复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十三章 重积分 13.3 重积分的变量代换

习题13.3重积分的变量代换1．利用极坐标计算下列二重积分：（1）{[e-(r+y)dxdy，其中D是由圆周x2+y2=R2（R>0)所围区域；(2)「Vxdxdy，其中D是由圆周x2+y?=x所围区域；(3）[[(x+y)dxdy，其中D是由圆周x?+y?=x+所围区域；[1- x - y2(4)-dxdy，其中D是由圆周x2+y?=1及坐标轴所围成Vi+x? +y?的在第一象限上的区域。解 (1) [Je-(+r)dxdy=J" dofRe-"'rdr=(1-e-R")。 a15Drsino+cose 2 dr(3）JJ(x+ y)dxdy =J(sing+ cos)de[)44]" sin* idt =1 sin*(0+")d0=(sing+cos)*do-3J43Jo44注：本题也可通过作变换111+rcose,y+rsin0(0≤0≤2元.0≤rV222来求解。1-x-y-(4)-rdr=dxdhV111+ r +元2元--dt =-844Jo./-,22.求下列图形的面积：（1）（ax+by+c)+(azx+b+c,)=1（8=ab,-a,b,0）所围的区域；（2）由抛物线y2=mx,y2=nx（00)所围的图形xyxy（4）曲线(h,k>0,a,b>0)所围图形在x>0,y>0的htk)=a?+b2a部分

习 题 13.3 重积分的变量代换 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1）∫∫ − + ，其中 是由圆周 所围区域； D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) （2）∫∫ D xdxdy ，其中D是由圆周 x 2 + y 2 = x所围区域； （3）∫∫ + ，其中 是由圆周 所围区域； D (x y)dxdy D x y x 2 2 + = + y （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成 的在第一象限上的区域。 D x y 2 2 + = 1 解（1）∫∫ − + 。 D e dxdy ( x y ) 2 2 (1 ) 2 2 0 2 0 R R r d e rdr e − − = = − ∫ ∫ θ π π （2）∫∫ D xdxdy 15 8 cos 5 4 cos 2 0 3 cos 0 2 2 = = = ∫ ∫ ∫ − π θ π π θ dθ rrdr θdθ 。 （3）∫∫ + D (x y)dxdy ∫ ∫ + − = + π θ θ π θ θ θ sin cos 0 2 4 3 4 (sin cos )d r dr 3 1 = 2 sin 3 4 ) 4 sin ( 3 4 (sin cos ) 0 4 4 3 4 4 4 3 4 4 π θ π θ θ θ θ π π π π π + = + = = ∫ ∫ ∫ − − d d tdt 。 注：本题也可通过作变换 ) 2 1 sin (0 2 , 0 2 1 cos , 2 1 x = + r θ y = + r θ ≤ θ ≤ π ≤ r ≤ 来求解。 （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ∫ ∫ ∫ + − = + − = 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 1 4 1 dt t t rdr r r d π θ π = − − = ∫ 1 0 2 1 1 4 dt t π t 8 4 2 π π − 。 2. 求下列图形的面积： （1）( ) a x1 1 + + b y c1 2 + (a2 2 x + b y + c2 ) 2 = 1 （δ = a b1 2 − a2b1 ≠ 0）所围的 区域； （2）由抛物线 y m 2 2 = = x, ( y nx 0 所围的图形； （4）曲线 x h y k x a y b + h k a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + > > 4 2 2 2 2 ( , 0; , 0)所围图形在 x > 0 0 , y > 的 部分。 1

则 (u,v)解（1）作变换u=ax+by+c,v=ax+bzy+c2，2=ab2-azbia(x,y)于是面积1a(x,y)元[dudyS:dudya(u,v)[a,b, -azb,]Ja,b, -azbi D12a(x,y)uuV则x=（2）作变换u于是面积VDo(u,v)11Axa(x,y)1uduBdy1S(n2Sdudy=m)Ja14Da(u,v)β36α3（3）令x=rcoso,y=rsin，则曲线方程可化为极坐标形式r=acos30，于是面积acos30元。26cos230do=S=3[6 dolrdr=3a2JO46x= hrcos9则9()=hkrsin20，而曲线方程化为（4）作变换a(r,0)y=krsin?0k2h?2sin*@,cos*0b2a于是面积Kk"cos0+-sineVaS=hkhrdr2sin20de号h2k2sin'cosedesincosedehkb2ahk(a?k? +b*h)6a?b23.求极限limf(x,y)dxdyp-0元其中f(x,y)在原点附近连续。解由积分中值定理，[[ (x, y)dxdy = f(5,n)p? ,x?+y≤p其中2 +n?≤p?。因为连续，且当p→0时，(5,n)→(0,0)，所以1([ f(x,y)dxdy = f(0,0) 。limp-→0元p2+ysp4.选取适当的坐标变换计算下列二重积分：（1）（(x+)dxdy，其中D是由坐标轴及抛物线Vx+V=1所围2

解（1）作变换 1 1 1 2 2 2 u = a x + b y + c , v = a x + b y + c ，则 1 2 2 1 ( , ) ( , ) a b a b x y u v = − ∂ ∂ ， 于是面积 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) a b a b dudv a b a b dudv u v x y S D D − = − = ∂ ∂ = ∫∫ ∫∫ ′ ′ π 。 （2）作变换 x y v x y u = , = 2 ，则 v u y v u x = , = 2 ， 4 ( , ) ( , ) v u u v x y = ∂ ∂ ，于是面积 = = ∂ ∂ = ∫∫ ∫ ∫ ′ β α 4 ( , ) ( , ) v dv dudv udu u v x y S n m D ) 1 1 ( )( 6 1 3 3 2 2 α β n − m − 。 （3）令 x = r cosθ , y = rsinθ ，则曲线方程可化为极坐标形式r = a cos3θ ， 于是面积 = = = ∫ ∫ ∫ − 6 0 2 2 cos3 0 6 6 3 3 cos 3 π θ π π S dθ rdr a θdθ a 2 4 a π 。 （4）作变换 ，则 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ 2 2 sin cos y kr x hr θ θ sin 2 ( , ) ( , ) hkr r x y = ∂ ∂ ，而曲线方程化为 θ θ 4 2 2 4 2 2 2 cos sin b k a h r = + ， 于是面积 ∫ ∫ + = θ θ π θ θ 4 2 2 4 2 2 cos sin 0 2 0 sin 2 b k a h S hk d rdr ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ 2 0 2 0 5 2 2 5 2 2 sin cos sin cos π π θ θ θ θ θdθ b k d a h hk = 2 2 2 2 2 2 6 ( ) a b hk a k + b h 。 3. 求极限 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y ， 其中 f x( , y) 在原点附近连续。 解 由积分中值定理， 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 ξ η πρ ρ f x y dxdy f x y = ∫∫ + ≤ ， 其中ξ2 +η2 ≤ ρ2。 因为 f 连续，且当ρ → 0时，(ξ ,η) → (0,0)，所以 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y = f (0,0)。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1） ( ) ∫∫ + D x y dxdy，其中D是由坐标轴及抛物线 x y + = 1所围 2

的区域；长12ldxdy，其中D是由i）椭圆(2)=1所围区域；h22ii）圆x2+2=R2所围的区域；（3）「[ydxdy，其中D是由直线x=-2,y=0，y=2以及曲线x=-/2y-y2所围的区域；（4）「[eydxdy，其中D是由直线x+y=2,x=0及y=0所围的区域；[(x+ y)?(5)dxdy，其中闭区域D=(x,y)lx|+|y1);1+(x-y)2Vx? + y?(6)dxdy，其中闭区域D是由曲线y=Va2-x2-g/4a?-x2-y2（a>0）和直线y=-x所围成。[u=/x则x=，(=4nv，于是解（1）作变换，[y=v2' (u,)V=Vy"[[(x+ )ixdy = J[(u +v)4uvdudy =8f dyf"u du=8(-) -(1-)=15注：本题也可通过作变换x=rcose,y=rsin4e来求解。（2）i）作广义极坐标变换[x=arcoso，(x,=abr，于是则ly=brsing0(r,0)I(++ o -al元2"delr3drab;2i）利用极坐标变换，得到(cos?,sin?0)π(α? +b2)R4(+)dxdy=de4a2b2a2b2(3） [[ydxdy = (L ydxdy-ydxdyy2y2Csin*ede[~dxydy-["sin ede.r2dr=4[sin*=4-4.3Jo2 °11x-y（4）作变换u=x+y,v=则x=u(l-)，直接计算得-u(l+v), y=22x+y(x,y) _u2°a(u,v)3

的区域； （2）∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中D是由 i）椭圆 x a y b 2 2 2 + 2 = 1所围区域； ii）圆 x 2 + y 2 = R2所围的区域； （3） ∫∫ ，其中 是由直线 D ydxdy D x = −2, y = 0 ， y = 2 以及曲线 2 x = − 2y − y 所围的区域； （4）∫∫ + − D e dxdy x y x y ，其中D是由直线 x + y = 2 0 , x = 及 y = 0所围的区域； （5）∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) ，其中闭区域D = {(x, y) | | x | + | y |≤ 1}； （6） ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ，其中闭区域D是由曲线 y = a − x − a 2 2 （a > 0）和直线 y = −x 所围成。 解（1）作变换⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = v y u x ，则 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 2 y v x u uv u v x y 4 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ ，于是 ( ) ∫∫ + D x y dxdy ∫∫ ∫ ∫ − ′ = + = v D u v uvdudv vdv u du 1 0 2 1 0 ( )4 8 15 2 8 [(1 ) (1 ) ] 1 0 3 4 = − − − = ∫ v v dv 。 注：本题也可通过作变换 x = r cos 4 θ , y = rsin 4 θ 来求解。 （2）i）作广义极坐标变换 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y br x ar abr r x y = ∂ ∂ ( , ) ( , ) θ ，于是 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 = = ∫ ∫ 1 0 3 2 0 ab d r dr π θ ab 2 π ； ii）利用极坐标变换，得到 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 3 2 0 2 2 2 2 4 cos sin ( ) a b a b R d r dr a b R + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ π θ π θ θ 。 （3）∫∫ D ydxdy 2 0 2 2 0 2 x y y x y ydxdy ydxdy − ≤ ≤ − ≥− ≤ ≤ = − ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − = − − π π π θ π θ θ θ θ 2 4 2sin 0 2 2 2 0 0 2 sin 3 8 dx ydy sin d r dr 4 d 2 sin 4 3 8 4 2 0 4 π θ θ π = − = − ∫ d 。 （4）作变换 x y x y u x y v + − = + , = ，则 (1 ) 2 1 (1 ), 2 1 x = u + v y = u − v ，直接计算得 ( , ) 2 ( , ) u u v x y = − ∂ ∂ 。 3

由x≥0,y≥0,x+y≤2，可得0≤u≤2-1≤v≤1，于是1Jfe dxdy =e'dy=eudulDo(u,v)a(x,)=_，于是2（5）作变换u=x+j,v=x-y，则a(x,y)a(u,v)2[_(x+y)?dv=元2ddxdy1+(x-v)2+126（6）利用极坐标，得到r2Vx? + y?2asingerdxdy:dr/4a2-14a?-x2.由[rd/4a?-r?=-r4a?-r?+[4a?-r?dir:以及44a2-(4a2-r2)dr = 4α? arcsin---[V4a?-r2dr,4a?-r2可得r2-J4a?-r2+C,dr =2a arcsin2a2402所以x+y元2-82dxdy= 2a'(sinOco-0)do=16x245.选取适当的坐标变换计算下列三重积分：(1)(x?+y+z2)dxdydz，其中Q为球((x,y,)/x?+y+22≤1)xy22?一(2)dxdydz，其中Q为椭球a2-b?-c%++(x,y,z)（3）[=2+ydxdydz，其中Q为柱面y=2x-x2及平面z=0,z=α(α>0)和y=0所围的区域；[ =n(1+ x* + y* +2)(4)dxdydz，其中Q为半球1+ x2 + y2 +2?((x,y,=) |x2 + y2 + 22 ≤1, z ≥ 0) ;(5)(x++z)~dxdydz，其中Q为抛物面x2+y2=2az与球面4

由 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2，可得0 ≤ u ≤ 2,−1 ≤ v ≤ 1，于是 ∫∫ + − D e dxdy x y x y e udu e dv e v 1 2 1 1 1 2 0 = = − ∫ ∫− 。 （5）作变换u = x + y,v = x − y，则 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v ，于是 ∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 6 1 1 1 2 1 1 2 π = + = ∫ ∫ − − v dv u du 。 （6）利用极坐标，得到 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ∫ ∫ − − − = θ π θ 2 sin 0 2 2 2 0 4 4 a dr a r r d ， 由 ∫ ∫ ∫ = − − = − − + − − dr rd a r r a r a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 以及 ∫ ∫ ∫ = − − − − − = − a r dr r r dr a a r a a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 arcsin 4 4 (4 ) 4 ， 可得 a r C r a r dr a a r r = − − + − ∫ 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 arcsin 4 ， 所以 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 2 2 0 4 2 16 8 2a (sin cos )d a − = − = ∫− π π θ θ θ θ 。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1）∫∫∫( x 2 2 + + y z 2 )dxdydz ，其中 Ω 为球{( ； Ω x y, ,z)| x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 （2） 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ，其中 Ω 为椭球 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( , , ) + + ≤ 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z ； （3） z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ，其中 Ω 为柱面 y x = 2 − x 2 及平面 z z = = 0, a (a > 0)和 y = 0所围的区域； （4） z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为半球 {( , , ) | 1, 0} 2 2 2 x y z x + y + z ≤ z ≥ ； （5） ∫∫∫ ( ) x + +y z 2 dxdydz ，其中 Ω 为抛物面 与球面 Ω x y a 2 2 + = 2 z 4

x2+y2+22=3a2（α>0)所围的区域。y=22,绕=轴旋转-(x2+y2)dxdydz，其中为平面曲线(6）C周形成的曲面与平面==8所围的区域；1(7) [dxdydz，其中闭区域/x2+2+-2Q=((x,y,2)/ x2+y2 +(z-1)≤1 ,z≥0, y≥0) ;(8）JJ(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)dxdydz，其中闭区域Q=(x,y,z)|0≤x+y-z≤0≤x-y+z≤l,0≤y+z-x≤)。解（1）应用球坐标，则JJ[(r* +y + )dxdyd = J" dof,sin pdof'rdr = （2）应用广义球坐标，则xy价=abefdofsindofd=4mabcl/1-r2r2dr,令r=sint，则x2 cos?tsin?tdt1---dodyd =4mbelsin?2d=mbejcos4h)dt=一元？abc。=元abc4（3）应用柱坐标，则fopard=coso[[ zx? + y dxdydz =2de829（4）应用柱坐标，则J =n(+**+y* +)dxdydz+V+z1+x=J" dof'rar]/=ln++r2+2)r[ln?2-In?(1+r2)]di1+r2+z2-n2 2-'n2 dt=(n2-}-1n2 2) 。22（5）由于Q关于y平面和zx平面都对称，则[] xydxdydz = []] yzdxdydz = []] zxdxdydz = 0 ,0C0于是

x y z a 2 2 2 2 + + = 3 (a > 0)所围的区域。 （6） ，其中 Ω 为平面曲线 绕 轴旋转一 周形成的曲面与平面 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 , 2 x y z z z = 8所围的区域； （7）∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ，其中闭区域 Ω={(x, y,z) | x 2 + y 2 + (z −1) 2 ≤ 1 ， z ≥ 0, y ≥ 0}； （8）∫∫∫ ，其中闭区域 Ω = Ω (x + y − z)(x − y + z)( y + z − x)dxdydz {(x, y,z) | 0 ≤ x + y − z ≤ 1, 0 ≤ x − y + z ≤ 1, 0 ≤ y + z − x ≤ 1}。 解（1）应用球坐标，则 ( x y z )dxdydz 2 2 2 ∫∫∫ + + Ω 5 4 sin 1 0 4 0 2 0 π θ ϕ ϕ π π = = ∫ ∫ ∫ d d r dr 。 （2）应用广义球坐标，则 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ∫ ∫ ∫ = − 1 0 2 2 0 2 0 abc d sin d 1 r r dr π π θ ϕ ϕ ∫ = − 1 0 2 2 4πabc 1 r r dr ， 令r = sin t，则 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ∫ = 2 0 2 2 4 cos sin π πabc t tdt = = − = ∫ ∫ 2 0 2 0 2 (1 cos4 ) 2 1 sin 2 π π πabc tdt πabc t dt abc 2 4 1 π 。 （3）应用柱坐标，则 z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ∫ ∫ ∫ ∫ = = 2 0 2 3 0 2cos 0 2 2 0 cos 3 4 π θ π dθ r dr zdz a θdθ a = 2 9 8 a 。 （4）应用柱坐标，则 z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ ∫ = − + + + + + = − 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2 0 [ln 2 ln (1 )] 1 2 ln(1 ) 2 dz r r dr r z z r z d rdr r π θ π = − = ∫ 2 1 2 2 ln 4 ln 2 4 tdt π π ln 2)π 4 1 2 1 (ln 2 2 − − 。 （5）由于 Ω 关于 yz平面和 zx 平面都对称，则 ∫∫∫ = ∫∫∫ = ∫∫∫ = 0， Ω Ω Ω xydxdydz yzdxdydz zxdxdydz 于是 5

[(x + y+z)°dxdydz = [[(x? + y2 +2°)dxdydz,应用柱坐标，就有rV3a-J (x + y+z) dxdydz = 2" dof,2ardrf=2)d2a13r2 3a2-2-+(3a2-r221rdr2a324a33a2/3a2--(3a2-)r62元di2a24a33 2(3/3 -1) (9/3-1)a5 8- 16)96a3156a_108/3-97 ma 。30（6）可得Q由曲面x2+2=2z与平面z=8所围，应用柱坐标，则)dr=1024J(+y)xdd=J de]ard=2(8)2S（7）应用球坐标，则1SS-dxdydz = [" de["sin pdpsrdiV+y+2元"sinpcos?pdp=元3则 (u,v, w),（8）作变换u=x+y-z,v=x-y+z,w=y+z-4o(x,y,z)于是(=-，所以a(u,v,w) -4[[(x+ y-z)(x- y+ z)(y+ z-x)dxdydzly.aluaaawmzv324[a(u,v,w)6.求球面x?+y?+?=R?和圆柱面x2+y=Rx(R>0)所围立体的体积。解V=2[[R?-x?-ydxdy=4[de[ReoseR?-rrdr'+y"≤Rx(1-sin' 0)d0 = 6元-8 R3 a7.求抛物面z=6-x2-y2与锥面z=x2+y2所围立体的体积。解联立两个曲面方程，解得交线所在的平面为z=2，所围空间区域

( ) x + +y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω ∫∫∫ Ω = (x + y + z )dxdydz 2 2 2 ， 应用柱坐标，就有 ( ) x + +y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω ∫ ∫ ∫ − = + 2 2 2 3 2 2 2 2 0 2 0 ( ) a r a r a d rdr r z dz π θ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − + − − a rdr a r a r a r r a r 2 0 3 6 2 3 2 2 4 2 2 2 24 (3 ) 3 1 2 2π 3 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − a rdr a r a r a a r a r 2 0 3 4 6 2 3 2 2 2 2 2 2 24 (3 ) 3 2 2π 3 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − 3 6 8 5 5 96 16 6 8 (9 3 1) 15 4 2(3 3 1) a a a a π a a = 5 30 108 3 97 πa − 。 （6）可得 Ω 由曲面 x 2 + y 2 = 2z 与平面 z = 8所围，应用柱坐标，则 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 = ∫ ∫ ∫ ∫ = − 4 0 2 3 8 2 4 0 3 2 0 ) 2 2 2 (8 dr r d r dr dz r r θ π π = π 3 1024 。 （7）应用球坐标，则 ∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ∫ ∫ ∫ = π π ϕ θ ϕ ϕ 2cos 0 0 0 d sin d rdr = = ∫ π π ϕ ϕ ϕ 0 2 2 sin cos d π 3 4 。 （8）作变换u = x + y − z, v = x − y + z, w = y + z − x，则 4 ( , , ) ( , , ) = − ∂ ∂ x y z u v w ， 于是 4 1 ( , , ) ( , , ) = − ∂ ∂ u v w x y z ，所以 ∫∫∫ Ω (x + y − z)(x − y + z)( y + z − x)dxdydz 32 1 4 1 ( , , ) ( , , ) 1 0 1 0 1 0 = = ∂ ∂ = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω′ dudvdw udu vdv wdw u v w x y z uvw 。 6．求球面 和圆柱面 所围立体的体 积。 x y z R 2 2 2 + + = 2 x y Rx R ) 2 2 + = ( > 0 解 ∫∫ ∫ ∫ = − − = − + ≤ θ π θ cos 0 2 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 R x y Rx V R x y dxdy d R r rdr = − = ∫ 2 0 3 3 (1 sin ) 3 4 π R θ dθ 3 9 6 8 R π − 。 7．求抛物面z x = −6 2 − y 2 与锥面z x = + y 2 2 所围立体的体积。 解 联立两个曲面方程，解得交线所在的平面为 z = 2，所围空间区域 6

在x平面的投影区域为D:x2 +y2 ≤4,于是32r2-r)rdr =V = [[(6- x2 - y2 - /x2 + y2)dxdy= [8.求下列曲面所围空间区域的体积：()(1)=ax (a,b,c>0);(2) (+)+(月)=1(a,b,c>0）与三张平面x=0.y=0.z=0所ab)围的在第一卦限的立体。x=arsin@cose解（1）作变量代换=brsinosino，则(cyaabcr?sinpa(r,p,0)]z=crcos@1由于x≥0，所以-,0,0r(α sincos)。于是22sincosoV = abc de" sin pder2dr"sin?pdp=a"bc。a3bc2.cos@de3Fx= ar sin p cos? [a(x, y,2)y=brsingsin?，则（2）作变量代换abcr?sinsin2，于是a(r,,0)=crcospdr=abcV=abosin2edesinpd9.设一物体在空间的表示为由曲面4=2=25(x2+y2)与平面z=5所围成的一立体。其密度为p(x,y,z)=x2+y2，求此物体的质量。解设物体的质量为M，则M = JJ p(x, y,z)dxdyd= = J" dof rdar]g dz =2 ["3(5 - 号,-r)dr=8元。210.在一个形状为旋转抛物面z=x2+y2的容器内，已经盛有8元立方厘米的水，现又倒入120元立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘米。解设容器盛有8元立方厘米水时水面的高为h，则Cvhde"r(h-r2)dr = 8元,7

在 xy平面的投影区域为 : 4 2 2 D x + y ≤ ， 于是 = − − − + = − − = ∫∫ ∫ ∫ 2 0 2 2 0 2 2 2 2 V (6 x y x y )dxdy d (6 r r)rdr D π θ π 3 32 。 8．求下列曲面所围空间区域的体积： （1） x a y b z c ax abc 2 2 2 2 2 2 2 + + 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = > ( , , )； （2） 1 ( , , 0) 2 2 ⎟ = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a b c c z b y a x 与三张平面 x = 0, y = 0,z = 0 所 围的在第一卦限的立体。 解（1）作变量代换 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z cr y br x ar ϕ ϕ θ sin ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ 。 由于 x ≥ 0，所以 3 1 2 , 0 , 0 ( sin cos ) 2 2 ϕ π ϕ θ π θ π − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ r ≤ a 。于是 ∫ ∫ ∫ − = 3 1 2 ( sin cos ) 0 2 0 2 2 sin π ϕ θ π π θ ϕ ϕ a V abc d d r dr ∫ ∫ − = π π π θ θ ϕ ϕ 0 2 2 2 3 cos sin 3 1 a bc d d = a bc 3 3 π 。 （2）作变量代换 ，则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos 2 2 z cr y br x ar ϕ θ ϕ θ sin sin 2 ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ ，于是 3 sin 2 sin 1 0 2 2 0 2 0 abc V = abc d d r dr = ∫ ∫ ∫ π π θ θ ϕ ϕ 。 9．设一物体在空间的表示为由曲面 与平面 所围成 的一立体。其密度为 ，求此物体的质量。 4 25( ) 2 2 2 z = x + y z = 5 2 2 ρ(x, y,z) = x + y 解 设物体的质量为M ，则 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = − Ω 2 0 3 5 2 5 2 0 3 2 0 ) 2 5 M (x, y,z)dxdydz d r dr dz 2 r (5 r dr r ρ θ π π = 8π 。 10. 在一个形状为旋转抛物面z x = 2 + y 2的容器内，已经盛有8π 立方厘 米的水，现又倒入120π 立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘 米。 解 设容器盛有8π 立方厘米水时水面的高为h，则 θ π π ( ) 8 0 2 2 0 − = ∫ ∫ h d r h r dr ， 7

1h2=4，从而解得即！h?_42h=4(cm)。又设容器盛有128元立方厘米水时水面的高为H，则J"don," r(H-r2)dr=128元,即=H2-H2=64，从而解得24H=16 (cm),所以水面比原来升高12（cm）。[x? +y?≤a?11.求质量为M的均匀薄片对z轴上(0,0,c)(c>0)点处的2=0单位质量的质点的引力。解设薄片对单位质点的引力为F=(F,F,F)，由对称性，F=F,=0。在均匀薄片上点(x,y0)的附近取一小块，其面积设为da=dxdy，根据万有引力定律，这小块微元对质点的引力为GpxGpyGocdFdxdydxdy(x2++(x2+y2+x+y于是GpcdF.:dxdy,(x2 +y2 +c2)2GpcrdrFdxdy=-Cde1Oc2)2(x2 + y2(r2 +c2)12MGC-2元Ga?Va?+c?cVa?+c?其中G是万有引力常数，M是均匀薄片的质量，p是均匀薄片的密度。12.已知球体x2+2+≤2Rz，在其上任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平方，求球体的质量与重心。解设球体的质量为M，则[?Ros9 Adr=2R”。M = J[(x2 + y2 + 2)dxdydz = f2" de[2 sin pdo]15设重心的坐标为(,J,)，由对称性，x==0。由82Reosedr=J(x + y? + 2)dxdyd= J" dej,sincopdo]Ho8

即 4 4 1 2 1 2 2 h − h = ，从而解得 h = 4（cm）。 又设容器盛有128π 立方厘米水时水面的高为H ，则 θ π π ( ) 128 0 2 2 0 − = ∫ ∫ H d r H r dr ， 即 64 4 1 2 1 2 2 H − H = ，从而解得 H = 16（cm）， 所以水面比原来升高12（cm）。 11．求质量为M 的均匀薄片 对 轴上 点处的 单位质量的质点的引力。 ⎩ ⎨ ⎧ = + ≤ 0 2 2 2 z x y a z ( , 0 0,c c ) ( > 0) 解 设薄片对单位质点的引力为 ( , , ) F = F x y F Fz ，由对称性，Fx = Fy = 0。 在均匀薄片上点(x, y,0)的附近取一小块，其面积设为dσ = dxdy ，根 据万有引力定律，这小块微元对质点的引力为 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( ) ( ) ( ) G x G y G c d dxdy dxdy dxdy x y c x y c x y c ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ + + + + + + F 3 2 ， 于是 dFz = dxdy x y c G c 2 3 2 2 2 ( + + ) − ρ ， ∫∫ ∫ ∫ + = − + + = − a D z r c rdr dxdy G c d x y c G c F 0 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 ( ) ( ) π ρ θ ρ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − 2 2 1 1 2 a c c πGρc ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 2 2 1 2 a c c a MG ， 其中 G 是万有引力常数，M 是均匀薄片的质量，ρ 是均匀薄片的密 度。 12．已知球体 ，在其上任一点的密度在数量上等于该 点到原点距离的平方，求球体的质量与重心。 x y z R 2 2 2 + + ≤ 2 z 解 设球体的质量为M ，则 = + + = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω ϕ π π θ ϕ ϕ 2 cos 0 4 2 0 2 0 2 2 2 ( ) sin R M x y z dxdydz d d r dr 5 15 32 πR 。 设重心的坐标为( , x y z, )，由对称性， x = y = 0。由 + + = ∫∫∫ Ω z(x y z )dxdydz 2 2 2 6 2 cos 0 5 2 0 2 0 3 8 d sin cos d r dr R R θ ϕ ϕ ϕ π ϕ π π = ∫ ∫ ∫ ， 8

得到T-)dxdydzQ2=-M4所以重心坐标为(0.0. R)。413.证明不等式dxdy元2元(/17-4)≤4/16+sin?x+sin?y证首先有dxdy1元Irndxdy=4s14+y≤/16+sinx+sin’yy2+V另一方面，由sin2u≤u2，得到dxdydxdy≥T+s16+sin?x+sin'P4p16+x+yrdrJo"del'= 2元(/17 - 4) 。J16+r2所以dxdy22元(/17-4)≤/16+sin?x+ sin?y14.设一元函数f(u)在[-1,1]上连续，证明J[ f(x+ y)dxdy = J", (u)du 。x+b/s1证作变换英u=x+yv=x-y，则-1≤u≤1.-1<v≤l，变换的Jacobi行列式为a(u, ) - -2 (x,) = -1(u,)=-2a(x,y)于是 a(u,v)x1+b/s1"()duf,dv =J,(u)du。15.设一元函数f(u)在[-1,1]上连续。证明J[J f(z)dxdydz = nf" (u)(1-u)du ,其中Q为单位球x2+y+2≤1。证[] f(2)dxdydz = J (2)d [[ dxdy :O其中Q.=x2+y≤1-2，于是9

得到 = + + = ∫∫∫ Ω M z x y z dxdydz z ( ) 2 2 2 R 4 5 ， 所以重心坐标为 ) 4 5 (0,0, R 。 13．证明不等式 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 证 首先有 4 4 1 1 16 sin sin 1 2 2 2 2 2 2 π ≤ = + + ∫∫ ∫∫ x + y ≤ x + y ≤ dxdy x y dxdy 。 另一方面，由 sin2 u ≤ u 2，得到 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 1 16 sin sin x y 16 dxdy dxdy 2 + ≤ x y x + ≤ ≥ + + + + ∫∫ ∫∫ y 2 1 0 0 2 16 rdr d r π = θ + ∫ ∫ = 2π ( 17 − 4)。 所以 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 14．设一元函数 f (u)在[−1,1]上连续，证明 ∫∫ ∫− + ≤ + = 1 1 | | | | 1 f (x y)dxdy f (u)du x y 。 证 作变换 u = x + y,v = x − y，则−1 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 1，变换的 Jacobi 行 列式为 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v 。 于是 | ||| 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) x y D x y f x y dxdy f u dudv u v + ≤ ′ ∂ + = ∂ ∫∫ ∫∫ 1 1 1 1 1 ( ) 2 f u du dv − − = ∫ ∫ ∫− = 1 1 f (u)du 。 15．设一元函数 f (u)在[−1,1]上连续。证明 ∫∫∫ ∫− Ω = − 1 1 2 f (z)dxdydz π f (u)(1 u )du ， 其中Ω为单位球 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1。 证 1 1 ( ) ( ) z f z dxdydz f z dz dxdy − Ω Ω = ∫∫∫ ∫ ∫∫ ， 其中Ω =z 2 2 1 2 x + ≤ y − z ，于是 9

[] f(2)dxdydz = f' f(=)dz J[ dxdyJ, f(2)(1-2)dz =f", f(u)(1-2)du 。16.计算下列n重积分：(1）『x,+x++xdxdxdx,，其中2=(xi,x2., .)/xi +x2 +.+x,≤1, x, ≥0, i=1,2,.,n) ;(2）J(x+xx")dx,dx..dx,，其中0Q为n维球体(x,x,.,x)x+x+...+x?<1)。[yi=Xi+x2+X+...+Xn则=，从而解（1）作变量代换2=X+X+...+Xna(xx2,,xn)lyn =Xn(x2x)=1，于是a(yi,y2,.,yn)Jox+x.+xndxidx..dx,= Joydyidy2.dy.-ody"dy2J dy dyn2Fdyr =(n-1)o(n-1)I(2n+1)[x = rcos @]X2 = rsinp, cosP2X=rsinPrsin2cos3（2）作球面坐标变换Xn- = rsin r sin P2 .sin Pn-2 cosPn-1x,=rsinPisinP2"..sinPn-2sinPn-它把Q变为Q'=(r,91,,Pm-2*P,--)/0≤r≤1,0≤p,≤元(i=1,2,,n-2),0≤Pn--≤2元)它的Jacobi行列式为10

1 1 ( ) ( ) z f z dxdydz f z dz dxdy − Ω Ω = ∫∫∫ ∫ ∫∫ 1 2 1 f ( )z z (1 )dz ∫− = − 1 1 2 π π f (u)(1 u )du − = − ∫ 。 16．计算下列n重积分： （1） x x x dx dx dx ∫ 1 2 + +"+ n n 1 2" Ω ，其中 Ω {( , , , ) | 1, 0, 1,2, , } = x1 x2 " xn x1 + x2 +"+ xn ≤ xi ≥ i = " n ； （2）∫ (x x 1 2 + + 2 2 2 "+xn n )dx1 2 dx dx ，其中 Ω " Ω 为n维球体{(x1 , x2 ,", xn ) | x1 2 + x2 2 +"+ xn 2 ≤ 1}。 解（1）作变量代换 , 则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + + + = + + + + n n n n y x y x x x y x x x x " " " 2 2 3 1 1 2 3 1 ( , , ) ( , , ) 1, 2 1, 2 = ∂ ∂ n n x x x y y y " " ，从而 1 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 = ∂ ∂ n n y y y x x x " " ，于是 ∫Ω + + + n n x x " x dx dx "dx 1 2 1 2 ∫Ω′ = n y dy dy "dy 1 1 2 ∫ ∫ ∫ ∫ − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 y y y n n y dy dy dy " dy ∫ ∫ ∫ ∫ − − − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 ( )! 1 y y y i n i i i y dy dy dy y dy n i " = − = ∫ + − 1 0 1 1 2 1 1 ( 1)! 1 y dy n n ( 1)!(2 1) 2 n − n + 。 （2）作球面坐标变换 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = − − − − − 1 2 2 1 1 1 2 2 1 3 1 2 3 2 1 2 1 1 sin sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos n n n n n n x r x r x r x r x r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ " " "" 它把 Ω 变为 Ω =' ({ r r ,ϕ1 2 ," " ,ϕ ϕ n n − − , 1)| 0 ≤ ≤1,0 ≤ϕi ≤ π (i =1,2, ,n − 2),0 ≤ϕn−1 ≤ 2π}。 它的 Jacobi 行列式为 10