复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第五章 微分中值定理及其应用 5.3 Taylor公式和插值多项式

习题5.3Taylor公式和插值多项式1．由Lagrange中值定理知xIn(1 + x) :0 <0(x)<1 ,1 +0(x)x证明：lim0(x)=1/2。由0(x)= ±-In(1+x)取极限即得到证x In(1 + x)x- In(1+ x)xx - In(1 + x)x= limlim 0(x) = limlimx2x2In(1 + x)x-0x-→0X→0x→0 In(1 + x)11.1111+x.lim= lim=(lim1122x(=0 2(1 + x)1-01+x2. 设f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f"(x)h? +n)(x+0h)h"，(0<<1),且r(n+1)(x)±0，证明：limen+1证f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f(m)(x+0h)h"f"(x)h? +.1=f(x)+ f(x)h+ f"(x)h? +...f(m)(x)h" +f(n+1)(x)hn+1 +o(hn+l) ,(n+D!于是f(n)(x+0h)- f(m)(x)Dr(n+I) (x) + 0(I) 。Ohn+1令h-→0，得到lim0. f(n+1)(x) =(n+1)(x) ,.再由f(n+)(x)±0，两边消去f(n+1)(x)，即得到limn+13.设f(x)=/反，取结点为x=1、1.728、2.744，求f(x)的二次插值多项式p2(x)及其余项的表达式，并计算p2(2）（/2=1.2599210..）。116

习 题 5.3 Taylor 公式和插值多项式 1．由 Lagrange 中值定理知 x x x x 1 ( ) ln(1 ) +θ + = ，0 < θ (x) < 1， 证明：lim ( ) 1/ 2 0 = → x x θ 。 证 由 ln(1 ) ln(1 ) ( ) x x x x x + − + θ = ，取极限即得到 2 2 0 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) lim ( ) lim lim lim ln(1 ) ln(1 ) x x x x x x x x x x x x x x θ → → → → x − + − + = ⋅ = ⋅ + + 0 0 0 1 1 1 1 1 lim lim (lim ) 1 2 2 1 (1 1 x x x x x x x → → → − + = ⋅ = ⋅ + + 1 ) 2 = 。 2．设 1 2 ( 1 ) ( ) ( ) '( ) "( ) ( ) 2! ! n n f x h f x f x h f x h f x h h n + = + + +"+ +θ ，(0 < θ < 1)， 且 f (n+1) (x) ≠ 0，证明： 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 证 n n f x h h n f x h f x f x h f x h ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) + = + + +"+ +θ ( ) ( ) ( 1)! 1 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) '( ) 2 ( ) ( +1) +1 +1 + + = + + + + + n n n n n f x h h n f x h n f x f x h f x h " D ， 于是 ( ) (1) 1 ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) + D + = + − ⋅ + f x h n f x h f x n n n θ θ θ 。 令h → 0，得到 ( 1) ( 1) 0 1 lim ( ) ( ) 1 n n h f x f n θ + + → ⋅ = x + ， 再由 f (n+1) ( x) ≠ 0 ，两边消去 ( 1) ( ) n f x + ，即得到 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 3．设 f x( ) = x 3 ，取结点为 ，求 的二次插值多项 式 及其余项的表达式，并计算 （ x = 1、 、 1.728 2.744 f x( ) p x 2 ( ) p2 (2) 2 12599210 3 = . "）。 116

解f(I)=1,f(1.728)=1.2,f(2.744)=1.4，由Lagrange插值公式f(x)= p2(x)(x -1)(x - 2.744)=1. (x-1.728)(x-2.744)(x-1)(x-1.728)+12+1.4.(1-1.728)(1-2.744)(1.728-1)(1.728-2.744)(2.744-1)(2.744-1.728) 0.7876(x-1.728)(x-2.744)-1.6224(x-1)(x-2.744)+0.7901(x1)(x-1.728)=-0.04465x2+0.3965x+0.6481。10-853余项r(x):f"(x)=(x-1)(x-1.728)(x-2.744)。278153P,(2)=1.2626 。4设f(x)=2*，取结点为x=-1、0、1，求f(x)的二次插值多项式p(x)。请与上题的计算结果相比较并分及其余项的表达式，并计算p2析产生差异的原因。解f(-1)=0.5,f(0)=1,f(1)=2，由Lagrange插值公式f(x)~ p2(x)(x-0)(x-1))1 (x+1(x-1)).2 (x+1)(x-0)=0.5.(-1-0)(-1-1)(0 +1)(0-1)(1+1)(1-0)= 0.25x(x-1)-(x-1)(x+1)+(x+1)x=0.25x2+0.75x+1。In222 (x+1)x(x-1) 。f"(x)=ln*2.2*，余项r(x)=6)=1.2778。p,与上题相比，本题误差较大的原因是2不在所取的三点x=-1、0、1之间，而上题2在所取的三点x=1、1.728、2.744之间，因而误差较小。5.设f(x)在若干个测量点处的函数值如下：x1.41.72.33.1117

解 f f (1) = = 1, (1.728) 1.2, f (2.744) =1.4，由 Lagrange 插值公式 2 ( ) ( ) ( 1.728)( 2.744) ( 1)( 2.744) ( 1)( 1.728) 1 1.2 1.4 (1 1.728)(1 2.744) (1.728 1)(1.728 2.744) (2.744 1)(2.744 1.728) 0.7876( 1.728)( 2.744) 1.6224( 1)( 2.744) 0.7901( 1)( 1.728) f x p x x x x x x x x x x x x x ≈ − − − − − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − − − − ≈ − − − − − + − − = − 2 0.04465x +0.3965x+0.6481。 8 3 10 ( ) 27 f x x − ′′′ = , 余项 2 8 3 5 ( ) ( 1)( 1.728)( 2.744) 81 r x x x x ξ = − − − 。 2 p (2) ≈1.2626。 4．设 f x( ) = 2x ，取结点为 x = −1 0 、 、1，求 f (x)的二次插值多项式 p x 2 ( ) 及其余项的表达式，并计算 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 p2 。请与上题的计算结果相比较并分 析产生差异的原因。 解 f f ( 1− =) 0.5, (0) =1, f (1) = 2 ，由 Lagrange 插值公式 2 2 ( ) ( ) ( 0)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 0) 0.5 1 2 ( 1 0)( 1 1) (0 1)(0 1) (1 1)(1 0) 0.25 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 0.25 +0.75 +1 f x p x x x x x x x x x x x x x x x ≈ − − + − + − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − − + − + − = − − − + + + = 。 3 ( ) ln 2 2x f x ′′′ = ⋅ , 余项 3 ln 2 ( ) 2 ( 1) ( 1) 6 nr x x x x ξ = + − 。 2 1 ( ) 1.2778 3 p ≈ 。 与上题相比，本题误差较大的原因是 2 不在所取的三点 之间，而上题 2 在所取的三点 之间，因 而误差较小。 x = −1 0 、 、1 x = 1、 、 1.728 2.744 5．设 f (x)在若干个测量点处的函数值如下： x 1.4 1.7 2.3 3.1 117

65f(x)584436试求f(2.8)的近似值。解由Lagrange插值公式f(x)= p(x)(x-1.7)(x-2.3)(x-3.1)(x-1.4)(x-2.3)(x-3.1)= 65.+58(1.4-1.7)(1.4 -2.3)(1.4- 3.1)(1.7-1.4)(1.7-2.3)(1.7-3.1)(x-1.4)(x-1.7)(x-3.1)(x-1.4)(x-1.7)(x-2.3)+44.+3.6.(2.3-1.4)(2.3-1.7)(2.3-3.1)(3.1-1.4)(3.1-1.7)(3.1- 2.3)f(2.8)~ p,(2.8)~ 36.647 。6.若h是小量，问如何选取常数a、b、c，才能使得af(x+h)+bf(x)+cf(x-h)与f"(x)近似的阶最高？解 af(x+h)+bf(x)+cf(x-h)=a[f(x)+ f(x)h+-"(x)h°)+bf(x)+cLf(x)-f(x)h+f"(x)h"]+o(h)2=(a+b+c)f(x)+(a-c)f(x)h+(a+c)f"(x)h? +o(h),[a+b+c=0得到方程组α-c=0，解之得到a=c=1,b=-2。a+c=27.将插值条件取为n+1个结点上的函数值和一阶导数值，即P(x)满足p,(x,)= f(x,)i=0,1,2,...,n[p(x,)= J(x,) '的插值多项式称为Hermite插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重要作用。它可以取为P,(x)=Z[(x)g(x)+ F(x) q()],这里，(q((x),ql(x)=是满足条件118

f (x) 65 58 44 36 试求 f ( . 2 8)的近似值。 解 由 Lagrange 插值公式 3 ( ) ( ) ( 1.7)( 2.3)( 3.1) ( 1.4)( 2.3)( 3.1) 65 58 (1.4 1.7)(1.4 2.3)(1.4 3.1) (1.7 1.4)(1.7 2.3)(1.7 3.1) ( 1.4)( 1.7)( 3.1) ( 1.4)( 1.7)( 2.3) 44 3.6 (2.3 1.4)(2.3 1.7)(2.3 3.1) (3.1 1.4 f x p x x x x x x x x x x x x x ≈ − − − − − − = ⋅ + ⋅ − − − − − − − − − − − − + ⋅ + ⋅ − − − − , )(3.1− − 1.7)(3.1 2.3) 3 f p (2.8) ≈ (2.8) ≈ 36.647。 ) 6．若h是小量，问如何选取常数a、 、b c，才能使得 af ( ) x + + h bf (x) + cf (x − h 与 f ′′(x)近似的阶最高？ 解 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 [ ( ) '( ) ''( ) ] ( ) [ ( ) '( ) ''( ) ] ( ) 2 2 1 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ''( ) ( ) 2 af x h bf x cf x h a f x f x h f x h bf x c f x f x h f x h o h a b c f x a c f x h a c f x h o h + + + − = + + + + − + + = + + + − + + + ， 2 得到方程组 0 0 2 abc a c a c ⎧ + + = ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ + = ，解之得到a c = =1,b = −2。 n 7．将插值条件取为n + 1个结点上的函数值和一阶导数值，即 p (x)满足 ， p x f x p x f x n i i n i i ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ = ′ ⎧ ⎨ ⎩ i n = 0,1, 2,", 的插值多项式称为 Hermite 插值多项式，在微分方程数值求解等研究 领域中具有重要作用。它可以取为 (0) (1) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k k p x f x q x f x q = = + ⎡ ′ x ⎤ ∑⎣ ⎦, 这里，{ ( q x k k (0) ),q(1) (x)} n k=0是满足条件 118

qk(x)=8k2[qk0)](x)=0,i, k=0,1,2,...,n和ql"(x,)=0, [ql"1(x,)=0k,i, k=0,1,2,.,n的基函数。试仿照Lagrange插值多项式的情况构造(gk"(x),q"(x))=0。解显然当i时，q(x)=[q(x)=0,q0(x)=1,[q1(x)=0，设1(二1)[1-c(x-x)], 由[41(x)-之_2-C=0解出c，得q(0(x)=ax-xXX法到2x-x) [1-(2q(0)(x) =)(x-x)], k=0,1,2,.",n;1=0-x同理可得到.0(x):k=0,1,2,.,n。x-x)119

(0) (0) ( ) , [ ]'( ) 0, k i ik k i q x = = δ q x i k , 0, = 1, 2,", n 和 (1) (1) ( ) 0, [ ]'( ) , k i k i ik q x = = q x δ i k , 0, = 1, 2,", n 的基函数。试仿照 Lagrange 插值多项式的情况构造{ ( q x k k (0) ),q(1) (x)} n k=0。 解 显然当i ≠ k 时， (0) (0) ( ) [ ] ( ) 0, k i k i q x = q ′ x = (0) (0) ( ) 1,[ ]'( ) 0 k k k k q x = q x = ，设 (0) 2 0 ( ) ( ) [1 ( )] n i k k i k i i k x x q x c x x = x x ≠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = − ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∏ − ，由 (0) 0 2 [ ]'( ) n k k i k i i k q x c = x x ≠ = − = 0 − ∑ 解出 ，得 到 c (0) 2 0 0 2 ( ) ( ) [1 ( )( )], 0,1,2, , n n i k k i k i i k i i k i k x x q x x x k n = x x = x x ≠ ≠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = − − = ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∏ ∑ " ； 同理可得到 (1) 2 0 ( ) ( ) ( ) 0,1,2, , n i k k i k i i k x x q x x x k n = x x ≠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = − = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∏ " 。 119