复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第六章 不定积分 6.1 不定积分的概念和运算法则

习题6.11.求下列不定积分：(1) J(x3 +2x2 -5/x)dx;(2) [(sin x + 3er)dx;(4) J(2 + cot3 x)dx ;(3) J(xa +a*)dx ;(5) J(2 csc x - sec x tan x)dx ;(6) [(x2 -2)3dx ;x+-(7) [(x+↓)dx;(8)（*(10) [2·3* - 5.29dx3rcos2x(11)[dx12cosx-sin x/1-cos2x(13) [(1-x2)/x/x dx ;(14)dxcos?xsin?x1042解（1) [(+2x*-5/x)dx=J xdx+2J xdx-5 Vxdx=1*x+2+Y4334.(2) J(sin x+3e*)dx=sin xdx+3[e'dx=-cos x+3e' +C 。(3) [(xa+ar)dx=Jr'dx+Jardx=一++C(a#1)。4Inaa+1(4) J(2+cot’ x)dx=J(1+csc x)dx= x-cotx+C (5) [(2csc x-sec xtan x)dx=2csc* xdx-[sec x tan xdx=-2cot x-secx+C 。1x -$x+4x -8x+C。(6)J(x2-2)dx=[(x6-6x*+12x2-8)dx=751(7) [(x+d=[(r+2+)1)dxx3+CxUx(8)+京++161++3/x+2/x+2+C。+/x)dx=2x1(2/x3169

习 题 6.1 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ ( ) x x x d 3 2 ∫ + − 2 5 x ; ⑵ (sin x d e ) x ∫ + 3 x ; ⑶ ( ) x a d a x ∫ + x ; ⑷ ∫(2 + cot x)dx 2 ; ⑸ ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 ; ⑹ ( ) x d 2 3 ∫ − 2 x ; ⑺ (x ) x ∫ + dx 1 2 ; ⑻ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 ; ⑼ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 ; ⑽ 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx ; ⑾ cos cos sin 2x x x dx − ∫ ; ⑿ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 ; ⒀ ( ) 1 2 ∫ − x x x dx ; ⒁ cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx . 解（1） 3 3 2 3 2 4 3 2 1 2 10 ( 2 5 ) 2 5 4 3 3 x + − x x dx = x dx + x dx − xdx = x + x − x +C ∫ ∫ ∫ ∫ 。 （2）∫ (sin x d + 3ex ) x = sin 3 cos 3 x x xdx + e dx = − x + e +C ∫ ∫ x 。 （3）∫ ( ) x a a x + d = 1 1 ( 1 1 ln x a x a a x dx a dx x C a a a + + = + + ≠ + ∫ ∫ )。 （4） = ∫(2 + cot x)dx 2 2 (1+ = csc x)dx x − cot x C ∫ + 。 （5） = ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 2 2 csc xdx − sec x tan xdx = −2cot x − sec x +C ∫ ∫ 。 （6）∫( ) x d 2 − 2 3 x = 6 4 2 1 6 7 5 3 ( 6 12 8) 4 8 7 5 x − + x x − dx = x − x + x − x + C ∫ 。 （7） (x ) x ∫ + dx 1 2 = 2 3 2 1 1 1 ( 2 ) 2 3 x dx x x C x x + + = + − + ∫ 。 （8）∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 = 3 3 6 3 7 2 6 1 1 1 6 2 (2 ) 2 3 2 3 x dx x x x x C x x x x +++ + = − + + + + ∫ 。 169

9)=[(4+2.)+)2*+~211+CIn44In2-In33n99(10）[23=5-2=[2-5]652)dx=2x-+C3xIn2-In33cos2x[ox+nin+(11)J1高(12)=2arctanx-3arcsinx+C。JVi-x(13) [(1--)xx dx=[(-)d=-x4+C15cos2x=d=ese' x-e (14)[-cos? xsin? xcosxsinx=-cotx-tanx+C=-2csc2x+C。2.曲线y=f(x)经过点(e,-1)，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。解由题意，曲线y=(x)在点(x,)处的切线斜率为兴=，于是dxxy=些=In|x+C，将点(e,-1)代入，得C=-2，所以曲线的方程为y= Inx-2 。3.已知曲线y=f(x)在任意一点(x,f(x)处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1（1）求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图；（2）若已知该曲线经过(1,1)点，求该曲线的方程。解（1）由题意可得=/-1，所以=[(/x-1)α=-x3-x+C，这dx4170

（9）∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + dx x x x 9 1 ) 3 2 4 2 ( 1 2 2 1 1 4 ( ) ln 4 ln 2 ln 3 3 ln 9 9 x x x = + − +C − 。 （10） 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx = 2 5 2 5 ( ) 2 ( ) 3 ln 2 ln 3 3 x x dx dx x C 2 − = − ⋅ + − ∫ ∫ 。 （11） cos cos sin 2x x x dx − ∫ = (cos x + sin x d) x = − sin x cos x +C ∫ 。 （12）∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 = 2 2 2 3 2arctan 3arcsin 1 1 dx dx x x C x x − = − + − ∫ ∫ + 。 （13） ( ) 1 2 ∫ − x x x dx = 3 11 7 15 4 4 4 4 4 4 ( ) 7 15 x − x dx = − x x +C ∫ 。 （14） cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx = ∫ − dx x x x x 2 2 2 2 cos sin cos sin =∫ ∫ xdx − xdx 2 2 csc sec = −cot x x − tan +C = −2csc2x +C 。 ⒉ 曲线 经过点 ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐 标的倒数，求该曲线的方程。 y f = (x) (e,−1) 解 由题意，曲线 y f = (x)在点(x, y)处的切线斜率为 dx x dy 1 = ，于是 ln dx y x C x = = + ∫ ，将点(e,−1)代入，得 C = −2，所以曲线的方程为 y = ln x − 2。 3．已知曲线 在任意一点 处的切线斜率都比该点横坐标 的立方根少 1， y f = (x) (x, f (x)) （1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意 图； （2） 若已知该曲线经过( , 11)点，求该曲线的方程。 解（1）由题意可得 1 3 = x − dx dy ，所以 4 3 3 3 ( 1) 4 y x = − = dx x − x +C ∫ ，这 170

就是所求曲线方程的所有可能形式。S(2）将点(1,1)代入上述方程，可得C=所以过点(1,1)的曲线方4345程为y==x3-x+。4A171

就是所求曲线方程的所有可能形式。 （2）将点( , 11)代入上述方程，可得 5 4 C = ，所以过点( , 的曲线方 程为 11) 4 5 4 3 3 4 y = x − x + 。 171