(1+e2-2*arctane'+e-+arctane)+C四、设函数z=f(x,J)在点(1,1)处可微，且

存在，进一步可排除（D）. （4）设 1111 4 0 0 0 1111 0 0 0 0 , 1111 0 0 0 0 1111 0 0 0 0 A B ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ，则 A 与 B （A）合同且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）不合同且不相似 【 】 【答】 应选(A) 【详解】 因为 A 是实对称矩阵，且其特征值为： 1 234 λ = 4, 0, λλλ === 故存在正交矩阵Q,使得 1 4000 0000 0000 0000 T Q AQ Q AQ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似. (5)将一枚硬币重复掷n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相关 系数等于 （A）-1 （B）0 （C） 1 2 （D）1 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y nX = − ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1 三、求 2 arctan x x e dx e ∫ 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 arctan 1 arctan 2 1 arctan 2 1 1 arctan arctan 2 x x x x x x x x x x xx x e dx e d e e de e e e e e ee e C − − − − = ⎛ ⎞ =− − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ =− + + + ∫ ∫ ∫ 四、设函数 z f xy = ( ) , 在点( ) 1,1 处可微，且

af=29 (1,1)=1, 9=3,p(x)=f(x,f(x,x)axl,)Ovlandg(x)/求dx【详解】由题设，有 β(1)=(1,f(1,1)=f(1,1)=1,% (*)]- 30 () 0(dxdx=3p (x)[(x,f(x,x))+f,(x, f(x,x)(f(x,x)+,(x,x)/l=3·1.[2 +3(2 +3)]=51[1+x2" (-1)"arctanx,x+0，试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数五、设(x)的x=/1-4n1,x=0和Z(-1)"x2",xe(-1,1)【详解】因1 +x2n=1 aretan -(arta ) =, 1-1]=2n+！于是"(-1)"(-1)"f(x)=1+)=2n+12n+1=1++=2n+12n+1=1+22(-m,xe[-1,1]2n+1(-1)"[(0)-1-因此1-4n2六、计算I=Φ(y2-2)dx+(222-x2)dy+(3x2-)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面x+=1的交线，从=轴正向看去，L为逆时针方向【详解1】记S为平面x+y+z=2上L所围成部分的上侧，D为S在xOy坐标面上的投影由斯托克斯公式得

( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 1,1 1,1 1,1 1, 2, 3, , , . | | f f f x f x f xx x y ϕ ∂ ∂ = = == ∂ ∂ 求 ( ) 3 1 | x d x dxϕ = 【详解】 由题设，有 ϕ ( ) 1 1, 1,1 1,1 1, = == ff f ( ) ( ) ( ) () () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) 3 2 1 1 2' ' ' ' 1 3 3 , , , , , , 3 1 2 3 2 3 51 | | | x x x y xy x d d x x x dx dx x f x f xx f x f xx f xx f xx ϕ ϕ ϕ ϕ = = = ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =+ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⋅⋅ + + = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 五、设 ( ) 2 1 arctan , 0 1, 0 x x x f x x x ⎧ + ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = ，试将 f ( x) 展开成 x 的幂级数，并求级数 ( ) 2 1 1 1 4 n n n ∞ = − − ∑ 的 和. 【详解】 因 () ( ) 2 2 1 1 1 , 1,1 1 n n n x x x ∞ = = − ∈− + ∑ 故 ( ) ( ) [ ] ' 2 1 0 1 1 arctan arctan , 1,1 2 1 n x n n x x dx x x n ∞ + = − = = ∈− + ∫ ∑ 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 21 22 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 21 21 1 1 1 21 21 2 1 1 , 1,1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n f x xx n n x x n n x x n ∞ ∞ + + = = ∞ ∞ = = ∞ = − − =+ + + + − − =+ + + + − = + ∈− + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 因此 ( ) ( ) 2 1 1 1 1 11 . 14 2 4 2 n n f n π ∞ = − = −=− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − ∑ 六、计算 ( )( ) ( ) 22 22 2 2 2 3 L I = − +− +− y z dx z x dy x y dz v∫ ，其中 L 是平面 xyz ++= 2 与 柱面 x y + =1的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向. 【详解 1】记 S 为平面 xyz ++= 2 上 L 所围成部分的上侧， D 为 S 在 xOy 坐标面上的投影. 由斯托克斯公式得

I = [[(-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-6y)dxd)2[[(4x+2y+3≥)dSV3.-2[[(x-y+6)dxd)-12[ dxdy1= 24.【详解2】转换投影法.用斯托克斯公式，取平面x+V+z=2被L所围成的部分为S，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上，S在xOy平面上的投影域记为α=-1,%=-1,于是D,D=(x,y)x+<1). S为z=2-x-y,ax--ay1 =d(2 -2 )dx+(222 - x2)dy+(3x2 - y)d2=[[(-2y-4=)dydz +(-2z-6x)dzdx +(-2x-6y)dxd)-%dxdy-[[(-2y-4z,-2z-6x,-2x-2y)-axoy]-2[[(4x +2y+32)dxdy=-2[[(x- y+6)dxdy= -12[ dxdy = -24其中[[（x-y)dxdy=[xdxdy=-{[ydxdy=0-0=0，用得性质：x为x得奇函数，D对称于y轴；y为y的奇函数，D对称于x轴；积分均应为零【详解3】降维法，取S如解法1中定义，代入「中，I =Φ (y2 -(2 -x-y) )dx+(2(2-x-y) -x)dy+(3x - y2)(-dx-dy)=Φ, (v2 -4x2 -4xy +4x+4y-4)dx+(3y2 -2x* +8xy-8x-8y+8)dy格林公式-2（x-y+6)dxdy=-24D其中，L为L在xOy平面上投影，逆时针【详解4】逐个投影法，由斯托克斯公式I, = (-2y-4z)dydz -2[[(y+ 22)dydz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 26 26 2 423 3 26 12 24. S S D D I y z dydz z x dzdx x y dxdy x y z dS x y dxdy dxdy = − − +− − +− − =− + + =− − + = − = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 【详解 2】转换投影法.用斯托克斯公式，取平面 xyz + + = 2 被 L 所围成的部分为 S ，按斯 托克斯公式的规定，它的方向向上， S 在 xOy 平面上的投影域记为 DD xy x y , , | 1. = +≤ {( ) } S 为 2 , 1, 1, z z z xy x y ∂ ∂ = − − =− =− ∂ ∂ 于是 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) { } ( ) () 22 22 2 2 2 3 24 26 26 2 4 , 2 6 , 2 2 , ,1 2423 2 6 12 24 L S S S D D I y z dx z x dy x y dz y z dydz z x dzdx x y dxdy z z y z z x x y dxdy x y x y z dxdy x y dxdy dxdy = − +− +− = − − +− − +− − ⎧ ⎫ ∂ ∂ = − − − − − − ⋅− − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∂ ∂ =− + + =− − + =− =− ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ v 其中 ( ) 00 0 D DD x y dxdy xdxdy ydxdy − = =− = − = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ，用得性质： x 为 x 得奇函数， D 对 称于 y 轴； y 为 y 的奇函数， D 对称于 x 轴；积分均应为零. 【详解 3】 降维法，取 S 如解法 1 中定义，代入 I 中， ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 22 22 22 2 22 3 4 4 444 3 2 8 888 2 6 24 L L D I y x y dx x y x dy x y dx dy y x xy x y dx y x xy x y dy x y dxdy = − −− + −− − + − − − = − − ++ − + − + −−+ − − + =− ∫ ∫ ∫∫ v v 格林公式 其中， L1 为 L 在 xOy 平面上投影，逆时针. 【详解 4】 逐个投影法，由斯托克斯公式 1 ( ) () 24 2 2 , S D I = −− − + y z dydz y z dydz ∫∫ ∫∫

其中D=((,)2-+1),分别令≥0,0,2-≥0,2--z0,可得到D的4条边的方程：右：2y+z=3；上：2=3：左：2y+z=1：下：z=1于是 I,=-2[(y+2=)dy=-16类似地，I,=-2[[(2+3x)dzdx=-8I,=-2(x+y)dxdy=0（由奇、偶数及对称性）I = I, + I, +I, = -24【详解5】参数法.L:x+以=1,z=2-x-y当x≥0，y≥0时，L:y=1-x,z=2-x-y,x从1到0J, (y2 -2 )dx+(22* -x)dy+(3x2 - y2)dz= ['[(1-x)* -1+(2-x2)(-1)]-当x≤0,y≥0,L,y=1+x,z=1-2x,x从0到-1J. = J. (2x +4) = -3当x≤0≤0,,=1-x,z=3,x从-1到0J =L(2x +2x-26)x =-79-3当x≥0,y≤0,L,:y=x-1,z=3-2x,x从0到1J. = J (-18 +12)dx = 3.I= J =J. +J, +J, +J, = -24七、设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f(x)+0,试证：(1)对于(-1,1)内的任意x0,存在唯一的0(x)=(0,1),使(x)=f(0)+xf[(x)x]成立;

其中 D yz y z y yz = −−+ ≤ {( ) , |2 1, } 分别令 y y yz yz ≥ ≤ −−≥ −−≤ 0, 0,2 0,2 0, 可得 到 D yz 的 4 条边的方程： 右： 2 3 y z + = ；上： z = 3 ；左： 2 1 y z + = ；下： z =1. 于是 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 2 1 1 1 1 2 2 2 16 z z I dz y z dy − − =− + =− ∫ ∫ 类似地， 2 2 23 8 ( ) S I x dzdx =− + =− ∫∫ 3 2 0 ( ) S I x y dxdy =− + = ∫∫ （由奇、偶数及对称性） 123 II I I = + + =−24 【详解 5】 参数法. Lx y z x y : 1, 2 + = =−− 当 x ≥ 0 ， y ≥ 0时， 1 L y xz x yx : 1, 2 , =− = − − 从 1 到 0. ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 22 22 2 2 0 2 2 1 2 3 1 12 1 7 . 3 L y z dx z x dy x y dz x x − +− +− = − −+ − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ∫ ∫ 当 2 x ≤ ≥ =+ =− 0, 0, : 1 , 1 2 , y L y xz xx 从 0 到-1 ( ) 2 1 0 24 3 L x − = + =− ∫ ∫ 当 3 x ≤ ≤ =− = 0, 0, : 1 , 3, y L y xz x 从－1 到 0 ( ) 3 0 2 1 79 2 2 26 L 3 x x dx − = + − =− ∫ ∫ 当 4 x ≥ ≤ =− =− 0, 0, : 1, 3 2 , y L y x z xx 从 0 到 1 ( ) 4 1 0 18 12 3. L =− + = x dx ∫ ∫ 1234 24 LLL LL I = = + + + =− ∫∫∫∫∫ 七、设 y fx = ( ) 在(−1,1) 内具有二阶连续导数且 ( ) '' f x ≠ 0,试证： （1）对于( ) −1,1 内的任意 x ≠ 0, 存在唯一的θ ( x)∈(0,1) ，使 ( ) ( ) () ' f x f xf x x = +⎡ ⎤ 0 θ⎣ ⎦ 成 立；

(2) lim0(x):2【详解1】（1）任给非零xe(-1,1)，由拉格朗日中值定理得f (x)= f (0)+xf [0(x)x](00,则厂（x)在(-1,1)内严格单调且增加，故唯一(2）对于非零xE（-1,1)，由拉格朗日中值定理得f(x)= f(0)+xf[0(x)x](00lm0(x)=.故C【详解2】(1)同【详解1】(2）由泰勒公式得f(x)=f(0)+ f (0)x+f（)x,在0与x之间所以[0(x)x]=f()-(0)=F(0)x+(5)x从而T[0()x1- (0) (t)=(5)0(x)x[0()-()=(0), lm()=lm()=(0)由于lim-→00(x)xlimo(t)=1故2

（2） ( ) 0 1 lim . x 2 θ x → = 【详解 1】 （1）任给非零 x∈ −( ) 1,1 ，由拉格朗日中值定理得 () () () ( ) ( ) ' f x f xf x x x =+ 0， 则 ( ) '' f x 在( ) −1,1 内严格单调且增加，故唯一. （2）对于非零 x∈ −( ) 1,1 ，由拉格朗日中值定理得 () () () ( ) ( ) ' f x f xf x x x =+ << 0 01 ⎡ ⎤ θ θ ⎣ ⎦ 于是有 () () ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 f xx f 0 f xf f x 0 0 x x ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ θ − − − = 上式两边取极限，得 左端＝ () () ( ) () () () ' ' '' 0 0 0 lim 0 lim x x f xx f x f x x x θ θ θ → → θ ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = 右端＝ ( ) () ( ) ' ' '' 0 0 1 lim 0 x 2 2 fx f f → x − = 故 ( ) 0 1 lim . x 2 θ x → = 【详解 2】 （1） 同【详解 1】. （2） 由泰勒公式得 () () () ( ) ' '' 2 1 00 , 2 f xf f x f x =+ + ξ ε 在 0 与 x 之间 所以 () () () () ( ) ' ' '' 2 1 0 0 2 xf xx f x f f x f x ⎡ ⎤ θ ξ =−= + ⎣ ⎦ ， 从而 () () ( ) ( ) ( ) ' ' '' 0 1 , 2 f xx f x f x x θ θ ξ θ ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = 由于 () () ( ) ( ) ' ' '' 0 0 lim 0 x f xx f f x x θ → θ ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = ， ( ) ( ) ( ) '' '' '' 0 0 lim lim 0 x fx f f ξ ξ → → = = 故 ( ) 0 1 lim . x 2 θ x → =

【详解3】(1)同【详解1】(2)因f"（x)0,故f(x)存在单值连续可导的反函数，记为β(x),则有[f(x)-f(0)0(x)-x=px[f(x)-f(0)所以limg-0x[(x)-(0)Pxf(x)-f(0)xf (x)-(x)+f(0)lim0(x) = limlimpXxx->0xX0=0[r(0)]lim()2.1[F (0)] (0)但因p[f(x)=x，两边对x求导，有p[f(x)(x)=1,以x=0代入,limo(t)=↓于是有2-0【详解4】(1)同【详解1】(2)由f(x)=f(0)+f (0(x)x)x,将f (0(x)x)再展开，有 (0(x)x)= (0)+ f (0)0(x)x+0(0(x)x)代入上式，得f (x)= f(0)+ f'(0)x+ f" (0)0(x)x2 +o(0(x)x)x所以0(t) = (a)- (0)-I (0)x-0(0()x)xf (0)x令x→0取极限，m ()-(0)+(0)x_ 1f' (0)x2an0(0(x)x)xlim ==0x2x-→0

【详解 3】 （1） 同【详解 1】. （2） 因 ( ) '' f x ≠ 0,故 ( ) ' f x 存在单值连续可导的反函数，记为ϕ ( x), 则有 ( ) ( ) (0) , fx f x x x θ ϕ⎡ ⎤ − ⋅ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 所以 () () 0 0 lim 0, x fx f x ϕ → ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ ( ) ( ) () () () () () () ( ) ( ) () () ' ' 2 00 0 '' ' ' 0 '' ' 0 0 0 lim lim lim 0 lim 2 1 0 0 2 xx x x fx f x f x f xf x f x f x x xx xf x f x f f ϕ θ ϕ ϕ ϕ →→ → → ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − −+ ==⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 但因 ( ) ' ϕ ⎡ ⎤ f x x = ⎣ ⎦ ，两边对 x 求导，有 ( ) ( ) ' ' '' ϕ ⎡ ⎤ fx fx =1 ⎣ ⎦ ，以 x = 0 代入， 于是有 ( ) 0 1 lim . x 2 θ x → = 【详解 4】 （1） 同【详解 1】. （2） 由 ( ) ( ) () ( ) ' f x f f xxx = + 0 , θ 将 ( ( ) ) ' f θ x x 再展开，有 ( ) ( ) () () ( ) ( ( ) ) ' ' '' f θ θθ xx f f xx o xx =+ + 0 0 代入上式，得 () () () ( ) ( ) ( ( ) ) ' '' 2 f x f f x f xx o xxx =+ + + 00 0 θ θ 所以 ( ) () () () ( ( ) ) ( ) ' '' 0 0 0 f x f f x o xxx x f x θ θ −− − = 令 x → 0 取极限， ( ) ( ) () ( ) ' '' 2 0 0 0 1 lim 0 x 2 fx f f x f → x − + = ( ) ( ) 2 0 lim 0. x o xxx x θ → = =