华中科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（试卷习题）结业试卷四套（含答案）

试卷一：概率论与数理统计试题（闭卷）2008年1月24日得分评卷人填空题（每小题3分，共30分）1.设A、B互不相容，P(A)=0.2，P(B)=0.6，则P(BA)=2. 设X~N(2,g)，且P(20，且X2服从[0,1]上的均匀分布，则X的密度函数fx)=4.已知P(X=a)=1，则X的分布函数F(x)=X>05.设X的密度函数f(x)则常数a=,E(X)=0x≤0D(X)=6.已知(X,Y)的联合分布函数为0.0 1(+y)-0.01yx≥0,y≥0F(x,y)0其他则X的边缘分布函数Fx(x)=7.已知E(X)=3，D(N)=9，E(Y)=-1,D()=4且X与Y的相关系数py=0.5，则E(X -Y)? =8.设总体X服从正态分布N(uα)，XI,X2,X为来自总体X的样本，3?=1(X,-X), X-1x,则D(32)=1ni-l2服从9. 设(X,Y)~N(0,0, 2,2,0),则(分布。10.设Xi,X2,Xn为来自正态总体N(u,)的样本，未知，则u的置信度为1-α的置信区间为1

1 试卷一： 概率论与数理统计试题（闭卷） 2008 年 1 月 24 日 得 分 评卷人 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 设 A、B 互不相容，P(A) = 0.2，P(B) = 0.6，则 P(B A)  _。 2. 设 X ~ N( ,  2 )，且 P(2 0，且 X 2服从[0,1]上的均匀分布，则 X 的密度函数 f(x) = _。 4. 已知 P(X  a) 1 ，则 X 的分布函数 F(x) = _。 5. 设 X 的密度函数         0 , 0 , 0 ( ) ( ) x e x f x e x a ，则常数 a  _， E(X)  _， D(X)  _。 6. 已知 (X,Y) 的联合分布函数为              0 , 其他 1 , 0, 0 ( , ) 0.0 1 0.0 1 0.0 1( ) e e e x y F x y x y x y ， 则 X 的边缘分布函数 FX(x) = _。 7. 已知 E(X) = ，D(X) = 9，E(Y) = 1，D(Y) = 4 且 X 与 Y 的相关系数XY = 0.5，则   2 E(X Y) _。 8. 设总体 X 服从正态分布 N(, 2 )，X1, X2,., Xn 为来自总体 X 的样本，    n i Xi X n S 1 2 2 ( ) ~ 1 ，   n i Xi n X 1 1 ，则 )  ~ ( 2 D S _。 9. 设 (X,Y) ~ N(0,0, 2 , 2 ,0)，则 2 ( ) Y X 服从_分布。 10. 设 X1,X2,.,Xn 为来自正态总体 N(,  2 )的样本， 2 未知，则的置信度为 1  的置信区间为 _

得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，共12分）（将正确选项前的字母填入题后的括号内）1.设A,B,C为三个随机事件，A与B相互独立，P(C)=O，则A.B.C（A.相互独立B.两两独立，但不一定相互独立C.不一定两两独立D.一定不两两独立2.设随机变量X具有对称的密度函数，即f(-x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a>0,P(X>a)=（)A. 2[1-F(a)]B. 2F(a)-1C. 2-F(a)D. 1-2F(a)43，则3.设X,Y为两个随机变量，P(X≥O)=P(Y≥O)=P(X ≥0,Y≥0)=772P(maxr,Y)≥0)=(531640c..B.D.A.7497494.设总体XN(u,)，,均为未知参数，XX2,X,为来自总体X的样本，则μ2+的)矩估计量为（1Z(X,-X)Z(X,-X) c.!Zx?Zx"-n(X)D.B.A.n-1ni=lni=li=li=l得分评卷人三、（10分）在一单项选择题中有k个选项可供选择，一个考生会做该题的概率为p(0≤p<1)。若会做，则他写出正确答案的概率为0.99；若不会做，则他在个选项中任选一个写上。已知该考生的答案正确，求他确实会做该题的概率。2

2 得 分 评卷人 二、单项选择题（每小题 3 分，共 12 分） （将正确选项前的字母填入题后的括号内） 1. 设 A,B,C 为三个随机事件，A 与 B 相互独立，P(C)=0，则 A,B,C （ ） A. 相互独立 B. 两两独立，但不一定相互独立 C. 不一定两两独立 D. 一定不两两独立 2. 设随机变量 X 具有对称的密度函数，即 f (x)  f (x) ， F(x) 为 X 的分布函数，则对任意 实数 a  0,P( X  a)  （ ） A. 2[1 F(a)] B. 2F(a) 1 C. 2  F(a) D. 1 2F(a) 3. 设 X,Y 为两个随机变量， 7 4 P(X  0)  P(Y  0)  ， 7 3 P(X  0,Y  0)  ，则 P(max(X,Y)  0)  （ ） A. 49 16 B. 7 5 C. 7 3 D. 49 40 4. 设总体 X ~ N(, 2 )，,  2 均为未知参数， X X Xn , , 1 2 为来自总体 X 的样本，则 2 + 2的 矩估计量为（ ） A.   n i Xi X n 1 2 ( ) 1 B.    n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 C. 2 1 2  ( )   n i Xi n X D.  n i Xi n 1 1 2 得 分 评卷人 三、（10 分）在一单项选择题中有 k 个选项可供选择，一个考生会做该题 的概率为 p(0  p 1) 。若会做，则他写出正确答案的概率为 0.99； 若不会做，则他在 k 个选项中任选一个写上。已知该考生的答案正确，求他确实会做该题的概率

得分评卷人四、（12分）设(X,Y)服从区域D=(x,J)：0≤x≤1，0≤y≤2)上的均匀分布。（1）求(X,Y)的边缘密度函数f(x)，fiy)，并判断X与Y是否相互独立？（2）求Z=X+Y的密度函数f(=)。得分评卷人五、（10分）设随机变量X和Y的联合概率分布为：Y0-11X00.070.180.1510.080.320.20（1）问X与Y是否独立？是否相关？为什么？(2) 求Cov(X?,Y2)得分评卷人六、（10分）设随机变量X服从[0,]上的均匀分布，X,X,X,是来自总体X上的样本，求出常数a使得。=amin(X,X,,X)为的无偏估计，并求出D(?)3

3 得 分 评卷人 四、（12 分）设(X, Y )服从区域 D={(x, y)：0 ≤ x ≤1，0 ≤ y ≤2}上的 均匀分布。 （1）求(X, Y )的边缘密度函数 fX(x), fY(y)，并判断 X 与 Y 是否相互独立？ （2）求 Z = X + Y 的密度函数 fZ(z)。 得 分 评卷人 五、（10 分）设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为： Y X 1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 （1）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？为什么？ （2）求 ( , ) 2 2 Cov X Y 得 分 评卷人 六、（10 分）设随机变量 X 服从 [0,] 上的均匀分布， 1 2 3 X , X , X 是来自 总体 X 上的样本，求出常数 a 使得. min( , , ) ˆ   a X1 X2 X3 为  的无偏 估计，并求出 ) ˆ D(

得分评卷人x≥0七、（6分）设随机变量X的概率密度为：f(x)=m，其他0试用切比雪夫不等式估计概率P（0<X<2(m+1)）得分评卷人八、（10分）设X,X，，X为来自总体X的样本，X的分布函数为_X-βJ1-ex≥BF(x)=ox<β其中，β,0均为未知参数，求B.0的极大似然估计量。4

4 得 分 评卷人 七、（6 分）设随机变量 X 的概率密度为：         0 , 其他 , 0 ! ( ) e x m x f x x m 试用切比雪夫不等式估计概率 P（0  X  2(m 1)） 得 分 评卷人 八、（10 分）设 X X Xn , , 1 2 为来自总体 X 的样本， X 的分布函数为               x e x F x x 0 , 1 , ( ) 其中， , 均为未知参数，求 , 的极大似然估计量

试卷二：概率论与数理统计试题（闭卷）2007年7月得分评卷人、填空题（每题3分，共30分）1. 设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AUB)=0.8，则 P(A-B)=2.设100张券中有10张为奖券，某人从中随机摸出5张，则他恰好摸中k(k=0,1...,5)张奖券的概率为（列出式子即可）A(1+x)，x≥03.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=3则常数A=0XO4.若二维随机变量(X,Y)~N(0，3，2，1，0)，则X-Y~5.设随机变量X~B(n,p)，且EX=12，DX=8，则n=6.设在[,t]时段内通过某路口的汽车数X服从参数为a的Poission分布，且通过的汽车数平均为6辆，则在[4,]内至少有一辆汽车通过的概率为7.设随机变量X，Y满足DX=25，DY=36，Pxy=0.4，则D(X+Y）=8.设Xi，X2，…，X为来自正态总体N(0，)的样本，=-x，则n2/~9.设随机变量X的方差DX=2>0，则由切比雪夫不等式可得：P(X-EX<3o)10.设Xi，X2，“，Xm为来自正态总体N(u，")的样本，记=之x,，则E(X, -X)(n-1)Z(X. - μ)*一得分「评卷人判断题（每题2分，共10分）()1.若P(AB)=0，则A、B互不相容。)(2.设连续型随机变量X的概率密度为偶函数，则分布函数有F(-x)=1-F(x)。)C3．二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布。()4.样本均值的平方X2是总体期望平方μ2的无偏估计。)C5.参数θ的区间估计的置信度1-α越高，则置信区间的长度越短。5

5 试卷二： 概率论与数理统计试题（闭卷） 2007 年 7 月 得 分 评卷人 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1．设 P A P B P A B ( ) 0.3 , ( ) 0.4 , ( ) 0.8    ，则 P(A B ) = 。 2．设 100 张券中有 10 张为奖券，某人从中随机摸出 5 张，则他恰好摸中 k(k=0,1,.,5)张奖券 的概率为 。（列出式子即可） 3．设连续型随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 ( ) (1 ) 0 , A x f x x         x 0，则由切比雪夫不等式可得： P X EX ( 3 )    。 10．设 X1，X2，.，X2n 为来自正态总体 N(， 2 )的样本，记 1 1 n i i X X n    ，则 2 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) n i i n n i i n X X n X          ～ 。 得 分 评卷人 二、判断题（每题 2 分，共 10 分） 1．若 P(AB) = 0，则 A、B 互不相容。 （ ） 2．设连续型随机变量 X 的概率密度为偶函数，则分布函数有 F(x) = 1F(x)。 （ ） 3．二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布。 （ ） 4．样本均值的平方 2 X 是总体期望平方 2的无偏估计。 （ ） 5．参数 的区间估计的置信度 1越高，则置信区间的长度越短。 （ ）

得分评卷人三、（10分）一道单选题列有4个备选答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能不会做而随机乱猜一个。设他知道正确答案的概率为1/3。（1）求该生能选对该题的概率；（2）若他将该题选对了，求他确实知道正确答案的概率。得分评卷人[e-",00四、已知RV(X，Y)的联合概率密度为f(x,J)=0，其它（10分）（1）求Z=X-Y的概率密度：（(2)求P(X<Y)。6

6 得 分 评卷人 三、（10 分）一道单选题列有 4 个备选答案，一个考生可能真正理解而选 对答案，也可能不会做而随机乱猜一个。设他知道正确答案的概率为 1/3。 （1）求该生能选对该题的概率；（2）若他将该题选对了，求他确实知道正确答案的概率。 得 分 评卷人 四、已知 R.V.( X，Y )的联合概率密度为 , 0 1 , 0 ( , ) 0 , y e x y f x y         其它 （10 分） （1）求 Z = X – Y 的概率密度； （2）求 P( X < Y )

得分评卷人五、（10分）设~U[0,2元)（均匀分布），X=cos5,Y=sin5,。（1）试求X，Y的相关系数p：（2）X，Y是否独立？是否相关？为什么？得分评卷人六、（10分）某农贸市场的某商品第n天价格为Yn，X=Yn-Ym-l代表第n天较前一天商品价格的变化。（1）写出Y,与Yo，Xi，X2，…，X之间的关系；（2）已知X，X2，…，X，独立同分布，且EX，=0,DX=2（n=12..）。若现价Y。=100元，用中心极限定理估计32天后该商品的价格在96元至104元之间的概率。（已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772)7

7 得 分 评卷人 五、（10 分）设 ~ U[0, 2 ]（均匀分布），X = cosY = sin。 （1）试求 X，Y 的相关系数；（2）X，Y 是否独立？是否相关？为什么？ 得 分 评卷人 六、（10 分）某农贸市场的某商品第 n 天价格为 Yn，Xn = Yn Yn1 代表第 n 天较前一天商品价格的变化。 （1）写出 Yn与 Y0，X1，X2，.，Xn之间的关系； （2）已知 X1，X2，.，Xn，独立同分布，且 EXn = 0, DXn = 2 (n=1,2,.)。若现价 Y0 =100 元，用 中 心 极 限 定 理 估 计 32 天 后 该 商 品 的 价 格 在 96 元 至 104 元 之 间 的 概 率 。（ 已 知       (0.5) 0.6915 , (1) 0.8413 , (2) 0.9772 ）

得分评卷人七、（10分）设总体X的分布列为P(X=k)=（1-p)-p(k=1,2...），参数p未知。利用总体X的如下10个样本值：235146样本观察值≥73220120观察值出现的次数（1）求p的极大似然估计值：（2）求P(X≥3）的极大似然估计值。得分评卷人八、（10分）设Xi，X2，，X为来自正态总体Nu，α")的样本。（1）μ已知，求。2的两个矩估计量，并讨论其无偏性；（2）u未知，求α2的置信度为1-α的置信区间。（给出推导过程）8

8 得 分 评卷人 七、（10 分）设总体 X 的分布列为 P(X=k) = (1p) k1 p (k=1,2,.)，参数 p 未知。利用总体 X 的如下 10 个样本值： 样本观察值 1 2 3 4 5 6 ≥7 观察值出现的次数 3 2 2 0 1 2 0 （1）求 p 的极大似然估计值；（2）求 P(X ≥ 3) 的极大似然估计值。 得 分 评卷人 八、（10 分）设 X1，X2，.，Xn 为来自正态总体 N(， 2 )的样本。 （1） 已知，求 2 的两个矩估计量，并讨论其无偏性； （2）未知，求 2 的置信度为 1 的置信区间。（给出推导过程）

试卷三：概率论与数理统计试题（闭卷）2007年2月得分评卷人填空题（每题3分，共8小题，合计24分）1. 设A、B为两个独立的随机事件，P(A*B)=1/2，P(A-B)=1/4，则P(A)=，P(B)=2.设随机变量X服从参数入的泊松分布，E(X)=6，则P(X=2)=3. 设随机变量X~N(u,α)，若P(X>8)=P(X1/3)=6.设(X,N)在区域2=(x,)|01/2|Y>1/2)=—X,+X,7.设Xi,X2,",Xs是取自总体N(0,1)的样本，统计量TC(X, +X)? + X?则当C=时，T服从(2)分布。8.设L为正态总体中u的置信区间长度，置信水平为1-α，则当L固定时，α越小，样本容量n应该越得分评卷人二、选择题（每小题3分，共15分，每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1.设A,B为随机事件，且BA，则以下结论正确的是（）(A) P(AUB)=P(A)(B) P(AB)=P(A)(C) P(B|A)=P(B)(D) P(B - A)= P(B) - P(A)2.设随机变量X与Y相互独立同分布，其概率分布为P(X=-1)=P(X=1)=0.5，则下式正确的是((A) X=Y(B) P(X=Y)=0(C) P(X= Y)= 0.5(D) P(X= Y)=13.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=aCp(1-p)"-，k=1,2,,n，其中0<p<1，a为常数，则a=（)9

9 试卷三： 概率论与数理统计试题（闭卷） 2007 年 2 月 得 分 评卷人 一、填空题（每题 3 分，共 8 小题，合计 24 分） 1．设 A、B 为两个独立的随机事件，P(AB)=1/2，P(AB)=1/4，则 P(A)= , P(B)= 。 2．设随机变量 X 服从参数  的泊松分布，E(X 2 ) = 6，则 P(X = 2) = 。 3．设随机变量 X ~ N(, 2 )，若 P(X > 8) = P(X 1/3)= 。 6．设(X,Y)在区域 ={(x,y)| 01/2 | Y >1/2) = 。 7．设 X1, X2,., X5 是取自总体 N(0,1)的样本，统计量 2 5 2 3 4 1 2 C(X X ) X X X T     ， 则当 C = 时，T 服从 t(2)分布。 8．设 L 为正态总体中 的置信区间长度，置信水平为 1，则当 L 固定时，越小，样本 容量 n 应该越 。 得 分 评卷人 二、选择题（每小题 3 分，共 15 分，每小题给出的四个选 项中只有一个符合题目要求） 1．设 A,B 为随机事件，且 B  A ，则以下结论正确的是（ ） （A）P(A∪B) = P(A) （B）P(AB) = P(A) （C）P(B | A) = P(B) （D）P(B A) = P(B) P(A) 2．设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其概率分布为 P(X = 1) = P(X = 1)= 0.5，则下式正 确的是( ) （A）X = Y （B）P(X = Y ) = 0 （C）P(X = Y ) = 0.5 （D）P(X = Y ) =1 3．设随机变量 X 的概率分布为 P(X = k) = aCn k p k (1p) nk，k = 1,2,.,n，其中 0<p<1，a 为常 数，则 a =（ ）

11(A) 1(C)(D)(B) 1+(1-p)"1-(1-p)"1+p4.设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)，则以下结论正确的是（）1(B) P(maxX,Y)>O)=(A) P(min(X,Y)>0)=4411(C) P(X +Y >O)=(D) P(X -Y >O)=N45.设Xi,X2,",Xm为独立同分布的随机变量列，且都服从参数入的泊松分布，S=i=l记(x)为标准正态分布函数。则有（[S,-na[S,-na(A) lim P)lim P= Φ(x)(B)Φ(x)nanan→oS,-naS,-a(C) lim P(D) lim P= Φ(x)= Φ(x)≤xInaVnan→on→得分评卷人三、（12分）某射手连续不断地向目标射击，直到命中目标2次时停止射击，设射手每次射击是相互独立的，且命中目标的概率为p，以X表示射击次数，试求（1）X的概率分布：（2）EX。10

10 （A）1 （B）1+(1p) n （C） 2 1 1  p （D） n 1（1 p） 1 4．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从 N(0,1)，则以下结论正确的是（ ） （A） 4 1 P(min(X,Y)  0)  （B） 4 1 P(max{X,Y}  0)  （C） 4 1 P(X Y  0)  （D） 4 1 P(X Y  0)  5．设 X1, X2,., Xn,.为独立同分布的随机变量列，且都服从参数 的泊松分布，   n i Sn Xi 1 ， 记(x)为标准正态分布函数。则有（ ） （A） lim x (x) n S n P n n              （B） lim x (x) n S n P n n              （C） lim x (x) n S n P n n              （D） lim x (x) n S P n n              得 分 评卷人 三、（12 分）某射手连续不断地向目标射击，直到命中目标 2 次时 停止射击，设射手每次射击是相互独立的，且命中目标的概率为 p， 以 X 表示射击次数，试求（1）X 的概率分布；（2）EX