复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十章 函数项级数 10. 1 函数项级数的一致收敛性

第十章函数项级数习题10.1函数项级数的一致收敛性1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。(1) S(x)= e",(ii) xe (l,+) ;(i) xe (0,1) ,(2) S,(x) =xe",xe (0,+00);(3) S,(x) = sin=,(ii) xe[-A, A](A >0);(i) xe (-00,+0) ,n(4) S,(x) = arctan nx,(ii) xe (1,+o0) ;(①) xe (0,1),x2+1(5) Sh(x) =xe (-00,+o0) ;n2(6) Sh(x)= nx(1 - x)",xe [0,] ;(7) S(x) ==In=(i) xe (0,1) ,(ii) xe (1,+0));inhx(8) Sm(x) =(i) xe (0,1),(ii) xe (1,+o0) ;1+xm(9) Sh(x)= (sin x)" ,xe[0,元];(10) Sh(x)=(sin x)",(i) xe [0,元],(ii)xe[8,元-] (8>0);() S(x)= (1+=)"(i) xe (0,+0),(i) xE (0, AJ(A >0);(12) Sn(x) =1/x+(i) xe (0,+0),(ii)xe[8,+00), 8 > 0 。Vn解（1) (i) S(x)=0,d(Sn,S)= sup [S,(x)-S(x)=1 /-→ 0 (n-→0 ),xe(0,I)所以(S,(x))在(0,1)上非一致收敛。(ii) S(x)= 0,d(Sn,S)= sup S,(x)-S(x) =e-"n →0(n→0) 所以(S,(x))在(1,+)上一致收敛。(2) S(x)=0,1d(Sm,S)= sup Sn(x)-S(x) =-→0(n→0),nexE(0,+00)-

第十章 函数项级数 习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞)； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) )； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,π ]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (0,+∞)， (ii) x∈ (0, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 解 （1）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ n e− = → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （2）S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ ne 1 = → 0 (n → ∞)， 1

所以(S.(x))在(0,+o)上一致收敛。(3) (i) S(x)=0,d(Sn,S)= sup JS,(x)-S(x)=1 /- 0 (n→),XE(-00.+00所以(S,(x))在(-0,+)上非一致收敛。(i) S(x)=0,当n>24,元d(S,, S)= sup [S,(x)- S(x)|≤4→0 (n→),xE[-A,A]所以(S,(x)在[-A,A]上一致收敛。(4) (i) S(x)=",Ld(Sn,S)= sup [S,(x)- S(x) ="—/-→ 0 (n→8),E(0,1)所以(S,(x)在(0,1)上非一致收敛。(ii) S(x) = 2.d(Sn,S)= sup [S,(x)-S(x)="-arctann→0(n→o),2所以(S,(x)在(1,+o0)上一致收敛。(5 )由于[5,(-S+，于是d(Sn,S)= sup s,(x)-S(x)/→0(n-→o0) ,所以(S,(x)在(-0,+0)上一致收敛。(6) S(x)=0,S,()-s()=(1-l)*-/→0(n→8),nnn所以(S,(x)在[0,1]上非一致收敛。(7)() S(x)=0，由于S,(0+)-S(0+)=0，且2

所以{S x n ( )}在(0,+∞)上一致收敛。 （3）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) ( , ) d S S S x S x n x n = − ∈ −∞ +∞ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在( , −∞ +∞)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0，当 π A n 2 > ， ( , ) sup ( ) ( ) [ , ] d S S S x S x n x A A n = − ∈ − n A ≤ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , −A A]上一致收敛。 （4）(i) 2 ( ) π S x = ， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ 2 π = ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) 2 ( ) π S x = ， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ arctan n 2 = − π → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （5）S(x) = x ，由于 n x n S x S x x n 1 1 ( ) ( ) 2 2 − = + − ≤ ，于是 ( , ) sup ( ) ( ) ( , ) d S S S x S x n x n = − ∈ −∞ +∞ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在( , −∞ +∞)上一致收敛。 （6）S(x) = 0， − ) = 1 ) ( 1 ( n S n Sn n n ) 1 (1− ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在[0,1]上非一致收敛。 （7）(i) S(x) = 0，由于Sn (0+) − S(0+) = 0 ，且 2

-[S,(x)- S(x)= =(1+ln=)<0 (n≥ 2),1于是d(Sm,S)= sup [S,(x)- S(x) = Inn 1→0(n→),xe(0,1)所以(S,(x)在(0,1)上一致收敛。(ii) S(x)= 0 ,S,(2n)-S(2n)= 2ln2 —/→ 0 (n→o ),所以(S.(x))在(1+)上非一致收敛。(8) (i) S(x)=0,S,(1-0（n→）n1 + (1 -n所以(S,(x)在(0,1)上非一致收敛。(ii) S(x)=1,(1 +-nS,(1+)-S(1+/-→0（n→00）n1+(1+ n所以(S,(x)在(1,+)上非一致收敛。1，则x，±(9) S(x) =，取x，[0,元]，使得sinx,=1-2n[0 xe[0,元],x*"2S,(xn)-S(x,)= (1--/→ 0 (n→00),nn所以(S,(x)在[0,元]上非一致收敛。J0 ×=0,元_，取x, E(0,元)，使得sinxn=(10) (i)S(x) =，则2n1 0<x<元3

[ ] S (x) − S(x) = dx d n (1 ln ) 0 1 + < n x n (n ≥ 2)， 于是 n n d S S S x S x n x n ln ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) = − = ∈ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(0,1)上一致收敛。 (ii) S(x) = 0， Sn (2n) − S(2n) = 2ln 2 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上非一致收敛。 （8）(i) S(x) = 0， − − − ) = 1 ) (1 1 (1 n S n Sn n n n n ) 1 1 (1 ) 1 (1 + − − ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 1， + − + ) = 1 ) (1 1 (1 n S n Sn 1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 − + + + n n n n ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上非一致收敛。 （9） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ≠ = = 2 0 [0, ], 2 1 ( ) π π π x x x S x ，取 ∈[0,π ] n x ，使得 n xn 1 sin = 1− ，则 2 π xn ≠ ， Sn (xn ) − S(xn ) = n n ) 1 (1− ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在[0,π ]上非一致收敛。 （10）(i) ，取 ⎩ ⎨ ⎧ < < = = π π x x S x 1 0 0 0, ( ) ∈ (0,π ) n x ，使得 n n x 2 1 sin = ，则 3

-/→0（n-8)Sn(xn)-S(xn)=2所以(S,(x))在(0,元)上非一致收敛。(i) S(x)=1,d(S,,S)= sup [S,(x)-S(x)=1-sin" 8 →0(n→0) ,ElSa-所以(S,(x)在[,元-]上一致收敛。(11) ()S(x)=e*,S,(n)-S(n)=2"-e" —/→ 0 (n→),所以(S,(x))在(0,+)上非一致收敛。(ii)S(x)=e，由于S,(0+)-S(O+)=0，且当n充分大时，[5,(x)-()]-(1+)~-e* 0,X于是→0 (n→8)d(Sn,S)= sup S,(x)- S(x)=e4 _1+XE(0.41所以(S,(x)在(0,A)上一致收敛。1(12) (i)S(x) =2/x3- S() =V2-n-/→ 0 (n→),S.(2Jnn所以(S,(x)在(0,+)上非一致收敛。(ii)S(x) =2/x1Sn(x) == S(x) ,IX+2Vx17-x +n4

Sn (xn ) − S(xn ) = 1 2 1 − ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,π ) 上非一致收敛。 (ii) S(x) = 1， d(S , S) sup S (x) S(x) n = n − x∈[δ ,π −δ ] δ n 1 = 1− sin → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ π −δ ]上一致收敛。 （11）(i) S(x) = ex ， Sn (n) − S(n) = n n 2 − e ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,+∞)上非一致收敛。 (ii) S(x) = e x ，由于Sn (0+) − S(0+) = 0 ，且当n充分大时， [ ] S (x) − S(x) = dx d n 1 0 1 ⎟ − < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n e n x ， 于是 ( , ) sup ( ) ( ) (0, ] d S S S x S x n x A n = − ∈ n A n A e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1+ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(0, A]上一致收敛。 （12）(i) x S x 2 1 ( ) = ， − ) = 1 ) ( 1 ( n S n Sn ⎟ n ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 2 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,+∞)上非一致收敛。 (ii) x S x 2 1 ( ) = ， Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 ( ) 2 1 1 1 S x x x n x < = + + = ， 4

由于-1-[s,(x) - S(x)]0dy)(Vxx(x4rAF可知d(Sn,S)= sup s,(x)-S(x)=S,()-S()ElSt1→0(n→)2VSn所以(S,(x))在[8,+)上一致收敛。2.1设S,(αx)=n(x"-x2")，则函数序列(Sn(αx)在[0,1]上收敛但不一致收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即lim I's,(x)dx + ['lim Sh(x) dx。证函数序列(S(x))在[0,1]上收敛于S(x)=0。取x,=1-1，则S,(x,)-S(x,)= n1-l)"-(1-112?+0，所以(S,(x)在[0,1]上非一致收敛。由于Ilim I's.(x)dx= lim Jn(x" -x2")dx =1,['lim Sh(x) dx= 0 ,所以lim I's,(x)dx + f'lim Sh(x) dxo，则3.设Sn(x)=1+nx3(1）函数序列(S,(x)在(-80,+0)上一致收敛；(2)[s,(x)在(-0,+0)上不一致收敛;d(3）极限运算与求导运算不能交换，即是S(m)=是lm S(n)lim -n-→ dxdx n-o并不对一切xe(-00,+)成立。XS(x)=0，则解（1) Sn(x)=1+n'y2,S[S,(x)- S(x)→0(n→0) ,2n+nx5

由于 [ ] 0 4 1 ) 1 )( 1 2 ( 1 ( ) ( ) 2 3 + > + + + − − = x n x x n x x S x S x dx d n ， 可知 ( , ) sup ( ) ( ) [ , ) d S S S x S x n x n = − ∈ δ +∞ S (δ ) S(δ ) = n − δ δ δ 2 1 1 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − n n → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ +∞)上一致收敛。 2. 设Sn(x) = n( n x - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致 收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 证 函数序列{Sn(x)}在[0,1]上收敛于S(x) = 0。取 n xn 1 = 1− ，则 Sn (xn ) − S(xn ) = → +∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − n n n n n 2 ) 1 ) (1 1 (1 ， 所以{Sn(x)}在[0,1]上非一致收敛。 由于 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx →∞ = n lim n x x x n n ( )d 1 0 2 ∫ − 2 1 = ， S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx = 0， 所以 dx n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 解 （1）Sn(x)= 2 2 1 n x x + ，S(x) = 0，则 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 ≤ + − = → 0(n → ∞)， 5

所以(S,(x))在(-0,+)上一致收敛。1-n?x?x=04s.(t)=7d(2)(1+n2x3)2, 0(x)= lim -S,(x)X±0dx0n->00dx1，则取x，2nd+s,(s,)-0(x,)=12-一/→0（n→8）dx25所以[是s,()在(-8,+o)上不一致收敛。dx（3）由于在x=0处： lim S(x)=0, 0(x)= limd-S.(x) =1dx n--00dx所以在x=0处， s,(x) =d lim S(x)limn-→a dxdx n-不成立。设S,(x)=-arctanx"，则函数序列(S,(x))在(0,+o)上一致收敛；试4.问极限运算与求导运算能否交换，即 s(x)=d lim S.(x)limn-→ dxdx n→是否成立？X1-S(x)=_arctanx", S,(x)=解1+x2nnS(x)= lim Sn(x)= 0, S'(x)= 0,所以limS,()=S(1)，即2n-→0二 S,(x)=dlim Sn(x)lim n-dxdxn在x=1不成立。5.设S(x）=n~xe-mx，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列(S,(x))在[0,1] 上(1）一致收敛：(2）积分运算与极限运算可以交换，即lim ['s,(x)dx = ['lim Sh(x) dx;(3）求导运算与极限运算可以交换，即对一切xe[0,1]成立 s.()= % lim S,(x) 。limn-→dxdx n-6

所以{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （2） S (x) dx d n 2 2 2 2 2 (1 ) 1 n x n x + − = ， ( ) lim S (x) dx d x n n→∞ σ = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 0 1 0 x x ， 取 n xn 2 1 = ，则 ( ) n n S x dx d 25 12 −σ (xn ) = ─/→ 0（n → ∞）， 所以 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛。 （3）由于在 x = 0处， d x d n→∞ lim Sn(x) = 0， ( ) lim S (x) dx d x n n→∞ σ = = 1， 所以在 x = 0处， n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 不成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞)上一致收敛；试 问极限运算与求导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 解 Sn(x)= n 1 arctan xn， n n n x x S x 2 1 ' 1 ( ) + = − ， S(x) = n→∞ lim Sn(x) = 0，S'(x) = 0， 所以 '(1) 2 1 lim (1) ' S S n n = ≠ →∞ ，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 在 x = 1不成立。 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列 {S nx n xe α − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； ⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6

解(1) S(x)=limS(x)=0，令S)(x)=ne-"(1-x)=0，得到x=l即d(Sn,S)= sup S,(x)- S(x)|= S,(-)= na-le-l,xe[0,1]所以limd(S,S)=0当且仅当α0，(S,(x)在[a+n,b-nl上一致收敛于s(x)。取o0,38>0，Vx,x"[a+α,b-α]，只要x-xS,就成立Js'(x")-S'(x")]N且xe[a+n,b-n]时，有e[a+α,b-α],7

解 (1) S(x) = S n→∞ lim n(x) = 0，令Sn ' (x) = nα e−nx (1− nx) = 0，得到 n x 1 = ，即 = − = ∈ ( , ) sup ( ) ( ) [0,1] d S S S x S x n x n 1 1 ) 1 ( − − = n e n Sn α ， 所以 lim ( , ) = 0 →∞ d S S n n 当且仅当α 0 , {Sn (x)}在[ ] a +η,b −η 上一致收敛于S'(x)。 取0 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [a +α,b −α], 只要 x'−x" N 且 x∈ [a +η,b −η]时，有 + ∈ n x 1 [a +α,b −α], 7

于是sn(x)-S'(x)|=|s'(5)-S(x)0,38>0,Vxe[1-8,]],成立x"S(x)|，x[0.1-],，成立，于是x"S(x)<88

于是 Sn (x) − S'(x) = S'(ξ ) − S'(x) 0, ∃δ > 0 , ∀x ∈[1−δ ,1]，成立 x S(x) N , ∀x ∈[0,1−δ ]，成立 M x n ε < ， 于是 x S(x) < ε n 8

对一切xe[0,]成立，因此(x"S(x))在[0,1]上一致收敛。o

对一切 x ∈[0,1]成立，因此{x n S(x)}在[0,1]上一致收敛。 9