华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第一章 随机事件与概率 §1.1 随机事件和样本空间 §1.2 事件的关系和运算

机华汽与教理统计引言一、历史、发展与未来1.不光彩的起源-------般1654年7月至10月，巴斯卡（Pascal）与费马（Fermat）通信的有关问题：a.将两只般子掷24次，至少掷出一个“66”的机遇小于1/2，但两只般子只有36种（等）可能的情况，而24占了36的2/3，如何解释？b.假定A、B在每局取胜的概率各为1/2，而在赌博中断时，A、B各缺少a、b个胜局以取得最后胜利，如何分配赌注？2．数学的新纪元一：1933年柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建立概率的公理化体系。二战时期的弹药需求问题。20世纪60年代计算机的应用数学三步曲：经典数学→随机数学→模糊数学3．走向大众一一

引言 一、历史、发展与未来 1．不光彩的起源-骰 1654 年 7 月至 10 月，巴斯卡（Pascal）与费马（Fermat）通信的有 关问题： a. 将两只骰子掷２４次，至少掷出一个“６６”的机遇小于１/２， 但两只骰子只有３６种（等）可能的情况，而２４占了３６的２/ ３，如何解释？ b. 假定 A、B 在每局取胜的概率各为１/２，而在赌博中断时，A、B 各缺少 a、b 个胜局以取得最后胜利，如何分配赌注？ ２．数学的新纪元――  １９３３年柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建立概率的公理化体系。  二战时期的弹药需求问题  ２０世纪６０年代计算机的应用  数学三步曲：经典数学→随机数学→模糊数学 ３．走向大众―――

●美国数学会对21世纪数学教育的要求·考研份量趋升·北京天气预报陈希孺：统计方法是认识和改造世界的重要方法之一，对这方面毫无了解，不能不说是知识结构上的一个缺陷，是可引为遗憾感的。二、概率常识的盲点●甲与乙竞赛（足球）输赢比为4:1或5:0两观点：a：甲的水平必高于乙；b：不一定→P(a):P(b)=5:3·生日同一天问题：班里至少有两人在同一天过生日的概率p=？三、概率统计的研究对象·必然现象：水冰10℃气·随机现象一一统计规律四、定义：概率统计～研究随机现象的统计规律的数学学科五、参考书：1.王福保《概率论与数理统计》同济大学出版社2.陈希孺《概率论与数理统计》中国科技大学出版社

 美国数学会对２１世纪数学教育的要求  考研份量趋升  北京天气预报 陈希孺：统计方法是认识和改造世界的重要方法之一，对这方面毫无 了解，不能不说是知识结构上的一个缺陷，是可引为遗憾的。 二、概率常识的盲点  甲与乙竞赛（足球）输赢比为 4:1 或 5:0 两观点：a：甲的水平必高于乙 ；b： 不一定 →P(a):P(b)=5:3  生日同一天问题：班里至少有两人在同一天过生日的概率 p=？ 三、概率统计的研究对象  必然现象： 水 0℃ 冰 100℃ 气  随机现象 ——统计规律 四、定义：概率统计~研究随机现象的统计规律的数学学科 五、参考书：1. 王福保 «概率论与数理统计» 同济大学出版社 2．陈希孺 «概率论与数理统计» 中国科技大学出版社

第一章随机事件与概率$1.1随机事件和样本空间一、随机试验(E)：1．可在相同条件下重复进行；2．试验前不可知其结果；3．所有可能的结果可知。二、随机事件～随机实验的结果，记为A,B,C….1．基本事件～不可分的最简单事件，记为w2.复合事件～若干基本事件组成的事件。3．必然事件～必定发生的事件，记为24．不可能事件～不可能发生的事件，记为Φ三、样本空间～全体基本事件的集合，记为2例：E1：掷一只般子Q=1，2，3，4，5，6]A={1，3，5)~出现奇数点，B={5,6}~点数超过4E2：抛两枚硬币Q=[正正，正反，反正，反反]A=正反，反正)恰出现一个正面或Q=[正正，正反，反反]A={正反)~恰出现一个正面，Φ～出现三个正面E3：电脑无故障运行时间Q={t：t>0]A={t:t≥500)~合格品

第一章 随机事件与概率 §1.1 随机事件和样本空间 一、随机试验(E)： 1. 可在相同条件下重复进行； 2. 试验前不可知其结果； 3. 所有可能的结果可知。 二、随机事件 ~ 随机实验的结果，记为：A, B, C,. 1. 基本事件 ~ 不可分的最简单事件，记为ω 2. 复合事件 ~ 若干基本事件组成的事件。 3. 必然事件 ~ 必定发生的事件，记为Ω 4. 不可能事件 ~ 不可能发生的事件，记为  三、样本空间 ~ 全体基本事件的集合，记为Ω 例：E1：掷一只骰子 Ω ={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5}~出现奇数点， B={5,6}~点数超过 4 E2：抛两枚硬币 Ω ={正正，正反，反正，反反} A={正反，反正}~恰出现一个正面 或Ω ={正正，正反，反反} A={正反}~恰出现一个正面，  ~出现三个正面 E3：电脑无故障运行时间 Ω ={t: t>0} A={t: t≥500}~合格品

S1.2事件的关系和运算一、事件的关系1.包含~A发生则B必然发生，记为：ACBB福如E,中，A=(1)，B=(1，3，5)，则AcB2.等价～ACB且BCA，记为A-B3.不相容（互斥）～A与B不能同时发生，记为ANB=ΦBQ如E,中，A={2),B=(1,3，5)，则ANB=Φ4.互逆～ANB=Φ，且A与B必有一个发生，记为：A=B或B=A

§1.2 事件的关系和运算 一、事件的关系 1. 包含 ~ A 发生则 B 必然发生，记为： A  B 如 E1 中，A={1}，B={1，3，5}，则 A  B 2．等价 ~ A  B 且 B  A ，记为 A=B 3．不相容（互斥）~ A 与 B 不能同时发生，记为 A B  如 E1 中，A={2}，B={1，3，5}，则 A B  4．互逆 ~ A B  ，且 A 与 B 必有一个发生，记为： A  B 或 B  A Ω B A Ω A B

B=AQ如E,中，A={2，4，6),B={1,3，5)，则A=B二、事件的运算1.和（并）～A与B至少有一个发生，记为：AUBB如E,中，A=4}，B=(1，3，5}，则AUB=1,，3，4，5

如 E1 中，A={2，4，6}，B={1，3，5}，则 A  B 二、事件的运算 1．和（并）~ A 与 B 至少有一个发生，记为：A∪B 如 E1 中，A={4}，B={1，3，5}，则 A∪B ={1，3，4，5} B  A Ω A Ω A B

2.积（交）～A与B同时发生，记为：AnB或ABABAB2如E中，A={3，4，5，6，B=(1，2，3，4)，则AB=(3，4)推广：JA,=AUAU...UA，~Ai,A,A,中至少有一个发生i=4=AnAnnA~A1,A2,An同时发生=3.差～A发生但B不发生，记为A-B=ABBA-BQ如Ei中,A=(3,4,5,6),B=(1,2,3,4),则A-B={5,6)

2．积（交）~ A 与 B 同时发生，记为：A∩B 或 AB 如 E1 中，A={3，4，5，6}，B={1，2，3，4}，则 AB={3，4} 推广： n n i Ai A1  A2  A 1   ~ A1, A2,.,An 中至少．．有一个发生 n n i Ai A1  A2  A 1   ~ A1, A2,.,An 同时．．发生 3．差 ~ A 发生但 B 不发生，记为 A B  AB 如 E1 中，A={3，4，5，6}，B={1，2，3，4}，则 A-B={5，6} Ω A AB B Ω A B B

三、法则AUB=BUA,ANB=BNA;1．交换律：2. 结合律：(AUB)UC=AU(BUC),(AB)C=A(BC)3. 分配律： A(BUC)=(AB)U(AC), AU(BC)=(AUB)(AUC)4.对偶律：AUB=ANB，ANB=AUBU4=N4, N4=U4---例设某人向一个目标连射三枪，以A表示“第i枪命中目标”i-1,23，试用A,A2,A及其运算式表示下面事件：（1）前两枪至少命中一枪；B1（2）只有第一枪命中；B2（3）只有第一枪未命中；B3（4）第一枪命中且后两枪至少命中一次；B4（5）至少命中两次；B5（6）至多命中一次。B6

三、法则 1．交换律： A B  B A， A B  B A ； 2．结合律： (AB)C  A(BC)，(AB)C  A(BC) 3．分配律： A(BC)  (AB)(AC)， A(BC)  (AB)(AC) 4．对偶律： A B  A  B ， A B  A  B   n i i n i Ai A 1 1  ，   n i i n i Ai A 1 1  例 设某人向一个目标连射三枪，以 Ai 表示“第 i 枪命中目标”， i=1,2,3，试用 1 2 3 A , A , A 及其运算式表示下面事件： （1）前两枪至少命中一枪；B1 （2）只有第一枪命中；B2 （3）只有第一枪未命中；B3 （4）第一枪命中且后两枪至少命中一次；B4 （5）至少命中两次；B5 （6）至多命中一次。B6

般：（tou）----哺乳类动物脚踝处的一块骨头。子，一种赌具，俗称“色子”～100%102040505590人数301-3*10-950.990.970.11690.89120.41410.7063p=AUA

骰：（tóu）-哺乳类动物脚踝处的一块骨头。 骰子，一种赌具，俗称“色子” ≈100% ！ 人数 10 20 30 40 50 55 90 p 0.1169 0.4141 0.7063 0.8912 0.97 0.99 1-3*10-95  A1  A2

=AAA=AAA

 A1 A2 A3  A1 A2 A3

= A(A, UA)= AB)=AAUAAUAA= AAA, UAAA UAAA, UAAA=B, =AAUAAUAA

1 2 3 1 1  A (A  A )  A B  A1 A2  A2 A3  A3 A1 5 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B A A A A A A A A A A A A A A A A A A        