复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题八（解答）

第八章第1节kq1.x32元A5(2)(3)3. (1)(4)13292ab(a+b)1（5）a≥0时积分发散；a1时积分收敛于（6）p≤1时积分发散；p-11元(8)(9)(7) 2.提示：参考第六章第3节习题1(10):42/2InxI Inxlnx（10）0；提示：dxdr+dx，再对右端任一积分作101+ x2111变量代换x=t8元元(4）(3)(2)4.(1) 1.（5）积分发散322元(6)；提示：作变量代换/tanx=tn!n/n!-2inkJ'ln xdx =-1, 所以 lim 5. lim Inlim=-n00n1-→00n->00 n k=ln1n2；提示：令x=-1，再利用例8.1.11.6. (1) -22元2-In2；提示：令x=元-t，由J”xlnsinxdx=J”元lnsintdt-J”tlnsintdt(2) 2得到 Jxlnsin xdx=[,Insin xdx =[Insin xdx2Jin2；提示：序xcotxdx=序xdlnsinx，再用分部积分法(3)Parcsinx"in2；提示：令t=arcsinx，(4)[tcottdtdr2x1

第八章 第 1 节 1. x kq . 3．（1） 29 5 . （2） 13 3 . （3） 3 2π . （4） 2ab(a + b) π . （5）a ≥ 0时积分发散；a 1时积分收敛于 1 (ln 2) 1 1 − + − p p . （7）2 . （8） 4 1 . （9） 2 2 π ; 提示: 参考第六章第 3 节习题 1(10). （10）0 ; 提示: = + ∫ +∞ dx x x 0 2 1 ln + + ∫ dx x 1 x 0 2 1 ln dx x x ∫ +∞ + 1 2 1 ln , 再对右端任一积分作 变量代换 t x 1 = . 4. （1）1. （2） 2 π . （3） 3 8 . （4） 2 π . （5）积分发散. （6） 2 π ; 提示: 作变量代换 tan x = t . 5. = →∞ n n n n ! lim ln ∑ = = →∞ n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = − 1 0 ln xdx 1, 所以 n e n n n ! 1 lim = →∞ . 6. (1) ln 2 2 π − ; 提示: 令 x = − t 2 π , 再利用例 8.1.11. (2) ln 2 2 2 π − ; 提示: 令 x = π − t , 由 , 得到 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ − π π0 lnsin tdt ∫ π 0 t lnsin tdt ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ π π 0 ln sin 2 xdx = ∫ 2 0 ln sin π π xdx . (3) ln 2 2 π ; 提示: ∫ 2 0 cot π x xdx = ∫ 2 0 ln sin π xd x , 再用分部积分法. (4) ln 2 2 π ; 提示: 令t = arcsin x , ∫ = 1 0 arcsin dx x x ∫ 2 0 cot π t tdt . 1

Inx_dx= J'in xd aresinx,再用分部积分法,(5）－号in2；提示：J2Vi-x7. (1) 元. (2) ln2. (3) 0(=+-)Inx-Inad10.提示：积分*+9)=a+ Inx-Inada十对上面两积分中任意一个作变量代换x=-212.提示：由[a°f(x)dx的收敛性，可知limf(x)存在，再利用第11题第2节3.（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（提示：1 + xsin x1+x（4）当p-q>1时积分收敛，其余情况下积分发散5.（1）条件收敛；（2）当01时积分绝对收敛：（3）当01时积分绝对收敛；(4) 件收。 （推示： 1-一。 积分化为1- 4）（5）当n=m+1时积分条件收敛，当n>m+1时积分绝对收敛，当n-1时收敛，当p≤-1时发散：（6）当p>0,q>0时收敛，其余情况下发散；（7）当p>0,q>-1时收敛，其余情况下发散8.（1）收敛；（2）收敛；（3）当1<p<2时收敛，其余情况下发散；（4）当1<p<2时收敛，其余情况下发散；2

(5) ln 2 2 π − ; 提示: ∫ = − 1 0 2 1 ln dx x x ∫ 1 0 ln xd arcsin x ,再用分部积分法. 7． (1) π . (2) ln 2 . (3) 0 . 10. 提示：积分 dx x x a x a a x f ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x a x a a x f a ln ln 0 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ ， 对上面两积分中任意一个作变量代换 t a x 2 = . 12. 提示: 由 的收敛性, 可知 存在, 再利用第 11 题. ∫ +∞ a f '(x)dx lim f (x) x→+∞ 第 2 节 3．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（提示： x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ） （4）当 p − q > 1时积分收敛，其余情况下积分发散. 5．（1）条件收敛；（2）当0 1时积分绝对收敛； （3）当0 1时积分绝对收敛； （4）条件收敛；（提示：令t = x 2，积分化为∫ +∞ 0 2 sin dt t t ） （5）当n = m +1时积分条件收敛，当n > m +1时积分绝对收敛，当 时 积分发散. n −1时收敛，当 p ≤ −1时发散； （6）当 p > 0, q > 0 时收敛，其余情况下发散； （7）当 p > 0, q > −1时收敛，其余情况下发散. 8．（1）收敛；（2）收敛；（3）当1 < p < 2时收敛，其余情况下发散； （4）当1 < p < 2时收敛，其余情况下发散； 2

3元时收敛，当p≥时发散：（提示：当x一(5）当p0时收敛，当p≤0时发散；(7）当min(p,9)1时收敛，其余情况下发散；（8）当p>1或p=1,q>1时收敛，其余情况下发散.9.（1）当01时积分绝对收敛，当00且x充分大时，dxxPxPxP1cos-x都是单调减少的xp10.提示：利用Cauchy收敛原理，对任意A">A>A，由分部积分法，xsinx sinxd=-d(cosx*)4x2sinxcosx4+Jcoscodxcosin-dx2x34x24x23

（5）当 2 3 p 0时收敛，当 p ≤ 0 时发散； （7）当min( p, q) 1时收敛，其余情况下发散； （8）当 p > 1 或 p = 1, q > 1 时收敛，其余情况下发散. 9．（1）当0 1时积分绝对收敛，当0 0且 x充分大时， p x x 1 sin 与 p x x 1 cos 都是单调减少的. 10．提示：利用 Cauchy 收敛原理，对任意 A"> A'> A，由分部积分法， ∫ = " ' 4 sin sin A A x x xdx − ∫ " ' 4 2 (cos ) 4 A sin A d x x x " ' 2 4 4 sin cos A A x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + ∫ − " ' 2 4 4 A cos cos A dx x x x ∫ " ' 3 4 2 A cos sin A dx x x x ， 3

显然，当A→+oo时，上式趋于零12.提示：利用Cauchy收敛原理，当x→0+时，0≤f(x)≤Jf(t)dt→0.2213.提示：首先容易知道f(x)≥0；然后利用Cauchy收敛原理，当x→+oo时，有0≤！x(nx)()≤J(0)-_dt= J(0)dt →0.14.提示：利用分部积分法，Jt" f"(x)sin’ xdx = J°sin’ xdf(x) = -Jt" f(x)sin 2xdxsin’xsinxsinx16.提示：xPxP +sinxxP(xP+sinx)4

显然，当 A → +∞ 时，上式趋于零. 12．提示：利用 Cauchy 收敛原理，当 x → 0 + 时， ≤ ≤ ∫ → x x f x f t dt x 2 ( ) ( ) 0 2 0 . 13．提示：首先容易知道 f (x) ≥ 0；然后利用 Cauchy 收敛原理，当 x → +∞ 时， 有 ≤ ≤ ∫ ⋅ = x x dt t x x f x tf t 1 (ln ) ( ) ( ) 2 1 0 ∫ → x x f (t)dt 0 . 14．提示：利用分部积分法， ∫ +∞ = 0 2 f '(x)sin xdx ∫ +∞ 0 2 sin xdf (x) ∫ +∞ = − 0 f (x)sin 2xdx . 16．提示： ( sin ) sin sin sin sin 2 x x x x x x x x x p p p p + = − + . 4