华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布函数 §2.2 离散型随机变量

第二章随机变量及其分布S2.1随机变量及其分布函数一、随机变量1.例子：E~掷般子一一X：1，2，3，4，5，6E2~观察寿命一一X：[0，]E~抛硬币—一X：0，1Q=（反面，正面】E4~彩票中奖——X：5,000000，10,000，800，20，52.X的特点：（1）是变量：（2）取值带有概率0033.定义设Q为E的样本空间，若202对Q中的每个样本点w给一个实数X（w）与之对应，则称X（w）为随xX(0,)X(o))X(0,)机变量。记为R.V.(RandomVariable).二、分布函数事件 A -→ (a<X≤b), X e(a,b]=(-00,b]-(-00,a)1.定义称实函数F(x)= P(X≤x)(-00<x<8)为随机变量X的分布函数

第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布函数 一、随机变量 1.例子： E1~掷骰子—— X ：1，2，3，4，5，6 E2~观察寿命—— X ：[0，∞] E3~抛硬币—— X ：0，1  Ω ={反面，正面} E4~彩票中奖—— X ：5,000,000，10,000，800，20，5 2. X 的特点：（1）是变量； （2）取值带有概率 3.定义 设Ω 为 E 的样本空间，若 对Ω 中的每个样本点ω 给一个实数 X (ω )与之对应，则称 X (ω )为随 机变量。记为 R.V.(Random Variable). ( ) X 1 ( ) X 2 ( ) X 3 x 二、分布函数 事件 A → {a  X  b}， X (a,b]  (,b] (,a] 1.定义 称实函数 F(x)  P(X  x) (  x  ) 为随机变量 X 的分布函数。 1 3 2 

2.性质(1)有界性：0≤F(x)≤1，且F(-80)-0,F(+8)=1(2）单调(不减)性：X< X2 =F(x)≤F(x)（3）右连续性：limF(x)=F(a)证明1(1) : F(x)=P(X≤x)::0≤F(x)≤1且 F(-8)= P(<-80)= P( )=0, F(+80)= P(<≤+)= P(Ω)=1(2) F(x) -F(x2) = P(<x2) - P(Kx)= P(x<x2)≥0(3）略。注：F(x)是分布函数←F(x)满足（1)、（2）、（3）S2.2离散型随机变量一、 定义仅取有限或可列无限个值的随机变量称为离散型随机变量。记为D.R.V.(DiscriteRandomVariable)二、概率分布P(X= x,)=pi分布律：i=1.2.:分布列：xXiX2.XPp...-P2pa三、性质7Pi=l中（2）规范性：（1）非负性：p≥0；7

2.性质 （1）有界性：0≤F(x)≤1，且 F(-∞)=0，F(+∞)=1 （2）单调(不减)性：x1< x2  F(x1) ≤F(x2) （3）右连续性： lim F(x) F(a) x a    证明 （1）∵F(x)=P(X≤x) ∴0≤F(x)≤1 且 F(-∞)= P(X≤-∞)= P( )=0，F(+∞)= P(X≤+∞)= P(Ω )=1 （2）F(x1) -F(x2) = P(X≤x2) - P(X≤x1)= P(x1<X≤x2)≥0 （3）略。 注：F(x)是分布函数  F(x)满足（1）、（2）、（3） §2.2 离散型随机变量 一、定义 仅取有限或可列无限个值的随机变量称为离散型随机变量。记为 D.R.V.(Discrite Random Variable) 二、概率分布 分布律： P(X = xi )=pi ， i=1,2,. 分布列： 三、性质 （1）非负性：pi≥0； （2）规范性：  i i p =1 X x1 x2 . xn . P p1 p2 . pn

例1记X为抛两枚硬币所出现的正面数，求X的分布律、分布列、分布函数以及X分别在区间（0，3/2]、[1，3/2]，（1，3/2）的概率。解(1)分布列：x021p1/41/41/2P(X = k)=Ck 1k=0,1,2(2)分布律：(3)分布函数：F(x)0, x<04,0≤x<1F(x)= P(X≤x):4,1≤x<2x≥21.021x(4) 概率: P(0< X≤3/2)= P(X=1)=1/2 = F(3/2)- F(0)=%- Y4P(1<X≤3/2)= P(X =1)=1/2 = F(3/2)- F(I)+ P(X =1)=% - % +YP(1< X <3/2)= P(Φ)= 0 = F(3/2)- F(1)- P(X =3/2)= % - % -0注: F(x)=Zp)x,≤x思考题：试用分布函数F(x)表示概率P(X=α)四、常见D.R.V.的分布F(x)r1.两点分布（0-1分布）x01P1-pp0401x

例 1 记 X 为抛两枚硬币所出现的正面数，求 X 的分布律、分布列、分布函数以及 X 分别在区间（0，3/2]、[1，3/2]，（1，3/2）的概率。 解 (1)分布列： (2)分布律： 4 1 2 ( ) k P X  k  C k  0,1,2 (3)分布函数： F(x)                 1, 2 , 1 2 , 0 1 0, 0 ( ) ( ) 4 3 4 1 x x x x F x P X x 0 1 2 x (4)概率： P(0  X  3/ 2)  P(X 1) 1/ 2 or  4 1 4 3 F(3/ 2)  F(0)   P(1 X  3/ 2)  P(X 1) 1/ 2 or  2 1 4 3 4 3 F(3/ 2)  F(1)  P(X 1)    P(1 X  3/ 2)  P()  0 or  (3/ 2) (1) ( 3/ 2) 4 0 3 4 F  F  P X   3   注：    x x i i F(x) p 思考题：试用分布函数 F(x) 表示概率 P(X  a) 四、常见 D.R.V. 的分布 1.两点分布（0-1 分布） X 0 1 P 1-p p X 0 1 2 P 1/4 1/2 1/4 0 1 x 0 1 x p F(x)

2.二项分布n重贝努利（Bernoulli）试验：(1）每次仅有A,或A,两个结果，且P(A)=p，i=1,2,,n;（2）Al，A2，，A相互独立。X～n重贝努利试验中A发生的次数n=3时 P(X=I)=P(4AA +AAA, +AA4)=P(AAA)+P(AA,A)+P(A,A,A)=P(A)P(A,)P(A,)+ P(A)P(A,)P(A) + P(A)P(A)P(A)=3 p(1 - p)2一般，若随机变量X的分布律为P(X = k)=Chp*(1- p)"-kk=l, 2, "", n则称X服从参数为np的二项分布，记为X～B(n,p)注意到例2(P43例2.4)设有一决策系统，其中每个成员作出决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为p(0Cp(1-p)+p故1np>2

2.二项分布 n 重贝努利（Bernoulli）试验： （1）每次仅有 Ai或 Ai 两个结果，且 P(Ai)=p， i=1,2,.,n； （2）A1, A2,., An相互独立。 X ~ n 重贝努利试验中 A 发生的次数 n=3 时 ( 1) ( ) P X   P A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 = ( ) ( ) ( ) P A1 A2 A3  P A1 A2 A3  P A1 A2 A3 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 P A2 P A3  P A1 P A2 P A3  P A1 P A2 P A3 =3 2 p(1 p) 一般，若随机变量 X 的分布律为 k k n k P X k Cn p p  (  )  (1 ) k=1,2,.,n 则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记为 X ~ B(n, p) 注意到 例 2(P43例 2.4)设有一决策系统，其中每个成员作出决策互不影响，且每个成员作 出正确决策的概率均为 p(0<p<1)。当占半数以上的成员作出正确决策时，系统作出正确 决策。问 p 多大时，5 个成员的决策系统比 3 个成员的决策系统更为可靠？ 解 记 Xn 为 n 个成员的决策系统中，作出正确决策的成员数。 则 ~ (5, ) X5 B p 4 4 5 5 3 3 2 5 5 P(X  3)  C p (1 p) C p (1 p)  p ~ (3, ) X3 B p 2 2 3 3 3 P(X  2)  C p (1 p)  p 故 4 4 5 5 3 3 2 5 C p (1 p) C p (1 p)  p 2 2 3 3  C p (1 p)  p  2 1 p 

Zc, p*(1- p)"-k =[p+(1- p)" =1注意到k=0

注意到 (1 ) [ (1 )] 1 0         n n k k k n k Cn p p p p