复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十三章 重积分 13.1 有界区域上的重积分

第十三章重积分习题13.1有界区域上的重积分1.设一平面薄板（不计其厚度），它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为μx,y)的电荷，且μ(x,J)在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。解设电荷总量为Q，则Q= [lu(x,y)do oa2.设函数f(x,J)在矩形D=[0,元]×[0,1]上有界，而且除了曲线段y=sinx,0≤x≤元外，f(x,J)在D上其它点连续。证明在D上可积。证设f(x,y)≤M,(x,J)=D，将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小区域△D,(i=1,2,,n)，记=max(diamAD)，不妨设AD,(i=1,2,,k)将曲线段y=sinx,0≤x≤元包含在内，于是f(x,y)在有界闭区域UAD,上连i=k+续，因此(x,)在UD,上可积，即>0,3>0，当时，i=k+Zo,Aa,<&2i=k+1而当<时，4kMKZ0,A0,<2MA0,<2kMa<2台台当入<8时，就有取8=4kMMa,Aa,E+E=8,22i=1所以f在D上可积。3.按定义计算二重积分[xydxdy，其中D=[0,]x[0,1]。D解将D分成n?个小正方形sxsij-1lAD, =3(x,y)iii =1,2,...n)<V<nnn-

第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 1. 设一平面薄板（不计其厚度），它在 xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域 D。如果该薄板分布有面密度为µ( , x y) 的电 荷，且µ( , x y) 在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷。 解 设电荷总量为Q，则 ∫∫ = D Q µ(x, y)dσ 。 2. 设函数 f x( , y) 在矩形 D = [0,π ]×[0,1] 上有界，而且除了曲线段 y x = sin , 0 ≤ x ≤ π 外， 在 D 上其它点连续。证明 在 D 上可 积。 f x( , y) f 证 设 f (x, y) ≤ M,(x, y) ∈ D，将 D 用平行于两坐标轴的直线分成n个小 区域∆Di(i = 1,2,",n)，记 { } 1 max diam i i n λ D ≤ ≤ = ∆ ，不妨设 D (i 1,2, , k) ∆ i = " 将曲 线段 y x = sin , 0 ≤ x ≤ π 包含在内，于是 在有界闭区域 上连 续，因此 在 上可积，即 f x( , y) ∪ n i k Di = +1 ∆ f x( , y) ∪ n i k Di = +1 ∆ 0, 0 ∀ε > ∃δ 1 > ，当λ < δ 1时， 2 1 ε ∑ω ∆σ < = + n i k i i 。 而当 4kM ε λ < 时， 2 2 2 1 1 ε ∑ω ∆σ < ∑∆σ < λ < = = M kM k i i k i i i 。 取 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4kM min , 1 ε δ δ ，当λ < δ 时，就有 ε ε ε ∑ω ∆σ < + = = 2 2 1 n i i i ， 所以 f 在 D 上可积。 3. 按定义计算二重积分 xydxdy，其中 D D ∫∫ = [0,1]×[0,1]。 解 将D分成 个小正方形 2 n ( , 1,2, ) 1 , 1 ( , ) i j n n j y n j n i x n i D x y ij = " ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∆ = ， 1

1则取nJ xydxdy = lim Z5,n,Ao, = lim >1n-n2>00i,j=lii-111-n2(n+1)? == lim -n→00n4424.设一元函数f(α)在[a,b]上可积，D=[a,b]×[c,d]。定义二元函数F(x,y)=f(x),(x,y)eD。证明F(x,J)在D上可积证将[a,b]、[c,d]分别作划分：a=Xo <x <x2 <...<xn-I <x, =b和c= yo<yi<y2<...<ym-I<ym=d,则D分成了nm个小矩形AD,(i=1,2,,n,j=1,2,,m)。记,是f(x)在小区间[xi-1,x,]上的振幅，0,(F)是F在AD上的振幅，则0,(F)= 0,,于是20,(F)A0, =20,Ax,Ay,=(d-c)20,Ax, ,i,j=li.j=由f(x)在[a,b]上可积，可知o,Ax →0(a→0)，所以i=llim Zo,(F)Ao, = lim (d -(0)0.Ax20 1.j=li=l即F(x,y)在D上可积。5.设D是R2上的零边界闭区域，二元函数f(x,J)和g(x,J)在D上可积。证明H(x, y) = max(f(x, y),g(x, y))和h(x, y)=min(f(x,y),g(x,y)也在D上可积。证首先我们有H(x,y) =(f(x, )+ g(x, y)+|(x, y)-g(x,y) ,(r(x, y)+ g(x, y)-(x, y)-g(x, ) 。h(x,y)=2

取 n j n i ξ i = ,η j = ，则 xydxdy D ∫∫ ∑ ∑ = →∞ = →∞ = ∆ = n i j n n i j i j ij n ij n , 1 4 , 1 1 lim ξ η σ lim 4 1 ( 1) 4 1 1 lim 2 2 4 = ⋅ + = →∞ n n n n 。 4. 设一元函数 f (x)在[a,b]上可积，D = [a,b]×[c, d]。定义二元函数 F(x, y) = f (x)，(x, y) ∈ D。 证明F(x, y) 在D上可积。 证 将[a,b]、[c, d]分别作划分： a = x0 < x1 < x2 < " < xn−1 < xn = b 和 c = y0 < y1 < y2 < " < ym−1 < ym = d ， 则D分成了nm个小矩形 D (i 1,2, , n, j 1,2, ,m) ∆ ij = " = " 。 记ωi 是 f (x) 在小区间[xi−1, xi]上的振幅， (F) ωij 是 在 上的振 幅，则 F ∆Dij ωij (F) = ωi， 于是 , 1 , 1 1 ( ) ( ) n n n ij ij i i j i i i j i j i ω σ F x ω y d c ω = = = ∑ ∑ ∆ = ∆ ∆ = − ∑ ∆x ， 由 f (x)在[a,b]上可积，可知 ∑ = ∆ n i i i x 1 ω → 0 (λ → 0)，所以 0 , 1 lim ( ) n ij ij i j F λ ω σ → = ∑ ∆ = 0 1 lim ( ) 0 n i i i d c x λ ω → = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − ∆ = ⎩ ⎭ ∑ ， 即F(x, y) 在D上可积。 5．设D是 2 R 上的零边界闭区域，二元函数 和 在 上可积。 证明 f (x, y) g(x, y) D H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)} 和 h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)} 也在D上可积。 证 首先我们有 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 H (x, y) = f x y + g x y + f x y − g x y ， ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 h(x, y) = f x y + g x y − f x y − g x y 。 2

设p(x,y)=f(x,J)-g(x,J)，将D划分成n个小区域△D,(i=1,2,,n),利用不等式[a--c-≤[α-b)-(c-d)≤a-c+b-d，可得0,(p)≤o,(f)+o,(g)(i=1,2,..,n) ,于是0,(H)≤0,(f)+0,(g) (i = 1,2, *,n),所以0≤Eo,(H)Ac, ≤Zo,(f)A, +)Zo,(g)Ao; i=li=1i=l由f.g在D上可积，可知lim ≥0,(H)Aa,= 0,1-0i=l即 H(x,y)=max(f(x,y),g(x,y))在D上可积。类似地可得0,(h)≤0,(f)+0,(g) (i= 1,2,-,n) ,从而得到h(x,y)=min(f(x,y),g(x,y))在D上也可积。3

设ϕ(x, y) = f (x, y) − g(x, y) ，将D划分成n个小区域 D (i 1,2, , n) ∆ i = " ， 利用不等式 a − b − c − d ≤ (a − b) − (c − d) ≤ a − c + b − d ，可得 ( ) ( f ) (g) (i 1,2, ,n) ωi ϕ ≤ ωi +ωi = " ， 于是 (H) ( f ) (g) (i 1,2, ,n) ωi ≤ ωi +ωi = " ， 所以 ∑ ∑ ∑ = = = ≤ ∆ ≤ ∆ + ∆ n i i i n i i i n i i H i f g 1 1 1 0 ω ( ) σ ω ( ) σ ω ( ) σ ， 由 f , g 在D上可积，可知 lim ( ) 0 1 0∑ ∆ = = → n i ωi H σ i λ ， 即H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)}在D上可积。 类似地可得 (h) ( f ) (g) (i 1,2, , n) ωi ≤ ωi +ωi = " ， 从而得到h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)}在D上也可积。 3