全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1999数学三

1999年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题sinx(1)设厂(x)有一个原函数则xf"(x)dx =24【答】元sinx【详解】由题设f(x)有一个原函数则xxcosx-sinxsin.f(x)x2从而[x (g) dx= [xdf (x)= x () 元一["f (x)dx22元7sinxsinxcos.x元元xxA22(2)【答】4【详解】考虑幂级数-S(x)=nx"-l,1-1<x<1i=lX因为 ["s(x)dx=Z[nx"-ldx=x"dx =1-xiei=l所以 S(x)=() (---<×<1.故()-s()-4

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 f ( ) x 有一个原函数 sin , x x 则 ( ) 2 xf x dx π π ′ = ∫ _. 【答】 4 1 π − 【详解】 由题设 f ( x) 有一个原函数 sin , x x 则 ( ) 2 sin cos sin , x xx x f x x x ′ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 从而 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 xf x dx xdf x xf x f x dx ππ π ππ π π ∫∫ ∫ ′ = =− π sin sin 4 cos 1. 2 2 x x x x x π π π π π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − − =− ⎝ ⎠ （2） 1 1 1 2 n i n − ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∑ _. 【答】 4 【详解】 考虑幂级数 ( ) 1 1 , 1 1, n i S x nx x ∞ − = = ∑ −< < 因为 ( ) 1 0 0 1 1 , 1 x x n n i i x S x dx nx dx x dx x ∞ ∞ − = = = == − ∫ ∫ ∑ ∑ 所以 ( ) ( )2 1 , 1 1, 1 1 x Sx x x x ′ ⎛ ⎞ = = −< < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − 故 1 1 1 1 4. 2 2 n i n S − ∞ = ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = = ⎝⎠ ⎝⎠ ∑

101020(3)设A=，而n≥2为整数，则A"-2A"=l：0(11【答】0【详解】因为10(202)01120042=02400=2A(101)0021.12.1故有A"-2A"-l=A"-2(A?-2A)=O（4）在天平上重复称量一重维α的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，N(0,0.2°)，若以x，表示n称量结果的算术平均值，则为使P(X，-α<0.1)≥0.95,n的最小值应不小于自然数=【答】160.2Zx,~N[a,【详解】由于×=n=于是x,-a0.2：0.21Tn又因为P(u<1.96)≥0.95,n故要求P1≥0.950.22Jn≥0.975.即ΦVn于是令≥1.96.解得n=162(5）设随机变量X（i,j=1,2,,n,n≥2)独立同分布，E(X）=2,则行列式[X X.. X.X2Xn...X2nY=的数学期望E(Y)=:.:[XX.Xm]

(3) 设 101 020 101 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A ，而n ≥ 2 为整数,则 1 2 n n− A − A = . 【答】 O 【详解】 因为 2 101 101 202 0 2 0 0 2 0 0 4 0 2. 101 101 202 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = == ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A i A 故有 1 22 2 ( 2) . nn n O − − A A AA A − = −= （4） 在天平上重复称量一重维 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布， ( ) 2 N 0,0.2 ，若以 Xn 表示 n 称量结果的算术平均值，则为使 PX a n { n −< ≥ 0.1 0.95, } 的 最小值应不小于自然数=_. 【答】 16 【详解】 由于 2 1 1 0.2 ~, , n n i i X X Na n n = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 于是 2 0.2 ~ 0, . 0.2 X a n u N n n − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 又因为 P u{ < ≥ 1.96 0.95, } 故要求 { } 0.1 2 1 0.95, 0.2 2 2 n n X a n n PX a P n ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎛ ⎞ − < = < =Φ −≥ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 即 0.975. 2 ⎛ ⎞ n Φ ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 于是令 1.96, 2 n ≥ 解得 n =16. （5） 设随机变量 ( ) , 1, 2, , ; 2 X i j nn ij = ≥ " 独立同分布， ( ) 2, E Xij = 则行列式 11 12 1 21 22 2 1 1 n n n n nn XX X XX X Y XX X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ " " ## # " 的数学期望 E Y( ) = _

【答】 0【详解】根据行列式的定义，有Y= Z (-1y xX- m.ji.j.由于随机变量X,(i,j=1,2,,n,n≥2)独立同分布，因此有E()= Z (-1)(h E(XuX2*-Xm.)Ais-J.= Z (-)) (X) (X)... (.)ii"-j[E(X) E(X2) .. E(Xn)22222E(X2) E(X)E(X2n)= 0.:..目..2..E(X.) E(X2) ... E(Xm)22二、选择题(1)设f(x)是连续奇函数，F(x)是f(x)的原函数,则(A）当f(x）是奇函数时，F(x)必为偶函数(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数【答】应选(A)【详解】(x)的原函数F(x)可以表示为F()=Jf(t)dt+C,于是F(-x)= Jf(t)dt+Cu=--f f(-u)d(-u)+C.当f(x)为奇函数,即f(-u)=-f(u),从而有F(-x)= J, f(t)dt+C= f" f()dt+C = F(x)即F(x)为偶函数故(A)为正确选项至于(B),(C),(D)可分别举反例如下:1x3+1不是奇函数，可排除(B)f(x)=x2是偶函数,但其原函数F(x)=3

【答】 0 【详解】根据行列式的定义，有 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , n n n r jj j j j nj jj j Y XX X = − ∑ " " " 由于随机变量 ( ) , 1, 2, , ; 2 X i j nn ij = ≥ " 独立同分布，因此有 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) () () () () () ( ) () ( ) () 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 22 2 22 2 0. 22 2 n n n n n n r jj j j j nj jj j r jj j j j nj jj j n n n n nn EY E X X X EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX = − = − ⋅ ⋅⋅ = == ∑ ∑ " " " " " " " " " " ## # ## # " " 二、选择题 （1） 设 f (x) 是连续奇函数, F(x)是 f (x) 的原函数,则 (A) 当 f (x) 是奇函数时， F(x)必为偶函数 (B) 当 f (x) 是偶函数时， F(x)必为奇函数 (C) 当 f (x) 是周期函数时， F(x)必为周期函数 (D) 当 f (x) 是单调增函数时， F(x)必为单调增函数 【 】 【答】 应选(A) 【详解】 f ( ) x 的原函数 F x( )可以表示为 0 ( ) () , x F x f t dt C = + ∫ 于是 0 0 ( ) () ( ) ( ) . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数,即 f ( ) ( ), − =− u fu 从而有 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ). x x F x f t dt C f t dt C F x − −= += += ∫ ∫ 即 F x( )为偶函数. 故(A)为正确选项, 至于(B),(C),(D)可分别举反例如下: 2 f ( ) x x = 是偶函数,但其原函数 1 3 () 1 3 Fx x = + 不是奇函数,可排除(B);

f(x)=cosx2是周期函数,但其原函数F(x)=sin2x不是周期函数，可排除(C)：x+24f(x)=x在区间(-o0,+co)内是单调增函数,但其原函数F(x)=x2在区间(-00,+00)2内非单调增加函数,可排除(D)(2)设f(x,y)连续，且f(x,)=xy+[[f(u,v)dudv,其中D是由y=0,y=x2,x=11所围区域，则f(x,J)等于(A) xy(B) 2xy(C)y+)(D)y+18[】【答】(C)(*)【详解1]令[f(u,v)dudy=A则f(x,y)=xy+ A,将f(x,y)=xy+ A代入(*)式得[uv + A]dudy = A即[[xy + A]dxdy = A[ dxfxydy +x'dx= A11_A=A,解得A=12381故f(x,y)=xy+8【详解2】等式f(x,y)=xy+[[(u,v)dudv两边取在区域D上的二重积分得：[[ f(x, y)dxdy = [[ xydxdy + [[ xydxdy.[[ f(u, v)dudvA2JJ f(x, y)dxdy=f'dxf。 xydxdy + J'x'dx-Jf f(x, y)dxdyJJ r(x,y)dxdy=+[[f(x, y)dxd)2=12+3D由上式解得[ f(x, y)dxdy =8

2 f ( ) cos x x = 是周期函数,但其原函数 1 1 ( ) sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数,可排除(C); f ( ) x x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内是单调增函数,但其原函数 1 2 ( ) 2 Fx x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内非单调增加函数,可排除(D). （2）设 f (x, y) 连续，且 ( , ) ( , ) , ∫∫ = + D f x y xy f u v dudv 其中 D 是由 0, , 1 2 y = y = x x = 所围区域，则 f (x, y) 等于 (A) xy （B） 2xy (C) 8 1 xy + (D) xy +1 【 】 【答】 (C) 【详解 1】 令 ( , ) ( ) D f u v dudv A = ∗ ∫∫ 则 f (, ) x y xy A = + ,将 f (, ) x y xy A = + 代入(*)式得 [ ] D uv A dudv A + = ∫∫ 即 [ ] D xy A dxdy A + = ∫∫ 2 1 1 2 00 0 x dx xydy A x dx A + = ∫∫ ∫ 1 1 , 12 3 + = A A 解得 1 8 A = 故 1 (, ) 8 f x y xy = + 【详解 2】 等式 (, ) (,) D f x y xy f u v dudv = + ∫∫ 两边取在区域 D 上的二重积分得: (, ) (,) D D DD f x y dxdy xydxdy xydxdy f u v dudvA = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ i 2 1 1 2 00 0 (, ) (, ) x D D f x y dxdy dx xydxdy x dx f x y dxdy = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ i 1 1 (, ) (, ) 12 3 D D f x y dxdy f x y dxdy = + ∫∫ ∫∫ 由上式解得 1 (, ) 8 D f x y dxdy = ∫∫

则1f(x,y)= xy+8（3）设向量β可由向量组α,αzαm线形表示，但不能有向量组（I）αi,α2，αm-线性表示，记向量组（II)：α,αz"αm-1,β，则：(A）αm不能由（I)线性表示，也不能由（I）线性表示（B）α㎡不能由（I)线性表示，但可由（I）线性表示(C)α㎡可由（I)线性表示，也可由（II）线性表示(D)αm可由（I)线性表示，但不能由（I）线性表示[【答】 (B)【详解】由题设,存在kj,kz,".km，使得β=k,a,+k,α,+.kmam,且km+0.否则与β不能由向量组α,αz,αm-线性表示矛盾,从而有a--km=L αm-1 +1βαm=kmkmkm即αm可由向量组αj,αzαm-1,β线性表示又根据β不能由向量组α,αzαm-,线性表示知，αm一定不能由α,αz，"αm线性表示,否则将αm用ααz，αm-线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾因此正确选项为(B)（4）设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则(A)^E-A=^E-B.(B)A与B有相同的特征值和特征向量(C)A与B都相似于一个对角矩阵(D)对于任意常数t,tE-A与E-B相似[【答】 (D)【详解】（A)首先贝排除，因它意味着A=B；A与B相似，A与B有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故（B）不成立；

则 1 (, ) 8 f x y xy = + （3）设向量 β 可由向量组 1 2 , , α α α " m 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) 12 1 , , α α α " m− 线 性表示，记向量组（Ⅱ）： 12 1 , , α α αβ " m− ，则： (A) α m 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B）α m 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 (C) α m 可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 (D) α m 可由(Ⅰ)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示 【 】 【答】 (B) 【详解】 由题设,存在 1 2 , , m kk k " 使得 11 2 2 , m m β =+ + kk k αα α " 且 0 mk ≠ .否则与 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示矛盾,从而有 1 1 1 1 1 , m m m m mm k k k kk − α =− − − + α αβ " − 即 α m 可由向量组 12 1 , , α α αβ " m− 线性表示. 又根据 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示知, α m 一定不能由 1 2 , , α α α " m 线性表示, 否则将α m 用 12 1 , , α α α " m− 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾. 因此正确选项为(B) （4）设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A与B 相似， E 为 n 阶单位矩阵，则 ( ) A B λ λ E −= − A E B. A B . ( ) 与 有相同的特征值和特征向量 ( ) C A与B 都相似于一个对角矩阵 (D) 对于任意常数t t, E − AEB 与 − 相似 【 】 【答】 (D) 【详解】( ) A 首先贝排除，因它意味着 A = B; A与B 相似， A与B 有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故 ( ) B 不成立；

A与B不一定可以对角化，更谈不上都相似于一个对角矩阵，排除（C)剩下（D）为正确答案因为A与B相似，所以存在n阶可逆矩阵P,使得P-"AP=B,进而有P-(tE-A)P=tE-B可见tE-A与E-B相似~101(i=1,2),且满足P(X,X, =0)=1,,则 P[X,=X,)等（5）设随机变量X，~1-1--424于(0):(C)(A)0.(D)1.【【答】 (A)【详解】首先，列出二维随机变量（X，X，）的联合分布律及其边缘分布中的部分数值、0p·i-11X,1-4bca-11-20dhf1-4gk1e1141-41-21p·j由于 P[X,X, =0)=1,故 P(X,X, +0 =0因此a=c=g=k=0根据边缘分布的性质1111-(b+h)=0b=.h=.d:.e=4J4442可见有P(X, = X,= P(X, =-1, X, =-1)+ P(X, =0,X, =0)+P(X =1,X, =1)= 0因此正确选项为（A)。三、（本题满分6分）

A与B 不一定可以对角化，更谈不上都相似于一个对角矩阵，排除（C） 剩下（D）为正确答案. 因为 A与B 相似，所以存在 n 阶可逆矩阵 P,使得 −1 P AP B, = 进而有 ( ) 1 t t − P E AP E B − =− 可见tE − AEB 与 − 相似. （5）设随机变量 ( ) 10 1 ~ 1, 2 , 1 11 4 24 X i i ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 且满足 P XX { 1 2 = 0 1, } = ，则 PX X { 1 2 = } 等 于 () () ( ) ( ) 1 1 0. . . 1. 4 2 AB C D 【 】 【答】 (A) 【详解】首先，列出二维随机变量( ) 1 2 X , X 的联合分布律及其边缘分布中的部分数值. X1 X2 －1 0 1 p ⋅i －1 a b c 1 4 0 d h f 1 2 1 g e k 1 4 p ⋅ j 1 4 1 2 1 4 1 由于 P XX { 1 2 = = 0 1, } 故 P XX { 1 2 ≠ 0 0. } = 因此 acgk == == 0. 根据边缘分布的性质 ( ) 11 1 11 , , , , 0. 44 4 42 b h d f e bh = = = = =− + = 可见有 PX X PX X PX X PX X { 12 1 2 1 2 1 2 = = =− =− + = = + = = = } { 1, 1 0, 0 1, 1 0. } { } { } 因此正确选项为（A）。 三 、（本题满分 6 分）

曲线y=的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为α，试求切线方Vx程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？RPoQQ1【详解】）处的切线方程为由y=，得.则切点P(a,X2VxVa(x-a)2Va3Va4切线与x轴和y轴的交点分别为A(3a.O)和B(O,2Va于是，三角形AOB的面积为3-2Ja.1S=.3a.242Va当切点沿x轴方向趋于无穷远时，有limS=+0.当切点沿y轴方向趋于无穷远时，有limS=0.a-→04四、（本题满分7分）计算二重积分[[ydxdy,其中D是由x=-2,y=0,y=2以及曲线x=2y-y所围成D的平面区域

曲线 x y 1 = 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a ，试求切线方 程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 【详解】 由 1 y , x = 得 3 2 1 ' , 2 y x− = − 则切点 1 P a(, ) a 处的切线方程为 3 1 1 ( ). 2 y xa a a − =− − 切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A a (3 ,0) 和 3 (0, ). 2 B a 于是,三角形 AOB 的面积为 1 39 3 2 4 2 Sa a a = = i i . 当切点沿 x 轴方向趋于无穷远时,有 lim . a S →+∞ = +∞ 当切点沿 y 轴方向趋于无穷远时,有 0 lim 0. a S → + = 四 、（本题满分 7 分） 计算二重积分 , ∫∫ D ydxdy 其中 D 是由 x = −2, y = 0, y = 2 以及曲线 2 x = 2y − y 所围成 的平面区域

1D0-2【详解1】如图所示,D={(x,J)|0≤≤2,-2≤x≤-2-)则[ ydady = y ax=2f y- /2y- dy=4-f/1-(y-1) dy令y-1=sint,则[y/1-(y-1) dy=[(1+sin t)cos? idtcos sinidt="信cos?tdt+2于是[ ydxdy = 4 _ ≥20【详解2】区域D和D如图所示，有[ ydxdy = [[ ydxdy,-[[ ydxdy,D+DD易知ydy = 4[ ydxdyD+D而在极坐标系下,有D,=(r,0)≤元,0≤r≤2sin0),1于是8rsinrdr=[sin*ede[ ydxdy = J de ]2

【详解 1】 如图所示, 2 D xy y x y y = ≤ ≤ − ≤ ≤− − {( , ) | 0 2, 2 2 }, 则 2 22 2 2 2 02 0 0 2 2 y y D ydxdy ydy dx ydy y y y dy − − − = =− − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 =− − − 4 1 ( 1) y y dy ∫ 令 y t − =1 sin ,则 2 2 2 2 0 2 y y dy t tdt 1 ( 1) (1 sin )cos π π − −− = + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 cos cos sin . 2 tdt t tdt π π π π π − − =+ = ∫ ∫ 于是 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 【详解 2】 区域 D 和 D1 如图所示,有 1 1 , , D DD D ydxdy ydxdy ydxdy + = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ 易知 1 0 2 2 0 4. D D ydxdy dx ydy − + = = ∫∫ ∫ ∫ 而在极坐标系下,有 1 {( , ) | ,0 2sin }, 2 Dr r π = ≤≤ ≤≤ θ θπ θ 于是 1 2sin 4 0 2 2 8 sin sin 3 D ydxdy d r rdr d πθ π = = π π θ θ θθ ∫∫ ∫ ∫ ∫ i

cos?e元de-22故2[ydxdy=4-ODJ] ydxdy【详解3】由心形公式V:SD知J[ydxdy=y·Sp,其中y为D的心形y坐标,'D由D的图形不难看出y=1，S,为积分域D的面积，该面积应为正方形减去半圆,Sp=4-"2则J ydxdy = 4- "2D五、（本题满分6分）设生产某种产品必须投入两种元素，x，和x，分别为两元素要投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2xx,其中αβ为正常数，且α+β=1。假设两种元素的价格分别为p,和p2，试问：当产量为12时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小，【详解】根据题设,在产出量满足12=2xx的条件下,求总费用C=+P2x,的最小值，为此构造拉格朗日函数F(x,x2,2)=p+p2x2+a(12-2xx)aF(1)= p -2αx xp =0,ax,aF(2)今=P2-22Bx xB-1,axaF=12-2xx=0,(3)[aa由第1,2个方程,得P2=Bx,x =PαX2P,BPax2

2 2 2 8 1 cos . 32 2 d π π θ π θ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 故 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 【详解 3】由心形公式 D D ydxdy y S = ∫∫ 知 , D D ydxdy y S = ∫∫ i 其中 y 为 D 的心形 y 坐标, 由 D 的图形不难看出 y =1 , D S 为积分域 D 的面积 , 该面积应为正方形减去半 圆, 4 2 D S π = − 则 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 五 、（本题满分 6 分） 设生产某种产品必须投入两种元素， 1 x 和 2 x 分别为两元素要投入量，Q 为产出量；若生 产函数为 α β 2 1 2 Q = x x ，其中αβ 为正常数，且α + β = 1。假设两种元素的价格分别为 1 p 和 2 p ， 试问：当产量为 12 时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小. 【详解】 根据题设,在产出量满足 1 2 12 2x xα β = 的条件下,求总费用C px px = 11 2 2 + 的最小值, 为此构造拉格朗日函数 1 2 11 2 2 1 2 F x x px px x x ( , , ) (12 2 ). α β λ λ =+ + − 令 1 1 12 1 1 2 12 2 1 2 2 0, (1) 2 , (2) 12 2 0, (3) F p xx x F p xx x F x x α α β β α β λα λβ λ − − ⎧∂ =− = ⎪∂⎪ ⎪ ∂ ⎨ = − ∂⎪ ⎪∂ ⎪ =− = ⎩ ∂ 由第 1,2 个方程,得 21 2 1 2 12 1 , , px p x x px p β α α β = =

将x代入第3个方程，得PAaPBPaP.PD0时，投入费因驻点唯一且实际问题存在最小值，故当xPBp,a用最小六、（本题满分6分）设有微分方程y-2y=p(x),其中x1.试求出(-0,+)内的连续函数y=y(x)，使之在(-0,1)和(1,+)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.【详解】当x1时，y-2y=0,其通解为2dy=C,e=C,e由lim C,e2* = lim(e2x - 1)= e? -1,x-→1得C,e? =e?-1, 即C,=1-e-2所以y=(1-e-)e2*,(x>1)于是若补充定义y(1)=e2-1,则得在(-o0,+)内的连续函数

将 1 x 代入第 3 个方程,得 1 2 2 1 2 1 6 ,6 . p p x x p p α β β α α β ⎛⎞ ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 因驻点唯一,且实际问题存在最小值,故当 1 2 2 1 2 1 6 ,6 . p p x x p p α β β α α β ⎛⎞ ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 时,投入费 用最小. 六、（本题满分 6 分） 设有微分方程 yy x ′ − = 2 , ϕ ( ) 其中 ( ) 2, 1, 0, 1. x x x ϕ ⎧ 试求出( ) −∞ +∞ , 内的连续函数 y yx = ( )，使之在(−∞,1) 和(1,+∞) 内都满足所给方程，且满 足条件 y ( ) 0 0. = 【详解】 当 x 1时， y y ′ − = 2 0, 其通解为 2 2 2 2 , dx x y Ce Ce ∫ = = 由 ( ) 2 22 2 1 1 lim lim 1 1, x x x x Ce e e → → + − = −= − 得 2 2 2 Ce e = −1，即 2 2 C e 1 , − = − 所以 ( ) ( ) 2 2 1 , 1. x y ee x − =− > 于是若补充定义 ( ) 2 y e 1 1, = − 则得在(−∞ +∞ , ) 内的连续函数