全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2005数学四

2005年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题2x（1）极限limxsin-x2 +1【答】22x2x【详解】limxsin=limx= 2.x2 +1x2 +1X0x→0(2)微分方程xy'+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为【答】xy=2【详解】原方程可化为（xy）=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2（3）设二元函数z=xe*+y+(x+1)ln(1+y)，则dz1.0【答】2edx+(e+2)dyOz= e+y + xe+y + In(1+ y),【详解】ax%= xey+!ay1+y于是dz= 2edx + (e + 2)dy(1.0)（4）设行向量组(2,1,1,)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，（4,3,2,1)线性相关，且a±1，则a=1【答】-2【详解】由题设，有1212C=(a-1)(2a-1)= 0,32341得a=1,a=但题设a±1，故a：221

1 2005 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）极限 1 2 lim sin 2 →∞ x + x x x = . 【答】 2 【详解】 1 2 lim sin 2 →∞ x + x x x = 2. 1 2 lim 2 = →∞ x + x x x （2） 微分方程 xy′ + y = 0满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 . 【答】 xy = 2 . 【详解】 原方程可化为 (xy)′ = 0，积分得 xy = C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz . 【答】 2edx + (e + 2)dy 【详解】 e xe ln(1 y) x z x y x y = + + + ∂ ∂ + + , y x xe y z x y + + = + ∂ ∂ + 1 1 , 于是 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . （4）设行向量组(2,1,1,1) ， (2,1, a,a) ，(3,2,1,a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a ≠ 1，则 a= . 【答】 2 1 【详解】 由题设，有 = 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 a a a (a −1)(2a −1) = 0 , 得 2 1 a = 1,a = ，但题设 a ≠ 1，故 . 2 1 a =

（5）设αiα2,α,均为3维列向量，记矩阵A=(α,α,α),B=(α,+α+α,α+2α2+4α,α,+3α+9α),如果A=1，那么B=_【答】2【详解】由题设，有B=(α+α2+α3,α+2α2+4α3,α+3α2+9α)[1 11]=(αj,α2,α)123[1 4 9] 11于是有[B|=|4]-1 23=1x2=2149（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,,X中任取一个数，记为Y，则P(Y = 2) =13【答】48【详解】P(Y = 2)= P(X = 1)P(Y = 2X = I)+ P(X = 2)P(Y = 2X = 2)+P(X = 3)P(Y =2|X =3)+P(X = 4)P(Y = 2X = 4)1,1,1-131=×(0+234-484二、选择题（7）当a取下列哪个值时，函数f(x）=2x3-9x2+12x-α恰好有两个不同的零点(A) 2.(B)4.(C) 6.(D)8.【答】[B]f(x) = 6x2 -18x +12=6(x- 1)(x - 2),【详解】知可能极值点为x=1,x=2，且f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时，函数f(x）恰好有两个零点，故应选(B)2

2 （5）设 1 2 3 α ,α ,α 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = α1 α 2 α 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = α 1 +α 2 +α 3 α 1 + α 2 + α 3 α 1 + α 2 + α 3 ， 如果 A = 1，那么 B = . 【答】 2 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = α 1 +α 2 +α 3 α 1 + α 2 + α 3 α 1 + α 2 + α 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) α1 α 2 α 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A ⋅ = × = （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从1,2,", X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2}= . 【答】 48 13 【详解】 P{Y = 2}= P{X = 1}P{Y = 2 X = 1}+ P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3}+ P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1 × + + + = 二、选择题 （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 【答】 [ B ] 【详解】 ( ) 6 18 12 2 f ′ x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) ， 知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ， 可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选(B)

(8)设 I, =[[cos /x +ydo,1, = [[cos(x + y)do,I, = [[cos(x + )d其中 D=(x,)x2 +y2≤1),则(A) 1 >I2 >I.(B) I,>I, >I3 .(C) I, >I>Ig.(D) I,>I,>I2 【答】[A]【详解】在区域D=(x)x2+y≤1)上，有0≤x2+≤1从而有">1≥ /x?+y ≥x+y≥(x?+) ≥02由于cOsx在(0,)上为单调减函数，于是0≤cos /x? + y2 ≤cos(x2 + y2)≤ cos(x? +y2)[[cos /x? + y’ do< [[cos(x? + y?)do <因此[[cos(x? + y2)’dg ,-故应选(A).（9）下列结论中正确的是dxdxdxdx都收敛．（B）(A)都发散x(x+1)0 x(x+1)x(x +1)0 x(x+1)dxdxdxdx发散，一收敛。(D)一收敛，发散(C)0 x(x + 1)x(x+ 1)x(x+1) x(x+1)【答】[D]dxX【详解】ln2，积分收敛，Inx(x+1)/x+1dxx=0-（-0）=+0，积分发散T0 x(x + 1)x+1故应选(D)（10）设f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是3

3 （8）设 I x y dσ D ∫∫ = +2 2 1 cos , I x y dσ D ∫∫ = cos( + ) 2 2 2 , I x y dσ D ∫∫ = +2 2 2 3 cos( ) , 其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ ，则 (A) 3 2 1 I > I > I . （B） 1 2 3 I > I > I . (C) 2 1 3 I > I > I . (D) 3 1 2 I > I > I . 【答】 [ A ] 【详解】 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ 上，有0 1 2 2 ≤ x + y ≤ ， 从而有 2 2 1 2 > ≥ x + y π ≥ 2 2 x + ≥ y ( ) 0 2 2 2 x + y ≥ 由于 cosx 在 ) 2 (0, π 上为单调减函数，于是 2 2 0 ≤ cos x + y cos( ) 2 2 ≤ x + y ≤ 2 2 2 cos(x + y ) 因此 + < ∫∫ x y dσ D 2 2 cos + < ∫∫ x y dσ D cos( ) 2 2 x y dσ D ∫∫ +2 2 2 cos( ) ， 故应选(A). （9）下列结论中正确的是 (A) ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 与 ∫ + 1 0 x(x 1) dx 都收敛. （B） ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 与 ∫ + 1 0 x(x 1) dx 都发散. (C) ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 发散， ∫ + 1 0 x(x 1) dx 收敛. (D) ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 收敛， ∫ + 1 0 x(x 1) dx 发散. 【答】 [D] 【详解】 ∫ +∞ 1 x(x +1) dx = ln 2 1 ln 1 = + +∞ x x ，积分收敛， ∫ + 1 0 x(x 1) dx = = − −∞ = +∞ + 0 ( ) 1 ln 1 0 x x ，积分发散. 故应选(D). （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是

）是极小值）是极大值(A）f(O)是极大值，（B）f(O)是极小值，f1(22（）也是极小值(C)F()也是极大值f(0)是极大值，f(0)是极小值，(D)2【答】[B]【详解】f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,显然F(O)=0,F()=0,又f"(x)=cosx-xsinx,且"(0)=1>0, "()=-<0,2)是极大值，应选(B)故f(0)是极小值，fe2（11）以下四个命题中，正确的是(A）若f'(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界(C）若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界(D）若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界【答】[C]11设f(x)=，则f(x)及f(x)=-均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1)【详解】ixx1内无界，排除(A)、(B)；又f(x)=/x在（0，1）内有界，但f(x)=在（0，1）内2/x无界，排除(D)故应选(C)（12）设A.B.C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB.C=A+CA，则B-C为(A)E.(B) -E.(C) A.(D) -A【答】[A]【详解】由B=E+AB,C=A+CA，知(E-A)B=E, C(E-A)=A,可见，E-A与B互为逆矩阵，于是有B(E-A)=E.从而有(B-C)(E-A)=E-A而E-A可逆，故B-C=E.应选(A)（13）设二维随机变量(X,Y）的概率分布为4

4 (A) f(0)是极大值， ) 2 ( πf 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 ( πf 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 ( πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 ( πf 也是极小值. 【答】 [ B ] 【详解】 f ′(x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x， 显然 ) 0 2 ′(0) = 0, ′( = π f f ，又 f ′′(x) = cos x − x sin x ， 且 0 2 ) 2 ′′(0) = 1 > 0, ′′( = − < π π f f ， 故 f(0)是极小值， ) 2 ( πf 是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f ′(x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f ′(x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f ′(x) 在（0，1）内有界. 【答】 [ C ] 【详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 ( ) x f ′ x = − 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1） 内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 x f x 2 1 ′( ) = 在（0，1）内 无界，排除(D). 故应选(C). （12）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB,C=A+CA，则 B-C 为 (A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A 【答】 [ A ] 【详解】 由 B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A, 可见，E-A 与 B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E. 从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而 E-A 可逆，故 B-C=E. 应选(A). （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为

01X00.4 a1b0.1已知随机事件(X=O)与(X+Y=1)相互独立，则a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(A)(C) a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4【答】[B]【详解】由题设，知a+b=0.5又事件X=O！与X+Y=1相互独立，于是有P(X=0,X +Y=1)=P(X=O)P(X+Y=I),即a=(0.4 +a)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0.1，故应选(B)（14）设X.,X，.…X....为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(>1)的指数分布，记Φx）为标准正态分布函数，则2x,-na--nalim P(-llim P(=(A)≤x)=Φ(x)(B)≤x) =Φ(x)aVnIna102x,-aMrXial≤ x) = 0(x)(D)lim P(≤(C) lim Pf-≤ x) = Φ(x).Vnn00Vnan→>00[答][C]11EX.,DX,【详解】由题设，：i=1,2,.,n,.,于是元nnDZX, =EEX,入1i=lXn>Xn元i根据中心极限定理，知其极限分布服从标准正态分VnnV布，故应选(C)5

5 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 【答】 [ B] 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，于是有 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， 即 a= (0.4 + a)(a + b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). （14） 设 X1 , X 2 ,", X n ,"为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ(λ > 1)的 指数分布，记Φ(x) 为标准正态分布函数，则 (A) lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ λ . (B) lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ λ . (C) lim { } ( ). 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ (D) lim { } ( ). 1 x x n X P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ λ 【答】[ C ] 【详解】 由题设， 2 1 , 1 λ λ EXi = DXi = ，i = 1,2,",n,"，于是 λ n E X n i ∑ i = =1 ， 2 1 λ n D X n i ∑ i = = ， 根据中心极限定理，知 n X n n n X n i i n i ∑ i ∑ = = − = − 1 2 1 λ λ λ 其极限分布服从标准正态分 布，故应选(C)

三、解答题（15）（本题满分8分）1+ x求lim(1x-01-e-x子x+x2-1+e-x1+x1【详解】lim()=limx→0 1-e-xx(1-e-*)4x-0X+x?-1+e"x1+2x-e-r=lim -=lim-x22xx-→0x→02+e-r3=limM22x→0（16）（本题满分8分）设f)具有二阶连续导数，且g(x)=)+()，求Ox?y2xy【详解】由已知条件可得g=++axxya'g-2yLm+F"fn+ax?xyyog-F(当)+f(-)-=()dyxxy山ya'g1Xf'A?3ay2J2Vxyy130g-y20'g所以ax?Oy22yV()++xX112)xx6

6 三 、解答题 （15）（本题满分 8 分） 求 ). 1 1 1 lim( 0 e x x x x − − + → − 【详解】 (1 ) 1 ) lim 1 1 1 lim( 2 0 0 x x x x x x e x x e e x x − − → − → − + − + − = − + = 2 2 0 1 lim x x x e x x − → + − + = x x e x x 2 1 2 lim 0 − → + − = . 2 3 2 2 lim 0 = + − → x x e （16）（本题满分 8 分） 设 f(u)具有二阶连续导数，且 ( , ) ( ) ( ) y x yf x y g x y = f + ，求 . 2 2 2 2 2 2 y g y x g x ∂ ∂ − ∂ ∂ 【详解】 由已知条件可得 ( ) ( ) 2 y x f x y f x y x g = − ′ + ′ ∂ ∂ ， ( ) 1 ( ) ( ) 2 4 2 2 3 2 y x f y y x f x y x y f x y x g = ′ + ′′ + ′′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 1 y x f y x y x f x y f y x g = ′ + − ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 2 2 2 2 y x f y x y x f y x y x f y x x y f y x g = ′′ − ′ + ′ + ′′ ∂ ∂ ， 所以 2 2 2 2 2 2 y g y x g x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y x f y x y x f x y x y f x y ′ + ′′ + ′′ ( ) ( ) 2 2 2 y x f y x x y f x y − ′′ − ′′ = ( ). 2 x y f x y ′

（17）（本题满分9分）计算二重积分[x2+y?-1dg，其中D=((x,)0≤x≤1,0≤y≤1)【详解】记D, =(x,y)x? + y? ≤1,(x,y)eD),D, = (x,y)x? + y? > 1,(x,y)e D),[]x? + y2 -1dg =- [[(x + y2 -1)dxdy + [(x? + y2 -1)dxdy于是Df def" (r? -1)rdr + J(x? + y? -1)dxdy - [[(x? + y? -1)dxdyD,+J'daf(x2 +y2-1)dy-e dof"(r2 -1)rdr=-843（18）（本题满分9分）求fxy)=x-y°+2在椭圆域D=(x,)x2+≤1上的最大值和最小值Xa( = 2x =0.% --2y = 0 【详解】axdyaf且A==2,得可能极值点为x=0,y=0.ax?(0,0)afafB=C==0,=-2,0y/ (0,0)axoyl (0,0)△=B2-AC=4>0，所以点(0,0）不是极值点，从而也非最值点3再考虑其在边界曲线x2+=1上的情形：令拉格朗日函数为AF(x,y,2)= (x,)+ (x +兰1)47

7 （17）（本题满分 9 分） 计算二重积分 x y dσ D ∫∫ + −1 2 2 ，其中 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 【详解】 记 {( , ) 1,( , ) } 2 2 D1 = x y x + y ≤ x y ∈ D ， {( , ) 1,( , ) } 2 2 D2 = x y x + y > x y ∈ D ， 于是 x y dσ D ∫∫ + −1 2 2 = ∫∫ − + − 1 ( 1) 2 2 D x y dxdy ∫∫ + + − 2 ( 1) 2 2 D x y dxdy = ∫ ∫ − − 2 0 2 1 0 ( 1) π dθ r rdr ∫∫ + + − D (x y 1)dxdy 2 2 ∫∫ − + − 1 ( 1) 2 2 D x y dxdy = 8 π + ∫ ∫ ∫ ∫ + − − − 2 0 1 0 2 2 1 0 2 1 0 ( 1) ( 1) π dx x y dy dθ r rdr = . 3 1 4 − π （18）（本题满分 9 分） 求 f(x,y)= 2 2 2 x − y + 在椭圆域 1} 4 {( , ) 2 2 = + ≤ y D x y x 上的最大值和最小值. .【详解】 令 2 0, = −2 = 0 ∂ ∂ = = ∂ ∂ y y f x x f 得可能极值点为 x=0,y=0. 且 2 (0,0) 2 2 = ∂ ∂ = x f A ， 0 (0,0) 2 = ∂ ∂ ∂ = x y f B ， 2 (0,0) 2 2 = − ∂ ∂ = y f C ， 4 0 2 ∆ = B − AC = > ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线 1 4 2 2 + = y x 上的情形：令拉格朗日函数为 1) 4 ( , , ) ( , ) ( 2 2 = + + − y F x y λ f x y λ x

af+2x =2(1 + 2)x=0,FLaxafNy1解H-2v+-y=0,2Oy2F=x+-1=04得可能极值点x=0,y=2,元=4；x=0,y=-2,元=4；x=l,y=0,a=-1;x=-1,y=0,a=-1代入f(x,J)得f(0,±2)=-2,f(±1,0)=3,可见()在区域D=(,)+≤1)内的最大值为3，最小值为-24（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续，且f(0)=0,f(x)≥0,g(x)≥0.证明：对任何ae[0,1]有"g(x)(x)dx +f (x)g(x)dx ≥ f(a)g(1)【详解】方法一：设F(x) = I" g(t)'()dt + " f(t)g(t)dt - f(x)g(1),则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且F'(x)= g(x)f'(x)- f'(x)g(1)= f'(x)[g(x)-g(1)l 由于xe[0,1]时，f(x)≥0,g(x)≥0,因此F(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减注意到F()= I'g(0)F'(0)dt + f" f(0)g(0)dt- f()g(),I"g()F()dt = I'g(1)dr()= g(0)() -f" r()g()dt而=f(1)g(1)-f f(0)g'()dt ,8

8 解 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = + − = + = − + = ∂ ∂ ′ = + = + = ∂ ∂ ′ = 1 0, 4 0, 2 1 2 2 2 2(1 ) 0, 2 2 y F x y y y y f F x x x f F y x λ λ λ λ λ 得可能极值点 x = 0, y = 2,λ = 4 ； x = 0, y = −2,λ = 4； x = 1, y = 0,λ = −1； x = −1, y = 0,λ = −1. 代入 f (, ) x y 得 f (0,±2) = −2, f (±1,0) = 3， 可见 z= f (, ) x y 在区域 1} 4 {( , ) 2 2 = + ≤ y D x y x 内的最大值为 3，最小值为-2. （19）（本题满分 8 分） 设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f ′(x) ≥ 0 , g′(x) ≥ 0 .证明：对任何 a∈[0,1], 有 ∫ ∫ ′ + ′ ≥ a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1). 【详解】 方法一：设 F(x) = ∫ ∫ ′ + ′ − x g t f t dt f t g t dt f x g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ， 则 F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F′(x) = g(x) f ′(x) − f ′(x)g(1) = f ′(x)[g(x) − g(1)]， 由于 x ∈[0,1] 时， f ′(x) ≥ 0, g′(x) ≥ 0 ， 因此 F′(x) ≤ 0 ，即 F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到 F(1) = ∫ ∫ ′ + ′ − 1 0 1 0 g(t) f (t)dt f (t)g (t)dt f (1)g(1)， 而 ∫∫ ∫ ′ = = − ′ 1 0 1 0 1 0 1 0 g(t) f (t)dt g(t)df (t) g(t) f (t) f (t)g (t)dt = ∫ − ′ 1 0 f (1)g(1) f (t)g (t)dt

故 F(1)=0.因此xE[0,1]时，F(x)≥0，由此可得对任何aE[0,]，有J" g(x)(x)dx+ f" (x)g(x)dx≥ f(a)g(1)方法二: J" g(x)](x)dx= g(x)(x)-"(x)g(x)dx= f(a)g(a) - f f(x)g'(x)dx " g(x)]'(x)dx + f" f(x)g'(x)dx=f(a)g(a)- f" f(x)g(x)dx+f" f(x)g(x)dx(a)g(a)+ ["f(x)g'(x)dx由于xE[0,1]时，g(x)≥0，因此f(x)g(x)≥ f(a)g'(x), xe[a,)]" f(x)g(x)dx ≥ f f(a)g(x)dx = f(a)[g(I)- g(a)] ,J g(x)(x)dx+Jf(x)g(x)dx从而≥ f(a)g(a)+ f(a)[g(l)- g(a)= f(a)g(1)（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组x+2x2+3x,=0,(i)2x,+3x+5x,=0, x +x + ax = 0,和X +bx2 +cx = 0,(ii)[2x) +b2x2 +(c+1)x, = 0,同解，求a,b,c的值【详解】方程组（i）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（i）有无穷多解因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.9

9 故 F(1)=0. 因此 x ∈[0,1] 时， F(x) ≥ 0 ，由此可得对任何 a ∈[0,1]，有 ∫ ∫ ′ + ′ ≥ a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1). 方法二： ∫ ∫ ′ = − ′ a a a g x f x dx g x f x f x g x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ − ′ a f a g a f x g x dx 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ， ∫ ∫ ′ + ′ a g x f x dx f x g x dx 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ − ′ + ′ 1 0 0 f (a)g(a) f (x)g (x)dx f (x)g (x)dx a ∫ + ′ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . a f a g a f x g x dx 由于 x ∈[0,1] 时， g′(x) ≥ 0，因此 f (x)g′(x) ≥ f (a)g′(x) ， x ∈[a,1]， ∫ ∫ ′ ≥ ′ = − 1 0 1 0 f (x)g (x)dx f (a)g (x)dx f (a)[g(1) g(a)] ， 从而 1 0 0 () () () () a g x f x dx f x g x dx ′ ′ + ∫ ∫ ≥ f (a)g(a) + f (a)[g(1) − g(a)] = f (a)g(1). （20）（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 （i） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = 0, 2 3 5 0, 2 3 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x ax x x x x x x 和 （ii） ⎩ ⎨ ⎧ + + + = + + = 2 ( 1) 0, 0, 2 3 2 1 1 2 3 x b x c x x bx cx 同解，求 a,b, c 的值. 【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解. 因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于 3

对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换123100123511ao0a-2从而a=2．此时，方程组（i）的系数矩阵可化为1230235→0111000[112]故(-1,-1,1)"是方程组（i）的一个基础解系将x=-1,x,=-1,x,=1代入方程组（ii）可得b=1,c=2或b=0,c=1.当b=1,c=2时，对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换，有[81-6 1.显然此时方程组（i）与（i）同解当b=0,c=1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有[10[01]000202显然此时方程组（i）与（i）的解不相同综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解（21）（本题满分13分）设A为三阶矩阵，αi,αz,α,是线性无关的三维列向量，且满足Aα,=α,+αz+α，Aα2=2α,+αg,Aα=2αz+3α)求矩阵B,使得Aα,α)=(ααz,α)B；（II）求矩阵A的特征值（III）求可逆矩阵P，使得P-AP为对角矩阵10

10 对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − → ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 1 2 3 5 1 2 3 a a ， 从而 a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 3 5 1 2 3 ， 故 T (−1,−1,1) 是方程组（i）的一个基础解系. 将 x1 = −1, x2 = −1, x3 = 1代入方程组（ii）可得 b = 1,c = 2 或b = 0,c = 1. 当b = 1,c = 2 时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ → ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 1 1 0 1 2 1 3 1 1 2 ， 显然此时方程组（i）与（ii）同解. 当b = 0,c = 1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ → ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 1 2 0 2 1 0 1 ， 显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同. 综上所述，当 a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解. （21）（本题满分 13 分） 设 A 为三阶矩阵， 1 2 3 α ,α ,α 是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1 = α1 +α 2 +α 3 ， Aα 2 = 2α 2 +α 3 ， Aα 3 = 2α 2 + 3α 3 . (I) 求矩阵 B, 使得 A(α1 ,α 2 ,α 3 ) = (α1 ,α 2 ,α 3 )B ； （II）求矩阵 A 的特征值； （III）求可逆矩阵 P, 使得 P AP −1 为对角矩阵