全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1999数学四

1999年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题(1)设函数f(x)=a*(a>0,a1),则/lim[f(I)f(2).. f(n)] =n1Ina【答】2Inf(i)lim-[f()f(2)... f(n)]= lim-【详解】，】on1+2+...+n..Lina.= In a-limn?2(2)已知f(x,y,=)=eyz2其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则 f(0,1,-1)【答】1【详解】因为z=z(x,y)是x,y的函数,于是有Ozf(x, y,z)=e'ye* +2e'yz.ax等式x+y+z+xyz=0两边对x求偏导,得OzOz=0,1++ yz+xyaxaxOz令x=0,y=1,z=-1,由上式得=0.于是有axOz=1(0,1,-1)=1-2ax01)(10 20(3)设A=而n≥2为整数则A"-2A"-101)1【答】O(10020210202040【详解】因为A=00[=2A100021故有 A"-2A"-1=A"-2(A?-2A)=O

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）设函数 f (x) = a (a > 0,a ≠ 1), x .则 [ (1) (2) ( )] _. 1 lim 2 = →∞ f f f n n l n " 【答】 1 ln 2 a 【详解】. 2 2 1 1 1 lim [ (1) (2) ( )] lim ln ( ) n n n i f f fn fi →∞ →∞ n n = " = ∑ 2 12 1 ln lim ln . n 2 n a a →∞ n ++ + = = " i （2）已知 ( , , ) , 2 f x y z e yz x = .其中 z = z(x, y) 是由 x + y + z + xyz = 0 确定的隐函数， 则 ' (0,1, 1) x f − = 【答】 1 【详解】 因为 z = z(x, y) 是 x, y 的函数,于是有 ' 2 (, ,) 2 , x x x z f x y z e yz e yz x ∂ = + ∂ i 等式 x + y + z + xyz = 0 两边对 x 求偏导,得 1 0, z z yz xy x x ∂ ∂ + ++ = ∂ ∂i 令 x yz = = =− 0, 1, 1,由上式得 0 z x ∂ = ∂ ,于是有 ' (0,1, 1) 1 2 1. x z f x ∂ − =− = ∂ i (3)设 101 020 101 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A ，而 n ≥ 2 为整数,则 1 2 n n− A − A = . 【答】 O 【详解】 因为 2 101 101 202 0 2 0 0 2 0 0 4 0 2. 101 101 202 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = == ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A i A 故有 1 22 2 ( 2) . nn n O − − A A AA A − = −=

10-2021（4）已知AB-B=A其中B=则A=210010121【答】012002【详解】由AB-B=A,有A=B(B-E)-,而[o-207O01-20000(B- E)- =-1210010 2]010I200-201 1121000故有-101220002Lo002(5)设随机变量X服从参数为入的泊松(Poisson)分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1则入=【答】1【详解】由题设X服从参数为的泊松(Poisson)分布,因此有E(X)=,D(X)=于是根据E[(X-1)(X-2)]=E(X2)-3E(X)+2=D(X)+[E(X)P-3E(X)+2=^+2?-3+2=1,解得入=1.二、选择题(1)设f(x)是连续奇函数，F(x)是f(x)的原函数,则(A）当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数

（4）已知 ABB A − = , 其中 1 20 2 1 0, 002 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B 则 A = 【答】 1 1 0 2 1 1 0 2 0 02 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】 由 AB-B=A,有 1 ( ), − A BB E = − 而 1 1 0 20 0 10 1 ( ) 2 0 0 1 0 0. 2 0 0 1 0 02 − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ − = =− ⎣ ⎦⎣ ⎦ B E 故有 1 1 0 2 1 20 0 10 1 1 2 1 0 100 1 0 2 2 0 0 1 0 02 0 02 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − =−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A i （5） 设随机变量 X 服从参数为λ 的泊松(Poisson)分布,且已知 EX X [( 1)( 2)] 1, − −= 则λ = 【答】 1 【详解】 由题设 X 服从参数为λ 的泊松(Poisson)分布,因此有 EX DX () ,() . = = λ λ 于是根据 2 E X X EX EX [( 1)( 2)] ( ) 3 ( ) 2 − −= − + 2 2 = + − +=+ − += DX EX EX ( ) [ ( )] 3 ( ) 2 3 2 1, λλ λ 解得 λ =1. 二、选择题 （1） 设 f (x) 是连续奇函数, F(x)是 f (x) 的原函数,则 (A) 当 f (x) 是奇函数时， F(x)必为偶函数

(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C）当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数【答】 (A)【详解】f(x)的原函数 F(x)可以表示为F(x)=f(t)dt+C,于是F(-x)= [f(0)dt +Cu=-f,f(-u)d(-u)+C当f(x)为奇函数,即f(-u)=-f(u),从而有F(-x)=J,f(t)dt +C=J, f(t)d +C= F(x),即F(x)为偶函数故(A)为正确选项,至于(B),(C),(D)可分别举反例如下Ix+1不是奇函数,可排除(B)；f(x)=x是偶函数,但其原函数F(x)=3f(x)=cosx是周期函数,但其原函数 F(x)=-x+--sin2x不是周期函数，可排除（C)2412x2在区间(-0,+0)f(x)=x在区间(-0,+o0)内是单调增函数,但其原函数F(x)=2内非单调增加函数,可排除(D)（2）设f(x,y)连续，且f(x,y)=xy+[[f(u,v)dudvy，其中D是由Dy=0,y=x2,x=1所围区域，则f(xy)等于(B) 2xy(A) xyt1(C) xy +xy+1(D)8【答】(C)【详解1】令[f(u,v)dudy=AD则 f(x,y)=xy+A,将 f(x,y)=xy+A代入(*)式得[ [uw+ A]dudy= A即[[[xy+A]dxdy=A

(B) 当 f (x) 是偶函数时， F(x)必为奇函数 (C) 当 f (x) 是周期函数时， F(x)必为周期函数 (D) 当 f (x) 是单调增函数时， F(x)必为单调增函数 【答】 (A) 【详解】 f ( ) x 的原函数 F x( )可以表示为 0 ( ) () , x F x f t dt C = + ∫ 于是 0 0 ( ) () ( ) ( ) . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数,即 f ( ) ( ), − =− u fu 从而有 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ). x x F x f t dt C f t dt C F x − −= += += ∫ ∫ 即 F x( )为偶函数. 故(A)为正确选项,至于(B),(C),(D)可分别举反例如下: 2 f ( ) x x = 是偶函数,但其原函数 1 3 () 1 3 Fx x = + 不是奇函数,可排除(B); 2 f ( ) cos x x = 是周期函数,但其原函数 1 1 ( ) sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数,可排除(C); f ( ) x x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内是单调增函数,但其原函数 1 2 ( ) 2 Fx x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内非单调增加函数,可排除(D). （ 2 ） 设 f (x, y) 连续，且 ( , ) ( , ) , ∫∫ = + D f x y xy f u v dudv 其 中 D 是 由 0, , 1 2 y = y = x x = 所围区域，则 f (x, y) 等于 (A) xy （B）2xy (C) 8 1 xy + (D) xy +1 【答】 (C) 【详解 1】 令 (,) D f u v dudv A = ∫∫ 则 f (, ) x y xy A = + ,将 f (, ) x y xy A = + 代入(*)式得 [ ] D uv A dudv A + = ∫∫ 即 [ ] D xy A dxdy A + = ∫∫

xdx= Adxxydy11A=A,解得A=12381故f(x,y)=xy+d【详解2】等式f(xy)=xy+【f(u,v)dudv两边取在区域D上的二重积分得JJ f(x, y)dxdy= JJ xydxdy+ JJ xydxdy-J] f(u, v)dudvADDD1[ f(x, )dxdy = f'dxJ, xydxdy+ f'x dx.] f(x,y)dxdy0-+ ([[ f(x, y)dxdy=DJ (x, )ddy=!由上式解得8D(x,)=+则0（3）设向量β可由向量组α,αz，αm线形表示，但不能有向量组(I）α,αz…αm-1线性表示，记向量组（II）：ααz，αm-1,β，则：（A）αm不能由（I)线性表示，也不能由（I）线性表示（B）α㎡不能由（I)线性表示，但可由（II）线性表示(C)α㎡可由（I)线性表示，也可由（II）线性表示(D)αm可由（I)线性表示，但不能由（I）线性表示【答】 (B)【详解】由题设,存在k,k,，".k.,使得β=ka,+k,a,+...kmam且km±0.否则与β不能由向量组α,αz,αm-线性表示矛盾,从而有Kkm-L am-l1βα.a-kmkmkm

2 1 1 2 00 0 x dx xydy A x dx A + = ∫∫ ∫ 1 1 , 12 3 + = A A 解得 1 8 A = 故 1 (, ) 8 f x y xy = + 【详解 2】 等式 (, ) (,) D f x y xy f u v dudv = + ∫∫ 两边取在区域 D 上的二重积分得: (, ) (,) D D DD f x y dxdy xydxdy xydxdy f u v dudvA = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ i 2 1 1 2 00 0 (, ) (, ) x D D f x y dxdy dx xydxdy x dx f x y dxdy = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ i 1 1 (, ) (, ) 12 3 D D f x y dxdy f x y dxdy = + ∫∫ ∫∫ 由上式解得 1 (, ) 8 D f x y dxdy = ∫∫ 则 1 (, ) 8 f x y xy = + （3）设向量 β 可由向量组 1 2 , , α α α " m 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) 12 1 , , α α α " m− 线性表示，记向量组（Ⅱ）： 12 1 , , α α αβ " m− ，则： (A) α m 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B）α m 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 (C) α m 可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 (D) α m 可由(Ⅰ)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示 【答】 (B) 【详解】 由题设,存在 1 2 , , m kk k " 使得 11 2 2 , m m β =+ + kk k αα α " 且 0 mk ≠ .否则与 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示矛盾,从而有 1 1 1 1 1 , m m m m mm k k k kk − α =− − − + α αβ " −

即αm可由向量组α,α2,"αm-1β线性表示又根据β不能由向量组α,αzαm-线性表示知，αm一定不能由αj,αz，αm线性表示，否则将α用α，αz，αm-线性表示后代入(*)式，即可推出矛盾因此正确选项为(B)（4）设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则DX+Y)=DX+DY是X和Y（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件。但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件【答】[C]【详解】 因为D(X+Y)=E[X+Y-E(X)-E(Y)}=E[X - E(X)} + E[Y - E(Y)} + 2E[X -E(X)][Y -E(Y)]= D(X)+ D(Y)+2rx /D(X)·D(Y),因此,由题设 D(X+Y)=D(X)+D(Y) rx=0可见正确选项为(C)（5）假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=minX,2)的分布函数（）(A）是连续函数(B）至少有两个间断点(C）是阶梯函数(D）恰好有一个间断点【答】 (D)【详解】.Y的分布函数为F(y)= P(Y≤y) = P(min(X,2)≤y) =1- P(min(X,2)>y)=1- P(X >y,2>y)考虑yy)= P(X ≤y)

即 α m 可由向量组 12 1 , , α α αβ " m− 线性表示. 又根据 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示知, α m 一定不能由 1 2 , , α α α " m 线性表 示,否则将α m 用 12 1 , , α α α " m− 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾. 因此正确选项为(B) （4） 设随机变量 X 和Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X + Y) = DX + DY 是 X 和Y （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件。但不是充分条件 （C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件 【答】 [C] 【详解】 因为 2 DX Y EX Y E X EY ( ) [ ( ) ( )] + = +− − 2 2 = − +− + − − E X E X EY EY E X E X Y EY [ ( )] [ ( )] 2 [ ( )][ ( )] ( ) ( ) 2 ( ) ( ), = ++ D X DY r D X DY XY i 因此,由题设 ( ) ( ) ( ) 0, D X Y D X DY r + = + ⇔= XY 可见正确选项为(C). （5）假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y = min{X,2}的分布函数（） (A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 【答】 (D) 【详解】.Y 的分布函数为 F y PY y P X y P X y ( ) { } {min( ,2) } 1 {min( ,2) } = ≤ = ≤ =− > =− > > 1 { ,2 }. PX y y 考虑 y = ≤

y<Ofo.1-e-iy,0≤y<2但y≥2时，F(y)=1[0,y<0F()={1-e-y,0≤y<2所以，[1,J≥2可见F(y)只在y=2处有一个间断点,故正确选项为(D)三、（本题满分6分）1曲线y=的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为α，试求切线Vx方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？NPoaQ1【详解】由y=，得y'=2.则切点P(a,）处的切线方程为Vx2Ya1(x-a)a2Va3切线与x轴和y轴的交点分别为A(3a,0)和B(0,2Va于是,三角形AOB的面积为13=2JaS=-3a.22a4当切点沿x轴方向趋于无穷远时，有limS=+oo7→+0

0, 0 ; 1 ,0 2 y y e y −λ ⎧ < = ⎨ ⎩ − ≤ < 但 y ≥ 2时, () 1 F y Y = 所以, 0, 0 () 1 ,0 2 1, 2 y y Fy e y y −λ ⎧ < ⎪ = − ≤< ⎨ ⎪ ≥ ⎩ 可见 ( ) F y Y 只在 y = 2 处有一个间断点,故正确选项为(D). 三 、（本题满分 6 分） 曲线 x y 1 = 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a ，试求切线 方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 【详解】 由 1 y , x = 得 3 2 1 ' , 2 y x− = − 则切点 1 P a(, ) a 处的切线方程为 3 1 1 ( ). 2 y xa a a − =− − 切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A a (3 ,0) 和 3 (0, ). 2 B a 于是,三角形 AOB 的面积为 1 39 3 2 4 2 Sa a a = = i i . 当切点沿 x 轴方向趋于无穷远时,有 lim . a S →+∞ = +∞

当切点沿y轴方向趋于无穷远时，有limS=0O四、（本题满分7分）计算二重积分[ydxdy,其中D是由x=-2,y=0,y=2以及曲线x=2y-y?所围成的平面区域D0-2【详解1】如图所示,D=(x,J)/0≤≤2,-2≤x≤-2-)则 J yddy=J.yo dx=2f y-J.2y-dy=4-f/1-(y-1) dy令y-1=sint,则[y/i-(y-1)dy=[(1+sint)cos"tdt.cosidt+.cos sinidi=元2[[ ydxdy = 4 _ 元于是2D【详解2】区域D和D如图所示，有JJ ydxdy= JJ ydxdy,-J] ydxdy,1D+D,D[ ydxdy = [, dx[, ydy = 4易知D+D

当切点沿 y 轴方向趋于无穷远时,有 0 lim 0. a S → + = 四 、（本题满分 7 分） 计算二重积分 , ∫∫ D ydxdy 其中 D 是由 x = −2, y = 0, y = 2 以及曲线 2 x = 2y − y 所围 成的平面区域. 【详解 1】 如图所示, 2 D xy y x y y = ≤ ≤ − ≤ ≤− − {( , ) | 0 2, 2 2 }, 则 2 22 2 2 2 02 0 0 2 2 y y D ydxdy ydy dx ydy y y y dy − − − = =− − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 =− − − 4 1 ( 1) y y dy ∫ 令 y t − =1 sin ,则 2 2 2 2 0 2 y y dy t tdt 1 ( 1) (1 sin )cos π π − −− = + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 cos cos sin . 2 tdt t tdt π π π π π − − =+ = ∫ ∫ 于是 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 【详解 2】 区域 D 和 D1 如图所示,有 1 1 , , D DD D ydxdy ydxdy ydxdy + = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ 易知 1 0 2 2 0 4. D D ydxdy dx ydy − + = = ∫∫ ∫ ∫

而在极坐标系下,有 D,=((r,の)1≤0≤元,0≤r≤2sin0于是 JJ ydxdy= [edo[2ine,[" sin*0dersing.rdr=3J号D,1-cos? 0)80do_"22JJ ydxdy =4- 故2D[l ydxdy【详解3】由心形公式y=SD[ydxdy=yS,,其中y为D的心形y坐标知D由D的图形不难看出y=1，S为积分域D的面积，该面积应为正方形减去半圆,S,=4-"2J dxdy= 4- ~则2O五、（本题满分6分）设生产某种产品必须投入两种元素，x，和x，分别为两元素要投入量，O为产出量：若生产函数为Q=2xx，其中αβ为正常数，且α+β=1。假设两种元素的价格分别为p和P2，试问：当产量为12时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小【详解】根据题设,在产出量满足12=2xx的条件下,求总费用C=P+P2的最小值,为此构造拉格朗日函数F(x,x2,2)= p,x, +p2x, +2(12-2xx)

而在极坐标系下,有 1 {( , ) | ,0 2sin }, 2 Dr r π = ≤≤ ≤≤ θ θπ θ 于是 1 2sin 4 0 2 2 8 sin sin 3 D ydxdy d r rdr d πθ π = = π π θ θ θθ ∫∫ ∫ ∫ ∫ i 2 2 2 8 1 cos . 32 2 d π π θ π θ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 故 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 【详解 3】由心形公式 D D ydxdy y S = ∫∫ 知 , D D ydxdy y S = ∫∫ i 其中 y 为 D 的心形 y 坐标, 由 D 的图形不难看出 y =1 , D S 为积分域 D 的面积,该面积应为正方形减去半 圆, 4 2 D S π = − 则 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 五 、（本题满分 6 分） 设生产某种产品必须投入两种元素， 1 x 和 2 x 分别为两元素要投入量，Q 为产出量；若 生产函数为 α β 2 1 2 Q = x x ，其中αβ 为正常数，且α + β = 1。假设两种元素的价格分别为 1 p 和 2 p ，试问：当产量为 12 时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小. 【详解】 根据题设,在产出量满足 1 2 12 2x xα β = 的条件下,求总费用C px px = 11 2 2 + 的最小 值,为此构造拉格朗日函数 1 2 11 2 2 1 2 F x x px px x x ( , , ) (12 2 ). α β λ λ =+ + −

aF(1)=p,-21αxOx,aF(2) 令=P2-2Bxxax2aF=12-2xx q=0,(3)[aa由第1,2个方程,得BxP2P,aX2PBPiax2将x代入第3个方程，得PBPQX, =6F(P,B(P,aPBP,a.时，投入因驻点唯一且实际问题存在最小值，故当xX(pβPa费用最小六、（本题满分6分）设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时xerf(x)F(x) =2(1 + x)2已知F(0)=1,F(x)>0，试求f(x)【详解】因为F(x)=f(x)，所以有xe'rxerF'(x)F(x)=，即 2F(x)F(x)=2(1 + x)2(1+x)2上式两边积分，得erxe[2F(x)F(x)dx =-dx,即F(x)+C(1+x)1 + x由F(0)=1得F2(0)=1+C

令 1 1 12 1 1 2 12 2 1 2 2 0, (1) 2 , (2) 12 2 0, (3) F p xx x F p xx x F x x α α β β α β λα λβ λ − − ⎧∂ =− = ⎪∂⎪ ⎪ ∂ ⎨ = − ∂⎪ ⎪∂ ⎪ =− = ⎩ ∂ 由第 1,2 个方程,得 21 2 1 2 12 1 , , px p x x px p β α α β = = 将 1 x 代入第 3 个方程,得 1 2 2 1 2 1 6 ,6 . p p x x p p α β β α α β ⎛⎞ ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 因驻点唯一,且实际问题存在最小值,故当 1 2 2 1 2 1 6 ,6 . p p x x p p α β β α α β ⎛⎞ ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 时,投入 费用最小. 六、（本题满分 6 分） 设 F(x)为 f (x) 的原函数，且当 x ≥ 0时 2 2(1 ) ( ) ( ) x xe f x F x x + = 已知 F Fx (0) 1, ( ) 0 = > ，试求 f (x) 【详解】 因为 F x fx '( ) ( ) = ，所以有 2 '( ) ( ) 2(1 ) x xe F xFx x = + ，即 2 2 '( ) ( ) (1 ) x xe F xFx x = + . 上式两边积分,得 2 2 '( ) ( ) , (1 ) x xe F x F x dx dx x = + ∫ ∫ 即 2 () . 1 x e Fx C x = + + 由 F(0) 1 = 得 2 F C (0) 1 . = +

er于是有C=0.又F(x)>0,从而F(x)=V1+xMIxe2故 (x)=F(x)=2(1 + x)七、（本题满分6分）已知f(x)连续，[tf(x-t)dt=1-cos x，求f(x)dx的值【详解】令x-t=u,有J"tf(x-1)dt= f"(x-)(u)du于是原等式转化为xf, f(u)du-f, uf(u)du =1-cos x.两边对x求导，得[' f(u)du = sin x.在上式中，令x=元，得2 f(x)dx=)2八、（本题满分6分）证明：当02元【详解1】将要证不等式右端项移到左端，设辅助函数为(a)=sin±_三2元”1 .x1则有f(x)=-CoS-2元2-1sin号00即21元【详解2】将要证的不等式等价变形为

于是有C = 0 . 又 F x() 0 > ,从而 () , 1 x e F x x = + 故 2 3 2 ( ) '( ) 2(1 ) x xe fx F x x = = + 七、（本题满分 6 分） 已知 f (x) 连续， tf x t dt x x ( ) 1 cos 0 − = − ∫ ，求 ∫ 2 0 ( ) π f x dx 的值 【详解】 令 x − t u = , ,有 0 0 ( ) ( ) () . x x tf x t dt x u f u du −= − ∫ ∫ 于是原等式转化为 0 0 ( ) ( ) 1 cos . x x x f u du uf u du x − =− ∫ ∫ 两边对 x 求导，得 0 ( ) sin . x f u du x = ∫ 在上式中，令 2 x π = ，得 2 0 f () 1 x dx π = ∫ 八、（本题满分 6 分） 证明：当0 2 sin . 【详解 1】 将要证不等式右端项移到左端,设辅助函数为 ( ) sin , 2 x x f x π = − 则有 1 1 '( ) cos , 2 2 x f x π = − 1 "( ) sin 0.(0 ). 4 2 x fx x =− ,即 π x x > 2 sin 【详解 2】 将要证的不等式等价变形为