复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十一章 Euclid空间上的极限和连续 11.1 Euclid 空间上的基本定理

第十一章Euclid空间上的极限和连续习题11.1Euclid空间上的基本定理证明定理11.1.1：距离满足正定性、对称性和三角不等式。1证（a）显然有|x-y0，而且Ix-y0x=y (i=1,2,",n)x=y。(b）由距离定义直接可得[x-yHy-xl。(c)由于f(1)=(a, -tb) =)Fh3-212≥0a.b.==所以关于上述两次三项式的判别式有Zab.)-ab2≤0..即2abi=1于是Z(a,+b)°-b3+2)ab, +Va酒i=li=l=b+a=h2Za?i-1即2+h)2令a,=x,-y,b,=y,-z,，则有Z(x, -2,) =/2(a, +b)[x-z

第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 （a）显然有| x y − |≥ 0，而且 | | x y − = 0 ⇔ ( 1, 2, , ) i i x = = y i . n ⇔ x = y 。 (b) 由距离定义直接可得 | | x y − =| y − x |。 (c) 由于 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 0 n n n n i i i i i i i i i i f t a tb t b t a b a = = = = = − ∑ ∑= − ∑ +∑ ≥ ， 所以关于上述两次三项式的判别式有 2 2 2 1 1 1 0 n n n i i i i i i i a b a b = = = ⎛ ⎞ − ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ， 即 2 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = ∑ ∑ ≤ ∑ 2 1 。 2 1 n i= ∑ 于是 2 2 1 1 1 ( ) 2 n n n i i i i i i i i i a b b a b a = = = ∑ ∑ + = + ∑ + 2 2 2 2 1 n i i a 1 1 1 = 2 n n n i i i i i i b a b = = = ≤ + ∑ ∑ ∑ +∑ 2 2 2 1 1 n n i i i i a b = = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ， 即 2 1 ( ) n i i i a b = ∑ + 2 2 1 1 n n i i i i a b = = ≤ ∑ + ∑ 。 令a x i i = − yi ,bi = yi − zi ，则有 2 2 1 1 | | ( ) ( n n i i i i i i x z a ) = = x z − = ∑ ∑ − = + b 1

a2 +j6?=x-1+-zl。2、证明：若R"中的点列x收敛，则其极限是唯一的。证假设x和都是点列x）的极限，则V>0Ni, Vk>N,:[x -xke,EN,, Vk>N, :Ix-yk。于是当k>max(N,N,)时，成立[x-ykx -x+[x -yk28,由于ε是任意正数，所以x=y，即极限是唯一的。3．设R"中的点列(x)和(y收敛，证明：对于任何实数α,β，成立等式lim(ox+By)=αlimx,+βlimyk。证设limx=，limyk=y，则V>0，N,V>N:x,-x8,N,, Vk>N,:y-yke,于是当k>max(N,N,)时，成立I(αx+βy)-(αx+βy)αlx-x/+Iβl y-y[0,y+0);(2) S= ((x,y)100, y±0);aS= (x,j)x=0或x>0, y=0)S= (x,y)x≥0) 。(2) s° =(x,)0<x2 +y2<1); S=(x,)2 +y2 =0或x2 +y2 =1);3 = (x,y)]? +y? ≤1)。(3) S =0; aS= (x,)0<x≤1,y=sin=或x=0,-1≤yS-[(x,y)o<x≤1,y=sin =或x=0,-1≤y≤I2

2 2 1 1 n n i i i i a b = = ≤ ∑ + ∑ =| | x y − + | y − z |。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 证 假设x和y都是点列{xk}的极限，则∀ε > 0， 1 1 , :| N k N k ∃ ∀ > x x − | x y − | max{N1, N2}时，成立 | | | | | | 2 k k x y − 0， 1 1 , :| N k N k ∃ ∀ > x x − | y y − | max{N1, N2}时，成立 | ( ) ( ) | | || | | || | α x +k k β α y − ≤ x + β y α x x k − + β y y k − 0, y ≠ 0}； （2）S = {(x, y) | 0 0, y ≠ 0 D S ；∂ S = {(x, y) x = 0或x > 0, y = 0}; S = { } (x, y) x ≥ 0 。 (2) {( , ) 0 1} 2 2 = x y < x + y < D S ; ∂ S {( , ) 0 1} 2 2 2 2 = x y x + y = 或x + y = ; {( , ) 1} 2 2 S = x y x + y ≤ 。 (3) = ; D S ∅ ∂ S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 ; S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 。 2

5.求下列点集的全部聚点：(-1)_k(1) S==12,:k+1[(cos 2 sin kz)(2) S=1(cos5sm5(3) S= ((x,y)/ (x2 + 2)(y2 -x2 +1)≤0) 。解(1) s=(1)。(2) S' =0。(3) S' = (x, )y2 - x2 +1≤0)。6.证明定理11.1.3：x是点集S（cR"）的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列(x)，满足xkx（k=1,2,），且limxk=x。证必要性：假设x是点集S的聚点，对于=一，在x的s=1邻域中任k飞取一点xk±x，则有limXk=x。充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域O(x,8),8>0中，最多只有s的有限个点，所以sno(x,8)-{x)为有限集，于是d=inf(ly-xyeS,yx)>0，故不存在S中满足xk+x的点列(xk)以x为极限，产生矛盾。7.设U是R?上的开集，是否U的每个点都是它的聚点。对于R?中的闭集又如何呢？解开集U中的每个点x一定是它的内点，所以x的任意邻域都有U中的无限个点，所以x一定是U的聚点。由于S=((0,0))是R2上的闭集，而S只有一个点，所以无聚点，即闭集中的点不一定是它的聚点。8.证明SR"的所有内点组成的点集S°必是开集。证假设xes°，则3S>0，O(x,)。而VyeO(x,)，由于O(y,8-ly-xD)cO(x,)，所以y也是S的内点，从而o(x,)°，于是S°必是开集。9.证明ScR"的闭包S=SUS'必是闭集。证假设xeS则xS，且x不是S的聚点，于是在x的某邻域O(x,)中至多只有S的有限项，故存在x的邻域o(x,8)不含S的点，即3

5. 求下列点集的全部聚点： （1）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − 1,2," 1 ( 1) k k k k ； （2）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1,2," 5 2 , sin 5 2 cos k kπ kπ ； （3）S = {(x, y) | (x 2 + y 2 )( y 2 − x 2 +1)≤0}。 解 (1) S' = {±1}。 (2) S' = ∅。 (3) S' {( , ) 1 0} 2 2 = x y y − x + ≤ 。 6. 证明定理 11.1.3：x是点集S（ n ⊂ R ）的聚点的充分必要条件是：存 在S中的点列{xk}, 满足xk ≠ x（ k =1,2,"），且 x k→∞ lim k = x 。 证 必要性：假设x是点集S的聚点，对于 1 k δ = ， 在x的 1 k δ = 邻域中任 取一点xk ≠ x，则有 x k→∞ lim k = x 。 充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域 O( , x δ ), δ > 0中，最多只有S的有限个点，所以 S ∩ O( , x δ ) −{x}为有限集， 于是d = − inf{| y x | y∈ S, y ≠ x} > 0，故不存在S中满足xk ≠ x的点列{xk} 以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 2 R 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 2 R 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0,0)}是 2 R 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明S ⊂ Rn 的所有内点组成的点集SD 必是开集。 证 假 设 x ∈SD ， 则 ∃ > δ 0 ， O( , x δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O( , x δ ) ，由于 O( , y y δ − − | x |) ⊂ O(x,δ ) ，所以 y 也是 S 的内点，从而 ，于是 必是开集。 o O( , x δ ) ⊂ S D S 9. 证明S ⊂ Rn 的闭包S = S ∪S′必是闭集。 证 假设 x c ∈S ，则 x∉ S ，且 x 不是 S 的聚点，于是在 x 的某邻域O( , x δ ) 中至多只有 S 的有限项，故存在 x 的邻域 1 O( , x δ )不含 S 的点，即 3

O(x,)S°，从而s°为开集，所以必是闭集。10.设E,FCR"。若E为开集，F为闭集，证明：EIF为开集，FIE为闭集。证由于F为闭集，所以F为开集，而EIF=EnF°，也是开集。由于E为开集，所以E为闭集，从而FIE=FNE°也是闭集。11.证明Cantor闭区域套定理。证假设(S)是非空闭集序列，满足S os, D...DSo SID...,以及limdiamS.=0。任取xeS，则当m,n>k时，xm,x,eSe，从而成立xm-x,|≤diamS，于是(x)是基本序列，从而收敛，设其极限为x。对于任意k，当m≥k时，xmES，所以(x)的极限xeS=S，于是xens，所以ns,非空。再证唯一性。假设yes，则x-<diamS,→0（k→），所以x=yo12.举例说明：满足limlxk1-x|=0的点列(xx)不一定收敛。六=0，而=21→+0，所以2leR，则ml-x=lmk+1解Xk=台i台i(x)不收敛。13.设E,FcR"为紧集，证明ENF和EUF为紧集。证因为E,FR"为紧集，所以E,F为有界闭集，于是可知EnF和EUF也都是有界闭集，即紧集。4

1 O( , x δ ) c ⊂ S ，从而 c S 为开集，所以S必是闭集。 10. 设 。若 为开集，F 为闭集，证明： 为开集， 为 闭集。 n E, F ⊂ R E E \ F F \ E 证 由于 为闭集，所以 为开集，而 ，也是开集。由于 为开集，所以 为闭集，从而 也是闭集。 F c F E F\ c = E∩F E c E \ c F E = F∩E 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 证 假设{Sk}是非空闭集序列，满足 1 2 k k 1 S S S S ⊃ ⊃" " ⊃ ⊃ + ⊃ ， 以及lim diam 0 k k S →∞ = 。任取 k S ∈ k x ，则当 m, n>k 时， ，从而成 立 , m n k x x ∈ S x x m n − ≤ diam Sk k ，于是{ 是基本序列，从而收敛，设其极限为 。 对于任意 k，当 时， }k x x m ≥ k m x ∈ S ，所以{xk}的极限 k S S ∈ = k x ，于是 ，所以 非空。 1 k k S ∞ = x ∈∩ 1 k k S ∞ = ∩ 再证唯一性。假设 ，则 1 k k S ∞ = y ∈∩ diam k x y − ≤ S → 0（ ），所以 。 k → ∞ x = y 12. 举例说明：满足lim 0 +1 − = →∞ k k k x x 的点列{xk}不一定收敛。 解 xk 1 1 k i i = = ∑ ∈R ，则 1 1 lim lim 0 1 k k k k k + →∞ →∞ − = + x x = ，而 |xk|= 1 1 k i i = ∑ → +∞ ，所以 {xk}不收敛。 13. 设E, F ⊂ Rn为紧集，证明E ∩ F和E ∪ F为紧集。 证 因为 为紧集，所以 为有界闭集，于是可知 和 也都是有界闭集，即紧集。 n E, F ⊂ R E, F E ∩ F E ∪ F 4

k=1,2.…是R中的紧集。14.用定义证明点集(0)Uk=1,2.…的任一开覆盖。设0eU。，证假定(U)为点集S=(0)Ulk测>0:0.0)-0，于是当k时，F=对于x-0.1-存在(U)中ua，使得ea，k=0,…,。于是ku.|k=,1,构成S的有限开覆盖，所以s为紧集。15.应用Heine-Borel定理直接证明：R"上有界无限点集必有聚点。证假定S为R"上有界无限点集，则由习题9，S=SUS必是闭集。如果S无聚点，即S'=①，则S为S=S，即S为有界闭集，从而由Heine-Borel定理知S为R"上的紧集。VxeS，由于x不是S的聚点，存在O(x8）只含有S中有限个点。显然(O(x,8)IxeS)构成为S的一个开覆盖，但由于其中有限个O(x,8)只能包含S中有限个点，因而不存在S的有限开覆盖，矛盾！所以S必有聚点

14. 用定义证明点集 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 是R 中的紧集。 证 假定{U }α 为点集 S= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 的任一开覆盖。设 0 0∈Uα ， 则 0 0 :O(0, ) Uα ∃ > δ δ ⊂ ，于是当 1 k δ > 时， 0 1 U k ∈ α 。对于 1 1 k 0,1, ,[ ] k δ ⎧ ⎫ ⎨ = ⎬ ⎩ ⎭ " ， 存在{U }α 中 k Uα ，使得 1 1 , 0,1, ,[ k U k k α ] δ ∈ = " 。于是 0 1 , 0,1, ,[ k U U k α α ] δ ⎧ ⎨ = ⎩ ⎭ " ⎫ ⎬构成 S 的有限开覆盖，所以 S 为紧集。 15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明： n R 上有界无限点集必有聚点。 证 假定 S 为 n R 上有界无限点集，则由习题 9，S = S ∪S′必是闭集。 如果 S 无聚点，即S' = ∅，则 S 为S = S，即 S 为有界闭集，从而由 Heine-Borel 定理知 S 为 n R 上的紧集。 ∀ ∈x S ，由于 x 不是 S 的聚点，存在O( δ ) x x, 只含有 S 中有限个点。 显然{ ( O δ ) | ∈ } x x, x S 构成为 S 的一个开覆盖，但由于其中有限个O( ) δ x x, 只能包含 S 中有限个点，因而不存在 S 的有限开覆盖，矛盾！所以 S 必有聚点。 5