复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题八（题目）

习题8.11.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+9的点电荷产生的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为F=k%（k为常r2数），求距电场中心x处的电位。图8.1.42.证明：若f(x)dx和g(x)dx收敛，k和k,为常数，则[k(x)+kzg(x)]x也收敛，且 [k, f(x)+ k,g(x)]dx = k, f (x)dx + k2 J g(x)dx 。3．计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：(1) Jt"e-2* sin 5xdx;(2) Jte-3x cos2xdx;1db(x2 + α2)(x2 + b2)1(3)(4)dxr2+r+(a>0,b>0);1dxdx(aeR);(6)(peR);5xlnP x11(7)(8) (x3 + 1)3 dx;dx(er+ e-x)2Inx(9)「(10)dx。$+idr;11 + x24.计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：-(2)(1)dxVi-In2.1X(4)3dx2-x)/1-x21dx:(5)(6)dxsin/tanx/n!5.求极限limnn>006.计算下列反常积分：

习 题 8.1 ∞ x q 图 8.1.4 ⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量 + q的点电荷产生 的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为 F k q r = 2 （ k 为常 数），求距电场中心 x 处的电位。 ⒉ 证明：若 和 收敛， 为常数，则 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx k k 1和 2 [ ] ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 也收敛，且 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ + = + a a a [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 。 ⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ; ⑵ e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ; ⑶ 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ; ⑷ 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ (a > 0,b > 0) ; ⑸ ∫ +∞ ∈ 0 e ( ) 2 x dx a R ax ; ⑹ ( ) ln 1 2 ∈ R ∫ +∞ dx p x x p ; ⑺ 1 1 2 3 2 ( ) / x dx + −∞ +∞ ∫ ; ⑻ 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ; ⑼ 1 1 0 4 x dx + +∞ ∫ ； ⑽ ln x x dx 1 0 2 + +∞ ∫ 。 ⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ x x dx 1 0 2 1 − ∫ ; ⑵ 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ; ⑶ x x dx − ∫ 1 1 2 ; ⑷ 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ; ⑸ 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ; ⑹ ∫ 2 0 tan 1 π dx x ; ⒌ 求极限lim ! n n n →∞ n 。 ⒍ 计算下列反常积分： 1

nsinxdx。/cosxdxarcsinxrcot xdx;dx3【4)AInx(5) Jdx。0 /1-x27.求下列反常积分的Cauchy主值：01+x() (cpv)]1+x2(2)(cpvdx;(3) (cpv)l/n xlnxdx8.说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。9.（1）以「f(x)dx为例，叙述并证明反常积分的线性性，保序性和区间可加性；(2）举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。10.证明当α>0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有(+9)d=lnaf.+-dY/.11. 设|f(x)dx收敛，且 lim f(x)=A。证明A=0。12.设f(x)在[a,+o0)上可导，且[f(x)dx与[，于(x)dx都收敛，证明lim (α)=0。计算实习题在教师的指导下，试编制一个通用的Gauss-Legendre求积公式程序，在电子计算机上实际计算下列反常积分值，并与精确值比较：元2 n(I - x) dx ,(1)（精确值-人6元2(2)Jlnxln(1-x)dx，（精确值2-Y6"/n2);(3)fIncos xdx,（精确值-2tanx（精确值）(4)dxJ02x1元5)sin(x2)dx,（精确值2 V22

(1) ln cos xdx 0 2 π ∫ ; (2) x x ln sin 0 π ∫ dx 。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx ; (4) arcsin x x dx 0 1 ∫ ; (5) ln x x dx 1 0 2 1 − ∫ 。 ⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值： ⑴ (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx ; ⑵ (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ ; ⑶ (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx 。 ⒏ 说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 ⒐ ⑴ 以 为例，叙述并证明反常积分的线性性，保序性和区间可加性； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 10. 证明当a > 0 时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 0 1 ln dx x x a a x a f 。 11．设 ∫ 收敛，且 +∞ a f (x)dx f x A x = →+∞ lim ( ) 。证明 A = 0。 12．设 f (x) 在[a,+∞) 上可导，且 ∫ 与 都收敛，证明 。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ′ a f (x)dx lim ( ) = 0 →+∞ f x x 计 算 实 习 题 在教师的指导下，试编制一个通用的 Gauss-Legendre 求积公式程序，在电子计算机上实 际计算下列反常积分值，并与精确值比较： ⑴ ln(1 ) 0 1 − ∫ x x dx ， （精确值 − π2 6 ）； ⑵ 0 ln x ln(1 x) ，（精确值 1 ∫ − dx 2 6 2 − π ）； ⑶ ln cos xdx 0 2 π ∫ ， （精确值 − π 2 ln 2）； ⑷ ∫ +∞ 0 tan dx x x ， （精确值 π 2 ）； ⑸ 0 sin(x 2 )dx ， （精确值 +∞ ∫ 1 2 2 π ）。 2

习题8.21.（1）证明比较判别法（定理8.2.2)；(2）举例说明，当比较判别法的极限形式中1=0或+0时，[p(x)dx和[,(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。2．证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3)。3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：+ are tan dx ;1(2) (1)dx;1+x3J1x3-e-2x+lnx+1x9dx（pqeRt)(3)dx(4)1+xp101+x|sinx4.证明：对非负函数f(x），(cpv)+f(x)dx收敛与「+f(x)dx收敛是等价的。5.讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同)：+ In In x sin xdx;(2) Jtmsinzdx (peR*);(1)4InxXp+ sinxarctanxdx (peR*);3(4)sin(x2)dx;xP+m Pm() sin xdx(5)（pm(x）和q,(x)分别是m和n次多项式，qn(x)q,(x)在xe[a,+o0)范围无零点。6.设f(x)在[a，b]只有一个奇点x=b，证明定理8.2.3'和定理8.2.5'。7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：InxIdxdx;(1)2/x2(1- x)1I-cosx(3)dxdx:40cos?xsin?xXP(6) FxP-1(1-x)9-I dx ;(5)[InxPdx:xp-I(1-x)9-I |In x|dx7)8.讨论下列反常积分的敛散性：[1 Xp-1 xq-1(2)(1)dx(p.qeRt);dx3/x(x - 1)2(x -2)Inx3

习 题 8.2 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 + ∞ 时，∫ 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R ⒋ 证明：对非负函数 f (x)，(cpv) f x( )dx 收敛与 收敛是等价的。 −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ p x 和q 分别是 和 次多项式， m ( ) x n ( ) m n q x n ( )在 x ∈[a,+∞) 范围无零点。） ⒍ 设 f x( )在[ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2.3′ 和定理 8.2. 5′ 。 ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ ; ⑵ ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ ; ⑶ 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ ; ⑷ 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π ; ⑸ |ln x | dx p 0 1 ∫ ; ⑹ x x d p q − − ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 x ; ⑺ ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q . ⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ( ); + p,q ∈ R ⑵ 1 1 2 0 3 2 x x x dx ( ) − − ( ) +∞ ∫ ; 3

. In(1 + x)arctanxdx34XPxP/2/tanx(6)xp-l e dx ;(5)dxtp11(8)-dx(7)dx;xPInxxP+x99.讨论下列反常积分的敛散性：XP-xgsinx(1) (2)dx(p≥0);dx1+xp+7++ sin cos X dx;inx sin 2× dx ;(3)(4)J0xpxpsinx:(6)5X(p>0).xp10.证明反常积分Jtxsinx4sinxdx收敛。11.设f(x)单调，且当x→0+时f(x)→+o0，证明：。f(x)dx收敛的必要条件是lim xf(x) = 0 。012.设f(x)dx收敛，且xf(x)在[a,+o0)上单调减少，证明：limx(lnx)f(x)=0。13.设f(x)单调下降，且limf(x)=0，证明：若f(x)在[0,+o0）上连续，则反常积分J."f'(x)sin?xdx收敛。14.设,f(x)dx绝对收敛，且lim(x)=0，证明["f2(x)dx收敛。15．若[f2(x)dx收敛，则称f(x)在[a,+)上平方可积（类似可定义无界函数在[a,b]上平方可积的概念）。(1）对两种反常积分分别探讨f(x)平方可积与f(x)的反常积分收敛之间的关系；(2）对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含：（3）对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。16.证明反常积分sinxdxxP +sin x

⑶ ln(1 ) 0 +∞ + ∫ x x dx p ; ⑷ ∫ +∞ 0 arc tan dx x x p ; ⑸ ∫ / 2 0 π tan dx x x p ; ⑹ x d p x − − +∞ ∫ 1 0 e x ; ⑺ 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ; ⑻ ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q . ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x dx p− +∞ + ∫ 1 0 2 1 ; ⑵ x x x dx q p sin 1 1 + +∞ ∫ ( p ≥ 0 ); ⑶ ∫ +∞ 0 sin e cos dx x x p x ; ⑷ ∫ +∞ 0 sin e sin 2 dx x x p x ; (5) ∫ 1 0 2 1 cos 1 dx x x p ； (6) ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 sin dx x x x p ( p > 0 ). 10．证明反常积分 ∫ 收敛。 +∞ 0 4 x sin x sin xdx 11．设 f (x)单调，且当 x → 0 + 时 f x( ) → +∞ ，证明： 收敛的必要条件是 。 f x( )dx 0 1 ∫ lim ( ) x xf x → + = 0 0 12．设 ∫ 收敛，且 在 +∞ a f (x)dx xf (x) [a,+∞) 上单调减少，证明: lim (ln ) ( ) = 0 。 →+∞ x x f x x 13．设 f x( )单调下降，且 lim ( ) x f x →+∞ = 0，证明：若 f ′(x) 在[ , 0 +∞) 上连续，则反常积分 ′ 收敛。 +∞ ∫ f x( )sin x dx 2 0 14. 设 ∫ 绝对收敛，且 +∞ a f (x)dx lim ( ) x f x →+∞ = 0，证明 f x dx 收敛。 a 2 ( ) +∞ ∫ 15． 若 f x dx 收敛，则称 在[ , a 2 ( ) +∞ ∫ f x( ) a +∞)上平方可积（类似可定义无界函数在[ , 上平方可积的概念）。 a b] ⑴ 对两种反常积分分别探讨 f x( )平方可积与 f (x)的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。 16. 证明反常积分 sin sin x x x dx p + +∞ ∫1 4

1当p≤时发散，当亏1时绝对收敛。225

当 p ≤ 1 2 时发散，当 1 2 1时绝对收敛。 5