全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1995数学三

1995年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题1-x,则 f(m)(x)=(1)设f(x):1+x(-1)"2·n!【答】(1+ x)*+(0)=--1,于是【详解】1+x 1+xf'(x)= 2 (-1)(1+x)-2,f"(x) = 2(-1)(-2)(1+ x)-3,() =2(-1)"n(1+ x)() = (-1)-n!(1 + x)(n+),f(u)可导，则xz,+yz,=(2）设z=xyf【答】22【详解】因为2=()+· ()(-)=()-兰()=()+()=()+()于是(-（+()+xz, + yz, = xyf 2x)(3) 设f'(lnx)=1+x,则f(x)=【答】x+e'+C【详解】令Inx=t,则x=e

1995 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 1 () , 1 x f x x − = + 则 ( ) ( ) n f x = _. 【答】 ( ) ( ) 1 12 ! 1 n n n x + − ⋅ + 【详解】 1 2 ( ) 1, 1 1 x f x x x − ==− + + 于是 2 3 ( ) ( 1) ( 1) ( ) 2 ( 1)(1 ) , ( ) 2( 1)( 2)(1 ) , ( 1) ! 2( 1) !(1 ) . (1 ) n nn n n fx x fx x n f nx x − − − + + ′ = ⋅− + ′′ =−− + − ⋅ =− + = + " （2）设 , () y z xyf f u x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可导，则 x y xz yz ′ + ′ = _. 【答】 2z 【详解】 因为 2 2 , x y y y yy y z yf xy f yf f x x x xx x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 , y y y yy z xf xy f xf yf x xx x x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅= + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 于是 2 2 x y y yy y xz yz xyf y f xyf y f x xx x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ ′ += − + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 y xyf z x ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3）设 f ′( ) ln 1 , x x = + 则 f ( ) x = _. 【答】 x x + + e C 【详解】 令 ln , x = t 则 , t x = e

于是由题设有f(t)=1+e',即f'(x)=1+e*,故f(x)=J(1+e*)dx = x+e' +C.[100220,A"是A的伴随矩阵，则（A）(4) 设A=[34S[00101-510【答】1532-512][10【详解】因为AA"=AE,从而L0010110151510A3211125L10(5）设X,X2.X,是来自正态总体N(u,α)的简单随机样本，其中参数μ和未知，记X-I之x,O"=-之(x,-X)，则假设H:μ=0的T检验使用统计量ni=li=lT :+【答】n(n-1)ovX-μ【详解】T统计量定义为T：SJn这里μ=0,2=1XQ?,代入T统计量得7An-T =Vn(n-1)0S

于是由题设有 () 1 ,t f ′ t e = + 即 ( ) 1 , x f ′ x e = + 故 () 1 . ( ) x x f x e dx x e C = + =+ + ∫ （4）设 100 2 2 0, 345 ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A 是 A 的伴随矩阵，则( ) −1 ∗ A = _. 【答】 1 0 0 10 1 1 0 . 5 5 3 21 10 5 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】因为 , ∗ AA AE = 从而 ( ) ( ) 1 1 1 0 0 10 1 1 1 11 0 . 10 5 5 3 21 10 5 2 ∗ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A A A= A= A A （5）设 1 2 , , X X X " n 是来自正态总体 ( ) 2 N µ,σ 的简单随机样本，其中参数 µ 和 2 σ 未知， 记 ( )2 2 1 1 1 , , n n i i i i X XQ X X n = = = =− ∑ ∑ 则假设 0 H : 0 µ = 的 T 检验使用统计量 T = _. 【答】 ( ) 1 X n n Q − 【详解】T 统计量定义为 , X S n − µ T = 这里 ( )2 2 2 1 1 1 0, , 1 1 n i i S XX Q n n µ = = = −= − − ∑ 代入T 统计量得 ( ) 1 . X X n nn S Q T= = −

二、选择题f()-f(1-x)=-1,则曲线y=f(x)在点（1）设f(x）为可导函数，且满足条件lim2xr-→0(1,f(1))处的切线斜率为S(A)2.(C) (B)-1.(D)-2.1应选(D).【答】【详解】本题实际上是要求f(1)，由题设10)-f(-)-1limf(1-x)-f(I) _ 1limf'(1)=-1-02x20-x2得f'(1) = -2.（2）下列广义积分发散的是dxA)sinxe-rdx(C) I(D)xln?x[【答】应选(A)1的间断点，且limsinx=1,根据极限判敛法便知【详解】由于x=0是dx发散1sinxsinxx（3）设矩阵Am的秩为r(A)=m<n,E为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是(A)A的任意m个列向量必线性无关.(B)A的任意m阶子式不等于零(C)若矩阵B满足BA=O,则矩阵B=O.(D)A通过初等行变换，必可以化为(Em,O)的形式【答】应选(C)【详解】（A)(B)中“任意”应改为“存在”；（D)中若改为通过初等变换（包括行

二、选择题 （1）设 f ( ) x 为可导函数，且满足条件 0 (1) (1 ) lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点 ( ) 1, (1) f 处的切线斜率为 () () () ( ) 1 2. 1. . 2. 2 AB C D − − 【 】 【答】 应选( ) D . 【详解】 本题实际上是要求 f ′( ) 1 ,由题设 ( ) 0 0 (1) (1 ) 1 (1 ) (1) 1 lim lim 1 1, x x 22 2 f f x f xf f → → x x − − −− = = =− ′ − 得 f ′( ) 1 2. = − （2）下列广义积分发散的是 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 . . sin 1 A dx B dx x x − − − ∫ ∫ () () 2 2 0 2 1 . . ln x C e dx D dx x x +∞ ∞ − ∫ ∫ 【 】 【答】 应选( ) A . 【详解】 由于 x = 0 是 1 sin x 的间断点，且 0 1 sin lim 1, x 1 x x → = 根据极限判敛法便知 1 1 1 sin dx x ∫− 发散. （3）设矩阵 Am n× 的秩为 ( ) , m r mn A = < E 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 ( ) A A的任意 m 个列向量必线性无关. ( ) B A的任意 m 阶子式不等于零. ( ) C 若矩阵 B 满足 BA = O,则矩阵 B = O. ( ) D A 通过初等行变换，必可以化为(Em ,O)的形式. 【 】 【答】 应选(C). 【详解】( )( ) A B 、 中“任意”应改为“存在”； (D) 中若改为通过初等变换（包括行

列变换），则必可化为(Em,O)的形式.只有(C)为正确答案.事实上，由BA=O,有A'BT=O,即B的每列均为Ax=0的解，而A是列满秩的，所以A'x=O只有零解，从而BT的每列均为零，即B=0.（4）设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X-Y,则随机变量U与V必然(B)独立,(A)不独立.(C)相关系数不为零(D)相关系数为零【答】应选(D)【详解】因为cov(U,V)=E(U-u)E(v-v)=E(X-Y-X+y)(X+Y-X-))=E(X-Xx)"-E(Y-),由于X和Y同分布，故E(x-x) -E(y-)即 cov(U,V)=0,故(D)为正确答案（5）设随机变量X服从正态分布N(u,α2)，则随α的增大，概率P(X-μ<α)(A)单调增大,(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定[【答】应选(C)【详解】Y由于X~N(u,o)，则Y=X-"~ N(0.1),P(X-μ<o)= P(|<1)可知此概率不随和u的变化而改变三、设

列变换），则必可化为 ( ) , Em O 的形式.只有 (C) 为正确答案.事实上，由 BA = O, 有 T T A B = O, 即 T B 的每列均为 0 T A x = 的解，而 T A 是列满秩的，所以 0 T A x = 只有零解， 从而 T B 的每列均为零，即 B = O. （4）设随机变量 X 和Y 独立同分布，记U=X YV=X Y − , , − 则随机变量U 与V 必 然 ( ) A 不独立. (B) 独立. ( ) C 相关系数不为零. (D) 相关系数为零. 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 因为 cov , ( ) UV E U U EV V E X Y X Y X Y X Y = − − = −− + +− − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 = −− − E X X EY Y , 由于 X 和Y 同分布，故 ( ) ( ) 2 2 E X X EY Y −= − 即cov , 0, ( ) U V = 故( ) D 为正确答案. （5）设随机变量 X 服从正态分布 ( ) 2 N µ,σ ，则随σ 的增大，概率 P X{ − < µ σ } ( ) A 单调增大. ( ) B 单调减小. (C) 保持不变 (D) 增减不定 【 】 【答】 应选(C). 【详解】 Y 由于 ( ) 2 X N~ , µ σ ，则 ( ) { } { } ~ 0,1 , 1 . µ σ µ σ − = −< = < X Y N P X PY 可知此概率不随σ 和 µ 的变化而改变. 三、设

x0.【详解】(1)由2cos.xsinxlim -costdt=lim1cos x)= lim=1.limx可知limf(x)=1=f(0)于是，函数f(x)在x=0处连续，（2）分别求f(x)在x=0处的左、右导数2(1-cosx)-x1[2(1-cosx)f'(0) = lim -=lim+3x2x→0 xx→0~2sinx-2x2cosx-2-sinx= lim-lim lim=03x26x3x→0x→0X→0cost'dt-xrJOf'(0)= lim -limCosoxx-→0rX-2xsinx?cosx?-1= lim=lim022x1→0*X→0*由于左、右导数都等于0，可见f(x)在x=0处可导，且f"(O)=0四、已知连续函数f(x)满足条件f(x)=dt+e"，求f(x)【详解】两端同时对x求导，得一阶线性微分方程F'(x)=3f(x)+2e2*,即 f'(x)-2f(x)=2e2x解此方程，有()-(Jo() / )d+)e/)=([2e.dx+C)e-(2-Je*dx+C)e =(-2e-*+C)e** =Ce3 -2e,由于 f(0)=1,可得C=3

( ) 2 2 0 2 1 cos , 0, ( ) 1, 0, 1 cos , 0. x x x x fx x t dt x x ⎧ − ⎩ ∫ 试讨论 f ( ) x 在 x = 0 处的连续性和可导性. 【详解】 （1）由 ( ) 2 2 2 0 00 0 0 2 sin 1 cos lim 1 cos lim 1, lim cos lim 1, 1 x x xx x x x x t dt x xx → →→ → − −+ + −= = = = ∫ 可知 0 lim ( ) 1 (0). x fx f → = = 于是，函数 f ( ) x 在 x = 0 处连续, （2）分别求 f ( ) x 在 x = 0 处的左、右导数. ( ) ( ) 2 2 3 0 0 1 2 1 cos 2 1 cos (0) lim 1 lim x x x x x f xx x − → → − − ⎡ ⎤ − −− ′ = −= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 0 00 2sin 2 2cos 2 sin lim lim lim 0, x xx 3 63 xx x x x x → →→ − −− − −− = = == 2 0 2 2 0 0 0 1 cos 1 1 (0) lim cos 1 lim x x x x t dt x x f t dt xx x + → → + + − ⎛ ⎞ ′ = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 2 0 0 cos 1 2 sin lim lim 0. x x 2 2 x xx x → → + + − − == = 由于左、右导数都等于 0，可见 f ( ) x 在 x = 0 处可导，且 f ′(0 0. ) = 四、已知连续函数 f ( ) x 满足条件 3 2 0 ( ) 3 x t x f x f dt e ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∫ ，求 f ( ) x . 【详解】 两端同时对 x 求导，得一阶线性微分方程 ( ) ( ) 2 3 2, x f ′ x fx e = + 即 ( ) ( ) 2 2 2. x f ′ x fx e − = 解此方程，有 () () () () ( ) 23 3 2 p x dx p x dx xx x f x Q x e dx C e e e dx C e − ⎛ ⎞ ∫ ∫ − = + = ⋅+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 32 2 2 2, x x x x xx e dx C e e C e Ce e − − = − + =− + = − ∫ 由于 f ( ) 0 1, = 可得C = 3

于是f(x)=3e3x-2e2x五、将函数y=ln(1-x-2x2)展成x的幂级数，并指出其收敛区间【详解】In(1 x 2x2) = In(1 2x)(1+ x)= In(1+ x)+ In(1 2x)x2x3+(-1)*+ x"In(1+ x) = x -22n其收敛区间为(-1,1];, (-2x)In(1-2x) =(-2x)- (-2x)-2x)23n111其收敛区间为2'2于是，有(-1)"In(1-x-2x2)=hn2[_11)其收敛区间为122六、计算min (x,e(+)ady.【详解】I=e-"ayfxerdx+fedxfye"dy-- e- dy- e-2 dx = -{t* e-2" dx换元，令x=号,d=兴，有青2V2元V2元元31e2dt=e2dt:V22V2元2其中用到泊松积分e 2dt=1V2元七、设某产品的需求函数为Q=Q(P),收益函数为R=PQ,其中P为产品价格，Q为需求

于是 ( ) 3 2 3 2. x x f xe e = − 五、将函数 ( ) 2 y xx = −− ln 1 2 展成 x 的幂级数，并指出其收敛区间. 【详解】 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ln 1 2 ln 1 2 1 ln 1 ln 1 2 . −− = − + = + + − x x xx x x ( ) ( ) 2 3 1 ln 1 1 , 2 2 n xx x n x x n + + = − + − +− + " " 其收敛区间为(−1,1 ;] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 22 2 1 ln 1 2 2 1 , 2 3 n xx x n x x n −− − + − =− − + − +− + " " 其收敛区间为 1 1, . 2 2 ⎡ ⎞ ⎢− ⎟ ⎣ ⎠ 于是，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 12 ln 1 2 1 1 , n n n n n n n n n x x x x x nn n + ∞ ∞ + + = = ⎡ ⎤ − −− − − = − +− = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ 其收敛区间为 1 1, . 2 2 ⎡ ⎞ ⎢− ⎟ ⎣ ⎠ 六、计算 { } ( ) 2 2 min , . x y x y e dxdy +∞ +∞ − + ∫ ∫ −∞ −∞ 【详解】 22 2 2 y x yx xy I e dy xe dx e dx ye dy +∞ +∞ −− −− −∞ −∞ −∞ −∞ = + ∫∫ ∫∫ 2 22 1 1 2 22 . 2 2 y xx e dy e dx e dx +∞ +∞ +∞ − −− −∞ −∞ −∞ =− − =− ∫∫∫ 换元，令 , , 2 2 t dt x dx = = 有 2 2 2 2 1 21 2 . 2 2 22 2 t t I e dt e dt π π π π +∞ +∞ − − −∞ −∞ =− =− ⋅ =− = ∫ ∫ 其中用到泊松积分 2 2 1 1 2 t e dt π +∞ − −∞ = ∫ . 七、设某产品的需求函数为Q QP = ( ), 收益函数为 R PQ = ,其中 P 为产品价格，Q 为需求

量（产品的产量），Q（P）是单调减函数.如果当价格为P对应产量为Q.时，边际收益dR=α>0,，收益对价格的边际效应崇=c1.求P,和Q【详解】由收益函数R=PQ,对Q求导，有dpdRdpPP0dodqdoQdRdgloab得P。b-1由收益函数R=PQ,对P求导，有dqdR=Q+pdo0-(-0)=0(1-E,),dpdpPdR=Q (1-b) =c,dPP=PC于是Q。1-h八、设(x)、g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+(-x)=A（A为常数）,(1) 证明[" (x)g(x) dx = Af° g(x)dx;(2）利用（1）的结论计算定积分[jsinxarctane'dx.【详解】(1) J" ()g(n)dx=f~ / (x)g(x)dx+J" (x)g(x)dx,° (x)g(x)dx_x=-1-°s(-1)g(-1) dt=J (-x)g(x)dx.于是

量（产品的产量），Q P( ) 是单调减函数.如果当价格为 P0 对应产量为Q0时，边际收益 0 0, d a d Q Q = > = R Q ，收益对价格的边际效应 0 0, d c d P P = b 求 P0 和Q0 . 【详解】 由收益函数 R PQ = ,对Q 求导，有 ( ) 1 1 , p d d d d d d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ = + = +− − = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P R P P PQ P P P QQ E Q Q 0 0 1 1 , d a d b Q Q ⎛ ⎞ = −= ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ R P Q 得 0 . 1 ab b = − P 由收益函数 R PQ = ,对 P 求导，有 ( ) ( ) 1 , p d d d d d d =+ =− − = − Q R Q Q QP Q Q Q E P P P P 0 ( ) 0 1 , d b c d P P = −= = R Q P 于是 0 . 1 c b = − Q 八、设 f () () x gx 、 在区间[− > aa a , 0 ]( ) 上连续， g x( ) 为偶函数，且 f ( ) x 满足条件 f () ( ) xfxA + −= （ A 为常数）. （1）证明 ()() () 0 ; a a a f x g x dx A g x dx − = ∫ ∫ （2）利用（1）的结论计算定积分 2 2 sin arctan . x x e dx π π −∫ 【详解】 （1） ()() ()() ()() 0 0 , a a a a f x g x dx f x g x dx f x g x dx − − = + ∫∫∫ ()() 0 a f x g x dx ∫− ( ) ( ) ( ) () 0 0 . a a − −−= − f t g t dt f x g x dx ∫ ∫ 于是

[". (x)g(x)dx= J° (-x)g(x)dx+J° f(x)g(x)dx= J°[(x)+ f(-x)]g(x)dx= Af°g(x)dx(2)取()=arctane,g(s)=sinl=号则()、g(1)在[上连续g(x)为偶函数，由于(arctane* + arctane*) =0,可见arctane+arctane*=A,令x=0，得2arctane=A故A=.即(x)+(-x)=20于是，有元[|sin xlarctane'dx=-cOsx)20九、已知向量组（）α,αα；（II）α,ααα（）ααα如果个向量组的秩分别为（I）=r（II）=3，（IⅢ）=4.证明：向量组α,ααα-α的秩为4【详解】因r（I）=r（II）=3，所以α,αz,α,线性无关，而α,αz,α,α,线性相关，故存在数，使0ay=Ma+ha,+ay,设有数k,k,,k,使得ka,+k,a,+k,,+k (αs-α)=0将①代入上式，化简得(k,-k,a)+(k,-k)α,+(,-k)α,+ka,=0由r（II）=4，知α,αz,α,αs;线性无关所以

()() ( )() ()() 0 0 aa a a f x g x dx f x g x dx f x g x dx − =− + ∫∫ ∫ () ( ) () () 0 0 . a a = +− = ⎡ ⎤ f x f x g x dx A g x dx ∫ ∫ ⎣ ⎦ （2） 取 () () arctan , sin , . 2 x f x e gx xa π = == 则 f ( x gx )、 ( ) 在 , 2 2 ⎡ π π ⎤ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上连续 g x( ) 为偶函数，由于 ( ) arctan arctan 0, x x e e− ′ + = 可见arctan arctan , x x e eA − + = 令 x = 0 ，得 2arctan , x e A = 故 . 2 A π = 即 () ( ) . 2 fx f x π + −= 于是，有 ( ) 2 2 0 2 sin arctan sin cos . 2 22 2 0 x x e dx x dx x π π π π π π π − = =− = ∫ ∫ 九、已知向量组（Ⅰ） 123 α ,; α α （Ⅱ） 1234 α ,; ααα （Ⅲ） 1235 α ,; ααα 如果个向量组的 秩分别为 r（Ⅰ）=r（Ⅱ）=3，r（Ⅲ）=4.证明：向量组 1235 4 α , ααα α− 的秩为 4. 【详解】 因 r（Ⅰ）=r（Ⅱ）=3，所以 123 α , , α α 线性无关，而 1234 α , ααα 线性相关，故存 在数 123 λ , , λ λ 使 4 11 2 2 3 3 α =+ + λααα λ λ , ○1 设有数 1234 kkkk ,使得 kk k k 11 2 2 33 4 5 4 α α α α −α +++ = ( ) 0. 将○1 代入上式，化简得 ( )( ) ( ) 1 14 1 2 24 2 3 34 3 4 5 kk k k k k k − +− +− + = λλ λ α α αα 0, 由 r（Ⅲ）=4，知 1235 α ,; ααα 线性无关， 所以

ki-k,=0,k2-nk,=0,k-k,=0,k, = 0,得到k,=k,=k,=k,=0.故α,αzααs-α线性无关，即其秩为4十、已知二次型F(x,x2x）=4x2-3x+4xx2+8x（1）写出二次型f的矩阵表达式：（2）用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵【详解】（1）f的矩阵表达式为0224f(x,x2,x)=(,x2,x)4-1X（3）二次型的矩阵为[02-2A=244-1 4-3A的特征方程为1元22[E-A|=2-4-2-4=(元-1)036)=0912+3-4由此得A的特征值为^=1,=6,=-6.对应的特征向量为A19[1]50Va2aα, =22-1对应的单位特征向量为11[2T6V30T5S50,β2,β, =β, =T6V30-122[5[元]V30

1 14 2 24 3 34 4 0, 0, 0, 0, k k k k k k k λ λ λ ⎧ − = ⎪ ⎪ − = ⎨ − = ⎪ ⎪ ⎩ = 得到 1234 kkkk ==== 0. 故 1235 4 α , ααα α− 线性无关，即其秩为 4. 十、已知二次型 ( ) 2 2 1 2 3 2 3 12 23 f x x x x x xx xx , 4 3 4 8 . = −+ + （1）写出二次型 f 的矩阵表达式； （2）用正交变换把二次型 f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵. 【详解】 （1） f 的矩阵表达式为 ( )( ) 1 123 123 2 3 02 2 , , 2 4 4 . 14 3 x f xxx xxx x x ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ − − （3） 二次型的矩阵为 02 2 2 4 4, 14 3 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − A A 的特征方程为 ( )( ) 2 2 2 2 4 4 1 36 0. 24 3 λ λ λ λλ λ − − =− − − = − − = − + E A 由此得 A 的特征值为 12 3 λ = = =− 1, 6, 6. λ λ 对应的特征向量为 1 23 211 0 , 5, 1, 12 2 ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = = =− ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ − α αα 对应的单位特征向量为 12 3 1 1 2 30 6 5 5 1 0, , , 30 6 1 2 2 5 30 6 ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ − == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ββ β

由此可得正交矩阵112T6V30T55-10P=ββ2,β,=T6V30-12275V30对二次型做正交变换[x][y]=Py2X2[] []]则二次型f可以化为如下标准型f(x,x2,x)=y +6y2-6y十一、假如一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）求：（1）全部能出厂的概率α,（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β（3）其中至少有两件不能出厂的概率0【详解】对于新生产的每台仪器，引进事件：A=仪器需进一步调试)，B=(仪器能出厂,则A=(仪器能直接出厂)，AB={仪器经调试后能出厂)由条件知，B=A+AB,P(A)=0.30,P(BIA)=0.80,P(AB)= P(A)P(BIA)=0.30×0.80 =0.24P(B)= P(A)+ P(AB)=0.70+0.24 = 0.94设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X作为n次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为（n,0.94)的二项分布，因此α= P(X = n) = 0.94

由此可得正交矩阵 12 3 1 1 2 30 6 5 5 1 ,0 , 30 6 1 2 2 5 30 6 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P ββ β 对二次型 f 做正交变换 1 1 2 2 3 3 , x y x y x y ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ P 则二次型 f 可以化为如下标准型 ( ) 222 123 1 2 3 f xxx y y y , 6 6. =+ − 十一、假如一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试， 经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格不能出厂.现该厂新生产了 n n( ) ≥ 2 台 仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求： （1）全部能出厂的概率α; （2）其中恰好有两件不能出厂的概率 β; （3）其中至少有两件不能出厂的概率θ. 【详解】 对于新生产的每台仪器，引进事件： A B = = {仪器需进一步调试 ， 仪器能出厂 ， } { } 则 A AB = = {仪器能直接出厂 ， 仪器经调试后能出厂 } { }. 由条件知， B = + A AB, PA PBA () ( ) = = 0.30, | 0.80, P AB P A P B A ( ) ()( ) = =×= | 0.30 0.80 0.24. P B P A P AB ( ) = + =+= ( ) ( ) 0.70 0.24 0.94. 设 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X 作为 n 次独立试验成功（仪器能出厂） 的次数，服从参数为( ) n,0.94 的二项分布，因此 { } 0.94 , n α = == PX n