复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）条件极值问题与Lagrange乘数法

s7条件极值问题与Lagrange乘数法Lagrange乘数法在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件。例如，求原点到直线x+y+z=1,x+2y+3z = 6的距离，就是在限制条件x+y+z=1和x+2y+3z=6的情况下，计算函数f(x,y,2)=x2++=?的最小值。这就是所谓的条件极值问题

Lagrange 乘数法 在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加 一定的条件。例如，求原点到直线 ⎩⎨⎧ =++ =++ 632 ,1zyx zyx 的距离，就是在限制条件 + + zyx = 1和 + + zyx = 632 的情况下，计算函 数 222 ),( ++= zyxzyxf 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 §7 条件极值问题与Lagrange乘数法

以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数f(x,y,z)在约束条件[G(x, y,z) = 0,H(x,y,z) = 0下的极值。假定f,FG具有连续偏导数，且Jacobi矩阵GGyG.HH,H.在满足约束条件的点处是满秩的，即rankJ=2

以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 zyxf ),( 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0),( ,0),( zyxH zyxG 下的极值。 假定 , GFf 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx HHH GGG J 在满足约束条件的点处是满秩的，即 J = 2rank

先考虑条件极值点所满足的必要条件。上述约束条件可看成是空间曲线的方程。设曲线上一点（xo,yo,=）为条件极值点，由于在该点rankJ=2，不妨假设在(%o=)点(G.0，则由隐函数存在定理，a(y,z)在（xoo,z。）附近由该方程可以唯一确定y= y(x), z=z(x), xeO(xo,p)( y。= y(xo),zo= z(x))。它是曲线方程的参数形式。将它们代入目标函数，原问题就转化为函数D(x) = f(x, y(x),z(x), x EO(xo,p)的无条件极值问题，x是函数(x)的极值点，因此Φ(x)=0，即.(0. o,0)+,(0, 0)*+ (0, 0,0)-0。dxdx

先考虑条件极值点所满足的必要条件。上述约束条件可看成是空 间曲线的方程。设曲线上一点 ),( 000 zyx 为条件极值点，由于在该点 J = 2rank ，不妨假设在 ),( 000 zyx 点 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ zy HG ，则由隐函数存在定理， 在 ),( 000 zyx 附近由该方程可以唯一确定 ),(),(),( = = ∈ xOxxzzxyy 0 ρ （ )(),( 0 00 0 = = xzzxyy ）。 它是曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),()),(),(,()( Φ = ∈ xOxxzxyxfx 0 ρ 的无条件极值问题， 0 x 是函数 Φ x)( 的极值点，因此 0)( Φ′ x0 = ，即 0),(),(),( 000 + 000 + 000 = dx dz zyxf dxdy zyxfzyxf x y z

这说明向量grad f(xo,yo,zo)= f(xo,yo,z)i +f,(xo.yo,zo)j+ f.(xo,yo,zo)kdy dz1.0与向量t=正交，即与曲线在(xo,yo,z。)点的切向量正交，因dxdx此gradf(xoyo,z）可看作是曲线在(xo,yo,z)点处的法平面上的向量。由定理12.5.1，这个法平面是由gradG(xo,yo,zo)与gradH(xo,o,zo)张成的，因此grad f(xo,yo,zo)可以由gradG(xo,yo,zo)和grad H(xo,Jo,zo)线性表出，或者说，存在常数,o，使得grad f(xo, Yo,2o)=2o gradG(xo, Yo,20)+ μo grad H(xo, yo,z0) ,这就是点（xo，yo，z。）为条件极值点所满足的必要条件

这说明向量 i j ),(),(),(),(grad k 000 000 000 000 zyxfzyxfzyxfzyxf = x + y + z 与向量 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = dxdz dxdy τ ,1 正交，即与曲线在 ),( 000 zyx 点的切向量正交，因 此 zyxf 000 ),(grad 可看作是曲线在 ),( 000 zyx 点处的法平面上的向量。由 定理 12.5.1，这个法平面是由 zyxG 000 ),(grad 与 zyxH 000 ),(grad 张成的， 因此 zyxf 000 ),(grad 可以由 zyxG 000 ),(grad 和 zyxH 000 ),(grad 线性表出， 或者说，存在常数 00 λ ,μ ，使得 zyxf 000 ),(grad =λ0 zyxG 000 ),(grad + μ 0 zyxH 000 ),(grad ， 这就是点 ),( 000 zyx 为条件极值点所满足的必要条件

将这个方程按分量写出就是f.(xo.yo,2o)-2.G.(xo,Yo,zo)-HoH(xo.Yo,zo)=0f,(xo,yo,zo)-a.G,(xo,yo,z0)-μoH,(xo,yo,zo)=0f.(xo, yo,zo) -2G.(xo, yo,zo) -μoH.(xo, yo,zo) = 0.于是，如果构造Lagrange函数L(x, y,z) = f(x, y,z) - aG(x, y,z) -μuH(x, y,2)（a,μ称为Lagrange乘数），则条件极值点就在方程组L=f-aG-uH,=0,L,= J,-aG,-uH,= 0,L, = f. -G, -uH, =0,G=0,H=0的所有解(xo,y,zo,o,o)所对应的点(xo,yo,zo)中。用这种方法来求可能的条件极值点的方法，称为Lagrange乘数法

将这个方程按分量写出就是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = .0),(),(),( ,0),(),(),( ,0),(),(),( 00000000000 00000000000 00000000000 zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf z z z y y y x x x λ μ λ μ λ μ 于是，如果构造 Lagrange 函数 = − λ − μ zyxHzyxGzyxfzyxL ),(),(),(),( （ ,μλ 称为 Lagrange 乘数），则条件极值点就在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =−−= =−−= =−−= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 H G HGfL HGfL HGfL zzz z yy y y xx x x μλ μλ μλ 的所有解 ),( μλ 00000 zyx 所对应的点 ),( 000 zyx 中。用这种方法来求可 能的条件极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法

作为一个例子，现在用Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题，即求函数F(x,y,2) = x? + y? +2?在约束条件x+y+z=1,x+2y+3z=6下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作Lagrange函数L(x, y,z,n,μ)= x2 + y2 +z2 - (x+ y+ z -1)- μ(x+2y+3z-6),在方程组[L,=2x-元-μ=0,L,=2y--2μ=0,L,=2z--3μ=0,x+y+z-1=0,x+2y+3z-6=0中，把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得3元 +6μ=2

作为一个例子，现在用 Lagrange 乘数法来解决本节开始提出的 问题，即求函数 222 ),( ++= zyxzyxF 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作 Lagrange 函数 ),( ( )632()1 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−−++−++= ， 在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =−++ =−−= =−−= =−−= .0632 ,01 ,032 ,022 2 ,0 zyx zyx zL yL xL z y x μλ μλ μλ 中，把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 λ + μ = 263

把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得6元+14u=12。从以上两个方程解得22357由此可得唯一的可能极值点x33由于点到直线的距离，即这个问题的最小值必定存在，因此这个517唯一的可能极值点必是最小值点，也就是说，原点到直线33°3[x + y+z = l,的距离为[x +2y+3z= 6255132

把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 λ + μ = 12146 。 从以上两个方程解得 4, 3 22 μλ =−= ， 由此可得唯一的可能极值点 3 7 , 3 1 , 3 5 zyx ==−= 。 由于点到直线的距离，即这个问题的最小值必定存在，因此这个 唯一的可能极值点 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 7 , 3 1 , 3 5 必是最小值点，也就是说，原点到直线 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 的距离为 3 25 3 7 , 3 1 , 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ F − = 3 5

-般地，考虑目标函数f(x,xz,,x）在m个约束条件g,(xi,x2,"",x,)=0 (i=1,2,"",m, m<n)下的极值，这里f,g,（i=1,2,,m)具有连续偏导数，且Jacobi矩阵gi0J=axaxax.在满足约束条件的点处是满秩的，即rankJ=m。那么我们有下述类似的结论：定理12.7.1（条件极值的必要条件）若点x。=（x°,x.,x）为函数f(x)满足约束条件的条件极值点，则必存在m个常数元,22,,元m，使得在点成立grad f=a,gradg,+a,gradg2+..+amgradgmo

一般地，考虑目标函数 ),( 21 n " xxxf 在 m 个约束条件 );,2,1(0),( 21 nmmixxxgi " n == " < 下的极值，这里 migf ),2,1(, i = " 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n m m m n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g J " ### " " 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 在满足约束条件的点处是满秩的，即rank = mJ 。那么我们有下述类似 的结论： 定理 12.7.1（条件极值的必要条件）若点 x0 ),( 00 2 0 1 n = " xxx 为函数 f x)( 满足约束条件的条件极值点，则必存在 m 个常数 λλλ m , 21 " ，使 得在 0 x 点成立 m m grad f grad g grad g grad g = λ1 + λ21 2 "++ λ

于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造Lagrange函数L(x,x2,-,xn,a,22,,am)= f(x1,X2,*,x.)-Eag(x,x2,.,x),i=l那么条件极值点就在方程组aL_f22ogi=0,(*)(k = 1,2, ,n, 1 = 1,2, ,m)axkxkOxki=l(g, = 0,的所有解(x,x2,,x，,2.)所对应的点(,x2,…x）中

于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange 函数 ∑= = − m i n m n ii n xxxL xxxgxxxf 1 21 21 21 21 " " λλλ " λ " ),(),(),( ， 那么条件极值点就在方程组 （ * ） ),2,1;,2,1( ,0 ,0 1 mlnk g x g x f x L l m i k i i kk = " = " ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑= λ 的所有解 ),( 21 n 21 m " xxx λ λ " λ 所对应的点 ),( 21 n " xxx 中

判断如所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给出。定理12.7.2设点x。=(xx,x）及m个常数,2，元m满足方程组（*），则当方阵?L(xo,21,2)ax,ax,为正定（负定）矩阵时，x。为满足约束条件的条件极小（大）值点，f(x。）为满足约束条件的条件极小（大）值

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不 加证明地给出。 定理 12.7.2 设点 0 x ),( 00 2 0 1 n = " xxx 及 m 个常数 λ λ λ m , 21 " 满足方 程组（ * ），则当方阵 nn m lk xx L × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ),( 210 2 x " λλλ 为正定（负定）矩阵时， 0 x 为满足约束条件的条件极小（大）值点， )( 0 f x 为满足约束条件的条件极小（大）值