复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第一章 集合与映射 1.1 集合 1.2 映射与函数

第一章集合与映射习题1.1集合1.证明由n个元素组成的集合T={α，az，…，a,)有2"个子集。Zch =(1+1)" =2" 。解由k个元素组成的子集的个数为ck，k=02.证明：（1）任意无限集必包含一个可列子集；(2）设A与B都是可列集，证明AUB也是可列集。证（1)设T是一个无限集，先取aiT。由于T是无限集，必存在a2T，a。再由是无限集，必存在a，，z。这样的过程可以无限进行下去，于是得到可列集s=(a,a2,an小，ScT。（2）设A=(aia2an，B=(br,b2,,bn，则AUB可表示为AUB=(ai,bi,a2,b2,,an,bn,..3.指出下列表述中的错误：(1) (0) =0;(2) ac(a,b,c) ;(3) (a,b} e(a,b,c) ;(4)(a,b,(a,b))={a,b) 解（1）(0)是由元素0构成的集合，不是空集。（2）a是集合（a,b,c)的元素，应表述为ae（a,b,c)。1

第一章 集合与映射 习 题 1.1 集合 ⒈ 证明由n个元素组成的集合T a = a an { 1 2 ， ，"， }有2n个子集。 解 由k 个元素组成的子集的个数为Cn k ， ∑ 。 = = + = n k k n n Cn 0 (1 1) 2 ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A与 B都是可列集，证明 A∪ B也是可列集。 证（1）设T 是一个无限集，先取a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 ， 。再由T 是无限集，必存在 a2 ∈T 2 1 a ≠ a a3 ∈T ，a3 ≠ a1，a3 ≠ a2。这样的过 程可以无限进行下去，于是得到可列集S = {a1, a2 ,", an ,"}，S ⊂ T 。 （2）设 A = { } a1, a2 ,", an ," ，B = {b1,b2 ,",bn ,"}，则 A∪ B可表示为 A B ∪ = { } a1,b1,a2 ,b2 ,",an ,bn ," 。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) { }0 = ∅； (2) a ⊂ { , a b, c }； (3) { , a b } ∈{ , a b, c }； (4) { , a b,{a b, } } = { , a b }。 解 （1）{0}是由元素0构成的集合，不是空集。 （2） a 是集合{ , a b, c }的元素，应表述为 a∈ { , a b, c }。 1

(3）(a,b)是集合(a,b,c)的子集，应表述为(a,b)(a,b,c)。（4）{a,b,{a,b)是由a,b和（a,b)为元素构成的集合，所以(a,b,(a,b)[a,b),但(a,b,(a,b)(a,b) 。4.用集合符号表示下列数集：(1)满足±-30且y>0)。(3) (x|0<x<1且xe0)。(4) [x|x=k+,kez)25.证明下列集合等式：(1) AN(BUD)=(ANB)U(AND) ;(2) (AUB)C = ASBC。证（1）设xEAN(BUD)，则xeA，并且或者xeB，或者xED。于是或者xEANB，或者xeAND，即xE(ANB)U(AND)，因此AN(BUD)C(ANB)U(AND);设xE(ANB)U(AND)，则或者xEANB，或者xEAND。于是xEA,并且或者xeB，或者xED，即xEAN(BUD)，因此AN(BUD)(ANB)U(AND)。2

（3） {a,b}是集合{ , a b, c }的子集，应表述为{a,b}⊂ { , a b, c }。 （ 4 ） 是 由 和 为元素构成的集合，所以 ，但 {a,b,{a,b}} a,b { , a b } {a,b,{a,b}} ⊃ { , a b } {a,b,{a,b}} ≠ { , a b }。 ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足 x x − + ≤ 3 2 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程sin x cot x = 0的实数解全体。 解（1）{ } x | −2 0且 y > 0 。 （3）{ } x | 0 < x <1且x∈Q 。 （4） ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ x x = k + ,k ∈ Z 2 | π π 。 ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B ∩ ∪ ( ) D = ( A∩ B)∪( A∩ D) ； C (2) ( ) A B ∪ ∩ C C = A B 。 证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A，并且或者 x ∈ B，或者 。于是 或者 ，或者 ，即 x ∈ D x ∈ A∩ B x ∈ A∩ D x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)，因此 A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)； 设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)，则或者 x ∈ A∩ B ，或者 x ∈ A∩ D 。于是 ， 并且或者 ，或者 ，即 x ∈ A x ∈ B x ∈ D x ∈ A ∩ (B ∪ D)，因此 A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)。 2

（2）设xE(AUB)C，则xEAUB，即xEA且xEB，于是xEACNBC，因此(AUB)CCACNBC;设xEACnBC，则xEA且xEB，即xEAUB，于是xEAUB)C，因此(AUB)CDACnBC。6.举例说明集合运算不满足消去律：() AUB=AUC > B=C;(2)ANB=ANC > B=C。其中符号“≠>”表示左边的命题不能推出右边的命题。解（1)设A=(a,b,c),B=(b,c,d),C=(c,d),则 AUB= AUC,但B±C。(2)设A=(a,b,c)，B=(c,d,e),C=(c,d)，则AnB=AnC，但B+C。7.下述命题是否正确？不正确的话，请改正。(I)xEANBxEA并且xEB;(2)xEAUB一xEA或者xEB。解（1）不正确。xEANBxEA或者xEB。（2）不正确。xEAUB一xEA并且xEBn

（2）设 x ∈ (A∪ B) C ，则 x∈A∪ B ，即 x∈A且 x∈B ，于是 ，因 此 C C x ∈ A ∩ B C C C (A ∪ B) ⊂ A ∩ B ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A且 x∈B ，即 x∈A∪ B，于是 x ∈ (A ∪ B) C，因此 (A ∪ B) C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) A B ∪ = A∪C ≠> B = C； (2) A B ∩ = A∩C ≠> B = C。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c,d}，C = {c,d}，则 A B ∪ = A∪C，但B ≠ C 。 （2）设 A = { } a,b,c ，B = { } c,d,e ，C = {c,d}，则 A B ∩ = A∩C，但B ≠ C 。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B； (2) x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B。 解（1）不正确。 x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B。 （2）不正确。 x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B。 3

习题1.2映射与函数1.设=(α,β,y),T={a,b,c)，问有多少种可能的映射f：S→T？其中哪些是双射？解有33=27种可能的映射，其中有3!=6种是双射，它们是αHb[αHb[αHcαaαHaαHcβμb,fβHc,f3Hc,fβ-b。βHa,βHa,(yHbyHb(yHayHcyHayHc2.(1)建立区间[α,b]与[0,1]之间的一一对应;(2)建立区间(0,1)与(-80,+)之间的一一对应。解（1):[a,b]→[0,]x-aXHy:b-a(2) f :(0,1)→(-80,+80)x tan(x --cot(元x)。元=23.将下列函数f和g构成复合函数，并指出定义域与值域：(l) y= f(u)= log,u, u= g(x)= x2 -3;(2) y= f(u)= arcsinu, u=g(x)=et;(3) y= f(u)= /u2 -1,u= g(x)= secx;(4) y= (n) = Nu,u=g(x)= 二lx+1解（1）y=log。(x2-3)，定义域：（00,-/3)u(V3,+0)，值域：(-00,+o0);（2）y=arcsin3*，定义域：（-o,0]，值域：（o.（3）y=tan，定义域：u（k元-，k元+），值域：[0,+00)=74

习 题 1.2 映射与函数 1. 设S = {α, β,γ }, T ，问有多少种可能的映射 ? 其中 哪些是双射? = { , abc, } f ：S → T 解 有33 = 27种可能的映射，其中有3!= 6种是双射，它们是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c b a f 6 6 6 γ β α : ， ， ， ， ， 。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b c a f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ a c b f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c a b f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b a c f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ a b c f 6 6 6 γ β α : 2. (1) 建立区间[ , a b ]与[ , 0 1 ]之间的一一对应； (2) 建立区间( , 0 1 )与( , −∞ +∞)之间的一一对应。 解（1） f :[a,b] →[0,1] b a x a x y − − 6 = ； （2） f :(0,1) → (−∞,+∞) ) cot( ) 2 1 x 6 tan(x − π = − π x 。 3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域： (1) y f = ( ) u = loga u , u = g( ) x = x 2 − 3; (2) y f = ( ) u = arcsin u , u = g( ) x = e x ； (3) y f = ( ) u = u 2 − 1 , u = g( ) x = sec x ； (4) y f = ( ) u = u , u = g( ) x = x x − + 1 1 。 解（1） y = loga (x 2 −3)，定义域：(− ∞,− 3)∪ ( 3,+∞)，值域：(−∞,+∞) ； （2） y = arcsin 3x，定义域：(− ∞,0]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 2 0, π ； （3） y = tan x ，定义域： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∈ 2 , 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,+∞)； 4

(4)y定义域：(-00,-1)U[1,+)，值域：[0,1)U(1,+0)。4.指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：1=log.(x2 -1) 。(1) y=arcsin(2) y=Vx2+11解（1）y=arcsinu，u= V=x?+l;/-ln, u=log.v, v=x?-1。(2) v=35.求下列函数的自然定义域与值域：(1) y=log.sinx (a>1);(2) y= /cosx ;(3) y=/4-3x-x ;(4) y=x*+1+。解（1）定义域：U(2k元，(2k+1)元)，值域：（-0,0]Cu[2k元-,2k元+],（2）定义域：（，值域：[0,];22]kezl05（3）定义域：[-4,]]，值域：23/2（4）定义域：（-80,0)U(0,+0)，值域：26.问下列函数f和g是否等同？(1) f(x)= log.(x), g(x)= 2log.x ;(2) f(x)= sec2x-tan2 x, g(x)= 1;(3) f(x)= sin x+cos2 x,g(x)=1。解（1）函数f和g不等同；5

（4） 1 1 + − = x x y ，定义域：(− ∞,−1)∪[1,+∞)，值域：[0,1) ( ∪ 1,+∞)。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x = + arcsin 1 1 2 ; (2) 1 3 2 log ( 1) 3 a y x = − 。 解（1） y = arcsin u ， v u 1 = ，v = x 2 +1； （2） 3 3 1 y = u ，u = loga v ，v = x 2 −1。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) y = loga sin x （a > 1）； (2) y x = cos ； (3) y = − 4 3x − 2 x ； (4) y x x = +2 4 1 。 解（1）定义域： ( ) 2 π ,(2 +1)π ∈ k k k Z ∪ ，值域：(− ∞,0]； （2）定义域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ∈ 2 ,2 2 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,1]； （3）定义域：[− 4,1]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 5 0, ； （4）定义域：( ) − ∞,0 ∪ (0,+∞)，值域： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ ,+∞ 2 3 2 3 。 6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？ (1) f x( ) = 2 log ( ) a x ， g( ) x = 2loga x ； (2) f x( ) = 2 2 sec x − tan x , g( ) x = 1； (3) f x( ) = sin cos 2 2 x + x , g( ) x = 1。 解 （1）函数 f 和 g 不等同； 5

（2）函数f和g不等同；（3）函数f和g等同。7. (1) 设f(x+3)=2x3 -3x2 +5x-1,求f(x);(2) 设(告)-一求(1)。-1)3x+1解（1）令x+3=t，则x=t-3，代入等式，得到f(t) = 2(t-3)3 = 3(t -3)2 + 5(t-3)-1 = 2t3 - 21t2 + 77t - 97,所以f(x)=2x3-21x2+77x-97;(2）令x"，则×，代入等式，得到x-i3t-12t +12x+11-1所以f(x)=f(0)=4x-13t4t-1Xt-11,求。f，f。f。f,ff。ff的函数表达式。8. 设(x)=1+xx+1解（1)f。f(x)=x+2'x+2fofof(x)=2x+3"2x+3fofofof(x)=-3x+59．证明：定义于(-0,+)上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。证显然()+(-α)是偶函数，(x)-,(-α)是奇函数，而22()= ()+(-) ,()-(-m)2210.写出折线ABCD所表示的函数关系y=f(x)的分段表示，其中A=(0,3), B=(1-1), C=(3,2),D=(4,0) 。6

（2）函数 f 和 g 不等同； （3）函数 f 和 g 等同。 7. (1) 设 f x( ) + = 3 2x 3 2 − 3x + 5x − 1,求 f x( ) ； (2) 设 3 1 3 1 1 + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x x x f ,求 f x( ) 。 解（1）令 x + 3 = t ，则 x = t − 3，代入等式，得到 ( ) 2( 3) 3( 3) 5( 3) 1 3 2 f t = t − − t − + t − − 2 21 77 97 3 2 = t − t + t − ， 所以 f (x) = 2x3 − 21x 2 + 77x − 97； （2）令 t x x = −1 ，则 −1 = t t x ，代入等式，得到 ( ) 1 1 3 1 1 3 + − − − = t t t t f t 4 1 2 1 − + = t t ，所以 4 1 2 1 ( ) − + = x x f x 。 8. 设 f x( ) = + 1 1 x ,求 f D f ， f f D D f , f f D D f D f 的函数表达式。 解（1） 2 1 ( ) + + = x x f D f x ； 2 3 2 ( ) + + = x x f D f D f x ； 3 5 2 3 ( ) + + = x x f D f D f D f x 。 9. 证明：定义于 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。 ( , −∞ +∞) 证 显然 2 f (x) + f (−x) 是偶函数， 2 f (x) − f (−x) 是奇函数，而 2 ( ) ( ) ( ) f x f x f x + − = 2 f (x) − f (−x) + 。 10. 写出折线 ABCD 所表示的函数关系 y f = (x) 的分段表示，其中 A = ( , 0 3)， B = ( , 1 −1)，C = ( , 3 2) ， D = ( , 4 0)。 6

xe[0,1]-4x+3x_5解xe(1.3] 。22xe (3.4)-2x+8y(1,1)20xx图1.2.8图1.2.911.设(x)表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数y=f(x)，xe[0,2]的表达式。[xxe[0,1]2解V1x2 +2x-1 xe(1,2)212.一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克／厘米（图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强P与液体深度x之间的函数关系。xe[0,5][78.4x解P(x)=^98x-98xe (5,9) 。[1332.8x-11211.2x (9,11]13.试求定义在[0,1]上的函数，它是[0,1]与[0,1]之间的一一对应,7

解 [ ] ( ] ⎪ ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ∈ − ∈ − + ∈ = 2 8 3,4 1,3 2 5 2 3 4 3 0,1 x x x x x x y 。 y ( , 1 1 ) O x 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 11. 设 f x( ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y f = (x) , x ∈[ , 0 2 ] 的表达式。 解 [ ] ( ] 2 2 1 0,1 2 1 2 1 1,2 2 x x y x x x ⎧ ∈ ⎪⎪ = ⎨ ⎪− + − ∈ ⎪⎩ 。 12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8 克／厘米３ (图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P与液体深度 x之间 的函数关系。 解 [ ] ( ] ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ ∈ = 1332.8 11211.2 9,11 98 98 5,9 78.4 0,5 ( ) x x x x x x P x 。 13. 试求定义在[ , 0 1 ]上的函数，它是[ , 0 1 ]与[ , 0 1 ]之间的一一对应， 7

但在[0,1]的任一子区间上都不是单调函数。x为有理数Jx解f(x)=)[1-xx为无理数8

但在[ , 0 1 ]的任一子区间上都不是单调函数。 解 。 ⎩ ⎨ ⎧ − = 为无理数 为有理数 x x x x f x 1 ( ) 8