复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第八章 反常积分 8.1 反常积分的概念和计算

第八章反常积分习题8.1反常积分的概念和计算1．物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+g的点电荷产生的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为F=k%（k为常数），求距电场中心x处的电位。r解 U=『k号dr=g。xr图8.1.42．证明：若f(x)dx和g(x)dx收敛，k,和k,为常数，则[k,f(x)+kzg(x)]dx也收敛，且f [k f(x)+kzg(x)]dx = k, f f(x)dx+ k t*g(x)dx 。证设[f(x)dx= lim [ f(x)dx， t g(x)dx= Jlim g(x)dx,则t[kjf(x)+ k2g(x)]dx = lim J[kif(x)+k2g(x)]dx= ki im f(x)dx + k lim Jg(x)dx = k /t f(x)dx + k J. g(x)dx 。111113．计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：(1) J. e-2 sin 5xdx ;(2) J." e-3x cos2xdx ;1J(P +a')x +b)dd(3) [x++d;(4) (a>0,b>0);(5) Jtxea dx (ae R);(6) [dx (peR);xlnPx267

第八章 反常积分 习 题 8.1 反常积分的概念和计算 ⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+ q的点电 荷产生的电场对距离 r 处的单位正电荷的电场力为 F k q r = 2 （k 为常数），求距电场中心 x处的电位。 ∞ x q 图 8.1.4 解 ∫ +∞ = = x x kq dr r q U k 2 。 ] ⒉ 证明：若 和 收敛，k 为常数， 则 也收敛，且 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx k 1和 2 [ ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ + = + a a a [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 。 证 设∫ ， ，则 +∞ a f (x)dx ∫ →+∞ = A a A lim f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx ∫ →+∞ = A a A lim g(x)dx [ ] ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 [ ] = ∫ + →+∞ A a A lim k f (x) k g(x) dx 1 2 ∫ →+∞ = A a A k lim f (x)dx 1 ∫ →+∞ + A a A k lim g(x)dx 2 ∫ ∫ +∞ +∞ = + a a k f (x)dx k g(x)dx 1 2 。 ⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ; ⑵ e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ; ⑶ 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ; ⑷ 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ (a > 0,b > 0) ; ⑸ ∫ +∞ ∈ 0 e ( ) 2 x dx a R ax ; ⑹ ( ) ln 1 2 ∈ R ∫ +∞ dx p x x p ; 267

(7)(8)dx(x2 + 1)3/2exte-Inx1(9)[(10)r++dr;dx。1 + x2132 r解（1) Jt e-2x sin 5xdx =-[+"e-2x d cos5x =e-2xcos5xdxsJo55J01-2te-2* dsin5x =143-J2 in5xdt,525J0所以5+° e-2x sin 5xdx =29° sin2x -(2)【"e-3 sin2xdx+e-3xcos2xdx=2%44%所以3J+ e-3x cos2xdx =1312(3)dx=x2+x+S13V32x+11++32222x+1|+02元arctanV3V33（4）当ab时,1d(x2 + α2)(x2 + b2)b?aLA元1元元b?-α22b2ab(a+b)12a当a=b时，X(x)dx-元1元元元O4a3,2J02a32a2Jx? +a?2a34a32g+020268

⑺ 1 1 2 3 2 ( ) / x dx + −∞ +∞ ∫ ; ⑻ 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ; ⑼ 1 1 0 4 x dx + +∞ ∫ ； ⑽ ln x x dx 1 0 2 + +∞ ∫ 。 解（1） e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ∫ +∞ − = − 0 2 e cos5 5 1 d x x ∫ +∞ − = − 0 2 e cos5 5 2 5 1 xdx x ∫ +∞ − = − 0 2 e sin 5 25 2 5 1 d x x ∫ +∞ − = − 0 2 e sin 5 25 4 5 1 xdx x ， 所以 e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx 29 5 = 。 （2） e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ∫ +∞ − = 0 3 e sin 2 2 1 d x x ∫ +∞ − = 0 3 e sin 2 2 3 xdx x ∫ +∞ − = − 0 3 e cos 2 4 3 d x x ∫ +∞ − = − 0 3 e cos 2 4 9 4 3 xdx x ， 所以 ∫ = +∞ − 0 3 e cos2xdx x 13 3 。 （3） 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ∫ +∞ −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = dx x 2 2 2 3 2 1 1 ∫ +∞ −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 3 2 1 3 2 1 1 1 3 2 2 x d x = + = +∞ −∞ 3 2 1 arctan 3 2 x 3 2π 。 （4）当a ≠ b时， 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + = 2 2 0 2 2 2 2 1 1 1 dx b a x a x b ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = b a 2a 2b 1 2 2 π π 2ab(a + b) π ； 当a = b 时， ∫ +∞ + 0 2 2 2 ( ) 1 dx x a ∫ +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 dx x a x a x a ) 1 ( 2 1 2 3 2 ∫0 2 2 +∞ + = + x a xd a a π ∫ +∞ + = − 3 2 0 2 2 2 1 2 x a dx a a π 3 3 2a 4a π π = − 3 4a π = ， 268

此结果等于在ab时的结果中以b=a代入后的结果，.（5）当a≥0时积分发散：当a1时，(In x)=P+1|+0(ln 2)-p+1-dx =-p+1xlnPx（7）令x=tant，则1(P +1)3/2 dx=μcosdt=2。2（8）令e=t，则tdt(e+e-) dr = Jt(1+t2)22(1 + t21（9）利用第六章第3节习题1(10)的结果=+2++V21arctan(V2x+1)+-arctan(V2x -1)+C,r4 +18mx2-/2x+144即可得到1元JO2V2x4 +1InxInxInx(10)ax-11+x1+对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换x=则InxIntdt1+ x21+所以Inxdx=0269

此结果等于在a ≠ b时的结果中以b = a 代入后的结果。 （5）当a ≥ 0时积分发散；当a 1时， ∫ +∞ − + +∞ = − + = 2 2 1 (ln ) 1 1 ln 1 p p x p dx x x 1 (ln 2) 1 1 − + − p p 。 （7）令 x = tan t ，则 = + ∫ +∞ −∞ dx x 2 3/ 2 ( 1) 1 ∫ = − 2 2 cos π π tdt 2。 （8）令ex = t ，则 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ∫ +∞ +∞ = + = − + = 1 2 2 2 1 2(1 ) 1 (1 t ) t tdt 4 1 。 （9）利用第六章第 3 节习题 1(10)的结果 ∫ = + dx x 1 1 4 x x C x x x x + + + − + − + + + arctan( 2 1) 4 2 arctan( 2 1) 4 2 2 1 2 1 ln 8 2 2 2 ， 即可得到 = + ∫ +∞ 0 4 1 1 dx x 2 2 π 。 （10） = + ∫ +∞ dx x x 0 2 1 ln + + ∫ dx x 1 x 0 2 1 ln dx x x ∫ +∞ + 1 2 1 ln , 对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换 t x 1 = ，则 dx x x ∫ +∞ + 1 2 1 ln dt t t ∫ + = − 1 0 2 1 ln ， 所以 0 1 ln 0 2 = + ∫ +∞ dx x x 。 269

4．计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：(1)(2)dxdx1- In?(3）(4)dxdx(2-x)1- x-1dx:(5)(6) -dxsinJ-1 x3/tan.x1d(1-x解（1)/1-x2)。=1。dx-vi11(2)d(lnx)=arcsin(lnx)li=dx::xV1-In?xViIn? x(3）令/x-1=t，则81+t2)dt=dx/x-3(4）令V1-x=t，则1Idtdx=(2 - x)/1- x2(5)sin1sindy(cossinsinx-）极限不存在，所以积分一Isind发散；同理积分由于lim-(cos10x→0+ 2xdx也发散。sinx-x（6）令Vtanx=t，再利用上面习题3（9），得到dt元1dx = 2]t1+14=/2tanx270

⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ x x dx 1 0 2 1 − ∫ ; ⑵ 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ; ⑶ x x dx − ∫ 1 1 2 ; ⑷ 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ; ⑸ 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ; ⑹ ∫ 2 0 tan 1 π dx x ; 解（1） x x dx 1 0 2 1 − ∫ ∫ − − = − 1 0 2 2 1 (1 ) 2 1 x d x 1 0 2 = (− 1− x ) = 1。 （2） 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ∫ − = e 1 2 (ln ) 1 ln 1 d x x = = e x 1 arcsin(ln ) 2 π 。 （3）令 x −1 = t ，则 x x dx − ∫ 1 1 2 = ∫ + = 1 0 2 2 (1 t )dt 3 8 。 （4）令 1− x = t ，则 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ∫ = + = 1 0 2 1 2 t dt 2 π 。 （5） 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ∫− = 0 1 3 2 1 sin 1 dx x x + ∫ 1 0 3 2 1 sin 1 dx x x 。 ∫ 1 0 3 2 1 sin 1 dx x x = − ∫ 1 0 2 2 ) 1 ( 1 sin 2 1 x d x 1 0 2 ) 1 (cos 2 1 = + x ， 由于 ) 1 (cos 2 1 lim 2 x→0+ x 极限不存在，所以积分∫ 1 0 3 2 1 sin 1 dx x x 发散；同理积分 ∫− 0 1 3 2 1 sin 1 dx x x 也发散。 （6）令 tan x = t，再利用上面习题 3（9），得到 ∫ 2 0 tan 1 π dx x ∫ +∞ + = 0 4 1 2 t dt 2 π = 。 270

/n!5.求极限limnonnnl12In解limlim In11nn->00n->0 n k=l所以n/n!limn-n6.计算下列反常积分：(1 J In cos xdx ;(2 J" xIn sin xdx 。riarecsinx dx ;(3T xcot xdx;(4 JxInx(5. J d。解（1）令x=元-t，再利用例8.1.11，得到J in cos xdx = J Insin tdt = - ln2 。2(2)令x=元-t，由J°xlnsin xdx = J" z In sin tdt- J' tInsintdt,得到元J°xInsin xdx=J Insin xdx=Insin xdx=-ln2。2"1n2。(3)[序xcot xdx =J2 xd Insinx=(xInsin x)-2Insinxdx=2(4）令t=arcsinx，得到(1 arcsin x dx22tcottdt:ln2271

⒌ 求极限lim ! n n n →∞ n 。 解 = →∞ n n n n ! lim ln ∑ = = →∞ n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = − 1 0 ln xdx 1, 所以 n e n n n ! 1 lim = →∞ 。 ⒍ 计算下列反常积分： (1) ln cos xdx 0 2 π ∫ ; (2) x ln sin x 0 π ∫ dx。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx ; (4) arcsin x x dx 0 1 ∫ ; (5) ln x x dx 1 0 2 1 − ∫ 。 解 (1) 令 x = − t 2 π , 再利用例 8.1.11，得到 ln cos xdx 0 2 π ∫ = ∫ = 2 0 ln sin π tdt ln 2 2 π − 。 (2) 令 x = π − t , 由 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ − π π0 lnsin tdt ∫ π 0 t lnsin tdt , 得到 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ π π 0 ln sin 2 xdx = ∫ 2 0 ln sin π π xdx ln 2 2 2 π = − 。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx = ∫ 2 0 ln sin π xd x x x xdx = − ∫ 2 0 2 0 ( ln sin ) ln sin π π ln 2 2 π = 。 (4) 令t = arcsin x , 得到 ∫ = 1 0 arcsin dx x x ∫ 2 0 cot π t tdt ln 2 2 π = 。 271

( ) - linaein nxareinol - - - - in.2x7.求下列反常积分的Cauchy主值：1+x(1) (cpv)/*(2) (cpv)[dx01 + x(3) (cp)lizxlnx ddr解2(2) (cpv),=[2 +(22 dx = lim [1nln x)l14, + (nln x)]172 = 0 。(3) (cp)l/zxlnxd8.说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。证设f(x)dx是一个无界函数反常积分，x=b是f(x)的唯一奇点(即()在x=b的左领域无界)。令1=二℃，则b-x"(x)dx=(b-a)t (b-b二)1,2等式右端就是一个无穷区间的反常积分。9.（1）以tf(x)dx为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性;(2）举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。解（1）保序性：设[tf(x)dx与tg(x)dx收敛，且在[a,+)成立f(x)≥g(x)，则Jt f(x)dx ≥ Jt" g(x)dx ;证明：由定积分的保序性，可知，f(x)dx≥g(x)dx，再令A→+o0。272

(5) ∫ = − 1 0 2 1 ln dx x x ∫ 1 0 ln xd arcsin x 1 0 = (ln x arcsin x) − ∫ 1 0 arcsin dx x x ln 2 2 π = − 。 ⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值： ⑴ (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx ; ⑵ (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ ; ⑶ (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx 。 解 (1) (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx = + + = π + − →+∞ A A A x ln(1 x )] 2 1 lim [arctan 2 。 (2) (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ = − + − = − + → + lim [(ln 2 ) (ln 2 ) ] 2 1 4 2 0 η η η x x ln 2。 (3) (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx = + = − + → + lim [(ln ln ) (ln ln ) ] 1 1/ 2 2 1 0 η η η x x 0。 ⒏ 说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 证 设∫ 是一个无界函数反常积分， b a f (x)dx x = b是 f (x)的唯一奇点 （即 f (x)在 x = b的左领域无界）。令 b x b a t − − = ，则 ∫ b a f (x)dx 1 2 ( ) t dt t b a b a f b ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − ， 等式右端就是一个无穷区间的反常积分。 ⒐ ⑴ 以 为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加 性； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 解 （1）保序性： 设∫ 与 收敛，且在 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx [a,+∞)成立 f (x) ≥ g(x)，则 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ≥ a g(x)dx； 证明：由定积分的保序性，可知∫ ，再令 。 A a f (x)dx ≥ ∫ A a g(x)dx A → +∞ 272

区间可加性：设ftf(x)dx收敛，则对任意ce[a,+oo)，(+f(x)dx收敛，且Ja" f(x)dx = Jaf(x)dx + Jt" f(x)dx ;证明：由定积分的区间可加性，可知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx，再令A→+80 。(2)设 (x)= g(x)=,则 T" (n)d与 ["g()d 收敛,但 [" (x)g(a)dxx不收敛。10.证明当a>0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有+dIna+。证+-m(+-+)-(+)++)文a2对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换x=9则TInx-InaInt-Ina当x:a→+时，t:a→0；且=+=_一+~dtdxta1xXa于是由(++9)Inx-Inadx =-Ja))Int-Inadt得到+9)d-Ina"+d(+9)nx-na-1(+)-nadt=0。273

区间可加性： 设∫ 收敛，则对任意 +∞ a f (x)dx c ∈[a,+∞) ，∫ 收敛，且 +∞ c f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx ∫ +∞ + c f (x)dx ； 证明：由定积分的区间可加性，可知 ，再 令 。 ∫ A a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx + ∫ A c f (x)dx A → +∞ （2）设 x x f x g x sin ( ) = ( ) = ，则 与 收敛，但 不收敛。 ∫ +∞ 1 f (x)dx ∫ +∞ 1 g(x)dx ∫ +∞ 1 f (x)g(x)dx 10. 证明当a > 0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 0 1 ln dx x x a a x a f 。 证 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 0 1 ln dx x x a a x a f dx x x a x a a x f ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + +∞ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x a x a a x f a ln ln 0 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ ， 对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换 t a x 2 = ，则 当 x : a → +∞ 时，t : a → 0 ；且 + = x a a x t a a t + ， dt t t a dx x ln x ln a ln − ln = − ， 于是由 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ dt t t a t a a t f a ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −∫ + ， 得到 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 0 1 ln dx x x a a x a f 0 a x a x ln ln a f dx a x x ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 0 ln ln 0 a t a t a f dt a t t ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∫ 。 273

11.设(*f(x)dx收敛，且lim f(x)=A。证明A=0。证用反证法。不妨设A>0，则对ε=4>0，3X>a，Vx>X：[()-A4。由[β f(x)dx =J,f(x)dx +Jf(x)dx >J, f(x)dx +A(B-X),2可知Jim[f(x)dx=+，与[f(x)dx收敛发生矛盾。同理也可证明不可能有A<0，所以A=0。12．设f(x)在[a,+)上可导，且f(x)dx与(x)dx都收敛，证明lim (x)= 0 。证Ja f'(x)dx=Jt° df(x)= lim f(x)- (a) ,由[t"f(x)dx的收敛性，可知limf(x)存在且有限，再利用第11题的结论，得到lim f(x) = 0 274

11．设∫ 收敛，且 +∞ a f (x)dx f x A x = →+∞ lim ( ) 。证明 A = 0。 证 用反证法。不妨设 A > 0 ，则对 0 2 1 ε = A > ， ∃X > a ， ∀x > X ： f x A A 2 1 ( ) − 。由 ∫ B a f (x)dx = ∫ X a f (x)dx + ∫ B X f (x)dx ( ) 2 1 f (x)dx A B X X a > ∫ + − ， 可知 ∫ = +∞ ，与 收敛发生矛盾。 →+∞ B a B lim f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 同理也可证明不可能有 A < 0，所以 A = 0。 12．设 在 上可导，且 与 都收敛，证明 。 f (x) [a,+∞) ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ′ a f (x)dx lim ( ) = 0 →+∞ f x x 证 ∫ +∞ a f '(x)dx = ∫ = +∞ a df (x) lim f (x) f (a) x − →+∞ ， 由 的收敛性, 可知 存在且有限, 再利用第11题的结 论，得到 ∫ +∞ a f '(x)dx lim f (x) x→+∞ lim ( ) = 0 →+∞ f x x 。 274