复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第七章 定积分 7.3 微积分基本定理

习题7.31．设函数f(x)连续，求下列函数F(x)的导数：(1) F(x)= ["f(t)dt;(2) F(x)= f(t)dt;['sind1(3) F(x)=1+2di解(1) F(x)=-[f(t)dt，所以 F(x)=-f(x)。(2) F(x)= f(lnx)-(ln x)'== f(lnx)。4sin x(3) F'(x).sin'x4+(x-sin xcosx)2'sin"tdt2.求下列极限：文'" cost’ dtlim(2) (1) lim0dwX-0x(arc tan v)dy(3) lim(4) limT→+oVi+x?2uducost"dt10解(1)limcosx?=1。limxx22x(2)2e。limlim.1x>0dw(-sinx)(arc tan v)" dy(arctan x)?元(3)limlimlim(arctanx)x/1+ x?Vi+x?"e"du2er"'e" du2er(4)limlimlim0e3→"e2" duT>+oa2xe216

习 题 7.3 ⒈ 设函数 f (x)连续，求下列函数F x( )的导数： ⑴ F x( ) = ∫ b x f (t)dt ; ⑵ F x( ) = ∫ x a f t dt ln ( ) ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . 解（1） F x( ) = − ∫ ，所以 x b f (t)dt F′(x) = − f (x)。 （2）F′(x) = (ln ) 1 (ln ) (ln ) f x x f x ⋅ x ′ = 。 （3）F′(x) = x tdt x 2 2 0 2 sin 1 sin 1 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ 2 2 4 ( sin cos ) 4sin x x x x + − = 。 ⒉ 求下列极限： ⑴ x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim ; ⑵ ∫ → − 1 cos 2 0 2 e lim x x w dw x ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 解（1） x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim =limx→0 cos x 2 = 1。 （2） e e x x dw x x x x x w 2 ( sin ) 2 lim e lim 2 1 2 0 cos cos 2 0 = − − = → − → − ∫ 。 （3） 4 lim (arctan ) 1 (arctan ) lim 1 (arc tan ) lim 2 2 2 2 2 0 2 π = = + = + →+∞ →+∞ →+∞ ∫ x x x x x v dv x x x x 。 （4） 0 2 2 lim 2 lim lim 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ ∫ ∫ x x x x x x u x x u x u x xe e e e e du e du e du 。 216

Jtf(t)dt3.设f(x)是[0.+)上的连续函数且恒有f(x)>0，证明g(x）Jf(t)dt是定义在[0.+)上的单调增加函数。证因为(x)(xf,()di-J(0)d)(x)](x-1)()dt≥0g'(x):(1()a)(C.r(0)at)J,t f(t)dt是定义在[0,+α)上的单调增加函数。所以g(x)Jef(t)dt4. 求函数f(x)=[(t-1)(t-2)dt的极值。解f(x)=(x-1)(x-2)2，令f(x)=0，得到x=1,2。因为当x2时，f(x)>0，所以x=1是极小值点，x=2不是极值点。由0) 'l(-2) +(-2) jdt=-号,12可知(s)在x=1处有极小值()=-。125利用中值定理求下列极限：(2) lim Jn+p sin x(1) lim dt;dt(peN)01+1x解（1）由积分第一中值定理，lim 'dt=limx"dx = lin(0≤≤1) 。（)1+ x→01+n→ 1+En+ln+psinxsin(2)由积分第一中值定理，35e[n,n+p],使得所以n+p sinxdt = 0 。limX217

⒊ 设 f (x)是[ , 0 + ∞)上的连续函数且恒有 f x( ) > 0，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 证 因为 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 ≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x f t dt f x x t f t dt f t dt f x x f t dt tf t dt g x ， 所以 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 解 f ′(x) = (x −1)(x − 2) 2 ，令 f ′(x) = 0，得到 x = 1, 2。因为当 x 2时， f ′(x) > 0，所以 x = 1是极小值点，x = 2 不是极值点。由 12 17 (1) [( 2) ( 2) ] 1 0 3 2 = − + − = − ∫ f t t dt , 可知 f (x)在 x = 1处有极小值 12 17 f (1) = − 。 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 解（1）由积分第一中值定理， lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 = 1 0 1 1 1 lim lim 0 (0 1) 1 1 1 n n n x dx n ξ →∞ ξ ξ →∞ = ⋅ = ≤ ≤ + + + ∫ 。 （2）由积分第一中值定理，∃ξ ∈[n, n + p]，使得 n p dx p x n p x n = ≤ ∫ + ξ sin sinξ ， 所以 0 sin lim = ∫ + →∞ n p n n dt x x 。 217

6.求下列定积分：(2) (x-1-++) dx;(1)[x2(2 - x?)"dx :2x2"(2* +3*)° dx(4)[,x(1-4x2)°dx;(5) Lag2:(6) J'aresin xd ;(8) J. x tan' xdx;(7) od;(9) Jer sin? x dx;(10, J' sin(In x)dx ;(11) J'x are tan xdx ;(12, J**x* In(x-1)dx 。(14. J'e2 dx;(13) J dx;dxdx(15) / (16 L Ja-x);;(17 () d;(18dx(19) -dx(204_4171解（1)['x2(2-x)dx=[(4x2-4x*+x)dx=357105°(2) ["(x-1-++1)dx=1[(x-1+)dx = In 2x2x222x24015.70(3) "(2*+3*) dx="(4*+2.6*+9)dx =In3In4In6(4) [,x(1-4x)°dx=-(1-4x)°d(1-4x)=4x(1-8888lo(5) L+1)d=d(+1)111(x2 + 2x + 5)= 2]- [(x +1) + 4)162(x2 +2x+5)-1(6)('arcsin xdx=xarcsinxdx:2218

6. 求下列定积分： ⑴ x x dx ∫ − 1 0 2 2 2 (2 ) ; ⑵ ∫ 2 − − + 1 2 2 2 ( 1)( 1) dx x x x x ; ⑶ ∫ + 2 0 2 (2 3 ) dx x x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ∫− + + 1 + 1 2 2 ( 2 5) ( 1) x x x dx ; (6) ∫ 1 0 arcsin xdx ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) ∫ + − e 1 1 2 x ln(x 1)dx 。 (13) ∫ − ln 2 0 3 2 x e dx x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) ∫ + 1 0 2 1 e x dx ; (16) ∫− − 2 1 2 1 2 3 (1 x ) dx ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) ∫ + 1 + 0 4 2 1 1 dx x x ; (19) ∫ + 2 1 2 x 1 x dx ; (20) ∫ − 1 0 2 dx x x x ; 解 （1） 1 1 2 2 2 2 4 6 0 0 441 71 (2 ) (4 4 ) 3 5 7 105 x x − = dx x − x + x dx = − + = ∫ ∫ 。 （2） 2 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 ( 1 ) ln 2 2 2 2 x x x x dx dx x x x − − + 2 = − + − = − ∫ ∫ 。 （3） 2 2 2 0 0 15 70 40 (2 3 ) (4 2 6 9 ) ln 4 ln 6 ln 3 x x x x x + = dx + ⋅ + dx = + + ∫ ∫ 。 （4） 1 2 1 1 2 10 2 2 10 2 2 11 2 0 0 0 1 1 (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 8 88 x x − = dx − − x d − x = − − x = ∫ ∫ 1 88 。 （5） 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 2 5) 2 [( 1) 4] 2( 2 5) 1 x dx d x x x x x x − − − + + = = − + + + + + + ∫ ∫ 6 = 。 （6） 1 1 1 0 0 0 2 arcsin arcsin 1 1 2 x xdx x x dx x π = = − − ∫ ∫ − 。 218

(7)「一dx=0。（奇函数在对称区间上的积分为零）fcos?8[J x tan' xdx= Jfxsec* xdx-J xdx=x tan xb-If" tan xdx- J xd=2-1ln2-六422-32°(9o2)[e cos2xdx =e'cos2x+2]'e sin2xdx =-et-1+2e sin2x-4]"e"cos2xdx得到ecos2xd=-，所以5et +1 3et-2(et_e"sin’xdx =1025(10) J,'sin(Inx)dx=xsin(In x)-J'cos(In x)dx= e(sin1-cos1)+1-{[ sin(ln x)dx,所以[' sin(ln x)dx = 号(sin1-cos 1)+2(11)aeanareaX---2m2)-+2-1--12 6(12) [x In(x-1)dx=In(x-1)--(x2+x+1+(G+++)+,(r -1)In(x-1)-3(.3所以2 In(x-1)dx= ( -1)In(x-1)x+1x2+x2+1o3VIn2d--e-dx(13)2e-r im2_1In2In21244219

（7） 4 4 2 0 cos x dx x π π − = ∫ 。（奇函数在对称区间上的积分为零） （8） 4 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 0 tan sec tan tan 4 0 x xdx x xdx xdx x x xdx xdx π π π π π = − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ π ∫ 2 1 ln 2 4 2 32 π π = − − 。 （9） 2 2 2 0 0 1 e sin (1 cos 2 ) 2 x x xdx e x dx π π = − ∫ ∫ ，由 2 2 2 0 0 0 cos 2 cos 2 2 sin 2 x x x e xdx e x e xdx π π π = + ∫ ∫ 2 2 2 0 0 1 2 sin 2 4 cos 2 x x e e x eπ π π = − − + − ∫ xdx， 得到 2 2 0 1 cos 2 5 x e e xdx π π + = − ∫ ，所以 2 2 2 2 2 0 1 1 3 e sin ( 1) 2 10 x e e xdx e π π π π 2 5 + − = − + = ∫ 。 （10） e 1 1 1 sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) e e x dx = x x − x dx ∫ ∫ , e 1 = − e x (sin1 cos1) +1− sin(ln ) ∫ dx 所以 e 1 1 sin(ln ) (sin1 cos1) 2 2 e x dx = − ∫ + 。 （11） 3 1 1 2 3 1 0 2 2 0 0 1 1 1 arctan arctan ( ) 3 3 1 12 3 1 x x 1 0 x xdx x x dx x dx x x π = − = − − + + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 ln 2 1 ( ln 2) 12 3 2 2 12 6 π π − = − − = + 。 （12） 2 3 1 1 2 1 ln( 1) ln( 1) ( 1 ) 3 3 1 x x dx x x x x dx x − = − − + + + − ∫ ∫ 1 1 3 3 1 1 ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 2 x x x x x ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ c , 所以 e 1 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ln( 1) ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 e e x x dx x x x x x + + ⎛ ⎞ + − = − − − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∫ 2 3 2 1 9 2 = + e e 。 （13） ln 2 2 2 ln 2 3 2 ln 2 0 0 0 1 1 e e 2 2 x x 2 x 2 x dx x e dx − − = − + ∫ ∫ − 2 ln 2 0 ln 2 1 1 ln 2 4 2 4 x e− − = − − = 。 219

（14）令t=Vx+1,则x=t-1，于是['e2 dx=2" etdt= te"2-""e"dt=e.12= n e(1+ V2dxde-r(15)=-In(e**+V+e-*)Vite-2r1+e2xl+vi+e= In(/1+e?-1)+In(V2+1)-1。（16）令x=sint，则dxdt_22tancos?t3(1-x2)2dt1+tx-1则(17) 令t=于是dx(1-t)2x+11-21dx=(1-dt =2+2t+3(1-n)++1+4h(1-1)+=-8ln210-3注：本题也可令t=x+1，得到)d=(-2d=-8In2。44x-11V2元1 d(x-x-l)x+1(18)dxarctanx+22Y4+1V2xlodx-=1n2+dx(19) In(x- ++Vi+x1+3/1+x/1+3Y(20)dx2x-x2dx2x-x d(2x-x)dx-V2x-x12x2rdxV-fdt-2V2x-x++1-(x-n)220

（14）令 2 t x = +1，则x = t −1，于是 1 2 2 2 1 2 2 2 2t 0 1 1 1 e 2 x t t dx e tdt te e dt + = = − ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 2 ( 2 ) 2 2 = − e e − 。 （15） 1 1 2 1 0 0 2 2 0 (1 2) ln( 1 e ) ln 1 e 1 e 1 1 e x x x x x dx de e e − − − − + = − = − + + = 2 + + + ∫ ∫ + ln( 1 1) ln( 2 1) 1 2 = + e − + + − 。 （16） 令 x = sin t，则 1 2 6 6 1 0 2 6 2 2 3 2 2 tan 3 (1 ) cos 3 dx dt t x t π π π − − = = = − ∫ ∫ 。 （17）令 1 1 x t x − = + ，则 2 1 , 1 (1 t x dx t t 2 ) + dt = = − − ，于是 4 4 1 0 2 0 1 1 2 1 (1 ) x t dx dt x t − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + − ∫ ∫ 0 2 2 1 4 1 2 2 3 1 (1 ) t t d t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + − + ⎝ ⎠ − − ∫ t 0 1 1 1 3 2 2 3 4ln(1 ) 3 1 t t t t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + − + = − ⎝ ⎠ − 17 8ln 2 3 。 注：本题也可令t = x +1，得到 8ln 2 3 ( 2) 17 1 1 2 1 4 4 1 0 4 = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ ∫ dt t t dx x x 。 （18） 2 1 2 1 1 1 0 0 4 1 2 0 1 ( ) 1 1 arctan 1 ( ) 2 2 2 x d x x x dx x x x x 2 4 π − − + − − = = + − + ∫ ∫ = 。 （19） 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ln( 1 ) ln 1 1 1 3 dx dx x x x x x − − − − + = − = − + + = + + + ∫ ∫ 。 （20） 2 1 1 0 0 2 2 2 x x x dx dx x x x = − − ∫ ∫ 2 2 1 1 1 0 0 2 2 0 2 (2 ) 2 2 2 x x d x x dx dx 2 x x x x 2x − − = − − + − − ∫ ∫ ∫ − x 0 1 2 2 1 1 0 0 2 1 2 2 2 1 ( 1) dx t dt x x x − = − − − − + − − ∫ ∫ 220

-2+2.元_3元-2。244注：本题也可令x=1+sint，得到x_dx=[(I+ sint)" dt =-22求下列极限：7(1.2)3(1) lim/n?n3n1p+2p+3P+...+np(2) lim(p>0);np+I→2元(n-1)元元sin(3) lim+sinsinnnnnl门2解（1）原式=limxdx=nnn（2）原式=lim1xPdx=p+1(Zsin)7（3）原式=lim'sin元xdx=Jnn元8.求下列定积分：(1) [" cos" xdx;(2) [" sin" x dx ;(4) x2(1- 4x2)10 dx;(3) J'(a? - x2)" dx;(5 Jx" In m xdx ;(6 J'xln"xdx.解(1) f"cos"xdx=J.cos"xdx+J'cos"xdx,在第二个积分中，令1=元-x，则J" cos"xdx=-f cos"(-1)dt=(-1)"f.cos" td ,所以当n为奇数时，「cos"xdx=0;221

3 2 2 2 4 2 4 π π = − − + ⋅ = π − 。 注：本题也可令 x = 1+ sint，得到 2 4 3 (1 sin ) 2 0 2 2 1 0 = + = − − ∫ ∫− dx π t dt π x x x 。 7. 求下列极限： ⑴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + →∞ 2 2 2 2 1 2 3 1 lim n n n n n n " ; ⑵ lim n p p p p n →∞ n + 1 2 + + 3 + + 1 " p ( p > 0 ); ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + →∞ n n n n n n π π ( 1)π sin 2 sin sin 1 lim " 。 解（1）原式= 1 0 1 2 3 1 1 1 limn 2 n xdx →∞ nnn n n ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ + + + + = = ⎝ ⎠ " ∫ 。 （2）原式= 1 0 1 1 1 lim 1 p n p n i i x dx →∞ = n n p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ = = ⎝ ⎠ + ∑ ∫ 。 （3）原式= 1 1 0 1 1 2 lim sin sin n n i i xdx n n π π π − →∞ = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ 。 8. 求下列定积分： ⑴ 0 cos n xdx π ∫ ; ⑵ sinn x dx −∫ π π ; ⑶ ( ) a x dn a 2 2 0∫ − x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 2 10 x (1 4x ) dx ; (5) ∫ 1 0 x ln xdx n m ; (6) ∫ e n x xdx 1 ln . 解（1） 2 2 0 0 cos cos cos n n n xdx xdx xdx π π π π = + ∫ ∫ ∫ ， 在第二个积分中，令t = π − x ，则 2 2 2 0 0 cos cos ( ) ( 1) cos n n n n xdx t dt tdt π π π π = − π − = − ∫ ∫ ∫ ， 所以当n为奇数时， 0 cos 0 n xdx π = ∫ ; 221

当n为偶数时，[.cos"xdx=2f.cos"xdx=n-1)n-3)n(n-2)..2（2）当n为奇数时，显然"sin"xdx=0；当n为偶数时，" sin"xdx=2]’sin"xdx=2f’sin"xdx+2f’sin"xdx在积分[sin"xdx中，令t=元-x，则'sin"xd=-f'sin"(-)d=f sin"d ,所以J sin"xdx=4 J sin id = (n-D)(n-3)12元 。n(n-2)...2（3）令x=asint，则(2n)!!a-) dx= .cosid =(2n+ 1)!!sint，则(4)令x=2+x(1-4x)odx=-+fsin'tcos"idt =-+ (cos?' t - cos*" t)d1(20!221.20!!8(211123!!18421!!!115)x" In" xdx =x"+l In" x" In"-l xdxn+1m!I d -l"x"dx=(-1)" -(n+ 1)+In+l(n+)(6) x=→*-=----(e-)-222

当n为偶数时， 2 0 0 ( 1)( 3) 1 cos 2 cos ( 2) 2 n n n n xdx xdx n n π π π − − = = − ∫ ∫ " " 。 （2）当n为奇数时，显然 sin 0 n xdx π −π = ∫ ； 当n为偶数时， 2 2 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 sin n n n n xdx xdx xdx xdx π π π π π −π = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ， 在积分 2 sinn xdx π π ∫ 中，令t = π − x ，则 2 2 2 0 0 sin sin ( ) sin n n n xdx t dt tdt π π π π = − π − = ∫ ∫ ∫ ， 所以 sin 4 n xdx π −π = ∫ 2 0 ( 1)( 3) 1 sin 2 ( 2) 2 n n n tdt n n π π − − = − ∫ " " 。 （3）令 x a = sin t，则 2 2 2 1 2 2 1 2 ! 0 0 (2 )!! ( ) cos (2 1)!! a n n n n n a x dx a tdt a n π + + + − = = + ∫ ∫ 。 （4）令 1 sin 2 x = t ，则 1 2 2 2 10 2 2 21 0 0 1 (1 4 ) sin cos 8 x x dx t tdt π − = ∫ ∫ ∫ = − 2 0 21 23 (cos cos ) 8 1 π t t dt 21!! 20!! 184 1 23!! 22!! 21!! 20!! 8 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 。 （5） 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ln ln ln 1 1 n m n m m n m x xdx x x x xdx n n + − = − + + ∫ ∫ 1 1 0 ln 1 m n m x xdx n − = − = + ∫ " 1 1 0 ! ! ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) m n m m m m m x dx n n + = − = − + + ∫ 。 （6） 2 1 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 2 2 2 2 e e n n e n n n n 1 1 e x x dx x x x x dx e x x dx − − = − = − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 1 1 ln 2 2 2 2 e n n n e e x x dx ⎛ ⎞ − − = − − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∫ " 222

n,n(n-1)+(-1)"-1_n!n1+(-1)"xd+22[-+-.(-12*1]+(-1)*++ n!n21+1122229．设f(x)在[0,1]上连续，证明：(1) [, f(cosx)dx = J f(sin x)dx ;(2) ° x(sin x)dx=号 (sin x)dx 。-证（1）令l="-x，则f,f(cosx)dx=f,f(sinn)dt=Jf(sinx)dx（2）令t=元-×，则J。xf(sin x)dx=J (-1)f(sin)dt= f(sinx)dx-Jxf(sinx)dx 所以 x(sin x)dx= (sin x)dx 。10．利用上题结果计算：xsinx(1) " x sint x dx ;(2)dx:1+cos?x(3) [dx1+sin?x解（1）（"xsin*xdx="("sin*xdx=sinxdxJo161sinxxsinx(2)dxdx:arctanco21+cos?x1+cos?xdxdxdtanxx14(3)dx=2Jo1+sin201+sinx1+ sin2 x01+2tan2xV2元arctan(2 tan x)V2411．求下列定积分：(1) ° x?[x]dx ;(2) Je sgn(x - x3)dx ;223

2 1 2 1 1 ( 1) ! ! [1 ( 1) ] ( 1) 2 2 2 2 2 e n n n n e n n n n n xdx − − − = − + − + − + − " ∫ 2 1 2 1 ( 1) ! ! [1 ( 1) ] ( 1) 2 2 2 2 2 n n n n e n n n n + n + +1 − = − + −"+ − + − 。 9. 设 f x( )在[ , 0 1]上连续，证明： ⑴ f x (cos ) dx 0 2 π ∫ = ∫ f (sin x) d 0 2 π x ; ⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx 。 证（1）令 2 t x π = − ，则 2 2 2 0 0 0 f (cos x d) x f (sin t)dt f (sin x d) x π π π = = ∫ ∫ ∫ 。 （2）令t = π − x ，则 0 0 0 0 xf x (sin )dx ( t) f (sin t)dt f (sin x)dx xf (sin x)d π π π π = − π π = − ∫ ∫ ∫ ∫ x ， 所以 xf (sin x) dx = 0 π ∫ π π 2 0∫ f (sin x) dx 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ x ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 解（1） 4 4 2 4 0 0 0 3 sin sin sin 2 1 x xdx xdx xdx π π π 2 6 π = = π = π ∫ ∫ ∫ 。 （2） 2 0 0 2 2 0 sin sin 1 arctan cos 1 cos 2 1 cos 2 4 x x x dx dx x x x π π π π π = = − π + + ∫ ∫ = 。 （3） 2 2 2 2 2 0 0 0 0 tan 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 2 tan2 x dx dx d x dx x x x π π π π x π = =π π= + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 arctan( 2 tan ) 2 4 x π π = = π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; 223

(3) J°xx-aldx;(4 ,[e* jdx.解（1)x[x]dx='xdx+2f,'xdx+3'xdx+4f"xdx+5] xdx=285(2) f’sgn(x-x)dx='ldx+"(-1)dx=0 。(3）当a0时，Ix-al t-I' (-0da-:当0<α<1时,Jax/x-a|dx=J°x(a-x)dx+f"x(x-a)dx=↓a-号+}423当α≥1时，J"x/x-aldx=Jx(a-x)dx=号-1。23°(4) J。 [e ]dx = Jn 1dx+ [m, 2dx+ Jm 3dx+ Jms4dx+Jmg 5dx+Jn 6d+J", 7adr=14- In(71) 。12设f(x)在[a,b]上可积且关于x=T对称，这里a<T<b。则"(x)dx=I2- (x)dx+2(x)dx。并给出它的几何解释。证"f(x)dx=J2T- f(x)dx+JT- (x)dx+J' f(x)dx,由于f(x)关于x=T对称，所以f(2T-x)=f(x)，于是，令x=2T-t，则T- (x)dx=-f, (2T-1)dt= , F(2T-1)dt=J' f()dt=I' (x)dx ,所以"f(x)dx= 2T-b f(x)dx+2f f(x)dx。从几何上说，由于(x)关于x=T对称，所以积分T-f(x)dx与积分f(x)dx表示的是相同的面积，从而上述等式成立。224

⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 解（1） 。 6 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 x [ ] x dx = + x dx 2 x dx + 3 x dx +4 x dx + 5 x dx = 285 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （2） 2 1 2 3 0 0 1 sgn(x − = x )dx 1dx + (−1)dx = 0 ∫ ∫ ∫ 。 （3）当a ≤ 0时， 1 1 0 0 1 | | ( ) 3 2 a x x − = a dx x x − a dx = − ∫ ∫ ； 当0 < a <1时， 1 1 3 0 0 1 1 | | ( ) ( ) 3 2 a a a x x − = a dx x a − x dx + x x − a dx = a − + ∫ ∫ ∫ 3 ； 当a ≥1时， 1 1 0 0 1 | | ( ) 2 3 a x x − = a dx x a − x dx = − ∫ ∫ 。 （4） 2 ln 2 ln3 ln 4 ln5 0 0 ln 2 ln3 ln 4 [ ] 1 2 3 4 x e dx = + dx dx + dx + dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ln 6 ln 7 2 ln5 ln 6 ln 7 + + 5 6 dx dx + dx ∫ ∫ ∫ 7 = − 14 ln(7!) 。 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a T < < b。则 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 并给出它的几何解释。 证 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b T b T b a a T b T f x dx f x dx f x dx f x dx − − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ， 由于 f x( )关于 x = T 对称，所以 f T (2 − x) = f (x)，于是，令 x T = 2 −t ，则 2 ( ) (2 ) (2 ) ( ) ( ) T T b b b T b b T T T f x dx f T t dt f T t dt f t dt f x dx − = − − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ， 所以 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 从几何上说，由于 f x( )关于 x = T 对称，所以积分 2 ( ) T T b f x dx ∫ − 与积 分 ( ) b T f x dx ∫ 表示的是相同的面积，从而上述等式成立。 224

te-x≥0,计算I=13. 设f(x)=f(x-2)dx1x<0.li+er,解令t=x-2，则-sd=, + s=+d++ferda=-'de++f'erar=n+a-e)。e-t +1214.设函数f(x)=(x-t)g(1)dt，其中函数g(x)在(-0,+)上连续，且g(1)=5，I,g()dt=2，证明f(x)=xf,g(t)dt-,tg(t)dt，并计算F"(1)和f"(1)。解(x)=( -2x+)g(0)dt=→g(0)dt-xig()d+g(0)d ,等式两边求导，得到I(n)=x g(0)d +→*g(x)-(. g(0)d + x'g(x)+*g(t)= xf. g(0)dt -I. g(0)dt 。再求导，得到f"(x)='g(t)dt, J"(x)=g(x)，所以f"(I)=2,f"(1)=5。15.设(0,+o0)上的连续函数f(x)满足f(x)=Inx-[f(x)dx，求f(x)dx。解记['f(x)dx=a，则f(x)=lnx-a，于是a=J, f(x)dx=[ ln xdx-a(e-1) ,所以a=-['inxdx=-(xinx-x)-16. 设函数f(x)连续，且f"uy(2x-1)dt=arctan(x),f()=1。求"f(x)dx。解在"'tf(2x-1)dt中，令u=2x-t，则225

13．设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + ≥ = − , 0. 1 1 , 0, ( ) 2 x e xe x f x x x 计算 = ∫ − 。 4 1 I f (x 2)dx 解 令t x = − 2，则 2 0 2 0 2 2 1 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 t t I f t dt f t dt f t dt dt te dt e − − − − = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 4 1 0 ( 1) 1 1 1 ln (1 ) 1 2 2 2 t t t d e e e dt e e − − − − − + + = − + = + − + ∫ ∫ 。 14．设函数 ∫ = − x f x x t g t dt 0 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ，其中函数 g(x)在(−∞,+∞) 上连续，且 ， ，证明 ，并计算 和 。 g(1) = 5 ( ) 2 1 0 = ∫ g t dt ∫ ∫ ′ = − x x f x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) f ′′(1) f ′′′(1) 解 ∫ ∫ ∫ ∫ = − + = − + x x x x f x x xt t g t dt x g t dt x tg t dt t g t dt 0 2 0 0 2 0 2 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( 2 ) ( ) 2 1 ( ) ， 等式两边求导，得到 ( ) 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 1 ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f x x g t dt x g x tg t dt x g x x g x x x ′ = + − + + ∫ ∫ 。 ∫ ∫ = − x x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) 再求导，得到 ( ) ( ) , ( ) ( )，所以 0 f x g t dt f x g x x ′′ = ′′′ = ∫ f ′′(1) = 2 ， f ′′′(1) = 5。 15．设(0,+∞)上的连续函数 f (x)满足 = − ∫ ，求 。 e f x x f x dx 1 ( ) ln ( ) ∫ e f x dx 1 ( ) 解 记 f x dx a，则 e = ∫1 ( ) f (x) = ln x − a，于是 1 1 ( ) ln ( 1) e e a f = = x dx xdx − a e ∫ ∫ − ， 所以 ( ) e x x x e xdx e a e e 1 ln 1 ln 1 1 1 = = − = ∫ 。 16. 设函数 f (x)连续，且 arctan( ) 2 1 (2 ) 2 1 0 tf x − t dt = x ∫ ，f (1) = 1。求∫ 。 2 1 f (x)dx 解 在∫ − 中，令 1 0 tf (2x t)dt u = 2x − t ，则 225