全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2004数学四

2004年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析、填空题sinx(1)若lim-(cosx-b)=5，则a=，b=x-→>0ex-a【答】1, -4sinx【详解】因为lim (cosx-b)=5，且limsinx-(cosx-b)=0，所以x-0er-ax-0lim(e-a)=0，得α=1.极限化为x-→0sinx(cosx- b)= lim=(cosx-b)=1-b=5, 得 b=-4.limx→0er-ax→0x因此，a=1，b=-4e2x则(2)设y=arctane*-In2x+1dxx=1e-1【答】e? +1-x+=ln(e2x + 1) ,【详解】因为y=arctane"-2e2rexy=1+e2x2x+1dye-1所以，dxx=1e? +11xe≤x<22则f(x-1)dx =(3) 设f(x)=1,x≥21【答】2【详解】令x-1=，则有i(x-1)d=f(t)di-T', f(x)dt =[, xe dx + ('(-1)dx

2004 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = ，b = . 【答】 1，－4 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 ⋅ − = → x x b x ，所以 lim( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. (2) 设 1 arctan ln 2 2 + = − x x x e e y e ，则 x 1 dy dx = = . 【答】 2 1 1 e e − + 【详解】因为 ln( 1) 2 1 arctan 2 = − + + x x y e x e ， 1 1 1 2 2 2 + − + + ′ = x x x x e e e e y ， 所以， 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . (3) 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − ≤ < = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 2 f x dx ( 1) − = ∫ . 【答】 1 2 − 【详解】令 x − 1 = t，则有 2 1 1 1 2 2 f ( 1) ( ) x dx f t dt − − = ∫ ∫ ＝ 1 1 2 f ( ) x dt ∫− ＝ 2 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) x xe dx dx − + − ∫ ∫

-=0 +22(0 -10)100(4)设A=B=P-"AP，其中P为三阶可逆矩阵，则(o-10B2004 _ 2 A?(3 00)030【答】(00-1)【详解】因为00A20B2004 = P-' A2004 P0-1001B2004 = P-l(A°)1002 P = P-'EP = E,故(300)B2004 - 2 A? =03000-1设A=(au)是实正交矩阵，且au=1，b=(1,0,0)，则线性方程组Ax=b的解(5)是【答】(1,0,0)【详解】因为x=A-"b，而且A=(a），是实正交矩阵，于是A=A-"，A的每一个行(列）向量均为单位向量，所以aiX=A"b=A'b-a13(6)设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P(X>DX1【答】e1【详解】由于DX=，X的分布函数为

＝ 1 1 0( ) 2 2 + − =− （4） 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A ， B P AP −1 = ，其中 P 为三阶可逆矩阵, 则 − = 2004 2 B 2A ． 【答】 30 0 03 0 00 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 【详解】因为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 A , B P A P 2004 −1 2004 = . 故 B = P A P = P EP = E 2004 −1 2 1002 −1 ( ) , − = 2004 2 B 2A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 −1 0 3 0 3 0 0 . (5) 设 ( )3×3 = ij A a 是实正交矩阵，且 1 a11 = ， T b = (1,0,0) ，则线性方程组 Ax = b 的解 是 ． 【答】 (1,0,0)T 【详解】因为 x A b −1 = , 而且 ( )3×3 = ij A a 是实正交矩阵, 于是 −1 A = A T , A 的每一个行 (列)向量均为单位向量, 所以 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − 0 0 1 13 12 11 1 a a a x A b A bT . (6) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X > DX } = . 【答】 e 1 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为

-e-，x>0F(x) =0,x≤0P(X>DX/=1-P(X≤DX故=1- P(X≤= 1- F(-=元e1二、选择题(7) 函数 (x) = |x/sin(x-2)在下列哪个区间内有界x(x-1)(x -2)2(C) (1,2)(A) (-1 , 0)(B) (0 , 1).(D) (2 , 3).【答】 [A]【详解】当x±0，12时，f(x)连续，而sin3sin2lim f(x)= -lim f(x) = --184x-→-11x→0sin 2limf(x)=o0，lim f(x)=lim f(x)=o0,4X→1x-2x→0+所以，函数f(x)在(-1，O)内有界，故选(A)(8)设f(x)在(-00,+0)内有定义，且 lim f(x)=a，x->00f(-),x±0则g(x) =0x=0(A)x=0 必是g(x)的第一类间断点(B)x=0必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关【答】 [D]【详解】 因为 lim g(x)= lim f(-)= lim (u)=a(令u=x→(x-→0100又g(0)=0，所以，当a=0时，limg(x)=g(0)，x-0即g(x)在点x=0处连续，当a±0时

⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X > DX } = 1{ } − ≤ P X DX ＝ − ≤ } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . 二、选择题 (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 【答】 [A] 【详解】 当 x ≠ 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin 3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = ∞ → lim ( ) 1 f x x ， = ∞ → lim ( ) 2 f x x ， 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). (8) 设 f (x)在(−∞ , +∞)内有定义，且 f x a x = →∞ lim ( ) ， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. 【答】 [D] 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→∞ = = = a(令 x u 1 = )， 又 g(0) = 0，所以，当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ， 即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a ≠ 0 时

limg(x)±g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点，x-0因此，g(x)在点x=0处的连续性与α的取值有关，故选(D)(9) 设 f(x)=(1 -x)l, 则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点【答】[C]【详解】设00,而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点显然，x=0是(x)的不可导点当x e(-8, 0)时,f(x)=-x(1-x)，f"(α)=2>0,当xe(0, 8)时,f(x)=x(1 -x),f"(x)=-20(10) 设f(x)= 0,x=0 ，F(x)=[。f(t)dt,则[-1,x0时, F(x)=J,1dt=x,当x=0时，F(0)=0.即F(x)=刚显然，F(x)在(-0,+oo)内连续，但在x=0点不可导。故选(B)(11)设f(x)在[a,b)上连续，且f'(a)>0,f(b)<0，则下列结论中错误的是

lim ( ) (0) 0 g x g x ≠ → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点， 因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关，故选(D). (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. 【答】 [C] 【详解】 设 0 0， 而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ∈ (−δ , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f ′′(x) = 2 > 0 ， 当 x ∈ (0 , δ)时，f (x) = x(1 − x)， f ′′(x) = −2 = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x f x ， ∫ = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 (A) F(x)在 x = 0 点不连续. (B) F(x)在(−∞ , +∞)内连续，但在 x = 0 点不可导. (C) F(x)在(−∞ , +∞)内可导，且满足 F′(x) = f (x). (D) F(x)在(−∞ , +∞)内可导，但不一定满足 F′(x) = f (x). 【答】 [B] 【详解】当 x 0 时， F x dt x x = = ∫0 ( ) 1 ， 当 x = 0 时，F(0) = 0. 即 F(x) = |x|， 显然，F(x)在(−∞ , +∞)内连续，但在 x = 0 点不可导. 故选(B). (11) 设 f ′(x)在[a , b]上连续，且 f ′(a) > 0, f ′(b) < 0，则下列结论中错误的是

(A)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(a)(B)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(b)(C)至少存在一点xo E(a,b)，使得f(xo)=0(D)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0【答】 [D]【详解】首先，由已知f'(x)在[a,b]上连续，且f'(a)>0,(b)0.x-ax→at由极限的保号性，至少存在一点xoE(a,b)使得 (0)-{(>0, 即 (xo)> (a),xo-a同理，至少存在一点xoE(a,b)使得f(xo)f(b)所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D)(12）设n阶矩阵A与B等价，则必须(A)当|A=a(a0)时，[B=a(B)当|Aa(a0)时，B=-a(C)当|A±0时，IB=0.(D)当|A=0时，IB=0【答】 [D]【详解】因为当|A=0时，r(A)ua)=α,若P(Xx)=α，则x等于(A)(B)(C)(D) Uli-a'"s-aut【答】 [B]【详解】由P(IXkx}=α，以及标准正态分布密度曲线的对称性可得

(A) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x > f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 f ′(x0) = 0. (D) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. 【答】 [D] 【详解】首先，由已知 f ′(x)在[a , b]上连续，且 f ′(a) > 0, f ′(b) − − ′ = → + x a f x f a f a x a ， 由极限的保号性，至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b 使得 0 ( ) ( ) 0 0 > − − x a f x f a ，即 ( ) ( ) f x0 > f a . 同理，至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b 使得 ( ) ( ) f x0 > f b . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). (12) 设n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当| A |= a(a ≠ 0)时, | B |= a . (B) 当| A |= a(a ≠ 0)时, | B |= −a . (C) 当| A |≠ 0时, | B |= 0 . (D) 当| A |= 0时, | B |= 0 . 【答】 [D] 【详解】 因为当| A |= 0 时, r(A) uα } = α , 若 P{| X |< x} = α , 则 x 等于 (A) 2 u α . (B) 2 u1−α . (C) 2 1 u α − . (D) u1−α . 【答】 [B] 【详解】 由 P{| X |< x} = α , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得

1-αP(X >x}:2故正确答案为(B).(14）设随机变量X,X,，,X（n>1)独立同分布，且方差α2>0.令随机变量11独立同分布，于是可得1Zx)=↓co(X,2Sx.Cov(X,Y)= Cov(X,=ni=lni=l1n1ZCov(Xi,X,)=-Cov(X,X,)-nln1-D(X)=nn故正确答案为(C)三、解答题(15)（本题满分8分）1cos"求lim(x->0sin?x大cos?x1sinxcos【详解】lim（limx?sin?xx-→0 sin2 xx→011sin?2x2x-sin4x12A=lim= limx44x3x→0x-→01(4x)41-cos4x= lim=lim6x?36x2x->0x-→0

2 1 { } α P X x − > = . 故正确答案为(B). (14) 设随机变量 X X X n , , , 1 2 " (n > 1) 独立同分布，且方差 0 2 σ > ．令随机变量 ∑= = n i Xi n Y 1 1 ， 则 (A) 2 1 2 ( ) σ n n D X Y + + = ． (B) 2 1 2 ( ) σ n n D X Y + − = ． (C) n σ Cov X Y 2 1 ( , ) = ． (D) 2 1 Cov(X ,Y) = σ ． 【答】 [C] 【详解】 由于随机变量 X X X n , , , 1 2 " (n > 1) 独立同分布, 于是可得 ( , ) 1 ) 1 ( , ) ( , 1 1 1 1 1 ∑ ∑ = = = = n i i n i i Cov X X n X n Cov X Y Cov X ( , ) 1 ( , ) 1 1 1 1 1 Cov X X n Cov X X n n i = ∑ i = = 2 1 1 ( ) 1 σ n D X n = = . 故正确答案为(C). 三、解答题 (15) (本题满分 8 分) 求 ) cos sin 1 lim( 2 2 2 0 x x x x − → . 【详解】 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin sin cos ) lim cos sin 1 lim( − − = → → = 3 0 4 2 2 0 4 sin 4 2 1 2 lim sin 2 4 1 lim x x x x x x x x − = − → → . 3 4 6 (4 ) 2 1 lim 6 1 cos 4 lim 2 2 0 2 0 = = − = → → x x x x x x

(16)（本题满分8分）求[x2+y)d，其中D是由圆x+y=4和(x+1)+y=1所围成的D平面区域(如图)y0[详解) 令 D, =(x,y)/x2 + y2 ≤4), D, = ((x,y)I(x+1)? +y2 ≤1)由对称性，「[yd=0D[x?+yd=J[x?+y2dg-J[x?+y2doDDD23元-2cos0rdr-2dofr?drdel3o16元3216(3元-2)-39916所以，[J(/?+y2+y)da=(3元-2)9D(17)(本题满分8分)设f(u,v)具有连续偏导数，且满足f(u,v)+f(u,v)=uv求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解【详解】y'=-2e-2*f(x,x)+e-2 f(x,x)+e-2* f(x,x)=-2y+xe-2x因此，所求的一阶微分方程为y+2y=x2e-2x

(16) (本题满分 8 分) 求 ∫∫ + + D ( x y y)dσ 2 2 ，其中 D 是由圆 4 2 2 x + y = 和( 1) 1 2 2 x + + y = 所围成的 平面区域(如图). 【详解】 令 {( , ) | 4}, {( , ) | ( 1) 1} 2 2 2 2 2 D1 = x y x + y ≤ D = x y x + + y ≤ ， 由对称性， = 0 ∫∫ D ydσ . ∫∫ ∫∫ ∫∫ + = + − + 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y dσ x y dσ x y dσ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − θ π π π θ θ 2cos 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 d r dr d r dr . (3 2) 9 16 9 32 3 16 = − = π − π 所以， (3 2) 9 16 ( ) 2 2 + + = − ∫∫ σ π D x y y d . (17) (本题满分 8 分) 设 f (u , v)具有连续偏导数，且满足 f u v f u v uv u ′( , ) + v ′( , ) = . 求 ( ) ( , ) 2 y x e f x x − x = 所满足的一阶微分方程，并求其通解. 【详解】 22 2 2 (,) (,) (,) xx x u v y e f xx e f xx e f xx −− − ′ ′′ =− + + ， 2 2 2 x y xe− =− + 因此，所求的一阶微分方程为 x y y x e 2 2 2 − ′ + = . y D O x

解得 y=e-[2d(f xe-2e[2dx+C)=(jx3+C)e~x(C为任意常数）(18)(本题满分9分）设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格Pe(0，20)，Q为需求量)求需求量对价格的弹性Ea（Ea>0)：dR(I)推导=Q(1-Ea)(其中R为收益)，并用弹性E。说明价格在何范围内变化时，dp降低价格反而使收益增加。P[P do]【详解】Ea=odP=20-P(I)由R=PQ，得=0+P=Q(+)=Q(1-Ea),dpdpOdpP又由Ea==1，得P=1020-P当101，于是0le-2x,x>0Si(t)表示矩形-1≤x≤t，0≤y≤F(t)的面积.求()S(t)=S-S(t)的表达式(Im)S()的最小值 e-2xdx = -e-2x|【详解】MS=2[=1nS(t) = 2te-21因此S(t)=1-2te-21,te(0,+o0)(I) 由于 S(l)=-2(1- 21)e-2t

解得 dx x dx x y e x e e dx C x C e 2 2 2 2 3 2 ) 3 1 ( ) ( − − − + = + ∫ ∫ = ∫ (C 为任意常数). (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)； (II) 推导 (1 ) Q Ed dP dR = − (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) P P dP dQ Q P Ed − = = 20 . (II) 由 R = PQ，得 (1 ) (1 ) Q Ed dP dQ Q P Q dP dQ Q P dP dR = + = + = − . 又由 1 20 = − = P P Ed ，得 P = 10. 当 10 1，于是 ≤ = − , 0 , 0 ( ) 2 2 e x e x F x x x ，S 表示夹在 x 轴与曲线 y = F(x)之间的面积. 对任何 t > 0， ( ) 1S t 表示矩形−t ≤ x ≤ t，0 ≤ y ≤ F(t)的面积. 求 (I) S(t) = S − ( ) 1S t 的表达式； (II) S(t)的最小值. 【详解】(I) 2 1 0 2 0 2 = = − = +∞ − +∞ − ∫ x x S e dx e ， t S t te 2 1( ) 2 − = ， 因此 t S t te 2 ( ) 1 2 − = − ，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于 t S t t e 2 ( ) 2(1 2 ) − ′ = − −

1故S(t)的唯一驻点为t=2又 S"(t)= 8(1- t)e-21,S"-)>0e1)=1-3所以，S(-二为极小值，它也是最小值，2(20)（本题满分13分）设线性方程组+ 2x2+ x4 = 0,[x+ μux32x+X3+2x4=0,+x2[3x +(2+2)x2 +(4+μ)x +4x4=1,已知（1-11-1)是该方程组的一个解，试求（I）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II）该方程组满足x=x,的全部解.将(1,-1,1,-1)代入方程组，得入=μ对方程组的增广矩阵A施以初等行变换【详解】得(1入110)0-21(11- 入-111231A=20011401021-1 21-1)132+12 + 入2(21- 1)1（I）当入二时，有20001111A→100221101022r(A)=r(A)=3<4，故方程组有无穷多解，且2o =(0-1,1(.0)为其一个特解，2°2为=(-2,1,-1,2)，故方程组的全部解为对应的齐次线性方程组的基础解系为11-2+2,0) + (-21,-12)=5 + k=(0,-(k为任意常数）

故 S(t)的唯一驻点为 2 1 t = ， 又 t S t t e 2 ( ) 8(1 ) − ′′ = − ， 0 4 ) 2 1 ′′( = > e S ， 所以， e S 1 ) 1 2 1 ( = − 为极小值，它也是最小值. (20) (本题满分 13 分) 设线性方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + + = + + + = + + + = 3 (2 ) (4 ) 4 1, 2 2 0, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x λ x µ x x x x x x x λx µx x 已知 T (1,−1,1,−1) 是该方程组的一个解，试求 (Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足 2 3 x = x 的全部解． 【详解】 将 T (1,−1,1,−1) 代入方程组，得 λ = µ ．对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换, 得 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 0 0 2(2 1) 2 1 2 1 0 1 3 1 1 1 0 2 1 3 2 2 4 1 2 1 1 2 0 1 1 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ A ， (Ⅰ) 当 2 1 λ ≠ 时，有 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − − 2 1 2 1 0 0 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 A ， r(A) = r(A) = 3 < 4 ，故方程组有无穷多解， 且 T ξ ,0) 2 1 , 2 1 (0, 0 = − 为其一个特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η = (−2,1,−1,2) ，故方程组的全部解为 T T ξ ξ kη ,0) k( 2,1, 1,2) 2 1 , 2 1 (0, = 0 + = − + − − ( k 为任意常数)．

1当入=一时，有211022A-l0300000r(A)=r(A)=2<4，故方程组有无穷多解，,1,0,0)为其一个特解，且。=(-2对应的齐次线性方程组的基础解系为n=(1,-3,1,0)，n2=(-1,-2,0,2)故方程组的全部解为,1,0,0) + k,(1,-3,1,0) + k2(-1,2,0,2)= +k +k2n2 =(-(kj,k,为任意常数)(II）当二时，由于xz=x，即21+h=！-k221解得ik=故方程组的解为211--2,0 +(-21-12) (100)=(1,-21一时，当入=由于x=x，即21-3k,-2k,=k,,11解得k，k，，故方程组的全部解为41211,0,0)+(k,)(1,3,1,0) + k,(-1,-2,0,2))2=--421113112)，(.0)T +k,(-C(k,为任意常数)44.4(21)（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A的秩为2，入，=入，=6是A的二重特征值，若α,=(1,1,0)"，αz=(2,1,1)，α,=(-1,2,-3)，都是A的属于特征值6的特征向量（I）求A的另一特征值和对应的特征向量：

当 2 1 λ = 时，有 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 2 1 2 1 1 0 1 A ， r(A) = r(A) = 2 < 4 ，故方程组有无穷多解， 且 T ξ ,1,0,0) 2 1 ( 0 = − 为其一个特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η (1, 3,1,0) 1 = − ， T η ( 1, 2,0,2) 2 = − − , 故方程组的全部解为 T T T ξ ξ k η k η ,1,0,0) k (1, 3,1,0) k ( 1, 2,0,2) 2 1 ( = 0 + 1 1 + 2 2 = − + 1 − + 2 − − ( 1 2 k , k 为任意常数)． (Ⅱ) 当 2 1 λ ≠ 时，由于 2 3 x = x ，即 − + k = − k 2 1 2 1 ， 解得 2 1 k = ， 故方程组的解为 T T T ξ ( 2,1, 1,2) ( 1,0,0,1) 2 1 ,0) 2 1 , 2 1 = (1,− + − − = − ． 当 2 1 λ = 时， 由于 2 3 x = x ，即 1 2 1 1− 3k − 2k = k ， 解得 1 2 2 1 4 1 k = − k ，故方程组的全部解为 T T T ξ k )(1, 3,1,0) k ( 1, 2,0,2) 2 1 4 1 ,1,0,0) ( 2 1 ( = − + − 2 − + 2 − − T T k ,2) 2 1 , 2 1 , 2 3 ,0) ( 4 1 , 4 1 , 4 1 ( = − + 2 − − − ， ( 2 k 为任意常数)． (21) (本题满分 13 分) 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 6 λ1 = λ2 = 是 A 的二重特征值．若 T α (1,1,0) 1 = , T α (2,1,1) 2 = , T α ( 1,2, 3) 3 = − − , 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量． (Ⅰ) 求 A 的另一特征值和对应的特征向量；